Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán khối 5

Chương I: LÝ LUẬN CHUNG 
§1. Phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán 
1) Biểu hiện của học sinh có năng khiếu 
 - Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với các 
thay đổi các điều kiện. 
 Vd: “Xếp 5 hình vuông bằng 6 que diêm?” 
 “ Xếp 3 hình tam giác bằng 7 que diêm?” 
 “ Xếp 8 hình tam giác bằng 6 que diêm?” 
 “ Xếp 10 hình tam giác bằng 5 que diêm?” 
 - Có khả năng chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể và từ cụ thể sang trừu 
tượng khái quát 
 Vd: Cho dãy số 5, 8, 11, 14 ... 
 Tính số hạng thứ 2007 của dãy số? 
 + Số hạng thứ hai : 5 + 1 × 3 
 + Số hạng thứ ba : 5 + 2 × 3 
 + Số hạng thứ tư : 5 + 3 × 3 
 + Số hạng thứ năm: 5 + 4 × 3 
 ..................................... 
 Hãy so sánh mỗi số hạng với số hạng đầu và khoảng cách của dãy số để tìm ra 
quy luật? 
 - Có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các dữ kiện theo cả hai hướng xuôi và 
ngược lại. 
 Vd: 
 + Sự phụ thuộc của tổng các giá trị của các số hạng có thể xác định phụ thuộc của 
các số hạng vào sự biến đổi của tổng. 
 abc = 20 × (a + b + c) 
 80 × a = 10 × b + 19 × c Þ 19 × c M 10 Þ c = 0 
 Þ a = 1; b = 8 
 + Điều kiện một số chia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 và ngược lại? 
 - Thích tìm lời giải một bài toán theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đề dưới 
nhiều khía cạnh khác nhau. 
 Vd: 
 Nói chung tích của 2 số tự nhiên là một số lớn hơn mỗi thừa số của nó. Đặt vấn đề 
tìm các thí dụ phủ định kết luận trên. 
 - Có sự quan sát tinh tế nhanh chóng phát hiện ra các dấu hiệu chung và riêng, nhanh 
chóng phát hiện ra những chỗ nút làm cho việc giải quyết vấn đề phát triển theo hướng 
hợp lý hơn độc đáo hơn. 
 - Có trí tưởng tượng hình học một cách phát triển. Các em có khả năng hình dung ra 
các biến đổi hình để có hình cùng cùng diện tích, thể tích. 
 - Có khả năng suy luận có căn cứ, rõ ràng. Có óc tò mò, không muốn dừng lại ở 
việc làm theo mẫu, hoặc những cái có sẵn, hay những gì còn vướng mắc, hoài nghi. 
Luôn có ý thức tự kiểm tra lại việc mình đã làm. 
 www.vnmath.com 
 2
2) Biện pháp sư phạm: 
 - Thường xuyên củng cố các kiến thức vững chắc cho học sinh và hướng dẫn các 
em đào sâu các kiến thức đã học thông qua các gợi ý hay các câu hỏi hướng dẫn đi sâu 
vào kiến thức trọng tâm bài học: Yêu cầu học sinh tự tìm các ví dụ minh họa, các phản 
ví dụ dễ (nếu có), các thí dụ cụ thể hóa các tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận 
dụng và thực hành, kiểm tra các kiến thức tiếp thu, các bài tập đã làm của học sinh. 
 - Tăng cường một số bài tập khó hơn trình độ chung trong đó đòi hỏi vận dụng 
sâu các khái niệm đã học hoặc vận dụng các cách giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn 
hoặc phương pháp tổng hợp. 
 - Yêu cầu học sinh giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau nếu có thể. Phân 
tích so sánh tìm ra cách giải hay nhất, hợp lý nhất. 
 Vd: Bài toán cổ: “Vừa gà vừa chó 
 Bó lại cho tròn 
 Ba mươi sáu con 
 Một trăm chân chẵn 
 Tính số gà? Số chó? ’’ 
 - Tập cho học sinh thường xuyên tự lập các đề toán và giải nó. 
 Vd: Lập đề toán về dạng tìm hai số khi biết tổng và hiệu hoặc biết tổng và tỷ số 
của hai số. 
 - Sử dụng một số bài toán có những chứng minh suy diễn (nhất là toán hình học) 
để dần dần hình thành và bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học. 
