Đề Toán nâng cao - Số 5 (tt)

®iÓm
®Ò to¸n n©ng cao sè 5
 Hä vµ tªn:
 Em h·y dïng ph­¬ng ph¸p ngược từ cuối ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n sau ®©y:
 Bµi 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. 
 Gi¶i:	
Bµi 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó?	
Gi¶i:	
Bµi 3: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 	
Gi¶i:	
Bµi 4: 3 người cùng đi câu cá, câu được bao nhiêu cùng bỏ vào 1 cái xô. Gần sáng hôm sau người thứ nhất dạy chia cá ra làm 3 phần bằng nhau và dư 1 con nên ném xuống sông và lấy phần của mình về, người thứ 2 dậy tưởng mình dạy sớm, nên cũng chia ra 3 phần và cũng dư 1 con và cũng ném xuống sông và lấy phần của mình đi về. Người thứ 3 cũng giống hệt như người thứ 2, chia cá ra làm 3 phần bằng nhau và dư 1 con nên ném xuống sông và lấy phần của mình về, cuối cùng còn 6 con cá trong xô. Hỏi tổng số cá là bao nhiêu?
Gi¶i:	
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
 1- D¹ng thø nhÊt: D¹ng biÕn ®æi b»ng c¸c phÐp tÝnh ®¬n gi¶n, qu¸ tr×nh t×m tßi c¸ch gi¶i cã thÓ dïng l­îc ®å hoÆc ®­a vÒ bµi to¸n t×m x quen thuéc.
VÝ dô 1.1: T×m mét sè biÕt r»ng nÕu ®em sè ®ã céng víi 32, ®­îc bao nhiªu ®em chia cho 3, råi nh©n víi 4 th× b»ng 120.
 H­íng dÉn gi¶i: 
	Víi bµi to¸n d¹ng nµy, ta cã thÓ sö dông c¸c c¸ch:
	+ Dïng l­îc ®å
	+ Dïng s¬ ®å ®o¹n th¼ng
	+ §­a vÒ bµi to¸n " t×m x" ( LËp ph­¬ng tr×nh )
 §Ó phï hîp víi nhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc ( ®Æc biÖt lµ c¸c em cßn ë møc trung b×nh v­¬n lªn kh¸ giái ), ta nªn h­íng dÉn c¸c em sö dông l­îc ®å nh­ sau:
120
C
A ?
B
 + 32 : 3 x 4
 - 32 x 3 : 4 
	NÕu ta quay l­îc ®å nµy mét gãc 90 0 ta cã c¸ch nãi suy luËn tõ d­íi lªn
C
B
120
A? 
 - 32 + 32
 x 3 : 3
 : 4 x 4
B»ng c¸c dÊu mòi tªn ng­îc víi qu¸ tr×nh biÕn ®æi cña ®Ò ra ta dÔ dµng gióp c¸c em t×m ra kÕt qu¶ bµi to¸n.
C x 4 = 120 . VËy, muèn t×m C ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ?
 ( 120 : 4 = 30. VËy C = 30 )
B : 3 = 30 . VËy, muèn t×m B ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ? ( 30 x 3 = 90. VËy B = 90 )
A + 32 = 90 . VËy, muèn t×m A ta lµm thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ?
 ( 90 - 32 = 58 . VËy A = 58 - §©y chÝnh lµ sè ph¶i t×m cña bµi to¸n ).
 L­u ý: L­îc ®å chØ nªn sö dông ë phÇn nh¸p ®Ó t×m tßi c¸ch gi¶i. NÕu vÏ vµo bµi lµm th× r­êm rµ vµ mÊt thêi gian.
 Bµi gi¶i cô thÓ:
	Sè tr­íc khi nh©n víi 4 lµ: 120 : 4 = 30
	Sè tr­íc khi chia cho 3 lµ: 30 x 3 = 90
	Sè ph¶i t×m ( hay tr­íc khi céng 32 ) lµ: 90 - 32 = 58
	§¸p sè: 58
 Bµi to¸n trªn ta cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p dïng s¬ ®å ®o¹n th¼ng nh­ sau:
	 Sè cÇn t×m : 32 
 Sè sau khi céng víi 32: 
 Sè sau khi chia cho 3:
 Cuèi cïng :
 120
 L­u ý: Sè sau khi céng víi 32 hay tr­íc khi chia cho 3 lµ mét
	* Gi¶i b»ng c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n t×m X ( t×m thµnh phÇn ch­a biÕt trong phÐp tÝnh - lËp ph­¬ng tr×nh )
	Gäi sè cÇn t×m lµ X ta cã : ( X + 32 ) : 3 x 4 = 120 . Gi¶i:
	 ( X + 32 ) : 3 = 120 : 4
 ( X + 32 ) : 3 = 30
 X + 32 = 30 x 3
 X + 32 = 90
 X = 90 - 32
 X = 58
 L­u ý: 6 bµi to¸n t×m X ë d¹ng c¬ b¶n: 
 X + a = b ; X x a = b ; X - a = b ; a - X = b , X : a = b ; a : X = b
 Trong ®ã a, b lµ c¸c sè ®· biÕt X lµ sè cÇn t×m. HÇu hÕt c¸c bµi to¸n t×m X ë tiÓu häc ( gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt cã mét Èn sè ) kh«ng ë d¹ng c¬ b¶n, qua mét sè biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®Òu ®­îc ®­a vÒ mét trong 6 d¹ng c¬ b¶n trªn.
