50 bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5

Bài 1 : Một người mang cam đi đổi lấy táo và lê. Cứ 9 quả cam thì đổi được 2 quả táo và 1 quả lê, 5 quả táo thì đổi được 2 quả lê. Nếu người đó đổi hết số cam mang đi thì được 17 quả táo và 13 quả lê. Hỏi người đó mang đi bao nhiêu quả cam ? 
Bài 2 : Tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy 1/3 số đó chia cho 1/17 số đó thì có dư là 100. 
Bài 3 : Tuổi của con hiện nay bằng 1/2 hiệu tuổi của bố và tuổi con. Bốn năm trước, tuổi con bằng 1/3 hiệu tuổi của bố và tuổi con. Hỏi khi tuổi con bằng 1/4 hiệu tuổi của bố và tuổi của con thì tuổi của mỗi người là bao nhiêu ? 
Bài 4 : Hoa có một sợi dây dài 16 mét. Bây giờ Hoa cần cắt đoạn dây đó để có đoạn dây dài 10 mét mà trong tay Hoa chỉ có một cái kéo. Các bạn có biết Hoa cắt thế nào không ? 
Bài 5 : Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một mảnh nhỏ trồng rau và mảnh còn lại trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích của mảnh trồng rau. Chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5 mét. 
Bài 6 : Tôi đi bộ từ trường về nhà với vận tốc 5 km/giờ. Về đến nhà lập tức tôi đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15 km/giờ. Biết rằng quãng đường từ nhà tới trường ngắn hơn quãng đường từ nhà đến bưu điện 3 km. Tổng thời gian tôi đi từ trường về nhà và từ nhà đến bưu điện là 1 giờ 32 phút. Bạn hãy tính quãng đường từ nhà tôi đến trường. 
Bài 7 : Ngày 8 tháng 3 năm 2004 là thứ ba. Hỏi sau 60 năm nữa thì ngày 8 tháng 3 là thứ mấy ? 
Bài 8 : Tí có một số bi không quá 80 viên, trong đó số bi đỏ gấp 5 lần số bi xanh. Nếu Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi đỏ gấp 4 lần số bi xanh. Hỏi lúc đầu Tí có mấy viên bi đỏ, mấy viên bi xanh ? 
Bài 9 : Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. 
Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi được kết quả là 0 hay không ? 
Bài 10 : Bác Hà có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính bằng 1/2 chiều dài của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90 dm2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm kính đó. 
Bài 11 : Cho 7 phân số : 
Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 số mà Thăng và Long đã chọn. Bài 12 : Tìm các chữ số a và b thỏa mãn : 
Bài 13 : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437...... 
Trong dãy trên có xuất hiện số 2005 hay không ? 
Bài 14 : Có 5 đội tham gia dự thi toán đồng đội. Tổng số điểm của cả 5 đội là 144 điểm và thật thú vị là cả 5 đội đều đạt một trong ba giải : nhất (30 điểm) ; nhì (29 điểm) ; ba (28 điểm). 
Chứng minh số đội đạt giải ba hơn số đội đạt giải nhất đúng một đội.
Bài 15 : Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng nhau. Biết rằng PQ = 4 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD. 
Bài 16 : Tích sau đây có tận cùng bằng chữ số nào ? 
Bài 17 : Cho phân số : 
a) Có thể xóa đi trong tử số và mẫu số những số nào mà giá trị của phân số vẫn không thay đổi không ? 
b) Nếu ta thêm số 2004 vào mẫu số thì phải thêm số tự nhiên nào vào tử số để phân số không đổi ? 
Bài 18 : Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1000000. Bạn hãy cho biết : 1) Phép chia có dư không ? 
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu ? 
Bài 19 : Ba bạn Toán, Tuổi và Thơ có một số vở. Nếu lấy 40% số vở của Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì số vở của ba bạn bằng nhau. Nhưng nếu Toán bớt đi 5 quyển thì số vở của Toán bằng tổng số vở của Tuổi và Thơ. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở ? 
Bài 20 : Hai số tự nhiên A và B, biết A < B và hai số có chung những đặc điểm sau : 
- Là số có 2 chữ số. 
