Bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 2: Các bài toán về dãy số

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 CHUYấN ĐỀ 2: 
CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
I. MỤC TIấU: 
- Nắm vững kiến thức về dóy số.
- Phỏt triển trớ thụng minh và tớnh tự học ở HS.
- Biết và thực hiện được cỏc dạng toỏn sau: 
Dạng 1: Viết thêm số hạng vào trước, sau hoặc giữa một dãy số
Dạng 2 : Kiểm tra một số cho trước có phù hợp với dãy số đã cho hay không ?
Dạng 3: Tìm số số hạng của dãy số.
Dạng 4: Các bài toán tính tổng các số hạng của dãy số.
Dạng 5: Các bài toán về dãy chữ
II. CHUẨN BỊ
Cõu hỏi và bài tập thuộc dạng sẽ học.
Cỏc kiến thức cú liờn quan.
II. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trũ
Dạng 1: Viết thêm số hạng vào sau, vào trước, hoặc vào giữa một dãy số.
 GV hướng dẫn HS hiểu, biết và vận dụng được cỏc kiến thức cần nhớ là: cần xỏc định được quy luật của dóy số. 
 Cỏc quy luật thường là:
Bài 1. Viết tiếp ba số hạng vào dóy số sau :
a) 1; 3; 4; 7; 11; 18; ...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22; ...
c) 0 ; 3; 7; 12; ...
d) 1; 2; 6; 24; ...
Bài 2 : Tỡm số hạng đầu tiờn của cỏc dóy số sau :
a).....; 17; 19; 21.
b)......: 64; 81; 100.
Biết rằng mỗi dóy cú 10 số hạng.
Bài 3 : Tỡm số hạng thứ 50 của dóy số sau:
a) 1; 4; 7; 10; 
b) ...; 390; 395; 400 (biết dóy số cú 80 số)
Bài 4: Hãy viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau : 
3, 5, 8, 13, 21, ; 
 b. 1, 5, 8, 75,; 
 c. 0, 3, 7, 12, ;
Bài 5 Viết thêm 2 số hạng vào mỗi dãy số sau:
105, 108, 111, 114, 117, ; 
1, 2, 3, 5, 8, 13, ; 
1, 2, 3, 6, 12, 24, ; 
Bài 6a) Điền số vào ụ trống sao cho tổng ba ụ liờn tiếp đều bằng 1996 
496
996
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bài 6b) Điền số vào ụ trống sao cho tớch ba ụ liờn tiếp bằng 2000 
50
2
Bài 7 : Lỳc 7 giờ sỏng, Một người xuất phỏt từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ trưa người đú dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, sau đú lại đi tiếp và 3 giờ chiều thỡ về đến B. Do ngược giú, cho nen tốc độ của người đú sau mỗi giờ lại giảm đi 2 km. Tỡm tốc độ của người đú khi xuất phỏt, biết rằng tốc đọ đi trong tiếng cuối quóng đường là 10 km/ giờ.
Dạng 2 : Kiểm tra một số cho trước có phù hợp với dãy số đã cho hay không ?
Cỏch giải:
- Xỏc định quy luật của dóy.
- Kiểm tra số a cú thoả món quy luật đú hay khụng.
Bài 1: Hóy cho biết:
a) Cỏc số 50 và 133 cú thuộc dóy 90; 95; 100;...hay khụng ?
b) Số 1996 thuộc dóy 2;5;8;11;... hay khụng ?
c) Số nào trong cỏc số 666; 1000; 9999 thuộc dóy 3; 6; 12; 24;... hay khụng ?
Giải thớch tại sao ?
 Bài 2 Xác định các số tự nhiên sau có thuộc dãy số đã cho hay không ?
a. Số 15, 124 có thuộc dãy số 45, 48, 51, 54.
b. Số 1000, 729, 1110 có thuộc dãy số 3, 6, 12, 
c. Số 2193 có thuộc dãy số 27, 36, 45, 54, 63, ...?
Dạng 3: 
Loại 1: Tìm số số hạng của dãy số.
Kiến thức cần giỳp HS nắm vững và học thuộc cụng thức, lưu ý HS trỏnh lẫn lộn giữa hai cụng thức này.
Bài 1 . Trong cỏc số cú ba chữ số, cú bao nhiờu số chia hết cho 4?