 VÝ dô 1.2: T×m mét sè biÕt r»ng sè ®ã nh©n víi 5 råi céng víi 45, ®­îc bao nhiªu nh©n víi 4 råi chia cho 2 vµ cuèi cïng trõ ®i 17 th× ®­îc kÕt qu¶ lµ 2073.
 H­íng dÉn gi¶i:
Dïng l­îc ®å:
 x 5 + 45 x 4 : 2 - 17
2073
X?X?
D
C
B
A
 : 5 - 45 : 4 x 2 + 17 
 Bµi gi¶i: ( Nªn h­íng dÉn häc sinh tr×nh bµy theo kiÓu d­íi ®©y)
	 Sè tr­íc khi trõ ®i 17 lµ : 2073 + 17 = 2090
	 Sè tr­íc khi chia cho 2 lµ : 2090 x 2 = 4180
	 Sè tr­íc khi nh©n víi 4 lµ : 4180 : 4 = 1045
	 Sè tr­íc khi céng víi 45 lµ : 1045 - 45 = 1000
	 Sè ph¶i t×m lµ : 1000 : 5 = 200 
	 §¸p sè: 200 
Dïng S§§T
	D¹ng bµi nµy t×m tßi c¸ch gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông S§§T ®­îc nh­ng ph¶i vÏ h¬i phiÒn phøc. C¸ch vÏ vµ c¸ch tr×nh bµy t­¬ng tù vÝ dô 1.1, nªn kh«ng tr×nh bµy ë ®©y.
Sö dông c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n t×m X.
	ViÖc sö dông c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n t×m X còng kh¸ ®¬n gi¶n, t­¬ng tù vÝ dô 1.1, viÖc ®­a vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh nh­ thÕ nµy ch­a thËt phï hîp víi häc sinh tiÓu häc. Bªn c¹nh ®ã cÇn l­u ý häc sinh khi sö dông dÊu ngoÆc ®¬n mét c¸ch hîp lý.
	Cô thÓ: Gäi sè ph¶i t×m lµ X ta cã:
	(X x 5 + 45 ) x 4 : 2 - 17 = 2073. 
 Gi¶i bµi to¸n nµy ta t×m ®­îc X = 200. C¸ch gi¶i t­¬ng tù vÝ dô 1.1 ®· tr×nh bµy.
2- D¹ng thø 2: C¸c phÐp biÕn ®æi liªn quan ®Õn ph©n sè ( c¸c phÐp chia phøc t¹p ) qu¸ tr×nh t×m tßi c¸ch gi¶i vµ gi¶i nªn sö dông S§§T ( S¬ ®å ®o¹n th¼ng ) , mét ph­¬ng ph¸p ®Æc biÖt phï hîp víi häc sinh tiÓu häc.
VÝ dô 2.1: Mét ng­êi ®em b¸n mét sè cam. LÇn ®Çu b¸n 1/3 sè cam, lÇn thø hai b¸n 1/3 sè cam cßn l¹i, lÇn thø ba b¸n 20 qu¶ th× cßn 56 qu¶. Hái lóc ®Çu ng­êi ®ã cã tÊt c¶ bao nhiªu qu¶ cam ?
 H­íng dÉn gi¶i:
Dïng l­îc ®å: D¹ng nµy nÕu dïng l­îc ®å th× sÏ khã kh¨n trong viÖc biÓu diÔn phÇn cßn l¹i sau mçi lÇn bít. Cô thÓ:
 Bít 1/3 cña X Bít 1/3 cña A - 20
A
X?
