Chuyên đề Vận dụng tính chất của các phép tính để tính nhanh, tính thuận tiện

 CHuyªn ®Ò 
VËn dông tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh ®Ó tÝnh nhanh, tÝnh thuËn tiÖn
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
 1. Phép cộng:
 1.1. Tính chất giao hoán: Tổng không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng.
Tổng quát: a + b + c + d = a + c + b + d = b + c + d + a = 
2.1. Tính chất kết hợp: Tổng không thay đổi, khi ta thay hai hay nhiều số hạng của tổng bằng tổng của chúng.
Tổng quát: a + b + c + d = a + (b + c) + d = a + b +(c + d) = ..
 3.1. Tổng không thay đổi, khi ta thêm số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt đi số hạng kia bấy nhiêu đơn vị.
Tổng quát: a + b = (a - n) + (b + n) = (a + n) + (b - n)
 2. Phép trừ:
 1.2. Hiệu hai số không thay đổi, nếu ta cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở hai số cùng một số như nhau.
Tổng quát: a - b = (a - n ) - (b - n) = (a + n) - (b + n)
 2.2. Trong phép trừ thì: 
 Số bị trừ = số trừ + hiệu số.
 Số trừ = số bị trừ - hiệu số.
 Hiệu số = số bị trừ - số trừ.
 3. Phép nhân
 Tổng quát: a + a + a +...+ a + a = a n ( Có n số hạng là a)
1.3. Tổng các số hạng bằng nhau, có thể chuyển thành phép nhân, trong đó một thừa số là một số hạng còn thừa số thứ hai bằng số lượng số hạng của tổng.
2.3. Tính chất giao hoán: Tích không thay đổi, khi ta đổi cổ các thừa số.
Tổng quát: a b c d = a c b d = b d a c = ... 
3.3. Tính chất kết hợp: Tích của chúng không đổi, khi ta thay hai hay nhiều thừa số bằng tích riêng của chúng.
a b c d = (a b) (c d) = (a c) (b d) = (a d) (b c)
 Tổng quát:
 4.3. Muốn nhân một số với 0,5 ta chỉ cần chia số đó cho 2.
Tổng quát: a 0,5 = a : 2
5.3. Muốn nhân một số với 0,25 ta chỉ cần chia số đó cho 4.
Tổng quát: a 0,25 = a : 4 
6. 3. Muốn nhân một số với 0,2 ta chỉ cần chia số đó cho 5.
Tổng quát: a 0,2 = a : 5
7. 3. Muốn nhân một số với 0,125 ta chỉ cần chia số đó cho 8.
Tổng quát: a 0,125 = a : 8
8.3. Muốn nhân một số với 0,05 ta chỉ cần chia số đó cho 20.
Tổng quát: a 0,05 = a : 20
9.3. Muốn nhân một số với 0,025 ta chỉ cần chia số đó cho 40.
Tổng quát: a 0,025 = a : 40
10.3. Muốn nhân một số với 0,02 ta chỉ cần chia số đó cho 50.
Tổng quát: a 0,02 = a : 50
11.3. Muốn nhân một số với 0,0125 ta chỉ cần chia số đó cho 80.
 Tổng quát: a 0,0125 = a : 80
12.3. Muốn nhân một số với 0,1 ; 0,01 ; 0,001.. ta chỉ cần chia số đó cho 10 ; 100 ; 1000 .
Tổng quát: a 0.1 = a : 10 ; a 0.01 = a : 100 ;
 a 0.001 = a : 1000 ; a 0.001 = a : 1000 
13.3. Tích của hai thừa số không đổi khi ta tăng thừa số này lên bao nhiêu lần , thì giảm thừa số kia đi bấy nhiêu lần.
 Tổng quát: a b = (a n) ( b : n) = (a : n) (b n)
Tổng quát: a b c d = 0 khi chỉ cần a, hoặc b, hoặc c hoặc, d bằng 0
14.3. Tích bằng 0 khi có một thừa số bằng 0.
4. Phép chia:
 1.4. Trong phép chia thì:
 * Số bị chia = số chia số thương.
 * Số chia = số bị chia : số thương.
 * Số thương = số bị chia : số chia.
Tổng quát: a : b = (a n) : (b n) = (a : n) : (b : n)
2.4. Trong phép chia, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm)cả số bị chia và số chia đi cùng một số lần thi thương không thay đổi.
Muốn chia một số cho 0,5, ta có thể nhân số đó với 2.
Tổng quát: a : 0,5 = a 2.
 4.4. Muốn chia một số cho 0,25, ta có thể nhân số đó với 4.
Tổng quát: a : 0,25 = a 4
5.4. Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 5.
