Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 : 2010 - 2011 môn toán

Gi¸o ¸n Båi d­ìng häc sinh giái líp 5 : 2010-2011
GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ
A- Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học, dạng toán “Tạo lập số” được đề cập ngay từ lớp 1. Càng lên lớp trên thì cấu trúc của dạng toán này yêu cầu phức tạp hơn. Vậy việc dạy và học toán “Tạo lập số” như thế nào cho có hiệu quả cao. Chúng ta cùng giải qua các bài toán sau :
Bài toán 1 : Cho các chữ số 1, 3, 5.
a) Lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
b) Lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những chữ số trên.
Phân tích :
a) Các số lập được thỏa mãn các điều kiện :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số có thể lặp lại trong mỗi số.
Như vậy ta có sơ đồ hình cây như sau :
b) Các số lập được thỏa mãn các yêu cầu sau :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần ở mỗi số (khác ý a).
Ta có sơ đồ sau :
Giải : Nhìn vào sơ đồ hình cây (1) ta thấy :
a) Các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là : 111, 113, 115, 131, 133, 135, 151, 153, 155, 311, 313, 315, 331, 333, 335, 351, 353, 355, 511, 513, 515, 531, 533, 535, 551, 553, 555.
b) Nhìn vào sơ đồ hình cây (2) ta có ngay các số thỏa mãn đầu bài là :
135, 153, 315, 351, 513, 531.
Nhận xét : Phân tích theo sơ đồ hình cây ta nên vẽ theo thứ tự từ bé đến lớn (hoặc từ lớn đến bé). Như vậy sẽ rất thuận lợi nếu bài toán yêu cầu sắp xếp các số lập được theo một thứ tự.
Bài toán 2 :
a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ những chữ số lẻ ?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ những chữ số lẻ ?
Phân tích : 
- Bài toán này không cho trước các chữ số để lập số, vì vậy ta phải có bước tìm ra chữ số cần lập hoặc tìm ra số lượng chữ số.
- Bài toán không yêu cầu lập số cụ thể mà chỉ yêu cầu tìm ra số lượng số.
Cần bàn : Ta có nên lập các số đó ra rồi đếm không ?
- Nếu đề toán cho ít chữ số thì ta có thể làm theo cách đó. Nhưng có nhiều chữ số thì làm theo cách đó quả là mất thời gian thậm chí không liệt kê ra hết được. Vậy có cách nào và lập luận thế nào cho chuẩn xác ?
Nhìn vào bài toán 1 ta thấy nếu các chữ số đã cho mà khác 0 thì :
- Có bao nhiêu chữ số sẽ có bấy nhiêu cách chọn hàng cao nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì... (Nếu là các chữ số không nhất thiết phải khác nhau ở mỗi số).
- Có bao nhiêu chữ số thì có bấy nhiêu cách chọn hàng cao thứ nhất, số cách chọn hàng cao thứ nhì cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất sẽ kém đi 1, số cách chọn hàng cao thứ ba cho mỗi cách chọn hàng cao thứ nhất, thứ nhì sẽ kém đi 2,... Nếu là các chữ số phải khác nhau ở mỗi số)
- Số lượng số chính bằng tích của các cách chọn.
Giải : Từ sự phân tích trên ta có thể đưa ra một cách giải chuẩn xác như sau :
a) Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Với 5 chữ số đó ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm, hàng chục ta có đúng 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng một số. Vậy có tất cả : 5 x 5 x 5 = 125 (số) thảo mãn đề bài.
b) Với 5 chữ số trên ta có đúng 5 cách chọn chữ số làm hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm ta còn 5 - 1 = 4 (chữ số) nên có đúng 4 cách chọn chữ số làm hàng chục. Sau khi đã chọn chữ số làm hàng trăm, hàng chục rồi ta còn 5 - 2 = 3 (chữ số) nên có đúng 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. Mỗi cách chọn cho ta đúng 1 số.
Vậy có tất cả : 5 x 4 x 3 = 60 (số) thỏa mãn đề bài.
Đáp số : a) 125 số ; b) 60 số
Chú ý : Nếu trong các chữ số đã cho có chữ số 0 thì cần lưu ý chữ số 0 không được đứng làm hàng cao nhất.