- Hai chữ số trong mỗi số giống nhau. 
- Không chia hết cho 2 ; 3 và 5. 
a) Tìm 2 số đó. 
b) Tổng của 2 số đó chia hết cho số tự nhiên nào ? 
Bài 21 : Cho mảnh bìa hình vuông ABCD. Hãy cắt từ mảnh bìa đó một hình vuông sao cho diện tích còn lại bằng diện tích của mảnh bìa đã cho. 
Bài 22 : Hai bạn Xuân và Hạ cùng một lúc rời nhà của mình đi đến nhà bạn. Họ gặp nhau tại một điểm cách nhà Xuân 50 m. Biết rằng Xuân đi từ nhà mình đến nhà Hạ mất 12 phút còn Hạ đi đến nhà Xuân chỉ mất 10 phút. Hãy tính quãng đường giữa nhà hai bạn. 
Bài 23 : A là số tự nhiên có 2004 chữ số. A là số chia hết cho 9 ; B là tổng các chữ số của A ; C là tổng các chữ số của B ; D là tổng các chữ số của C. Tìm D.
Bài 24 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m. Người ta mở rộng khu vườn như hình vẽ để được một vườn hình chữ nhật lớn hơn. Tính diện tích phần mới mở thêm. 
Bài 25 : Bao nhiêu giờ ? 
Khi đi gặp nước ngước dòng
Khó khăn đến bến mất tong tám giờ
Khi về từ lúc xuống đò
Đến khi cập bến bốn giờ nhẹ veo
Hỏi rằng riêng một khóm bèo
Bao nhiêu giờ để trôi theo ta về ?
Bài 26 : Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. 
Bài 27: Bạn An đã có một số bài kiểm tra, bạn đó tính rằng : Nếu được thêm ba điểm 10 và ba điểm 9 nữa thì điểm trung bình của tất cả các bài sẽ là 8. Nếu được thêm một điểm 9 và hai điểm 10 nữa thì điểm trung bình của tất cả các bài là 7,5. Hỏi bạn An đã có tất cả mấy bài kiểm tra ? 
Bài 28 : Bạn hãy cắt một hình vuông có diện tích bằng 5 / 8 diện tích của một tấm bìa hình vuông cho trước. 
Bài 29 : Một mảnh đất hình chữ nhật được chia thành 4 hình chữ nhật nhỏ hơn có diện tích được ghi như hình vẽ. Bạn có biết diện tích hình chữ nhật còn lại có diện tích là bao nhiêu hay không ? 
Bài 30 : Cho A = 2004 x 2004 x ... x 2004 (A gồm 2003 thừa số) và B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (B gồm 2004 thừa số). Hãy cho biết A + B có chia hết cho 5 hay không ? Vì sao ? 
Bài 31 : Biết rằng số A chỉ viết bởi các chữ số 9. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà cộng số này với A ta được số chia hết cho 45. 
Bài 32 : Cho một hình thang vuông có đáy lớn bằng 3 m, đáy nhỏ và chiều cao bằng 2 m. Hãy chia hình thang đó thành 5 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Hãy tìm các kiểu chia khác nhau sao cho số đo chiều cao cũng như số đo đáy của tam giác đều là những số tự nhiên. 
Bài 33 : Bạn hãy tính chu vi của hình có từ một hình vuông bị cắt mất đi một phần bởi một đường gấp khúc gồm các đoạn song song với cạnh hình vuông. 
Bài 34 : Cho băng giấy gồm 13 ô với số ở ô thứ hai là 112 và số ở ô thứ bảy là 215. 
Biết rằng tổng của ba số ở ba ô liên tiếp luôn bằng 428. Tính tổng của các chữ số trên băng giấy đó. 
Bài 35 : Tuổi của em tôi hiện nay bằng 4 lần tuổi của nó khi tuổi của anh tôi bằng tuổi của em tôi hiện nay. Đến khi tuổi của em tôi bằng tuổi của anh tôi hiện nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51. Hỏi hiện nay anh tôi, em tôi bao nhiêu tuổi ? 