Bài 2. Cho dóy số 11; 14; 17;.....;65; 68.
a) Hóy xỏc định dóy số trờn cú bao nhiờu số hạng?
b) Nếu ta tiếp tục kộo dài cỏc số hạng của dóy số đú thỡ số hạng thứ 1996 là số mấy?
Bài 3. Trong cỏc số cú ba chữ số.
Cú bao nhiờu số chẵn chia hết cho 9?
Cú bao nhiờu số chia hết cho 4 dư 1?
Bài 4: 
 Viết cỏc số lẻ liờn tiếp từ 211. Số cuối cựng là 971. Hỏi viết được bao nhiờu số ?
Bài 5: 
a) Cú bao nhiờu số cú ba chữ số bộ hơn 500 mà chia hết cho 4?
b) Cú bao nhiờu số: cú 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? Dư 2 ?
Bài 6: Viết cỏc số lẻ liờn tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thỡ viết đến số nào?
Bài 7: Một quyển sỏch coc 435 chữ số. Hỏi quyển sỏch đú cú bao nhiờu trang?
Loại 2 : Tỡm số hạng thứ n
Giỳp cho HS hiểu và biết cỏch vận dụng cỏc cụng thức
Bài 1: Cho dóy số : 1, 3, 5, 7, ... 
	Hỏi số hạng thứ 20 của dóy là số nào?
Bài 2: Viết 20 số lẻ, số cuối cựng là 2001. Số đầu tiờn là số nào?
Dạng 4: Các bài toán tính tổng các số hạng của dãy số.
Kiến thức cần giỳp HS nắm vững và học thuộc cụng thức, sau đú GV gợi ý cho HS vận dụng cụng thức trong quỏ trỡnh giải bài tập.
Bài 1 . 
a) Tớnh tổng của 100 số lẻ đầu tiờn .
b) Viết cỏc số chẵn liờn tiếp: 	2, 4, 6, 8, . . . , 2000
 Tớnh tổng của dóy số trờn
Bài 2: Cho dóy số 2, 4, 6, 8, ..., 2006.
a) Dóy này cú bao nhiờu số hạng? Số hạng thứ 190 là số hạng nào?
b) Chữ số thứ 100 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số nào?
Bài 3: Cho dóy số 11, 13, 15, ..., 175.
a) Tớnh số chữ số đó dựng để viết tất cả cỏc số hạng của dóy số đó cho. Chữ số thứ 136 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số nào?
b) Tớnh tổng cỏc số hạng của dóy số đó cho.
Bài 4: Cho dóy số 4, 8, 12, 16, ...
a) Xột xem cỏc số 2002 và 2008 cú thuộc dóy số đó cho khụng? Nếu nú thuộc thỡ cho biết số thứ tự trong dóy của nú. 
b) Chữ số thứ 74 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số nào?
Bài 5: Cho dóy số 1, 3, 5, 7, ..., 2009. 
a) Dóy này cú bao nhiờu số hạng? Số hạng thứ 230 là số hạng nào?
b) Chữ số thứ 100 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số nào?
Bài 6 
 Cho dóy số 101, 102, 103, , 1000, 1001, ..., 2005
a) Dóy này cú bao nhiờu số hạng? Số hạng thứ 75 là số hạng nào?
b) Tớnh số chữ số đó dựng để viết tất cả cỏc số hạng của dóy số đó cho. Chữ số thứ 116 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số nào?
Bài 7 Tỡm hiệu của:
Hai số lẻ mà giữa chỳng cú 100 số chẵn.
Hai số lẻ mà giữa chỳng cú 100 số lẻ 
Bài 8 Khi đỏnh số thứ tự cỏc dóy nhà trờn một đường phố, người ta sử dụng cỏc số lẻ liờn tiếp 1; 3; 5; ... để đỏnh số dóy thứ nhất, cỏc số chẵn liờn tiếp để đỏnh số dóy thứ hai. Hỏi nhà cuối cựng trong dóy chẵn của đường phố đú là số nào? Biết rằng khi đỏnh số dóy này, người ta đó dựng 769 lượt chữ số cả thảy.