56
B
( Suy luËn theo ®­êng mòi tªn cã nÐt ®øt ®Ó gi¶i bµi to¸n )
 + B¸n ®i 20 qu¶, cßn 56 qu¶. VËy, muèn t×m sè cam tr­íc khi b¸n 20 qu¶ ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo? ( lÊy 56 céng víi 20, ta cã 56 + 20 = 76. Nh­ vËy B = 76 qu¶ )
 + Bít ®i 1/3 cña A th× b»ng B, tøc b»ng 76. VËy, muèn t×m A ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ?. H­íng dÉn c¸ch nghÜ: A bít ®i 1/3 cña nã th× cßn A, mµ A b»ng 76 , vËy A = 76: 2/3 = 114 ( cã thÓ tr×nh bµy A = 76 : 2 x 3 = 114). VËy A = 114 
 + Bít ®i 1/3 cña X th× b»ng A, tøc b»ng 114. VËy, muèn t×m X ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ?T­¬ng tù nh­ c¸ch t×m A ta cã: X = 114 : 2/3 = 171.VËy, X ( sè cÇn t×m ) lµ 171.
	C¸ch gi¶i cô thÓ:
	Tr­íc khi b¸n 20 qu¶ , ng­êi ®ã cßn sè cam: 56 + 20 = 76 ( qu¶ ) 
	Sè cam cßn l¹i tr­íc khi b¸n lÇn thø hai lµ: 76 : 2/3 = 114 ( qu¶ )
	Sè cam ng­êi ®ã ®em b¸n lµ: 114 : 2/3 = 171 ( qu¶ )
	§¸p sè 171 qu¶
Dïng S§§T ( Ph­¬ng ph¸p chñ c«ng cña lo¹i nµy )
	§Ó phï hîp víi HS tiÓu häc ( ®Æc biÖt ®èi víi nh÷ng häc sinh ch­a häc c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n sè ). Nªn h­íng dÉn HS sö dông ph­¬ng ph¸p dïng S§§T.
	Ta cã S§§T nh­ sau:
Sè cam cÇn t×m: 
Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn I: 
 Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn II : 
 20 qu¶
 Cuèi cïng 
 56 qu¶
 H­íng dÉn gi¶i: 
 T×m sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ( hay tr­íc khi b¸n lÇn thø ba ). Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ®­îc biÓu diÔn b»ng hai ®o¹n th¼ng: ®o¹n cuèi cïng 56 qu¶ vµ ®o¹n biÓu diÔn 20 qu¶. Nh­ vËy, muèn t×m sè cam cßn l¹i sau lÇn b¸n thø hai ta lµm nh­ thÕ nµo? ( 56 + 20 = 76 ). 
	T×m tiÕp sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt. Sè cam nµy ®­îc biÓu diÔn b»ng ®o¹n th¼ng cã 3 phÇn b»ng nhau, mµ 2 phÇn trong ®ã chÝnh lµ 76 qu¶. VËy, muèn t×m sè cam cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo? 
( lÊy 76 chia 2 ®Ó t×m 1 phÇn, råi nh©n víi 3 ®Ó cã 3 phÇn cô thÓ 76 : 2 x 3 = 114).
	T×m sè cam ng­êi ®ã ®em b¸n. Toµn bé sè cam nµy ®­îc biÓu diÔn b»ng ®o¹n th¼ng chøa 3 phÇn b»ng nhau, mµ trong ®ã cã 2 phÇn b»ng 114 qu¶. VËy, muèn t×m sè cam ng­êi ®ã ®em b¸n ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ? ( lÊy 114 chia 2 ®Ó t×m 1 phÇn, råi nh©n víi 3 ®Ó t×m 3 phÇn - Cô thÓ : 114 : 2 x 3 = 171).
 Bµi gi¶i cô thÓ:
	Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai lµ : 65 + 20 = 76 ( qu¶)
	Sè cam cßn l¹i sau khi b¸n lÇn ®Çu lµ: 76 : 2 x 3 = 114 (qu¶)
	Sè cam lóc ®Çu lµ : 114 : 2 x 3 = 171 ( qu¶)
	§¸p sè: 171 qu¶ cam
Sö dông c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n t×m X:
	Víi d¹ng nµy, nÕu ta h­íng dÉn häc sinh gi¶i b»ng c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n t×m X th× sÏ gÆp mét sè khã kh¨n ®èi víi häc sinh tiÓu häc nhÊt lµ nh÷ng häc sinh ch­a häc c¸c phÐp tÝnh ph©n sè. Ta cã thÓ ®­a vÒ bµi to¸n t×m X kh«ng thuéc d¹ng c¬ b¶n nh­ sau:
	Gäi sè cam cÇn t×m lµ X ( X lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0 - ®¬n vÞ : qu¶ )
	X - x X - x ( X - x X ) - 20 = 56
 VÝ dô 2.2: Mét ng­êi ®em b¸n mét sè trøng nh­ sau: LÇn ®Çu b¸n cho kh¸ch 1/2 sè trøng vµ biÕu kh¸ch 1 qu¶. LÇn thø hai b¸n 1/2 sè trøng cßn l¹i vµ l¹i biÕu kh¸ch 1 qu¶. LÇn thø ba b¸n 1/2 sè trøng cßn l¹i sau hai lÇn tr­íc vµ l¹i biÕu kh¸ch 1 qu¶. Cuèi cïng ng­êi ®ã cßn 10 qu¶ trøng. Hái lóc ®Çu ng­êi ®ã cã bao nhiªu qu¶ trøng ®em b¸n ?