Tổng quát: a : 0,2 = a 5
Muốn chia một số cho 0,125, ta có thể nhân số đó với 8
Tổng quát: a : 0,125 = a 8
 7.4. Muốn chia một số cho 0,5, ta có thể nhân số đó với 2.
Tổng quát: a : 0,5 = a 2
8.4. Muốn chia một số cho 0,025, ta có thể nhân số đó với 40.
Tổng quát: a : 0,025 = a 40
9.4. Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 50.
Tổng quát: a : 0,2 = a 50
10.4. Muốn chia một số cho 0,0125, ta có thể nhân số đó với 80.
Tổng quát: a : 0,125 = a 80.
 11.4. Muốn chia một số cho 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ta có thể nhân số đó với 10 ; 100 ; 1000.
Tổng quát: a : 0,1 = a 10. 
 a : 0,01 = a 100 
 a : 0,001 = a 1000 
12.4.Thương sẽ bằng 0 khi số bị chia bằng 0.
 Tổng quát: a : b = 0, khi a = 0.
 Ngoài ra ta có thể hướng dẫn học sinh cách biến đổi từ só thập phân thành phân số hoặc thành tỷ lệ phần trăm khi chúng có dạng thích hợp. 
Ví dụ: 0,25 = = 25%; 0,5 = = 50 %; 0,75 = = 75 %; .
 II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG CƠ BẢN :
 Từ những kiến thức cơ bản này, học sinh có thể vận dụng một cách sáng tạo để giải quyết một cách nhanh nhất khi tính kết quả của một biểu thức từ đơn giản đến phức tạp. Sau đây là một số phương pháp giải các dạng toán tìm kết quả biểu thức bằng cách nhanh nhất:
 I1.1. Dạng các biểu thức chỉ chứa các phép tính cộng (+) và trừ (-), (loại này các số hạng bao gồm có thể là số tự nhiên, phân số hay là số thập phân).
 Bài 1: Tính theo cách nhanh nhất:
 25 + 28 - 7 + 32 – 8 – 5 – 2 + 17.
 Đối với bài toán này yêu cầu học sinh phải tìm đúng kết quả bằng cách nhanh nhất, nếu chỉ thuần tuý thực hiện từ trái sang phải theo cách thông thường là không đạt yêu cầu. Để giải bài này học sinh phải biết vận dụng tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng để giải. Cụ thể cách làm như sau:
 5 + 28 - 7 + 32 - 8 - 5 - 2 + 17 = 
 = () + ( ) + () + ( )
 = 20 + 20 + 30 + 20 = 90
Bài 2. Tính bằng cách nhanh nhất biểu thức sau:
 0,125 + 21,075 + 88,36 + 9,875 + 78,925 + 11,6 =
cũng lý giảI như bài 1 ta có cách tính nhanh nhất là:
 0,125 + 21,075 + 88,36 + 9,875 + 78,925 + 11,64 =
(0,125 + 9,875) + (21,075 + 78,925) + (88,36 + 11,64) =
 10 + 100 + 100 = 210.
 Bài 3: Tính bằnh cách nhanh nhất dãy tính sau:
 . Ta có thể thay 2 hay nhiều số hạng bằng tổng riêng của chúng mà tổng chung vẫn không đổi, ta cũng có thể thay một số hạng của tổng chung bằng nhiều số hạng nhỏ hơn khác mà tổng của các số hạng nhỏ này đúng bằng số hạng kia của tổng lớn.Từ đó ta có thể phân tích ra như sau:
 ; ; 
 ; ; 
 ta có: 
 =
 =
 == 
 II.2 Dạng biếu thức chứa hỗn hợp nhiều dấu phép tính công, trừ, nhân, chia.
 Đối với loại này học sinh phải vận dụng sáng tạo cách biến đổi phép tính, khi thì giao hoán, khi thì kết hợp, lúc lại phân tíchđể có kết quả nhanh nhất, đúng như yêu cầu của bài toán. Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
 Bài 1. Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất:
 365 +722 – 216 + 144 Ta nhận thấy: 
 72 = 36 2 ; 216 = 36 6 ; 144 = 364 từ đó ta có:
 365 +722 – 216 + 144 =
 = 365+ (362) + (366) + (364)
 = 36(5 + 2 + 6 + 4)
 = 36 17 = 2112 
 Bài 2: Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất: 
 1
 = (1 - 1,25) + (6,25 - 6) +(12 27 + 135 )
 = ( 1,25 - 1,25) + (6,75 – 6,75) +(12 27 + 27 1)
 = 0 + 0 + 27 (12 + 1) = 27 13 = 351
 Bài 3Tìm nhanh kết quả biêu thức sau:
 = 
 = = = 1.