 Dạng 5: các bài toán về dãy chữ
Bài 1. Một người viết liờn tiếp TOQUOCVIETNAM thành dóy liờn tiếp TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM Hỏi:
a) Chữ cỏi thứ 2007 trong dóy là chữ gỡ?
b) Nếu trong dóy cú 50 chữ T thỡ dóy đú cú bao nhiờu chữ O, bao nhiờu chữ I?
c) Cú một người đếm được trong dóy cú 2007 chữ O. Hỏi đếm đỳng hay sai? Vỡ sao?
d) Người ta tụ màu cỏc chữ cỏi trong dóy theo thứ tự xanh, đỏ, tớm, vàng, xanh, đỏ, tớm, vàng,  Hỏi chữ cỏi thứ 2007 trong dóy được tụ màu gỡ?
Bài 2. Một bạn viết liờn tiếp EMHOCTOAN thành dóy liờn tiếp EMHOCTOANEMHOCTOAN...
a) Chữ cỏi thứ 1890 là chữ gỡ?
b) Nếu trong dóy cú 1911 chữ M thỡ cú O?
c) Đếm được 1969 chữ O. Đếm đỳng hay sai?
Bài 3 Viết liờn tiếp cỏc chữ cỏi A, N, L, Ư, U thành dóy AN LƯU, AN LƯU, ... Chữ cỏi thứ 1998 là chữ cỏi gỡ?
Bài 4. Một người viết liờn tiếp nhúm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dóy liờn tiếp CHAMHOCCHAMLAM CHAMHOCCHAMLAM  Hỏi:
a) Chữ cỏi thứ 1000 trong dóy là chữ gỡ?
b) Nếu trong dóy cú 1200 chữ H thỡ dóy đú cú bao nhiờu chữ A?
c) Một người đếm được trong dóy cú 1996 chữ C. Hỏi đếm đỳng hay sai? Vỡ sao?
d) Người ta tụ màu cỏc chữ cỏi trong dóy theo thứ tự xanh, đỏ, tớm, vàng, nõu, xanh, đỏ, tớm, vàng, nõu,  Hỏi chữ cỏi thứ 2007 trong dóy được tụ màu gỡ?
Bài 5. Một người viết liên tiếp nhóm chữ: SAMSONTHANHHOA tạo thành dãy liên tiếp.
a. Hỏi chữ cái thứ 2003 trong dãy đó là chữ gì?
b. Một người đếm trong dãy được tất cả 2001 chữ A. Hỏi dãy đó có bao nhiêu chữ S, bao nhiêu chữ H, bao nhiêu chữ T?
c. Một người đếm trong dãy được 2003 chữ H cả thảy. Hỏi người đó đếm đúng hay sai ? Tại sao ?
d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy lần lượt theo thứ tự xanh- đỏ- tím- vàng- nâu. Hỏi chữ cái thứ 2003 tô màu gì?
Bài 6 Viết liờn tiếp cỏc chữ cỏi A, N, H, E, M thành dóy ANH EM, ANH EM, ... Chữ cỏi thứ 2011 là chữ cỏi gỡ?
1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nú (cộng hoặc trừ) (nhõn hoặc chia) với một số tự nhiờn.
2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng (hoặc tớch) của hai (hoặc ba) số hạng đứng liền trước nú.
3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng:
a) Số hạng đứng liền trước nú cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đú rồi cộng với một số tự nhiờn.
b) Số hạng đứng liền trước nú nhõn với một số tự nhiờn rồi nhõn với số chỉ thứ tự của số hạng đú.
c) Số hạng đứng liền trước nú nhõn với số chỉ thứ tự của số hạng đú.
4. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đú nhõn với số liền sau của số thứ tự.
Bài 1 a) Nhận xột :
4 = 3 + 1; 7 = 3 + 4; 11 = 4 + 7;....
Từ đú rỳt ra quy luật của dóy số đú là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nú. Viết tiếp ba số hạng, ta được dóy số sau:
1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47; 76;...
b) Tương tự phần a, ta tỡm ra quy luật của dóy số là: Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ tư ) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nú. Viết tiếp ba số hạng, ta được dóy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;.....
c) Ta nhận xột :
Số hạng thứ hai là : 3 = 0 + 1 + 2
Số hạng thứ ba là : 7 = 3 + 1 + 3
Số hạng thứ tư là : 12 = 7 + 1 + 4......