H­íng dÉn gi¶i:
Dïng s¬ ®å ®o¹n th¼ng
	Nh­ lo¹i bµi nµy, sö dông ph­¬ng ph¸p dïng S§§T ®Ó gi¶i lµ tèi ­u.
 VÏ s¬ ®å:
 Mét nöa
Sè trøng ?: 
 1 qu¶
 Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt:
 Mét nöa 1 qu¶ 
 Sè trøng cßn l¹i sau lÇn b¸n thø hai :
 Mét nöa 1 qu¶
 Cuèi cïng : 
 10 qu¶ 
 	Theo s¬ ®å ta cã ( nh×n ng­îc tõ d­íi lªn ): 
 + Mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai gåm mét ®o¹n th¼ng biÓu diÔn 10 qu¶ trøng vµ 1 qu¶. Muèn tÝnh mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ta cã thÓ lµm thÕ nµo ? ( 10 + 1 = 11 ). Muèn tÝnh sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai ta lµm thÕ nµo ? ( 11 x 2 = 22 ).
 + Mét nöa sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt gåm 22 qu¶ vµ 1 qu¶. Tõ ®ã dÔ thÊy c¸ch tÝnh sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt lµ: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 qu¶.
 + Mét nöa sè trøng lóc ®Çu gåm 46 qu¶ vµ 1 qu¶. Tõ ®ã dÔ thÊy c¸ch tÝnh sè trøng ng­êi ®ã ®em b¸n lµ: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( qu¶ )
 Bµi gi¶i cô thÓ:
	Sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø hai lµ: ( 10 + 1 ) x 2 = 22 ( qu¶ )
	Sè trøng cßn l¹i sau khi b¸n lÇn thø nhÊt lµ: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 ( qu¶ )
	Sè trøng ng­êi ®ã ®em b¸n lµ: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( qu¶ )
 §¸p sè: 94 qu¶ trøng
 L­u ý: Cã thÓ h­íng dÉn häc sinh thö l¹i, t¹o thªm niÒm tin cho c¸c em: 
	 94 : 2 - 1 = 46 , 46 : 2 - 1 = 22 ; 22 : 2 - 1 = 10
Dïng l­îc ®å:
 X- X - 1 A - A - 1 B - B - 1
A
X?
10
B
( Suy luËn theo ®­êng mòi tªn cã nÐt ®øt )
 + T×m B: B - B - 1 = 10 B - 1 = 10 B = 11 B = 11 x 2 = 22
 + T×m A: A - A - 1 = 22 A - 1 = 22 A = 23 A = 23 x 2 = 46
 + T×m X: X - X - 1 = 46 X - 1 = 46 X = 47 X = 47 x 2 = 94
 NhËn xÐt: Ví ...  viÖc t×m thµnh phÇn ch­a biÕt trong phÐp tÝnh, häc sinh cã thÓ gi¶i ®­îc kh«ng khã kh¨n l¾m.