 Vd: Cho ▲ABC có 2 điểm E thuộc AB và F thuộc BC sao cho EA = 3 × EC, FB 
= 2 × FC; Gọi I là giao điểm của AF và BE; Tính tỷ số IF : IA và IE : IB. 
 - Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử một số nhà toán học xuất sắc đặc biệt là những nhà 
toán học trẻ tuổi và một số phát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt là tấm gương 
những nhà toán học trong nước, những học sinh giỏi toán ở địa phương đã thành đạt 
trong cuộc sống thế nào để giáo dục tình cảm yêu thích môn toán và kính trọng các nhà 
toán học. 
 - Tổ chức dạ hội toán học, thi đố toán học và nếu có điều kiện tổ chức “ câu lạc bộ 
các học sinh yêu toán” 
 - Bồi dưỡng cho các em phương pháp học toán và cách tự tổ chức tự học ở nhà 
cùng gia đình. 
 - Kết hợp việc bồi dưỡng khả năng học toán với việc học tốt môn Tiếng Việt 
để phát triển dần khả năng sử dụng ngôn ngữ. 
 §2. SUY LUẬN TOÁN HỌC 
1) Suy luận là gì? 
 Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh 
đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra 
gọi là kết luận hay hệ quả. 
 Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn ÞY www.vnmath.com 
 3
 Nếu X1, X2, ..., Xn Þ Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ 
quả logic 
 Ký hiệu suy luận logic: 
12 , , ....,
n X XX
Y
2) Suy diễn 
 Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ 
cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ 
cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic. 
 - Quy tắc kết luận: 
, X YX
Y
Þ 
 - Quy tắc kết luận ngược: 
, X YY
X
Þ 
 - Quy tắc bắc cầu: 
, X YY Z
XZ
ÞÞ
Þ 
 - Quy tắc đảo đề: 
X Y
YX
Þ
Þ 
 - Quy tắc hoán vị tiền đề: 
( )
()
X YZ
YXZ
ÞÞ
ÞÞ 
 - Quy tắc ghép tiền đề: 
( ) X YZ
X YZ
ÞÞ
ÙÞ 
 - 
X YZ
X Y
ÞÙ
Þ 
X YZ
X Z
ÞÙ
Þ 
3) Suy luận quy nạp: 
 Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít 
tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc 
chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. 
Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính 
ước đoán. 
 Vd: 4 = 2 + 2 
6 = 3 + 3 
 10 = 7 + 3 
 ................ 
 Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố. 
 a) Quy nạp không hoàn toàn : 
 Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ 
thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước 
đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
 Sơ đồ: 
 A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là B 
 A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là 1 số phần tử của A 
 Kết luận: Mọi phần tử của A là B 
 Vd: 2 + 3 = 3 + 2 
 4 + 1 = 1 + 4 www.vnmath.com 
 4
 ...... 
 Kết luận: Phép cộng của hai số tự nhiên có tính chất giao hoán 
b) Phép tương tự: 
 Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra 
kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết luận của phép 
tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi 
lên giả thuyết.
 Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d 
 B có thuộc tính a, b, c 
 Kết luận : B có thuộc tính d . 
 Vd: + Tính tổng : 
 S = 
1
12 ´
 + 
1
23 ´
 +
11
 .... +
3 4 99 100
+
´´
111
12 1 2
111
23 2 3
..........
111
99 100 99 100
11
1 100
S
=-
´
=-
´
=-
´
Þ=-
 Tương tự tính tổng: P =
1
123 ´ ´
 + 
1
234 ´ ´
 +
11
 .... +
3 4 5 99 100 101
+
´´ ´ ´
1111
= ( - ) 
123 12 23 2
´
´´ ´ ´
1111
= ( - ) 
234 23 34 2
´
´´ ´ ´
 . 
1111
= ( - ) 
99 100 101 99 100 100 101 2
´
´´ ´ ´
 Từ đây dễ dàng tính 
đươc P 
 c) Phép khái quát hóa: 
 Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa 
đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể 
đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
 Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) 
 * 
32
?
88
+ = 
 Ta có : 
32325
88 8 8
+
+ == 
 Suy ra quy tắc chung về cộng hai phân số cùng mẫu số. 
 * 
11
?
23
+= www.vnmath.com 
 5
 Ta có: 
1133
2236
´
==
´
1122
3326
´
==
´
 Cộng hai phân số : 
1132 5
2366 6
+=+= 
 Suy ra quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số. 