 Bài 4: Hãy tìm cách tính nhanh nhất biểu thức sau:
 + = 
 = 
 II.3. Dạng biểu thức là một tích có nhiều thừa số, trong đó khi tính ra sẻ có một thừa số bằng 0.
 Bài 1: Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất: 
 (792,810,25 + 792,810,75)(119 – 900 0,1 - 9) 
 Đặt biểu thức là S 
 Gọi thừa số thứ nhất: (792,810,25 + 792,810,75) = A.
Lúc này ta biểu thức có dạng: 
S = A(119 - 900 0,1 - 9) 
 S = A (119 - 900 0,1 - 9) 
 S = A (119 - 90 - 9) 
 S = A( 99 - 90 - 9)
 S = A 0 
 S = 0
 Bài 2: Tính giá trị của biểu thức bằng cách nhanh nhất:
 ( 19971998 1999 1996 1998) (1 + 
Đặt A = 19971998 1999 1996 1998. Lúc này biểu thức có dạng: 
 A (1 + 
= A ()
 = A ()
= A ()
= A ()
= A () 
= A () = A 0 = 0.
 II.4 Dạng tinh nhanh tổng của một dãy số cho trước.
 Khi cho một dãy số (có quy luật viết nhất định), yêu cầu học sinh phải tính nhanh tổng của dãy số này. nếu ta không hướng dẫn học sinh một phương pháp tính thì sẻ gặp nhiều khó khăn, trong mục này tôi xin đưa ra 2 ví dụ cụ thể, sau đó rút ra một cách tính tổng quát để khi gặp phải dạng toán này học sinh có thể giải một cách dễ dàng.
 Bài 1: Cho dãy số: 1,4,7,10,13,52,55,57. Hãy tìm tổng của dãy số đó?
 Đây là một bài toán có dạng đặc biệt. Cách tính nhanh nhất là phải sử dụng các tính chất của phép cộng (giao hoán, kết hợp) để tìm ra các tình nhanh nhất và từ đó rút ra cách giải một cách tổng quát nhất. 
Cách làm như sau: 
 Ta nhận thấy, dãy số này bắt đầu từ số 1, kết thúc là số 57; số sau lớn hơn số trước nó 3 đơn vị; dãy có 10 số. Nếu tính cách thông thường thưc hiện từ trái sang phải thì rất lâu mà ta phải hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất giao hoán để tính. Ta có:
(1 + 58) + (4 + 55) + (7 + 52) +...+ (25 + 34) +(28 + 31) có 10 cặp. Mỗi cặp có tổng số là 59. Như vậy tổng của dãy số dễ dàng là: 5910 = 590.
 Bài 2. Cho dãy số: 1 , 3, 5, 7, .,77, 79 . Hãy tính tổng dãy số đó bằng cách nhanh nhất.
 Ta có thể làm như bài 1, nghĩa là lấy só đầu (1) cộng với số cuối (79) số thứ 2 (3) cộng với só thứ 2 cuối (77) và theo trình tự như vậy cho đến hết....sở dĩ như vậy là ta chọn 2 số sao cho có tổng tròn chục (80). Từ 1 đến 79 có 40 số và do cách làm trên nên ta sẻ có 20 cặp ( tổng mỗi cặp là 80) nên dễ dàng tìm được tổng của dãy số là: 80 20 = 1600.
 Từ cách giải trên nếu ta dừng lại đây thì chưa đủ, thực tế có nhiều bài toán dẫy số có rất nhiều số, nên học sinh sể rất mất công để tìm ra có bao nhiêu số trong dãy số đó, để tìm ra bao nhiêu cặp . Lại nữa, muốn tìm xem một số nào đó trong dãy số là số thứ mấy của dãy số? Rồi số thứ n nào đó của dãy là số mấy?... 
 Ví dụ: Cho dãy số 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;....2002 ; 2004. Hãy: 
 a, Tìm tổng của dãy số? 
 b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy? 
 c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
 Để giúp học sinh giải bài toán này và các bài toán tương tự ta hãy cùng nhau xây dựng một công thức tổng quát mà trong phạm vi học sinh tiểu học có thể chấp nhận và áp dụng được. 
 Gọi dãy số cho trước là a1,a2,a3,...an trong đó a1,a2,a3 là các số thứ 1,2,3 của dãy số, an là số cuối cùng của dãy số. ta hãy tìm công thức tổng quát, từ ví dụ cụ thể sau: 
 Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Hãy tìm tổng của dãy số đó?