	Bªn c¹nh suy luËn t×m tßi theo kiÓu " hµng ngang", ta cã thÓ h­íng dÉn gióp häc sinh suy luËn theo kiÓu " cét däc ". C¸ch nµy kh¸ h÷u hiÖu. §©y thùc chÊt lµ ta l¹i sö dông l­îc ®å nh­ng ®­îc s¾p xÕp theo kiÓu cét. Cô thÓ nh­ sau:
C
B
A
	 - 20 +20, + 15 -15
A 2
C 3
C 2
B 2
B 3
A 3
 + 5 - 40 + 40, - 5
160
180
140
 + 18 -18, +4 - 4
	Nh×n vµo l­îc ®å cét, thùc hiÖn theo chiÒu c¸c mòi tªn "dµi", ta dÔ dµng tÝnh ®­îc sè bi ë mçi hép lóc ®Çu. Chó ý khi xÐt " thªm ", " bít" ë mçi cét kh«ng cÇn biÕt ë ®©u chuyÓn ®Õn hay chuyÓn ®i ®©u. C¸c b­íc gi¶i cña bµi to¸n cã thÓ lµm gép rÊt ng¾n gän nh­ sau:
	Sè bi ë hép A lóc ®Çu lµ: 140 - 18 - 5 + 20 = 137 ( bi )
	Sè bi ë hép B lóc ®Çu lµ: 160 - 4 + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi )
	Sè bi ë hép C lóc ®Çu lµ: 180 + 4 + 5 - 40 + 15 = 164 ( bi )
 §¸p sè: Hép A: 137 bi; Hép B: 179 bi; Hép C: 164 bi
 VÝ dô 3.2: Cã hai thïng ®ùng dÇu A vµ B. LÇn ®Çu chuyÓn 26 l tõ thïng A sang thïng B. LÇn thø hai chuyÓn tõ thïng B sang thïng A mét sè lÝt dÇu gÊp 2 lÇn sè lÝt dÇu hiÖn cã ë thïng A. LÇn thø ba chuyÓn tõ thïng A sang thïng B mét sè lÝt dÇu ®óng b»ng sè lÝt dÇu hiÖn cã ë thïng B th× cuèi cïng thïng A cã 48 l, thïng B cã 60 l. Hái lóc ®Çu mçi thïng cã bao nhiªu lÝt dÇu ?
	§©y lµ mét bµi to¸n thuéc d¹ng thø ba. Trong ®ã cÇn l­u ý, khi chuyÓn tõ ®Þa chØ nµy sang ®Þa chØ kh¸c cã 2 c¸ch:
	- ChuyÓn mét sè ®¬n vÞ cô thÓ ( t­¬ng tù vÝ dô 3.1)
	- ChuyÓn mét sè lÇn hiÖn cã ë ®Þa chØ ®­îc chuyÓn ®Õn.
H­íng dÉn gi¶i:
LËp b¶ng
Néi dung chuyÓn
Sè bi ë c¸c hép
Hµng
LÇn 1: ChuyÓn 26 bi tõ A B
A
 26
B
1
LÇn 2: ChuyÓn tõ B A sè lÝt dÇu gÊp 2 lÇn sè dÇu hiÖn cã ë A
2A
2B
2
LÇn 3: ChuyÓn tõ A B sè lÝt dÇu ®óng b»ng sè dÇu hiÖn cã ë B
3A
3B
3
Cuèi cïng
48 lÝt
60 lÝt
4
 + TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng tr­íc khi chuyÓn lÇn thø ba ( c¸c « 3A, 3B )
	- Sè lÝt dÇu ë thïng B ( « 3B)
 Sau khi chuyÓn lÇn thø ba ( cuèi cïng ), thïng B cã 60 l. §· chuyÓn tõ thïng A sang thïng B sè dÇu b»ng sè dÇu thïng B hiÖn cã ®Ó ®­îc 60 l. VËy tr­íc khi chuyÓn lÇn thø ba ë thïng B cã bao nhiªu lÝt dÇu ? Muèn tÝnh ta ph¶i lµm thÕ nµo ? ( 60 : 2 = 30 - cã thÓ minh ho¹ b»ng S§§T ®Ó c¸c em dÔ hiÓu )
	- Sè lÝt dÇu ë thïng A ( « 3A )
 Bít ®i 30 cßn 48. VËy, muèn t×m sè lÝt dÇu ë thïng A tr­íc khi chuyÓn lÇn thø ba ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ? ( 30 + 48 = 78 - hoÆc 48 + 60 - 30 = 78 )
 + TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng tr­íc khi chuyÓn lÇn thø hai.
	- Sè lÝt dÇu ë thïng A ( « 2A )
 §­îc thªm 2 lÇn chÝnh nã th× b»ng 78. VËy, muèn t×m "chÝnh nã" hay sè lÝt dÇu ë thïng A tr­íc khi chuyÓn lÇn thø hai ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo vµ b»ng bao nhiªu ? ( 78 : 3 = 26 ). Nªn mimh ho¹ b»ng S§§T ®Ó häc sinh dÔ hiÓu h¬n.
 78
 ®· cã 
 ®­îc thªm
	- Sè lÝt dÇu ë thïng B ( « 2B )
 Muèn tÝnh sè lÝt dÇu ë « 2B ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ? ( 48 + 60 - 26 = 82 )
 + TÝnh sè lÝt dÇu ë mçi thïng lóc ®Çu ( « 1A, 1B ), hay tr­íc khi chuyÓn lÇn thø nhÊt.