C¸ch gi¶I bµi to¸n vÒ cÊu t¹o sè
B- Một trong những định hướng sáng tác những đề toán có gắn với con số chỉ năm , sử dụng nó như một số tự nhiên khác (C ấu tạo số )
Ví dụ 1 : Phân tích số 1995 thành tích các thừa số ta có kết quả như sau :
1995 = 3 x 5 x 7 x 19 = 19 x 15 x 7. Thay các chữ bởi các chữ cái ta có :
Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Bài toán có nhiều cách giải, mỗi cách giải đều ẩn chứa nhiều điều lí thú và bổ ích , 2 cách giải điển hình nhất :
Cách 1 :
Đặt phép tính như sau : Vì 7 x a + (nhớ) = 10 nên a = 1 7 x 1 + (nhớ) = 10 nên số nhớ là 3. Do đó c = 5. Thay a = 1, c = 5 vào (*) ta có :
1005 + b x 110 = 1050 + 105 x b
b x 5 = 45
(cùng trừ cả 2 vế đi 105 x b và 1005)
b = 45 : 5
b = 9
Vậy : 1995 = 19 x 15 x 7
Cách 2 :
Ví dụ 2 : Phân tích số 2004 thành tích các thừa số : 2004 = 2 x 2 x 3 x 167 = 1 x 12 x 167.
Thay các chữ số bởi các chữ cái ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Sau đây là cách giải rất quen thuộc đối với tiểu học :
Bµi tËp giải bốn bài toán sau :
Bài 1 : Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 28.
Bài 2 : Tìm số lớn nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 2.
Bài 3 : Tìm số lẻ lớn nhất có 4 chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 3.
Bài 4 : Số nào thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Lớn nhất, có 4 chữ số
b) Chẵn, không chia hết cho 5
c) Tổng các chữ số của nó bằng 4.
Cần chú ý : - Định hướng cho học sinh phương pháp giải của từng dạng toán và đặc biệt cần phải biết sáng tạo ra những bài toán phù hợp với từng lớp và vận dụng được kiến thức mà các em đã được học. 
Nghiên cứu tìm hiểu một số ví dụ sau trước khi giải toán chia hết và vận dụng nó !
Ví dụ 1 : Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 3.
 Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.
Giải : Đặt M = abc thì N = cba (a > c > 0 ; a, b, c là chữ số), khi đó M - N = abc - cba. Giả sử cba chia cho 3 dư r (0 r < 3) thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r.Vậy hiệu M - N chia hết cho 3
.Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó. (Đề thi Tiểu học Thái Lan)
 Phân tích: Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó. Từ đó ta tìm được số chia để suy ra số dư
Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc (a > 0 ; a, b, c < 10). Vì hai số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 - 31513) chia hết cho abc hay 2856 chia hết cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nên abc = 714. Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97). Vậy số dư của hai phép chia đó là 97. Ví dụ 3 : Tìm thương và số dư của phép chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x  x 15 + 200) : 182.
Phân tích : Nếu trong một tổng có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng, nếu tổng các số dư đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó. 
Giải : Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x 15) chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 (dư 18) nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.(Bạn đọc tự tìm ra đáp số)
Ví dụ 4 : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có bao nhiêu con cừu ?”. Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ?
Phân tích : Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu.
Giải : Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 - 6 = 4719 (con). Trên đây là 4 ví dụ tiêu biểu mà khi giải phải vận dụng một số tính chất chia hết. Những tính chất này không có trong chương trình cơ bản của tiểu học. Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy nó qua các bài toán. Học toán cần phải tìm tòi, sáng tạo và vận dụng kiến thức được học một cách linh hoạt mới thấy được vẻ đẹp của toán học? 
Gi¶i bµi to¸n
vÒ sè vµ ch÷ sè nh­ thÕ nµo ?
 C¸ch gi¶i ®èi víi c¸c bµi to¸n d¹ng nµy.
1. Ph­¬ng ph¸p xÐt ch÷ sè tËn cïng
 VÝ dô. T×m sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã gÊp 9 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ.
 Gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bµi ra ta cã : = b x 9.
V× a ≠ 0 nªn b ≠ 0. V× b x 9 cã tËn cïng lµ b (kh¸c 0) nªn b = 5.
Do ®ã : = 5 x 9 = 45.
2. Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh ch½n - lÎ
 VÝ dô . Cã mét sè gåm hai ch÷ sè mµ hai lÇn ch÷ sè hµng chôc th× b»ng 5 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ. T×m sè ®ã.
 Gi¶i : Gäi sè ph¶i t×m lµ (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bµi ra ta cã : a x 2 = b x 5.
- V× a x 2 lµ sè ch½n nªn b x 5 còng ph¶i lµ sè ch½n ; mµ 5 lµ sè lÎ nªn b ph¶i lµ sè ch½n.