Từ đú rỳt ra quy luật của dóy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trước nú cộng với số chỉ TT của số hạng đú rồi cộng với 1. Viết tiếp ba số hạng ta được dóy số sau : 0 ; 3; 7; 12;18; 25; 33;...
d) Ta nhận xột :
Số hạng thứ hai là: 2 = 1 2
Số hạng thứ ba là : 6 = 2 3
Số hạng thứ tư là : 24 = 6 4
.....
Từ đú rỳt ra quy luật của dóy số là : Mỗi số hạng ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng tớch của số hạng đứng liền trước nú nhõn với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dóy số sau : 1; 2; 6; 24;120; 720; 5040;....
Bài 2 : a) Ta nhận xột :
Số hạng thứ mười là 21 = 2 10 + 1
Số hạng thứ chớn là 19 = 2 9 + 1
Số hạng thứ tỏm là 17 = 2 8 + 1
......
Từ đú suy ra quy luật của dóy số trờn là : Mỗi số hạng của dóy bằng 2 nhõn với số thứ tự của số hạng trong dóy rồi cộng với 1.
Vậy số hạng đầu tiờn của dóy là: 2 1 + 1 = 3.
b) Tương tự như trờn ta rỳt ra quy luật của dóy là : Mỗi số hạng của dóy bằng số thứ tự nhõn với STT của số hạng đú.
Vậy số hạng đầu tiờn của dóy là: 1 1 = 1.
Bài 3 : a) Nhận xột:
4 = (2 – 1) x 3 + 1
7 = (3 - 1) x 3 + 1
10 = (4 – 1) x 3 + 1
Quy luật: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số chỉ thứ tự của số hạng đú trừ đi 1 rồi nhõn với 3 rồi cộng với 1.
Vậy số hạng thứ 50 = (50 – 1) x 3 + 1 = 148
b) Quy luật: Mỗi số hạng = STT x 5
Vậy số hạng thứ 50 = 50 x 5 = 250
(Cho HS làm bài 4 và bài 5)
Bài 6a
- Theo đề: 496 + ụ 7 + ụ 8 = 1996
 ễ 7 + ụ 8 + ụ 9 = 1996
 Vậy ụ 9 = 496 
 Và ụ 8 = 1996 – (996 + 496) = 504
Suy ngược: ụ 6 = ụ 3 = ụ 9 = 496
 ụ 8 = ụ 5 = ụ 2 = 504
 ụ 10 = ụ 7 = ụ 4 = ụ 1 = 996 
- Ta điền số vừa tỡm được vào ụ trống.
(Cho HS làm Bài 6b) 
7 Thời gian người đú đi trờn đường là :
	(11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ)
	Ta nhận xột :
	Tốc độ người đú đi trong tiếng thứ 7 là :
	10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0
	Tốc độ người đú đi trong tiếng thứ 6 là :
	12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1
	Tốc độ người đú đi trong tiếng thứ 5 là :
	14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2
	. . .
	Từ đú rỳt ra tốc độ người đú lỳc xuất phỏt (trong tiếng thứ nhất) là :
	10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)
Bài 1:
a) Cả hai số 50 và 133 đều khụng thuộc dóy đó cho, vỡ :
- Cỏc số hạng của dóy đều lớn hơn 50.
- Cỏc số hạng đó cho đều chia hết cho 5 mà 133 khụng chia hết cho 5.
b) Số 1996 khụng thuộc dóy đó cho, vỡ mọi số hạng của dóy khi chia cho 3 đều dư 2 mà 1996 chia cho 3 thỡ dư 1.
c) Cả 3 số 666; 1000 và 9999 đều khụng thuộc dóy đó cho, vỡ :
- Mỗi số hạng của dóy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nhõn với 2. Cho nờn cỏc số hạng ( kể từ số hạng thứ ba ) cú số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
- Cỏc số hạng đều chia hết cho 3 mà 1000 khụng chia hết cho 3.
- Cỏc số hạng của dóy ( kể từ số hạng thứ hai ) đều chẵn mà 9999 là số lẻ. 
Bài 2. Cho HS tự làm.
Nhận xột: Cỏc dóy số đó cho đều chia hết cho 3 (tổng cỏc chữ số chia hết cho 3). Vậy số nào chia hết cho 3 thỡ thuộc dóy số. Số nào khụng chia hết cho 3 thỡ khụng thuộc dóy số đó cho.
- Đối với dạng toỏn này, ta thường sử dụng phương phỏp giải toỏn trồng cõy: 
 Số số hạng của dóy = Số khoảng cỏch + 1.