	- Sè lÝt dÇu ë thïng B lóc ®Çu:
 §­îc thªm 26 th× b»ng 82. VËy, muèn t×m sè dÇu lóc ®Çu ë thïng B ta cã thÓ lµm nh­ thÕ nµo ? ( 82 - 26 = 56 ).
	- Tõ ®ã t×m ®­îc sè lÝt dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ: 108 - 56 = 52 ( l )
Sö dông l­îc ®å cét
B
 A
 + 26	 - 26 + 26
2 A
2 B
 + thªm 2 lÇn nã Bít 2 lÇn ( 2A )
 : 3 ( gÊp 3 lÇn ) 
3 A
3 B
 + 30 Trõ ®i 1 lÇn ( 3B ) + thªm 1 lÇn nã
60
48
 Bµi gi¶i cô thÓ:
	Tæng sè lÝt dÇu ë hai thïng lu«n lµ: 60 + 48 = 108 ( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng B tr­íc khi chuyÓn lÇn thø ba lµ: 60 : 2 = 30 ( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng A tr­íc khi chuyÓn lÇn thø ba lµ: 108 - 30 = 78 ( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng A tr­íc khi chuyÓn lÇn thø hai lµ: 78 : 3 = 26 ( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng B tr­íc khi chuyÓn lÇn thø hai lµ: 108 - 26 = 82( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng B lóc ®Çu lµ: 82 - 26 = 56 ( l )
	Sè lÝt dÇu ë thïng A lóc ®Çu lµ: 108 - 56 = 52 ( l )
 §¸p sè: Thïng A: 52 l; Thïng B: 56 l
 Chó ý: NÕu s¾p xÕp theo l­îc ®å cét th× kh«ng thÓ tÝnh liªn tôc ë mét thïng nh­ vÝ dô 3.1
 4- D¹ng thø 4: Qu¸ tr×nh biÕn ®æi liªn tiÕp phøc t¹p cuèi cïng c¸c phÇn ®­îc chia ra b»ng nhau. §Ó t×m tßi c¸ch gi¶i cÇn biÕt ph©n tÝch tõ thµnh phÇn " tr­íc cuèi" hay " ¸p chãt" vµ mèi quan hÖ gi÷a gÝa trÞ " ¸p chãt" vµ gÝa trÞ cuèi cïng ®Ó suy ra kÕt qu¶ cña bµi to¸n.
§©y lµ d¹ng t­¬ng ®èi phøc t¹p trong c¸c bµi to¸n gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p suy luËn tõ cuèi. Nh÷ng c¸i khã ®ã lµ:
	- KÕt qu¶ cuèi cïng th­êng kh«ng ph¶i lµ sè cô thÓ
	- Qu¸ tr×nh thay ®æi phøc t¹p, cã tÝnh quy luËt
 Muèn gi¶i ®­îc d¹ng nµy, cÇn gióp häc sinh sö dông S§§T ®Ó ph©n tÝch vµ t×m ra gi¸ trÞ " ¸p chãt" ( tr­íc cuèi ). Tõ ®ã sÏ tÝnh ®­îc ®¸p sè cña bµi to¸n.
 VÝ dô 4.1: Mét tæ c«ng nh©n sau khi hoµn thµnh xuÊt s¾c nhiÖm vô ®­îc th­ëng mét sè tiÒn. Ng­êi tæ tr­ëng ®em chia sè tiÒn ®ã nh­ sau:
	- Tæ tr­ëng ®­îc 100000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
	- Tæ phã ®­îc 200000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
	- C«ng nh©n thø nhÊt ®­îc 300000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
	- C«ng nh©n thø hai ®­îc 400000 ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
	Cø tiÕp tôc chia nh­ vËy cho ®Õn ng­êi cuèi cïng th× sè tiÒn th­ëng ®­îc chia ®Òu cho tÊt c¶ mäi ng­êi. Hái sè tiÒn th­ëng cho c¶ tæ lµ bao nhiªu vµ mçi ng­êi ®­îc th­ëng bao nhiªu tiÒn ? 
	VÝ dô nµy lµ bµi to¸n thuéc d¹ng suy luËn tõ cuèi. C¸i cuèi cïng ë ®©y kh«ng biÕt cô thÓ, mµ chØ biÕt ®­îc lµ b»ng c¸ch biÕn ®æi nh­ vËy th× cuèi cïng sè tiÒn chia cho mçi ng­êi lµ nh­ nhau. B»ng c¸c c¸ch gi¶i nh­ víi c¸c vÝ dô tr­íc víi lo¹i nµy kh«ng thÓ thùc hiÖn ®­îc. §Ó gióp HS gi¶i ®­îc lo¹i nµy ta cÇn ph©n tÝch, xÐt phÇn " ¸p chãt" vµ phÇn "chãt" ®Ó t×m c¸ch gi¶i. B»ng S§§T ta cã:
 " ¸p chãt " " Cuèi cïng"
 1/10
 " Cuèi cïng "
Tr­íc hÕt ph¶i thÊy ng­êi cuèi cïng nhËn sè tiÒn lµ mét sè nguyªn tr¨m ngh×n ®ång th× võa hÕt ( tøc lµ 1/10 cña phÇn cßn l¹i lµ 0). NÕu kh«ng thÕ th× ng­êi nµy vÉn ch­a ph¶i lµ ng­êi cuèi cïng.