 Vd: Chia một tổng cho một số ( Lớp 4) 
 -Tính và so sánh hai biểu thức : 
 (35 + 21) : 7 và 35 : 7 +21 : 7 
 -Ta có: (35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8 
 35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8 
 -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7 
 - Suy ra quy tắc chung chia một tổng cho một số. 
c) Phép đặc biệt hóa: 
 Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa 
trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường 
hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có 
tác dụng gợi lên giả thuyết.
 Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn 
hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ 
giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của 
đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó. 
 § 3 Hai phương pháp chứng minh toán học ở Tiểu học 
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp: 
 Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ 
điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh. 
 Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận 
Sơ đồ: A Þ B Þ C Þ ... Þ Y Þ X 
 Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C là hệ 
quả lôgíc của B; ..... ; X là hệ quả lôgíc của Y. 
 Vai trò và ý nghĩa: 
 + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn đột ngột, không tự 
nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng đã biết nào đó thì 
nó hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. 
 + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề 
ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. 
 + Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày 
chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 
 Ví dụ: Bài toán 
 “ Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và tổng số tuổi của hai bố con là 50 
tuổi. Hỏi sau bao nhiêu năm nữa thì tuổi của bố gấp 2 lần tuổi của con?” 
 “ Cho tứ giác lồi ABCD và M, N, P, Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh AB, 
BC, CD, DA. Biết diện tích của của MNPQ là 100 cm2
, hãy tính diện tích của rứ giác 
ABCD? ” www.vnmath.com 
 6
2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: 
 Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh 
suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước 
hoặc đã biết nào đó. 
 Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. 
 Sơ đồ: X ÜY Ü ... Ü B Ü A 
 Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; ..... ; A là 
tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho t ...  cách chọn 
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 
9 
 Mà trong tập các số tự nhiên trên số các số chẵn và các số lẻ là bằng nhau, nên 
suy ra số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 là: 
 (5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 9) : 2 = 5 × 3 × 7 × 8 × 9 × 9 
Bài 7: 
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà chia hết cho 4? 
 Hd: 
 Ta biết rằng điều kiệncần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 4 là 2 chữ số tận 
cùng là số chia hết cho 4. 
 Số các số gồm 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị khác nhau mà chia hết cho 4: 
{04, 08, 12,  , 92, 96 } \ {44, 88} ---- [(96 – 04) : 4 +1] – [2] = 22 
 Trong 22 số đó có 16 số không chứa chữ số không và 6 số chứa một chữ số 0 là: 
04, 08, 20, 40, 60, 80. 
 Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa 1 chữ số 0 
 + Chữ số ở vị trí thứ 1 có 8 cách chọn 
 + Chữ số ở vị trí thứ 2 có 7 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 5 cách chọn 
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là: 6 × [5 × 6 × 7 × 8] 
Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số 0 
 + Chữ số ở vị trí thứ 1 có 7 cách chọn 
 + Chữ số ở vị trí thứ 2 có 7 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 5 cách chọn 
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là: 16 × [5 × 6 × 7 × 7] 
 Kết luận: Vậy số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là: 
(6 × [5 × 6 × 7 × 8]) + (16 × [5 × 6 × 7 × 7]) 
Bài 8: 
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 được cấu 
tạo từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? 
 Hd: 
 Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số 0 
 + Chữ số ở vị trí thứ 1 có 7 cách chọn 
 + Chữ số ở vị trí thứ 2 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 5 cách chọn www.vnmath.com 
 57
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 4 cách chọn 
 Þ Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 4 × 5 × 6 × 7 
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số 5 
 + Chữ số ở vị trí thứ 1 có 6 cách chọn 
 + Chữ số ở vị trí thứ 2 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 5 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 4 cách chọn 
 Þ Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 4 × 5 × 6 × 6 
 Kết luận: Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 
(4 × 5 × 6 × 7 ) + (4 × 5 × 6 × 6 ) 
Bài 9: 
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ những 
chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số còn lại có mặt đúng một 
lần? 
 Hd: 
Theo bài ra ta thấy số tự nhiên có chữ số 4 có mặt 3 lần, còn 4 chữ số còn lại có 
mặt đúng một lần là số tự nhiên có 7 chữ số. 
Do vậy chữ số 0 có 6 vị trí để chọn 
Chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, tức là chiếm 3 vị trí còn lại trong 6 vị trí còn lại: 
Chữ số 4 có C3
6 = 20 cách chọn 
Với 3 vị trí còn lại thì 3 chữ số 1, 2, 3 mỗi chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × 2 × 
3 cách chọn. 