Bài 36 : Tham gia SEA Games 22 môn bóng đá nam vòng loại ở bảng B có bốn đội thi đấu theo thể thức đấu vòng tròn một lượt và tính điểm theo quy định hiện hành. Kết thúc vòng loại, tổng số điểm các đội ở bảng B là 17 điểm. Hỏi ở bảng B môn bóng đá nam có mấy trận hòa ? 
Bài 37 : Một cửa hàng có ba thùng A, B, C để đựng dầu. Trong đó thùng A đựng đầy dầu còn thùng B và C thì đang để không. Nếu đổ dầu ở thùng A vào đầy thùng B thì thùng A còn 2/5 thùng. Nếu đổ dầu ở thùng A vào đầy thùng C thì thùng A còn 5/9 thùng. Muốn đổ dầu ở thùng A vào đầy cả thùng B và thùng C thì phải thêm 4 lít nữa. Hỏi mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu ? 
Bài 38 : Hải hỏi Dương : “Anh phải hơn 30 tuổi phải không ?”. Anh Dương nói : “Sao già thế ! Nếu tuổi của anh nhân với 6 thì được số có ba chữ số, hai chữ số cuối chính là tuổi anh”. Các bạn cùng Hải tính tuổi của anh Dương nhé.
 Bài 39 : ở SEA Games 22 vừa qua, chị Nguyễn Thị Tĩnh giành Huy chương vàng ở cự li 200 m. Biết rằng chị chạy 200 m chỉ mất giây. Bạn hãy cho biết chị chạy 400 m hết bao nhiêu giây ? 
Bài 40 : Hãy khám phá “bí mật” của hình vuông rồi điền nốt bốn số tự nhiên còn thiếu vào ô trống.
Bài 41 : Bạn có thể cắt hình này : 
thành 16 hình: Bạn hãy nói rõ cách cắt nhé ! 
Bài 42 : Cho hình vuông như hình vẽ. Em hãy thay các chữ bởi các số thích hợp sao cho tổng các số ở các ô thuộc hàng ngang, cột dọc, đường chéo đều bằng nhau.
Bài 43 : Số chữ số dùng để đánh số trang của một quyển sách bằng đúng 2 lần số trang của cuốn sách đó. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?
Bài 44 : Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2 mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi ban đầu hơn chu vi mảnh đất hình vuông là 28 m. Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích hình vuông là 224 m2. Tính diện tích thửa đất ban đầu.
Bài 45 : Trong một hội nghị có 100 người tham dự, trong đó có 10 người không biết tiếng Nga và tiếng Anh, có 75 người biết tiếng Nga và 83 người biết Tiếng Anh. Hỏi trong hội nghị có bao nhiêu người biết cả 2 thứ tiếng Nga và Anh ?
Bài 46 : Một hình chữ nhật đã bị cắt đi một hình vuông ở một góc. Chỉ cần một nhát cắt thẳng, bạn hãy chia phần còn lại thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Bài 47 : Cho biết : 4 x 396 x 0,25 : (x + 0,75) = 1,32.
Hãy tìm cách đặt thêm một dấu phẩy vào chỗ nào đó trong đẳng thức trên để giá trị của x giảm 297 đơn vị.
Bài 48 : Điền đủ 9 chữ số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 9 ô trống sau để được phép tính đúng :
Bài 49 : Tính tuổi của ông biết: Thời niên thiếu chiếm 1/5 quãng đời của ông, 1/8 quãng đời còn lại là tuổi sinh viên, 1/7 số tuổi còn lại ông được học ở trường quân đội. Tiếp theo ông được rèn luyện 7 năm liền và sau đó được vinh dự trực tiếp đánh Mĩ. Như vậy thời gian đánh Mĩ vừa tròn 1/2 quãng đời của ông.
Bài 50 : Một miếng bìa hình chữ nhật, có chiều rộng 30 cm, chiều dài 40 cm. Người ta muốn cắt đi một hình chữ nhật nằm chính giữa miếng bìa trên sao cho cạnh của hai hình chữ nhật song song và cách đều nhau, đồng thời diện tích cắt đi bằng 1/2 diện tích miếng bìa ban đầu. Hỏi hai cạnh tương ứng của hai hình chữ nhật ban đầu và cắt đi cách nhau bao nhiêu ?