- V× gi¸ trÞ lín nhÊt cña a lµ 9 nªn a x 2 cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 9 x 2 = 18 ; do ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña b x 5 còng chØ lµ 18. V× thÕ gi¸ trÞ lín nhÊt cña b còng chØ lµ 3 (v× nÕu b = 4 th× 4 x 5 = 20 > 18), mµ b lµ sè ch½n nªn b = 2 vµ a x 2 = 2 x 5. 
Suy ra : a = 5. Sè cÇn t×m lµ 52.
 3. Ph­¬ng ph¸p thö - chän
 VÝ dô. T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho:
 + + = 1
 G ...  thứ nhất thì người thứ hai đi quãng đường nhiều hơn người thứ nhất là : 20 x 2 = 40 (km) 
Vận tốc người thứ hai hơn người thứ nhất là : 20 - 15 = 5 (km/giờ)
Thời gian người thứ nhất đi là : 40 : 5 = 8 (giờ)
Quãng đường AB dài : 15 x 8 = 120 (km)
Cách 3 : Giả sử người thứ nhất đi với thời gian như người thứ hai thì người thứ nhất đi quãng đường ít hơn người thứ hai là : 15 x 2 = 30 (km)
Một giờ người thứ nhất đi ít hơn người thứ hai 5 km nên thời gian người thứ hai đi là 30 : 5 = 6 (giờ) và ta tính được quãng đường AB là 20 x 6 = 120 (km)
Theo suy nghĩ : cùng một quãng đường thì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian ta có cách giải sau.
Cách 4 : Gọi vận tốc người thứ nhất là v1 (km/h) ; người thứ hai là v2 (km/h) ; thời gian người thứ nhất đi quãng đường AB là t1 (giờ) ; người thứ hai là t2 (giờ) 
Ta có : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy ra t1/t2 = 4/3
Biết tỉ số t1/t2 = 4/3 và t1 - t2 = 2
Ta tính được t1 = 8 (giờ) ; t2 = 6 (giờ)
Do đó quãng đường AB dài : 15 x 8 = 120 (km)
Thời gian người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là 2 giờ. Ta thử tính xem trong 1 km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất bao lâu ? Từ đó sẽ tìm được quãng đường AB. Ta có cách làm thứ 5.
Cách 5 : Cứ 1 km người thứ nhất đi hết 1/15 giờ ; 1km người thứ hai đi hết 1/20 giờ
Trong 1 km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là : 1/15 - 1/20 = 1/60 (giờ)
Vậy quãng đường AB dài : 2 : 1/15 = 120 (km)
Ta có thể giả thiết (gọi) thời gian đi của người thứ nhất, người thứ hai để có cách nào làm khác 
Cách 6 : Gọi thời gian đi của người thứ nhất là x (giờ) thì thời gian đi của người thứ hai là x - 2 (giờ)
Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x
20 x x - 40 = 15 x x
20 x x - 15 x x = 40
15 x x = 40 
x = 8
Vậy quãng đường AB dài: 15 x 8 = 180 (km)
Cách 7 : Tương tự như cách 6 ta gọi thời gian đi của người thứ hai là y (giờ) thì thời gian đi của người thứ nhất là y+2 (giờ). Ta có 20 x y =15 x (y + 2) 
Ta tìm được y = 6 và quãng đường AB dài 20 x 6 = 120 (km). Hãy áp dụng một cách sáng tạo có cơ bản để tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán. Luôn cố gắng tìm tòi để giỏi hơn.
Bài tập áp dụng. Một chiếc ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B hết 4 giờ. Nếu trong mỗi giờ chiếc ôtô này đi thêm được 14 km thì thời gian đi từ A đến B chỉ mất 3 giờ. Hãy tính khoảng cách giữa hai tỉnh A và B.
(Đáp số : 168 km)
KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN
Dạng toán có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác là dạng toán khó đối với các em học sinh lớp 5. Để giúp các em có thêm kiến thức và có khả năng vận dụng khi gặp dạng toán này, tôi xin trao đổi một hướng khai thác một bài toán. 
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC, trên BC lấy M sao cho BM = MC, N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2 x NA. Kéo dài MN cắt BA tại P. Hãy chứng tỏ AP = AB. 
Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S là diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC và chung chiều cao hạ từ P). SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC và chung chiều cao hạ từ N). 
Do đó SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC. (1) 
SPNC = SAPN x 2. (2) (vì có đáy NC = 2 x NA và chung chiều cao hạ từ P). 