Theo s¬ ®å ta thÊy: Ng­êi " ¸p chãt " ®­îc nhËn mét sè nguyªn tr¨m ngh×n ®ång vµ 1/10 sè tiÒn cßn l¹i. Nh­ vËy, 9/10 sè tiÒn cßn l¹i lµ cña ng­êi cuèi cïng.
Ng­êi cuèi cïng nhËn mét sè nguyªn tr¨m ngh×n vµ h¬n ng­êi "¸p chãt" 100000 ®. VËy, 100000 ® ®ã chÝnh lµ 1/9 sè tiÒn ng­êi cuèi cïng nhËn. Tõ ®ã ta cã:
	+ Sè tiÒn ng­êi cuèi cïng nhËn lµ: 100000 : 1/9 = 900000 (®ång )
	+ Sè ng­êi cña tæ ®ã lµ: 9 ng­êi
	+ Sè tiÒn cña toµn tæ lµ: 900000 x 9 = 8100000 ( ®ång )
 Còng lËp luËn nh­ trªn ta cã thÓ cã c¸ch tr×nh bµy thø hai nh­ sau:
Gäi sè nguyªn tr¨m ngh×n ®ång cña ng­êi " ¸p chãt" nhËn lµ A, phÇn cßn l¹i lµ B ®ång.
Tõ ®ã ta cã:
	Sè tiÒn cña ng­êi "¸p chãt" nhËn ®­îc biÓu diÔn theo A vµ B nh­ thÕ nµo ? ( A + B )
	Sè tiÒn ng­êi cuèi cïng nhËn ®­îc biÓu diÔn nh­ thÕ nµo ? (B )
 Theo bµi to¸n, sè tiÒn ®­îc chia ®Òu cho mçi ng­êi, cã nghÜa lµ sè tiÒn cña ng­êi " ¸p chãt" nhËn b»ng sè tiÒn cña ng­êi cuèi cïng nhËn, nªn ta cã thÓ biÓu diÔn quan hÖ sè tiÒn cña hai ng­êi nµy nh­ thÕ nµo ? ( A + B = B 
 A = B )
 MÆt kh¸c, ng­êi cuèi cïng nhËn B lµ võa hÕt, nªn sè tiÒn ng­êi cuèi cïng nhËn b»ng sè nguyªn tr¨m ngh×n ng­êi " ¸p chãt" nhËn vµ thªm 100000 ®. Tøc lµ: 
 B = A + 100000 B = B + 100000 B = 100000
 B = 100000 : 1/10 = 1000000. VËy, sè tiÒn mçi ng­êi nhËn lµ: 1000000 x 9/10 = 900000 ( ® ). Tõ ®ã tÝnh ®­îc sè tiÒn cña c¶ tæ:
	+ C¸ch 1: Theo quy luËt céng thªm ë sè nguyªn tr¨m ngh×n, dÔ thÊy tæ cã 9 ng­êi. VËy : Tæng sè tiÒn ®­îc th­ëng lµ: 900000 x 9 = 8100000 ( ® ).
	+ C¸ch 2: Tõ chç mçi ng­êi ®­îc th­ëng 900000 ®, nªn ta cã: 100000 ® + 1/10 sè tiÒn cßn l¹i = 900000 ® 1/10 sè tiÒn cßn l¹i lµ 8000000 ®. VËy, tæng sè tiÒn ®­îc th­ëng lµ : 8000000 + 100000 = 8100000 ( ® )
L­u ý: VÒ c¸ch tÝnh sè ng­êi cña tæ cã thÓ thùc hiÖn theo c¸ch sau:
 Sè ng­êi cña tæ ®ã lµ: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + 1 = 9 ( ng­êi )
 VÝ dô 4.2: Mét ng­êi ®em b¸n mét sè cam nh­ sau: 
	Ng­êi thø nhÊt mua 9 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
	Ng­êi thø hai mua 18 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
	Ng­êi thø ba mua 27 qu¶ vµ 1/6 sè cam cßn l¹i.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Cuèi cïng sè cam võa hÕt vµ sè cam mçi ng­êi mua b»ng nhau. Hái ng­êi ®ã ®· b¸n bao nhiªu qu¶ cam ?