Þ Số các số tự nhiên trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số còn lại có 
mặt đúng một lần là: 6 × 20 × 6 = 120 số 
Bài 10: 
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại 
đúng 3 lần? 
 Hd: 
Ta có: 
+ Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số là: 9 × 10 × 10 × 10 
+ Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, trong đó có đúng một chữ số lặp lại đúng 3 
lần là: 
Chữ số 0 lặp lại đúng 3 lần là: 9 
Chữ số 1 lặp lại đúng 3 lần là: 
 Vị trí thứ 1 có 8 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
 Vị trí thứ 2 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
 Vị trí thứ 3 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
 Vị trí thứ 4 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
Þ Số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số 1 lặp lại đúng 3 
lần là: 8 × 9 × 9 × 9 = 35 
Chữ số 9 lặp lại đúng 3 lần là: 
 Vị trí thứ 1 có 8 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
 Vị trí thứ 2 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
 Vị trí thứ 3 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 www.vnmath.com 
 58
 Vị trí thứ 4 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1 
Þ Số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số 1 lặp lại đúng 3 
lần là: 8 × 9 × 9 × 9 = 35 
Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, trong đó có đúng một chữ số lặp lại đúng 3 
lần là 9 + 9 × 35 = 324 
Suy ra: Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 
3 lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676 
Bài 11: 
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác 
nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5? 
 Hd: 
Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số 0 
- Có 4 vị trí có thể chọn chữ số 0, sau đó còn 4 vị trí chọn chữ số 5. 
- Ta thấy 3 vị trí còn lại chọn 3 trong 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức là có 5 × 4 × 3 
cách chọn. 
Do vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này là: 4 × 4 × [5 × 4 × 3] 
Trường hợp 2: Số tự nhiên tạo thành không chứa chữ số 0 
- Có 5 cách chọn vị trí có thể chọn chữ số 5, sau đó còn 4 vị trí còn lại chọn 4 
trong 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức là có 5 × 4 × 3 × 2 cách chọn. 
Do vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này là: 5 × [5 × 4 × 3 × 2] 
Tóm lại: Số số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5 
là: {4 × 4 × [5 × 4 × 3]} + {5 × [5 × 4 × 3 × 2]} 
Bài 12: 
Một đoàn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm 2 môn bắn súng và bơi 
lội. Trong đoàn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 
người.Tính số người của toàn đoàn, biết số nữ thi bơi bằng số nam bắn súng. 
 Hd: 
Ta có: 
Số người của toàn đoàn = Số nam + Số nữ 
Số nữ của toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng 
Mà theo bài ra ta có số nữ thi bơi bằng số nam bắn súng, nên suy ra: 
Số nữ của toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng 
= 14 người. 
Vậy số người của toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người) 
Bài 13: 
Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách xếp 10 người trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh 
nhau? 
 Hd: 
Để 7 học sinh nam đứng cạnh nhau ta có số cách là 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 www.vnmath.com 
 59
Khi 7 học sinh nam đứng cạnh nhau ta coi như cùng 1 vị trí và cùng với 3 học 
sinh nữ xếp vào 4 vị trí. Ta có 4! = 1 × 2 × 3 × 4 cách 
Do vậy số cách xếp 10 học sinh đã cho thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh 
nam đứng cạnh nhau là: 4! × 7! 
Bài 14: 
Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho 
hai người A, B không đứng cạnh nhau? 
 Hd: 
Số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang là: (1 × 2 × 3 × 4 × 5) 
Hai người A, B đứng cạnh nhau ta coi là một người và hàng đó chỉ còn 4 người 
và có 2 trường hợp xảy ra. 
Mà số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là: 1 × 2 × 3 × 4 . 
Do đó số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai 
người A, B đứng cạnh nhau là: (1 × 2 × 3 × 4) × 2 
Vậy số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai người 
A, B không đứng cạnh nhau là: (1 × 2 × 3 × 4 × 5) - (1 × 2 × 3 × 4) × 2 
Bài 15: 
Trong một tháng nào đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn. Hỏi ngày 26 của tháng 
đó là ngày thứ mấy? 
 Hd: 
 Vì tháng đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn và một tháng tối đa chỉ chứa 5 ngày 
của một thứ, nên suy ra: Tháng đó có 5 ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ 3 ngày 
thứ năm là ngày chẵn.) 