- Đặc biệt, nếu quy luật của dóy số là : Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng liền trước nú cộng với một stn d thỡ: 
Số SH của dóy = (SH cuối – SH đầu) : d + 1.
Bài 1
Ta nhận xột : Số nhỏ nhất cú ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất cú ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy cỏc số cú ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dóy số cú số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dóy (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước cộng với 4.
Vậy số cú ba chữ số chia hết cho 4 là :
( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )
Bài 2.
a) Ta cú : 14- 11= 3; 17 – 14 = 3;....
Vậy quy luật của dóy số đú là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền trước cộng với 3. Số hạng đầu là 11, số hạng cuối là 68. Vậy số số hạng của dóy số đú là:
( 68 – 11 ) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
b) Ta nhận xột :
Số hạng thứ hai : 14 = 11 + 3 = 11 + ( 2-1 ) 3
Số hạng thứ ba : 17 = 11 + 6 = 11 + ( 3-1 ) 3
Số hạng thứ hai : 20 = 11 +9 = 11 + ( 4-1 ) 3
Vậy SH thứ 1996 là : 11 + ( 1996-1 )x 3 = 5996
Bài 3.
a) Cỏc số chẵn cú ba chữ số chia hết cho 9 lập thành dóy số cỏch đều với khoảng cỏch giữa hai số liền nhau là 18, cú số hạng đầu là 108, cú số hạng cuối là 990. 
Số cỏc số chẵn cú ba chữ số chia hết cho 9 là: 
 (990 – 108) : 18 + 1 = 50 (số)
b) Tương tự, cỏc số cú ba chữ số chia hết cho 4 dư 1 lập thành dóy số cỏch đều với khoảng cỏch là 4, cú số hạng đầu là 101, số hạng cuối là 997. 
Số cỏc số cú ba chữ số chia cho 4 dư 1 là:
 (997 – 101) : 4 + 1 = 225 (số)
 4: Hai số lẻ liờn tiếp hơn kộm nhau 2 đơn vị 
Số cuối hơn số đầu số đơn vị là :
	971 – 211 = 760 (đơn vị)
760 đơn vị cú số khoảng cỏch là :
	760 : 2 = 380 (khoảng cỏch)
Dóy số trờn cú số số hạng là :
	380 +1 = 381 (số)
	Đỏp số :381 số hạng
(Cho HS tự làm bài 5)
 6: Từ 87 đến 99 cú cỏc số lẻ là :
	(99 – 87) : 2 + 1 = 7 (số)
Để viết 7 số lẻ cần : 2 x 7 = 14 (chữ số)
Cú 450 số lẻ cú 3 chữ số nờn cần :
	3 x 450 = 1350 (chữ số)
Số chữ số dựng để viết cỏc số lẻ cú 4 chữ số là :
	3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số)
Viết được cỏc số cú 4 chữ số là : 
 1792 : 4 = 448 (số)
	Viết đến số : 999 + (448 – 1) x 2 = 1893
7. Để đỏnh số trang sỏch người ta bắt đầu đỏnh tữ trang số 1. Ta thấy để đỏnh số trang cú 1 chữ số người ta đỏnh mất 9 số và mất: 1 x 9 = 9 (chữ số)
Số trang sỏch cú 2 chữ số là 90 nờn để đỏnh 90 trang này mất : 2 x 90 = 180 (chữ số)
Đỏnh quyển sỏch cú 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang cú 3 chữ số. Số chữ số để đỏnh số trang sỏch cú 3 chữ số là: 
	435 – 9 – 180 = 246 (chữ số)
246 chữ số thỡ đỏnh được số trang cú 3 chữ số là : 
	246 : 3 = 82 (trang)
	Quyển sỏch đú cú số trang là :
	9 + 90 + 82 = 181 (trang)
a, Cuối dóy : n = Số đầu + khoảng cỏch x (n – 1)
b, Đầu dóy : n = Số cuối – khoảng cỏch x (n – 1) 
1. Dóy đó cho là dóy số lẻ nờn cỏc số liờn tiếp trong dóy cỏch nhau 1 khoảng cỏch là 2 đơn vị.
	20 số hạng thỡ cú số khoảng cỏch là :
	20 – 1 = 19 (khoảng cỏch)
	19 số cú số đơn vị là :
	19 x 2 = 38 (đơn vị)
	Số cuối cựng là :
	1 + 38 = 39
	Đỏp số : Số hạng thứ 20 của dóy là 39
2: Hai số lẻ liờn tiếp hơn kộm nhau 2 đơn vị
	20 số lẻ cú số khoảng cỏch là :
	20 – 1 = 19 (khoảng cỏch)
	19 khoảng cỏch cú số đơn vị là :
	19 x 2 = 38 (đơn vị)
	Số đầu tiờn là :
	2001 – 38 = 1963
	Đỏp số : số đầu tiờn là 1963.