LỚP 5 - HÈ 2012
PHẦN BÀI GIẢI.
Bài giải 1: 9 quả cam đổi được 2 quả táo và 1 quả lê nên 18 quả cam đổi được 4 quả táo và 2 quả lê. Vì 5 quả táo đổi được 2 quả lê nên 18 quả cam đổi được : 4 + 5 = 9 (quả táo). Do đó 2 quả cam đổi được 1 quả táo. Cứ 5 quả táo đ ...  ABCD là 16 – 6 = 10 (ô vuông) nên diện tích ô vuông ABCD bằng 10 / 16 = 5 / 8 diện tích tấm bìa ban đầu. 
Bài giải 29: Hai hình chữ nhật AMOP và MBQO có chiều rộng bằng nhau và có diện tích hình MBQO gấp 3 lần diện tích hình AMOP (24 : 8 = 3 (lần)), do đó chiều dài hình chữ nhật MBQO gấp 3 lần chiều dài hình chữ nhật AMOP 
(OQ = PO x 3). (1) 
Hai hình chữ nhật POND và OQCN có chiều rộng bằng nhau và có chiều dài hình OQCN gấp 3 lần chiều dài hình POND (1). Do đó diện tích hình OQCN gấp 3 lần diện tích hình POND. 
Vậy diện tích hình chữ nhật OQCD là : 16 x 3 = 48 (cm2). 
Bài giải 30: 
A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004). C có tận cùng là 6 nhân với 2004 nên A có tận cùng là 4 (vì 6 x 4 = 24). 
 B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). Vì 2004 : 4 = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thừa số 2003. Tận cùng của mỗi nhóm là 1 (vì 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). Vậy tận cùng của A + B là 4 + 1 = 5. Do đó A + B chia hết cho 5.
Bài giải 31: 
Cách 1 : A chỉ viết bởi các chữ số 9 nên: 
Vậy A chia cho 45 dư 9. Một số nhỏ nhất mà cộng với A để được số chia hết cho 45 thì số đó cộng với 9 phải bằng 45. 
Vậy số đó là : 45 - 9 = 36. 
Cách 2 : Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cộng vào A là m. Ta có A + m là số chia hết cho 45 hay chia hết cho 5 và 9 (vì 5 x 9 = 45 ; 5 và 9 không cùng chia hết cho một số số nào đó khác 1). Vì A viết bởi các chữ số 9 nên A chia hết cho 9, do đó m chia hết cho 9. A + m chia hết cho 5 khi A + m có tận cùng là 0 hoặc 5 mà A có tận cùng là 9 nên m có tận cùng là 1 hoặc 6. Số nhỏ nhất có tận cùng là 1 hoặc 6 mà chia hết cho 9 là 36. 
Vậy m = 36. 
Bài giải 32: Diện tích hình thang là : 
(3 + 2) x 2 : 2 = 5 (m2) 
Chia hình thang đó thành 5 tam giác có diện tích bằng nhau thì diện tích một tam giác là : 5 : 5 = 1 (m2). Các tam giác này có chiều cao và số đo đáy là số tự nhiên nên nếu chiều cao là 1m thì đáy là 2 m. Nếu chiều cao là 2 m thì đáy là 1 m. Có nhiều cách chia, TTT chỉ nêu một số cách chia sau : 
Bài giải 33: Ta kí hiệu các điểm như hình vẽ sau : 
Nhìn hình vẽ ta thấy : 
CE + GH + KL + MD = CE + EI = CI. 
EG + HK + LM + DA = ID + DA = IA. 
Từ đó chu vi của hình tô màu chính là : 
AB + BC + CE + EG + GH + HK + KL + LM + MD + DA = AB + BC + (CE + GH + KL + MD) + (EG + HK + LM + DA) = AB + BC + CI + IA = AB x 4. 
Vậy chu vi của hình tô màu là : 
10 x 4 = 40 (cm). 
