Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi 8 môn Toán

 Soạn ngày: 15/ 2/ 2011
 Buổi 1: Bài tập nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức 
 và phân tích đa thức thành nhân tử
 A. Mục tiêu:
 - Cũng cố kiến thức về nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử
 - Rèn luyện kỉ năng thực hành giải toán
 B. Hoạt động dạy học:
Bài 1. Tính:
a, A = x5 - 5x4 + 5x3 - 5x2 + 5x - 1 với x = 4. Thay 5 = x + 1
b, B = 3. (đặt = a; = b)
c, (áp dụng hằng đẳng thức)
Bài 2. So sánh:
a, A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) và B = 232
 Nhân và A với 2 - 1 ta được A = 232 - 1 A < B
b, A = và B = . Do x > y > 0. Ta có: A = = 
3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x4 + 2x3 + x2 + x + 1 (tách 2x3 = x3 + x3)
b, (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 (áp dụng hằng đẳng thức (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
4. Xác định hệ số a, b sao cho
a, x4 + ax2 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1
b, ax3 + bx - 24 chia hết cho (x + 1)(x + 3)
5. a, Chứng minh rằng: 2n3 + 3n2 + n chia hết cho 6 với mọi n nguyên
 b, Chứng minh rằng tổng các lập phương ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
 c, Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương
6. Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = y2
Ta có: x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = x6 - 2x5 + 2x5 - 4x4 + 3x4 + 2x3 - 2x3 + 2x3 + x2 + x2
 = x2(x + 1)2 [(x - 1)2 +1] 
Do y2 là số chính phương
Nên để x6 - x4 + 2x3 + 2x2 = y2 thì x6 - x4 + 2x3 + 2x2 phải là số chính phương
Hoạt động 3. Bài tập về nhà:
Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì:
 (n + 1)(n + 2)(n + 3)...(2n) chia hết cho 2n
 Soạn ngày 22/ 2/ 2011
 Buổi 2: Bài tập nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức 
 và phân tích đa thức thành nhân tử (tiếp)
 A. Mục tiêu:
 - Tiếp tục cũng cố kiến thức về nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử
 - Rèn luyện kỉ năng thực hành giải toán
 B. Hoạt động dạy học:
Câu 1. a, Tính M = 
b, Tính giá trị của biểu thức:
 x15 - 8x14 + 8x13 - 8x12 + ... - 8x2 + 8x - 5 
với x = 7
Câu 2: So sánh 
M = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) với N = 364 - 1
Câu 3: Tìm x, y, biết: x2 - 2x + y2 + 4y + 5 = 0
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = 4x - x2 + 1
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
Câu 5: a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
 (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
 b, áp dụng giả phương trình: 
 12 = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x
Câu 6: Chứng minh rằng: z2 + y(2x - y) - x2 
chia hết cho x - y + z
HD: Đặt = a; = b. Ta có: M = 5a = 
HD: Thay 8 = x + 1 vào biểu thức, ta được:
 x15 - (x + 1)x14 + (x + 1)x13 - (x + 1)x12 + ... - (x + 1)x2 + (x + 1)x - 5
HD: áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương nhiều lần
HD: Biến đổi ta có: (x - 1)2 + (y + 2)2 = 0 
HD: A = 4x - x2 - 4 + 5 = 5 - (x2 - 4x + 4) = 5 - (x - 2)2
HD: b, Thực hiện phép nhân ta có: 
B = (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x - 6) = (x2 + 5x)2 - 36
HD: a, Đặt ẩn phụ x2 + x = y
 b, Đưa biểu thức về một vế bằng 0, viết biểu thức còn lại thành hân tử theo câu a
HD: Phân tích đ thức bị chia thành nhân tử trong đó có một nhân tử chia hết cho
x - y + z
C. Bài tập về nhà: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a, 4x2 - 3x - 1
 b, 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7x2 + 1
 Soạn ngày: 1/ 3/ 2011
 Buổi 3: Ôn tập dạng đề thi (Đề số 1)
A. Mục tiêu:
 - Luyện kỉ năng thực hiện giải các đề thi học sinh giỏi thông qua đó giúp học sinh có kỉ năng và kiến thức cho thực hành giải toán
B. Hoạt động trên lớp:
Câu 1: a, Rút gọn: A = 
 b, Chứng minh A > o với mọi m và n. Tìm m và n để A đạt giá trị lớn nhất
HD: A = , Ta có m2 + 2 > 0 với mọi m nên A > 0
A lớn nhất khi m2 + 2 nhỏ nhất mà m2 + 2 2 vậy m2 + 2 = 2 m2 = 0 m = 0 vậy MaxA = 
Câu 2: Cho a + b + c = 0 và a3 + b3 + c3 = 0. Tính a1997 + b1997 + c1997
HD: Xét a + b + c = 0 nên c = -(a + b) nên
0 = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - [a3 + b3 + 3ab(a + b)] = 3abc vậy a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0. Từ đó ta có: a1997 + b1997 + c1997 = 0
Câu 3: a, Giải phương trình: 8x3 - (4x + 3)3 + (2x + 3)3 = 0
HD: Biến đổi đưa về phương trình tích
 8x3 - (4x + 3)3 + (2x + 3)3 = 0 - 6x.(4x + 3).(2x + 3) = 0
b, Tìm cặp số nguyên x và y thõa mãn: 2x + = 38
HD: Biến đổi phương trình về dạng tích hai biểu thức bằng một số
 2x + = 38 (x - 19)(2y + 1) = -19
Câu 4: Tìm một số có 3 chữ số chia hết cho 9. Biết rằng tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị bằng 16 và nếu đổi chổ chữ số hàng đơn vị và hàng trăm cho nhau ta được một số bé hơn số cũ là 198.