Nếu dóy số là dóy số cỏch đều thỡ cỏc tổng của hai số hạng cỏch đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau. Vỡ vậy: Tổng cỏc số hạng của dóy số bằng số hạng đầu (a1) cộng số hạng cuối (an) nhõn với số số hạng (n) rồi chia cho 2.
 S = (a1 + an) x n : 2
Bài 1
a) Dóy 100 số lẻ đầu tiờn là : 1; 3; 5; ........; 97; 99. Vậy ta phải tỡm tổng: 1 + 3 + 5 + ... + 199 
Vậy tổng là : (1 + 199) 100 : 2 = 10000
b) Dóy số trờn 2 số chẵn liờn tiếp hơn kộm nhau 2 đơn vị.
	Dóy số trờn cú số số hạng là :
	(2000 – 2) : 2 + 1 = 1000 (số)
	1000 số cú số cặp số là :
	1000 : 2 = 500 (cặp)
	Tổng 1 cặp là :
	2 + 2000 = 2002
	Tổng của dóy số là :
	2002 x 500 = 100100.
 2: 
a) Số cỏc số hạng: (2006 – 2) : 2 + 1 = 1003.
Số hạng thứ 190 là: (190 – 1) ´ 2 + 2 = 380 b) Dóy số 2, 4, 6, , 98 cú 
 4 + [(98 – 10) : 2 + 1] ´ 2 = 94 chữ số.
Vỡ 94 < 100 nờn chữ số thứ 100 phải nằm trong dóy số 100, 102, 104, , 998. 
Chữ số thứ 100 được dựng để viết dóy số đó cho là chữ số thứ 100 – 94 = 6 của dóy số 100, 102, 104, , 998. Vậy chữ số thứ 100 là chữ số 2. 
3: 
a) Dóy số 11, 13, , 99 cú 
[(99 – 11) : 2 + 1] ´ 2 = 90 chữ số. 
Dóy số 101, 103, , 175 cú 
[(175 – 101) : 2 + 1] x 3 = 114 chữ số. 
Số cỏc chữ số đó sử dụng trong dóy đó cho là: 
90 + 114 = 204 (chữ số)
+ Vỡ 204 > 136 > 90 nờn chữ số thứ 136 phải nằm trong dóy số 101, 103, ,175. Chữ số thứ 136 của dóy số 11, 13, 15,..., 175 là chữ số thứ 136 – 90 = 46 của dóy số 101, 103, , 175.
+ Ta cú: 46 : 3 = 15 (dư 1).
+ Tỡm được số hạng thứ 16 của dóy số 101, 103, , 175 là 131.
Vậy chữ số thứ 136 của dóy đó cho là 1. 
b) Số số hạng của dóy số đó cho là 45 + 38 = 83.
Vậy suy ra:11 + 13 + 15 +  + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719 
4. 
a) Đặc điểm của dóy số đó cho là cỏc số hạng của dóy đều chia hết cho 4. Số 2002 khụng chia hết cho 4 nờn khụng thuộc dóy số đó cho. Số 2008 chia hết cho 4 nờn thuộc dóy số đó cho.
Số thứ tự trong dóy của số 2008 là 
 (2008 – 4) : 4 + 1 = 502. 
b) Trong dóy 12, 16, 20, , 96 cú
[(96 – 12) : 4 + 1] ì 2 = 44 chữ số. 
Vậy chữ số thứ 74 của dóy số đó cho là chữ số thứ 74 – 2 – 22 ì 2 = 28 của dóy số 100, 104, 108, 
Ta cú 28 : 4 = 7 nờn chữ số thứ 28 của dóy số 100, 104, 108,  là chữ số cuối cựng của số hạng thứ 7 của dóy số 100, 104, 108,  Chữ số cần tỡm là 4. 