Bài giải 34: Ta chia các ô thành các nhóm 3 ô, mỗi nhóm đánh số thứ tự như sau : 
Tổng các số của mỗi nhóm 3 ô liên tiếp là 428. Như vậy ta thấy các số viết ở ô số 1 là 215, ở ô số 2 là 112, ở ô số 3 là : 
428 - (215 + 112) = 101. 
Ta có băng giấy ghi số như sau : 
Tổng các chữ số của mỗi nhóm 3 ô là : 
2 + 1 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 = 14. 
Có tất cả 4 nhóm 3 ô và một số ở ô số 1 nên tổng các chữ số trên băng giấy là : 14 x 4 + 2 + 1 + 5 = 64. 
Bài giải 35: Hiệu số tuổi của hai anh em là một số không đổi. 
Ta có sơ đồ biểu diễn số tuổi của hai anh em ở các thời điểm : Trước đây (TĐ), hiện nay (HN), sau này (SN) : 
Giá trị một phần là : 
51 : (7 + 10) = 3 (tuổi) 
Tuổi em hiện nay là : 
3 x 4 = 12 (tuổi) 
Tuổi anh hiện nay là : 
3 x 7 = 21 (tuổi) 
Bài giải 36: 
Bảng B có 4 đội thi đấu vòng tròn nên số trận đấu là : 4 x 3 : 2 = 6 (trận) 
Mỗi trận thắng thì đội thắng được 3 điểm đội thua thì được 0 điểm nên tổng số điểm là : 3 + 0 = 3 (điểm). Mỗi trận hòa thì mỗi đội được 1 điểm nên tổng số điểm là : 1 + 1 = 2 (điểm). 
Cách 1 : Giả sử 6 trận đều thắng thì tổng số điểm là : 6 x 3 = 18 (điểm). Số điểm dôi ra là : 18 - 17 = 1 (điểm). Sở dĩ dôi ra 1 điểm là vì một trận thắng hơn một trận hòa là : 3 - 2 = 1 (điểm). Vậy số trận hòa là : 1 : 1 = 1 (trận) 
Cách 2 : Giả sử 6 trận đều hòa thì số điểm ở bảng B là : 6 x 2 = 12 (điểm). Số điểm ở bảng B bị hụt đi : 17 - 12 = 5 (điểm). Sở dĩ bị hụt đi 5 điểm là vì mỗi trận hòa kém mỗi trận thắng là : 3 - 2 = 1 (điểm). Vậy số trận thắng là : 5 : 1 = 5 (trận). Số trận hòa là : 6 - 5 = 1 (trận). 
Bài giải 37: 
So với thùng A thì thùng B có thể chứa được số dầu là : 
1 - 2/5 = 3/5 (thùng A). 
Thùng C có thể chứa được số dầu là : 
1 - 5/9 = 4/9 (thùng A). 
Cả 2 thùng có thể chứa được số dầu nhiều hơn thùng A là : 
(3/5 + 4/9) - 1 = 2/45 (thùng A). 
2/45 số dầu thùng A chính là 4 lít dầu. 
Do đó số dầu ở thùng A là : 
4 : 2/45 = 90 (lít). 
Thùng B có thể chứa được là : 
90 x 3/5 = 54 (lít). 
Thùng C có thể chứa được là : 
90 x 4/9 = 40 (lít). 
Bài giải 38: 
Cách 1 : Tuổi của anh Dương không quá 30, khi nhân với 6 sẽ là số có 3 chữ số. Vậy chữ số hàng trăm của tích là 1. Hai chữ số cuối của số có 3 chữ số chính là tuổi anh. Vậy tuổi anh Dương khi nhân với 6 hơn tuổi anh Dương là 100 tuổi. Ta có sơ đồ : 
Tuổi của anh Dương là : 
100 : (6 - 1) = 20 (tuổi) 
Cách 2 : Gọi tuổi của anh Dương là (a > 0, a, b là chữ số) 
Vì không quá 30 nên khi nhân với 6 sẽ được số có ba chữ số mà chữ số hàng trăm là 1. Ta có phép tính : 
Vậy tuổi của anh Dương là 20. 