Các ngày thứ năm của tháng đó có thể lần lượt là:. a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 
Nếu a là số lẻ thì a + 7 và a + 21 phải là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả 
thiết tháng đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn. Vậy suy ra a phải là só chẵn 
Vì số ngày trong một tháng chỉ từ 1 tới 31, nên ta có a + 28 £ 31 Þ a £ 3 
Từ đây suy ra a = 2 
Do đó suy ra: Ngày 23 = 2 + 3 × 7 là thứ năm và ngày 26 là ngày chủ nhât. 
Bài 16: 
Một nhóm bạn thân bao gồm cả nam và nữ. Tính số người trong nhóm người đó 
biết rằng: 
 - Mỗi bạn nam trong nhóm có số bạn nam thân bằng số bạn nữ thân của mình. 
 - Mỗi bạn nữ trong nhóm có số bạn nữ thân bằng nửa số bạn nam thân của mình. 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Mỗi bạn nam trong nhóm có số bạn nam thân bằng số bạn nữ thân của mình, tức 
là: Số nam nhiều hơn số nữ là 1 người (Số nam = Số nữ + 1). Suy ra: 2 lần số nam bằng 
2 lần số nữ thêm vào 2 người. 
 Mỗi bạn nữ trong nhóm có số bạn nữ thân bằng nửa số bạn nam thân của mình, 
tức là: Số nam bằng 2 lần số nữ bớt đi 2 người (Số nam = 2 × Số nữ - 2). . 
 Do đó suy ra: 2 lần số nữ bớt đi 2 chính bằng số nữ thêm vào 1 người 
 Vậy suy ra: Số nữ chính bằng 3 người. Từ đây suy ra số nam bằng 4 người. Vậy ta 
có số người trong nhóm là 7 người. www.vnmath.com 
 60
Bài 17: 
Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 
10% so với ngày 8/3. Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 và sau ngày 8/3? 
 Hd: 
 Gọi giá hoa trước ngày 8/3 là 100% thì ta có giá hoa ngày 8/3 là 110% và giá hoa 
sau ngày 8/3 là: 
110 110 10 99
110% - 110% 10% = - = 99% 100 100 100 100
´´= 
 Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ hơn giá hoa sau ngày 8/3 là 1% 
Bài 18: Nguyên tắc Điriclê tổng quát 
Cho một tập hợp A gồm n phần tử riên biệt. Chứng minh rằng: Với bất kỳ cách 
phân hoạch tập hợp A thành m tập con rời nhau: A1, A2,  , Am. thì luôn luôn tồn tại 1 
tập con chứa ít nhất
n
[ ] + 1
m
phần tử 
 Hd: 
 Theo bài ra phân hoạch tập hợp A được phân hoạch thành m tập con rời nhau A1, 
A2,  , Am , nên ta có: 
m
iij
i =1
A = A & A A = UI Æ với I ≠ j 
 Nếu tất cả các Ai có số phần tử bằng nhau và bằng 
n
[ ] 
m
thì số phần tử của A sẽ là 
n
m [ ] < n
m ´ . Do đó suy ra phải tồn tại 1 tập con Ai sao cho chứa ít nhất
n
[ ] + 1
m
phần tử. 
Bài 19: 
Trong một lớp học có 32 em học sinh. Hãy chứng tỏ rằng trong đó có ít nhất 2 
em có cùng ngày sinh và có ít nhất 3 em có cùng tháng sinh? 
 Hd: 
 - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 và m = 31 (Vì một tháng có tối 
đa 31 ngày). Ta có kết quả là: 
n32
[ ] + 1 = [ ] + 1 = 2
m31
 học sinh cùng ngày sinh 
 - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 và m = 12 (Vì một có 12 
tháng). Ta suy ra kết quả là: 
n32
[ ] + 1 = [ ] + 1 = 3
m12
 học sinh cùng tháng sinh 
Bài 20: 
Trong một trường học có 740 em học sinh. Hãy chứng tỏ rằng trong đó có ít nhất 
3 em có cùng ngày sinh và cùng tháng sinh? 
 Hd: 
 Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 và m = 366 (Vì một năm có 365 
ngày hoặc 366 ngày). Ta suy ra kết quả là: 
n 740
[ ] + 1 = [ ] + 1 = 3
m 366
 học sinh cùng 
ngày sinh và tháng sinh.