HD: Viết số đó dưới dạng thập phân và từ các giả thiết của bài toán ta có số cần tìm là 927
Câu 5: Cho hình thang KLMN (ML // NK) có hai đường chéo cắt nhau tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với ML cắt KL và MN tại H và F.
a, Chứng minh EH = EF
b, Chứng minh: 
HD: a, áp dụng định lí Talet cho tam giác
b, Ta có: 
Tương tự: 
 Dạy ngày: 6/ 3/ 2011
 Buổi 4: Đề số 2
A. Mục tiêu:
 - Luyện kỉ năng thực hiện giải các đề thi học sinh giỏi thông qua đó giúp học sinh có kỉ năng và kiến thức cho thực hành giải toán
B. Hoạt động trên lớp:
Câu 1: Cho biểu thức: A = 
a, Rút gọn A, tìm x để A = 
b, Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
HD: Điều kiện xác định của biểu thức
- Quy đồng đưa các hạng tử về cùng mẫu rồi thu và đưa A về dạng phân thức đại số
- Phân tích tử và mẫu của phân thức đó thành nhân tử và thu gọn.Ta được: A = 
? A = tức ta có điều gì? (giải phương trình A = ta được x = )
- Viết A về dạng: A = - 5 + 
? A nguyên tức ta có điều gì? (17 chia hết cho x + 3)
Câu 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
HD: Em có nhận xét gì về ba số a, b, c?(a, b, c là số dương)
GV: Cho hs chứng minh bất đẳng thức Cô-Sy và hướng dẫn hs sử dụng
Bất đẳng thức Cô- Sy: Với a, b là các số không âm ta có: .Dấu “=” xẩy ra khi a = b
Theo bài ra và áp dụng bất đẳng thức Cô-sy ta có: (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc a = b = c tức tam giác đó là tam giác đều
Câu 3: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B và C). 
Kẻ MD AB, MK AC
A
a, Chứng minh MD + MK không đổi khi M di chuyển trên cạnh BC
b, Gọi O là trung điểm của AM. Tứ giác DOKH là hình gì?
c, Tìm vị trí của M trên cạnh BC để độ dài DK là ngắn nhất
O
D
K
C
B
H
M
Câu 4: Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức: P = 
HD: Cách 1: Biến đổi biểu thức P làm xuất hiện giả thiết và thay giả thiết vào tính
Ta có: P2 = ()2 = = thay 3a2 + 3b2 = 10ab vào ta được P2 = 
Do a b > a > 0 a - b 0 nên P < 0 vậy P = - 
Cách 2: Biến đổi giả thiết thay vào biểu thức:
Ta có: 3a2 + 3b2 = 10ab 3a2 - 9ab - ab + 3b2 = 0 3a(a - 3b) - b(a - 3b) = 0
(a - 3b)(3a - b) = 0
Trường hợp 1: a - 3b = 0 a = 3b không xẩy ra vì 0 < a < b <3b)
Trường hợp 2: 3a - b = 0 a = 3b thay vào biểu thức P = - 
M
B
A
Câu 5: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Nối BN, CM chúng cắt nhau tại P. Chứng minh:
a, BN vuông góc với CM
b, DP = DC 1 1
P
N
HD: a, CBM = BAN (c-g-c) 1 
E
CBM vuông tại B: + = 900 + = 900 2 1
C
D
 = 900 CM BN 
b, Kéo dài BN cắt CD tại E. Ta có: DE = AB = DC
EPC vuông tại P có PD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên PD = CD
Câu 6: Tìm giá trị x, y để đa thức : A = x2 - 4xy + 5y2 + 10x - 22y + 30 đạt giá trị nhỏ nhất. 