Bài giải 39: 
Kết quả thi đấu ở SEA Games 22 đã cho biết : Chị Nguyễn Thị Tĩnh chạy cự li 400 m với thời gian là 51 giây 82. 
Nhận xét : Dụng ý của người ra đề là muốn các bạn giải toán lưu ý đến tính thực tế của đề toán. Đề toán đọc lên cứ như là loại toán về tương quan tỉ lệ thuận. Đa số các bạn đều tưởng như vậy nên đã giải sai, ra đáp số là giây (!). 
Bài giải 40: “Bí mật” của hình vuông là tổng các số hàng ngang, hàng dọc và đường chéo của hình vuông đều bằng 34 (các bạn tự kiểm tra lại). 
Gọi các số cần tìm ở 4 góc của hình vuông là a, b, c, d. ở hàng ngang đầu tiên, ta có : a + 3 + 2 + b = 34, từ đó a + b = 34 - 5 = 29 (1). 
ở cột dọc đầu tiên ta có : a + 5 + 9 + d = 34, từ đó a + d = 34 - 14 = 20 (2). 
Từ (1) và (2) ta có : a + b - (a + d) = 29 - 20 = 9 hay b - d = 9 (3). 
ở một đường chéo, ta lại có : b + 6 + 11 + d = 34, từ đó b + d = 34 - 17 = 17 (4). 
Từ (3) và (4) ta có : (b - d) + (b + d) = 9 + 17 hay b + b = 26 ; b = 13. 
Vì b + d = 17 nên d = 17 - 13 = 4. 
Vì a + b = 29 nên a = 29 - 13 = 16. 
ở đường chéo thứ hai, ta có a + 10 + 7 + c = 34 hay a + c = 34 - 17 = 17. 
Từ đó c = 17 - 16 = 1. Thay a, b, c, d bằng các số vừa tìm được ta có hình vuông sau : 
Nhận xét : Hình vuông trên gọi là hình vuông kì ảo (hoặc ma phương) cấp 4. Người ta đã nhìn thấy nó lần đầu tiên trong bản khắc của họa sĩ Đuy-rơ năm 1514. Các bạn có thể thấy : Tổng bốn số trong bốn ô ở bốn góc cũng bằng 34.
Bài giải 41 : Tổng số ô vuông là : 
8 x 8 = 64 (ô) 
Khi ta cắt hình vuông ban đầu thành các phần nhỏ (hình chữ T), mỗi phần gồm 4 ô vuông thì sẽ được số hình là : 64 : 4 = 16 (hình) 
Ta có thể cắt theo nhiều cách khác nhau. Xin nêu một cách cắt như sau :
Bài giải 42: Vì tổng các số ở hàng ngang, cột dọc, đường chéo đều bằng nhau nên ta có :
a + 35 + b = a + 9 + d hay 26 + b = d (cùng trừ 2 vế đi a và 9). Do đó d - b = 26. b + g + d = 35 + g + 13 hay b + d = 48. Vậy b = (48 - 26 ) : 2 = 11, d = 48 - 11 = 37. d + 13 + c = d + 9 + a hay 4 + c = a (cùng trừ 2 vế đi d và 9). Do đó a - c = 4, a + g + c = 9 + g +39 hay a + c = 9 + 39 (cùng trừ 2 vế đi g), do đó a + c = 48. Vậy c = (48 - 4) : 2 = 22, a = 22 + 4 = 26. 35 + g + 13 = a + 35 + b = 26 + 35 + 11 = 72. Do đó 48 + g = 72 ; g = 72 - 48 = 24. Thay a = 26, b = 11, c = 22, d =37 , g = 24 vào hình vẽ ta có :
Bài giải 43: Để số chữ số bằng đúng 2 lần số trang quyển sách thì trung bình mỗi trang phải dùng hai chữ số. Từ trang 1 đến trang 9 có 9 trang gồm một chữ số, nên còn thiếu 9 chữ số. Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, mỗi trang đủ hai chữ số. Từ trang 100 trở đi mỗi trang có 3 chữ số, mỗi trang thừa một chữ số, nên phải có 9 trang để “bù” đủ cho 9 trang gồm một chữ số. 