 H­íng dÉn gi¶i:
	T­¬ng tù nh­ vÝ dô 4.1, tr­íc hÕt ta cÇn kh¶ng ®Þnh mét sè ®iÒu sau:
 + Ng­êi thø nhÊt mua 9 qu¶, ng­êi thø hai mua 18 qu¶, ng­êi thø ba mua 27 qu¶, 
	VËy, quy luËt ë ®©y lµ ng­êi mua sau h¬n ng­êi mua liÒn tr­íc 9 qu¶.
 + Ng­êi cuèi cïng mua mét sè nguyªn qu¶ cam th× võa hÕt, cã nghÜa phÇn d­ cßn l¹i lµ 0.
 + Ng­êi " ¸p chãt" mua mét sè nguyªn qu¶ cam vµ 1/6 sè cam cßn l¹i th× 5/6 sè cam cßn l¹i khi nµy lµ sè cam ng­êi cuèi cïng mua.
 + Sè cam mçi ng­êi mua lµ nh­ nhau.
	Ta sö dông S§§T: Cuèi cïng
 "¸p chãt" (A)
 (B) 
 Cuèi cïng 9 qu¶
	§Æc biÖt l­u ý: PhÇn nguyªn sè cam ng­êi cuèi cïng mua b»ng phÇn nguyªn sè cam ng­êi " ¸p chãt" mua vµ thªm 9 qu¶. VËy, 1/6 sè cam cßn l¹i sau khi ng­êi " ¸p chãt" mua mét sè nguyªn qu¶ cam lµ 9 qu¶.
	VËy, sè cam ng­êi cuèi cïng mua lµ: 9 x 5 = 45 ( qu¶ )
	 Sè ng­êi mua cam lµ: ( 45 - 9 ) : ( 18 - 9 ) + 1 = 5 ( ng­êi )
	 Sè cam ng­êi ®ã ®em b¸n lµ: 45 x 5 = 225 ( qu¶ )
 Ta cã thÓ h­íng dÉn c¸c em gi¶i theo c¸ch kh¸c:
	Gäi phÇn nguyªn sè cam ng­êi "¸p chãt" mua lµ A, phÇn cßn l¹i lµ B 
 ( xem h×nh vÏ ).
 Sè cam ng­êi " ¸p chãt" mua ®­îc biÓu diÔn theo A vµ B : A + B.
 Sè cam ng­êi " cuèi cïng " mua ®­îc biÓu diÔn theo B lµ: B. Theo bµi to¸n ta cã: A + B = B A = B . Tõ ®ã: B - B = B = 9 
 B = 54.
	Mçi ng­êi mua sè cam : 54 : 6 x 5 = 45 qu¶, sè cam ng­êi ®ã ®em b¸n lµ: 45 x 5 = 225 (qu¶).
 5. Kh¸i qu¸t vÊn ®Ò
	M« h×nh chung cña lo¹i to¸n gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p suy luËn tõ cuèi lµ:
cÇn t×m
+ Mét sè
+ NhiÒu sè b»ng nhau
KÕt qu¶ sau biÕn ®æi lÇn thø nhÊt
(ch­a biÕt )
KÕt qu¶ sau biÕn ®æi lÇn thø hai
(ch­a biÕt)
KÕt qu¶ sau biÕn ®æi lÇn thø ba
(ch­a biÕt)
cuèi cïng
( ®· biÕt)
C¸c b­íc thùc hiÖn ng­îc ®Ó gi¶i bµi
	Quy tr×nh gi¶i chñ yÕu thùc hiÖn c¸c b­íc theo chiÒu mòi tªn ng­îc víi chiÒu mòi tªn biÕn ®æi ban ®Çu. ViÖc thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh hoµn toµn phô thuéc vµo qu¸ tr×nh biÕn ®æi. Cã nh÷ng bµi viÖc biÕn ®æi ®¬n gi¶n, cã nh÷ng bµi biÕn ®æi phøc t¹p. 
	Cã mét sè bµi to¸n kÕt qu¶ cuèi cïng cã thÓ kh«ng ph¶i lµ nh÷ng sè cô thÓ mµ cã thÓ l¹i lµ mét bµi to¸n, gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã ta sÔ t×m ®­îc c¸c kÕt qu¶ cuèi cïng ( th«ng th­êng lµ c¸c bµi to¸n Tæng - TØ, HiÖu - TØ  )