HD: A = (x - 2y + 5)2 + (y - 1)2 + 4 4. Vậy Min A = 4 khi x = - 3, y = 1
Bài tập về nhà:
 Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c
HD: Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] = 0
 --------------------@&?--------------------- 
 Soạn ngày 12/ 3/ 2011
 Buổi 5: Đề số 3
A. Mục tiêu:
 - Luyện kỉ năng thực hiện giải các đề thi học sinh giỏi thông qua đó giúp học sinh có kỉ năng và kiến thức cho thực hành giải toán
B. Hoạt động trên lớp: Gv Hướng dẫn hs giải đề thi từ đó bổ sung các kiến thức liên quan
Câu 1: Cho biểu thức: A = 
a, Tìm điều kiện xác định và rút gọn A
b, Với giá trị nào của x thì A < 
HD: ĐKXĐ Rút gọn: A = 
b, A < < 0 < x < 2012 kết hợp điều kiện ta có: A < 
Câu 2: Cho hai số dương thõa mãn x + y = 1
a, Tính gí trị của biểu thức: M = x(x + 34) + y(y + 34) + 2xy + 65
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
HD: Đây là bài toán mà giá trị cần tính phụ thuộc vào giả thiết nên ta cần biến đổi biểu thức về dạng có xuất hiện giả thiết của bài toán
Giải: a, Ta có: M = (x + y)2 + 34(x + y) + 65 Thay x + y = 1 vào ta được M = 100
b, Ta có: P = Thay 1 = x + y vào ta được: P = = . Ta có: P nhỏ nhất khi nhỏ nhất khi xy lớn nhất. Mà x + y = 1 không đổi nên xy lớn nhất khi x = y = . Vậy Min P = 9 khi x = y = 
Câu 3: Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số của bậc cao nhất là 1. Biết P(1) = 0; P(3) = 0; P(5) = 0. Hãy tính Q = P(-2) + 7.P(6)
HD: P(a) = 0 tức a là một nghiệm của đ thức nên P(x) = (x - a).A(x). Tương tự: x = 3; x = 5 cũng là nghiệm của P(x) suy ra đa thức đã cho sẽ có 4 nghiệm. Giả sử nghiệm thứ 4 là a. Do Hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên Ta có: P(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - a) 
 P-2) = 210 + 105a; 7.P(6) = 7(90 - 15a)
 Q = P(-2) + 7.P(6) = 840
Câu 4: Tìm tất cả các số nguyên n thõa mãn: (n + 5)2 = [4(n - 2)]3 
HD: Ta nhận thấy (n + 5)2 0 nên để (n + 5)2 = [4(n - 2)]3 thì [4(n - 2)]3 0 tức n 2
Ta thấy với n = 2 không thõa mãn
Vậy với n > 2 ta có: (n + 5)2 = 64(n - 2)3 64(n - 2)2 = [8(n - 2)]2 hay n + 5 8(n - 2) n 3 Vậy n = 3 là giá trị nguyên cần tìm
Câu 5: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB, vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm C trên Ax, điểm D trên By sao cho góc COD = 900.
a, Chứng minh ACO ~ BOD
b, Chứng minh CD = AC + BD
c, Kẻ OM vuông góc với CD tại M. Gọi N là giao điểm của AD với BC. Chứng minh MN // AC.
Giải: x y
D
M
C
N
 1
B
O
A
 2 1
a, Ta có: (cùng phụ với ), = 1v 
 ACO ~ BOD (g-g)
b, Kéo dài CO cắt DB tại E ta có: E
CAO = EBO (g-c-g) CA = EB và OC = OE 
Từ OC = OE O là trung điểm CE mà DO CO (gt) nên DCB cân tại D CD = DE
mà DE = DB + EB hay CD = EB + BD thay EB = CA ta có: CD = CA + DB (đfcm)
c, Do AC//BD (1) vì DCB cân tại D nên DO cũng là phân giác của OM = OB (Điểm nằm trên tia phân giác của góc luôn cách đều hai cạnh của góc) OM = OA 
 AOC = MOC (Cạnh huyền- cạnh góc vuông) AC = CM (2) mà AC + DB = CM + MD BD = MD (3) Từ (1),(2),(3) MN//AC (định lí Talets đảo)
Bài tập về nhà: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 
 --------------------@&?---------------------