Vậy quyển sách có số trang là :
9 + 90 + 9 = 108 (trang).
Bài giải 44:
Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là :
28 : 2 = 14 (m).
Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB.
Nửa chu vi hình AMND là AD + AM.
Do đó : MB = AB - AM = 14 (m).
Chiều rộng BC của hình ABCD là :
224 : 14 = 16 (m)
Chiều dài AB của hình ABCD là :
16 + 14 = 30 (m)
Diện tích hình ABCD là :
30 x 16 = 480 (m2).
Bài giải 45: Cách 1 : Số người biết ít nhất 1 trong 2 thứ tiếng Nga và Anh là : 
100 - 10 = 90 (người).
Số người chỉ biết tiếng Anh là :
90 - 75 = 15 (người)
Số người biết cả tiếng Nga và tiếng Anh là :
83 - 15 = 68 (người)
Cách 2 : Số người biết ít nhất một trong 2 thứ tiếng là : 
100 - 10 = 90 (người). 
Số người chỉ biết tiếng Nga là :
90 - 83 = 7 (người). 
Số người chỉ biết tiếng Anh là :
90 - 75 = 15 (người). 
Số người biết cả 2 thứ tiếng Nga và Anh là :
90 - (7 + 15) = 68 (người)
Giải 46: Chỉ cần các bạn biết được tính chất: Mọi đường thẳng đi qua tâm của hình chữ nhật để chia hình chữ nhật thành hai hình có diện tích bằng nhau.
Có thể chia được bằng nhiều cách:
Bài giải 47: 
Theo đề bài : 4 x 396 x 0,25 : (x + 0,75) = 1,32 ; vì 4 x 0,25 = 1 nên ta có :
396 : (x + 0,75) = 1,32 hay x + 0,75 = 396 : 1,32 = 300.
Khi x giảm đi 297 đơn vị thì tổng x + 0,75 cũng giảm đi 297 đơn vị, tức là x + 0,75 = 300 - 297 = 3 hay x = 3 - 0,75 = 2,25. Trong đẳng thức x + 0,75 = 396 : 1,32 ; để x = 2,25 thì phải thêm dấu phẩy vào số 396 để có số 3,96.
Như vậy cần đặt thêm dấu phẩy vào giữa chữ số 3 và 9 của số 396 để x giảm đi 297 đơn vị. Các bạn có thể thử lại.
Bài giải 48: Bài toán chỉ có bốn cách điền như sau :
2 x 78 = 156 = 39 x 4
4 x 39 = 156 = 78 x 2
3 x 58 = 174 = 29 x 6
6 x 29 = 174 = 58 x 3
Bài giải 49: Phân số chỉ số tuổi còn lại sau thời niên thiếu của ông là : 1- 1/5 = 1/4 (số tuổi ông)
Thời sinh viên của ông có số năm là :
4/5 x 1/8 = 1/10 (số tuổi ông)
Số năm còn lại sau thời sinh viên của ông là : 4/5 - 1/10 = 7/10 (số tuổi ông) Số năm học ở trường quân đội của ông là : 7/10 x 1/7 = 1/10 (số tuổi ông)
Do đó: 7 năm rèn luyện của ông là : 1 - (1/5 + 1/10 + 1/10 + 1/2) = 1/10 (số tuổi ông) Suy ra số tuổi của ông là : 7: 1/10 = 70 (tuổi).
Bài giải 50: Chia miếng bìa ABCD thành các ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh là 5 cm. Số ô vuông của miếng bìa đó là : 8 x 6 = 48 (ô vuông).
Số ô vuông của hình chữ nhật MNPQ là : 6 x 4 = 24 (ô vuông)
Vì 48 : 24 = 2 (lần) nên hình chữ nhật MNPQ có diện tích đúng bằng diện tích hình cắt đi. Mặt khác các cạnh của hình chữ nhật MNPQ song song và cách đều các cạnh tương ứng của miếng bìa ABCD. Vì vậy hình MNPQ đúng là hình chữ nhật bị cắt đi. Mỗi cặp cạnh tương ứng của hình ABCD và MNPQ cách nhau 5 cm.