 + Để tìm tổng của dãy số trước hết ta phải tìm xem dãy số gồm có bao nhiêu số.Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Nhận xét:
 + Dãy số có 8 số tức bằng = 8 trong đó 29 là số cuối của dãy; 1 là số đầu của dãy; 5 là số thứ 2 của dãy (tương đương với các số an,a1,a2 trong dãy số tổng quát ) và = 7 chỉ số từ 1(số đầu dãy) đến 29 (số cuối dãy) có 7 khoảng và như toán trồng cây ta phảicộng thêm 1để để tìm ra dãy số có bao nhiêu số và từ đây ta có công thức tìm dãy có bao nhiêu số. 
 an- a1
 n = 
 a2- a1 
 Đó là: 
 (1)
s = (an+ a1) 
 + Tổng của dãy số là : 
 (2)
 Trong đó S là tổng số cần tìm, an là số cuối dãy, a1 là số đầu dãy, n là số số của dãy.
 Lưu ý: Đối với số có số số là lẻ hay chẵn đều cũng áp dung công thức này. vì: Nếu n là lẻ thì: n - 1 an+ a1
 s = (an+ a1) + 
 2 2
 = (an+ a1) = (an+ a1)
 Từ công thức (1) ta có thể tìm được an một cách dễ dàng khi biết n (thứ tự số). 
 Bây giờ ta trở lại giải bài tập trên.
 Bài 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, 10,....2002, 2004. Hãy: 
 a, Tìm tổng của dãy số? 
 b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy? 
 c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
 Ta có thể làm như sau:
 * Trước hết ta tìm xem đãy số đã cho có bao nhiêu số (tức là tìm n):
 a, Tổng của dãy số là: S = (2004 + 2) = 2006 501 = 1005006.
 b, Số thứ 50 của dãy số là số mấy ? Ta có:
 an- a1 an - 2
 50 = + 1 50 = + 1 50 2 = an - 2 + 2
 a2- a1 4 - 2
 an = 100. Tức số thứ 50 của dãy số là số 100.
c, Số 1802 là số thứ mấy của dãy số ?
 an - a1 1802 - 2 1800
n = + 1 n = + 1 n = + 1
 a2 - a1 4 - 2 2
n = 900 + 2 = 902 . Vậy số 1802 có số thứ tự 902 trong dãy số.
III MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC 
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 237 + 357 + 763 b) 2345 + 4257 - 345 c) 5238 - 476 + 3476 d) 1987 - 538 - 462 
e) 4276 + 2357 + 5724 + 7643 g) 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653
h) 2376 + 3425 - 376 - 425 i) 3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246 - 347
k) 4638 - 2437 + 5362 - 7563 l) 3576 - 4037 - 5963 + 6424 
Bµi 1: TÝnh nhanh:
a) 5+ 5 + 5 + 5+ 5 + 5 +5+ 5 + 5 +5 
b) 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 +25 + 25 
c) 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15
d) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
e) 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25 
Bµi 2: TÝnh nhanh:
a) 425 x 3475 + 425 x 6525 
b) 234 x 1257 - 234 x 257
c) 3876 x 375 + 375 x 6124 
d) 1327 x 524 - 524 x 327
e) 257 x 432 + 257 x 354 + 257 x 214 
g) 325 x 1574 - 325 x 325 - 325 x 24
h) 312 x 425 + 312 x 574 + 312 
i) 175 x 1274 - 175 x 273 - 175
Bµi 3: TÝnh nhanh:
a) 4 x 125 x 25 x 8 
b) 2 x 8 x 50 x 25 x 125 
c) 2 x 3 x 4 x 5 x 50 x 25 
d) 25 x 20 x 125 x 8 - 8 x 20 x 5 x 125 
Bµi 4*: TÝnh nhanh:
a) 8 x 427 x 3 + 6 x 573 x 4 
b) 6 x 1235 x 20 - 5 x 235 x 24
c) (145 x 99 + 145) - (143 x 102 - 143) 
d) 54 x 47 - 47 x 53 - 20 - 27
 Bµi 5*: TÝnh nhanh:
 a) 10000 - 47 x 72 - 47 x 28 
b) 3457 - 27 x 48 - 48 x 73 + 6543
Bµi 6*: TÝnh nhanh:
a) 326 x 728 + 327 x 272 
b) 2008 x 867 + 2009 x 133
c) 1235 x 6789x (630 - 315 x 2) 
d) (m : 1 - m x 1) : (m x 2008 + m + 2008)
Bµi 7*: TÝnh nhanh:
a) 
b) 
c) 
d)
 Bµi 8*: Cho A = 2009 x 425 B = 575 x 2009 Kh«ng tÝnh A vµ B, em h·y tÝnh nhanh kÕt qu¶ cña A - B ?