5: 
a) Số cỏc số hạng: (2009 – 1) : 2 + 1 = 1005.
Số hạng thứ 230 là: (230 – 1) ´ 2 + 1 = 459 
b) Chữ số thứ 100 là chữ số 0. 
6.
 a) Số số hạng là (2005 – 101) : 1 + 1 = 1905.
Số hạng thứ 75 là (75 – 1) ì 1 + 101 = 175. 
b) Số chữ số là 899 ì 3 + 1006 ì 4 = 8721.
Vỡ cú: 116 < 899 ´ 3 nờn chữ số thứ 116 thuộc dóy số 101, 102, 999.
Ta oú 116 : 3 = 38 (dư 2) nờn chữ số thứ 116 là chữ số thứ 2 của số hạng thứ 39 của dóy số đó cho. Số hạng thứ 39 là (39 – 1) ´ 1 + 101 = 139. Vậy chữ số cần tỡm là chữ số 3. 
7 
a) Hai số lẻ mà giữa chỳng cú một số chẵn cú hiệu là: 1 x 2 = 2
Hai số lẻ mà giữa chỳng cú hai số chẵn cú hiệu là: 2 x 2 = 4
 ................
Hai số lẻ mà giữa chỳng cú 100 số chẵn cú hiệu là: 100 x 2 = 200
b) Hai số lẻ mà giữa chỳng cú 100 số lẻ cú hiệu là: (100 + 1) x 2 = 202
8. 
 Số lượt chữ số dựng để ghi số nhà chẵn cú một chữ số là 4.
 Số lượt chữ số dựng để ghi số nhà chẵn cú hai chữ số là 45 x 2 = 90 (số)
 Số lượt chữ số dựng để ghi số nhà chẵn cú ba chữ số là 769 – (90 + 4) = 675 (số)
Số căn nhà chẵn mang số cú ba chữ số là:
675 : 3 = 225 (căn nhà)
Số nhà cuối cựng của dóy chẵn là:
100 + (225 – 1) x 2 = 548 
1 a) Nhúm chữ TOQUOCVIETNAM cú 13 chữ cỏi. Ta cú: 2007 : 13 = 154 (dư 5)
 Như vậy chữ cỏi thứ 2007 trong dóy là chữ thứ năm của nhúm chữ thứ 155. Chữ đú là chữ O.
b) Mỗi nhúm chữ này cú 2 chữ T và cũng cú 2 chữ O và 1 chữ I.Vỡ vậy, nếu người ta đếm được 50 chữ T thỡ trong dóy đú cũng cú 50 chữ O và 25 chữ I.
c) Đếm sai, vỡ chữ O trong dóy phải là số chẵn.
d) Ta gọi mỗi nhúm chữ liền nhau trong dóy được tụ màu: xanh, đỏ, tớm, vàng là một nhúm màu. Ta cú: 2007 : 4 = 501 (dư 3)
Vậy chữ cỏi thứ 2007 trong dóy là chữ thứ 3 của nhúm màu thứ 502. Chữ đú được tụ màu tớm.
2. Nhúm này cú 9 chữ cỏi. Ta cú: 1890:9 = 210
a) Vậy chữ cỏi thứ 1890 là chữ N.
b) Nhúm cú 1 chữ M, 2 chữ O. Vậy cú 1911 chữ M, thỡ chữ O cú: 1911 x 2 = 3822 (chữ)
c) Nhúm cú 2 chữ O, số chẵn. Mà 1969 là số lẻ. Nờn đếm sai. 
3 Để viết 1 nhúm AN LƯU người ta phải viết 5 chữ cỏi A, N, L, Ư, U. Nếu xếp 5 chữ cỏi ấy vào 1 nhúm ta cú : 
	Chia cho 5 khụng dư là chữ cỏi U
	Chia cho 5 dư 1 là chữ cỏi A
	Chia cho 5 dư 2 là chữ cỏi N
	Chia cho 5 dư 3 là chữ cỏi L
	Chia cho 5 dư 4 là chữ cỏi Ư
Mà : 1998 : 5 = 339 (nhúm) dư 3
	Vậy chữ cỏi thứ 1998 là chữ cỏi L của nhúm thứ 400
(Cho HS tự làm thờm bài 4, 5, 6)