Từ (1) và (2) ta có SAPN x 2 = SPBN hay SAPN = SABN. Hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ N nên đáy của chúng bằng nhau tức là AP = PB. 
Thay đổi vị trí của M ; N ta có bài toán sau : 
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC có AB = 2 cm ; M là một điểm trên BC sao cho BM = 3 x MC ; N là một điểm trên AC sao cho AN = 2 x NC ; MN cắt BA kéo dài tại P. 
a) Tính AP. 
b) So sánh PN với NM. 
Lời giải : Nối PC ; BN. 
a) Tương tự như bài 1 ta chứng minh được SPBN = 3 x SPNC. 
Nếu coi SPNC = a thì SPBN = 3 x a. Do SAPN = 2 x SNPC nên SAPN = 2 x a, suy ra SANB = a hay SAPN = 2 x SANB, mà hai tam giác này có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x 2 hay 
AP = 2 x 2 = 4 (cm). 
b) Theo phần (a) ta có : SPBN = 3 x a, SABN = a ; SABN = 2 x SNBC (vì có AN = 2 x NC và chung chiều cao hạ từ B), do đó SNBC = a/2. (1) 
SNBM = 3/4SNBC (vì MB = 3 x MC 
nên MB = 3/4 BC ; và chung chiều cao hạ từ N). (2) 
Từ (1) và (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8. 
Hai tam giác PBN và NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích là : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy cũng là 8 hay PN = 8 x NM. 
Thay đổi vị trí M, N ta có bài toán sau : 
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, M là điểm trên BC sao cho MC = 2 x MB ; N là điểm trên AC sao cho AN = 4 x NC ; NM cắt AB kéo dài tại P. 
a) So sánh SAPM với S,sub>MPC. 
b) So sánh AB với PB. 
Lời giải : Nối AM ; PC. 
a) Tương tự như bài 1 ta chứng minh được : SAPM = 4 x SMPC. 
b) Tương tự ta cũng chứng minh được AB = 8 x PB. 
Tiếp tục thay đổi vị trí của M, N, P để có bài toán sau : 
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC. Trên AB lấy M sao cho AM = 1/2 MB; trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 1/3 NC ; BN cắt CM tại P. 
a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC. 
b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB. 
Hướng dẫn giải : 
Nối A với P ta có : SBCM = 2 x SMCA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều cao hạ từ C). SBPM = 2 x SMPA (vì có MB = 2 x MA và chung chiều cao hạ từ P). Suy ra : SBPC = 2 x SCPA. (1) 
Tương tự như trên ta có : SCBN = 3 x SNBA (vì có CN = 3 x NA và chung chiều cao hạ từ B) ; SCPN = 3 x SNPA (vì có CN = 3 x NA và chung chiều cao hạ từ P). Suy ra : SBPC = 3 x SAPB. (2) 
Từ (1) và (2) ta thấy : nếu coi SPBC là 6 phần bằng nhau, thì S,sub>APB là 2 phần, SNPA là 3 phần. Khi đó SABC là : 6 + 2 + 3 = 11 (phần). 
Vậy SBPC : SABC = 6/11. 
Tương tự tính được PN : PB = 3/8. 
Bây giờ các bạn hãy thử sức của mình bằng 2 bài toán sau : 
Bài 1 : Cho tam giác ABC ; N là điểm trên AC sao cho AN = 3 x NC ; M là điểm trên BC sao cho BM = 1/2 MC. Nối MN cắt BA kéo dài tại P, biết AB = 6 cm. Tính PB. 
Bài 2 : Cho tam giác ABC ; M là điểm trên AB sao cho BM = 3 x MA ; N là điểm trên AC sao cho AN = 1/2 NC ; NB cắt MC tại O. 
a) So sánh diện tích tam giác AOB với AOC. 
b) Tính tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng OM và OC. 
CẮT GHÉP HÌNH
TRÊN GIẤY KẺ Ô VUÔNG
Việc giải bài toán cắt, ghép hình đòi hỏi phải quan sát, phân tích tổng hợp các yếu tố: đỉnh, góc, cạnh của hình ban đầu để tìm ra mối quan hệ giữa các mảnh hình sẽ cắt ra hoặc phải ghép lại theo yêu cầu bài toán. Nghĩa là phải tưởng tượng về các phép cắt thử, ghép thử so sánh giữa hình ban đầu và hình phải ghép được. Vì vậy giải bài toán cắt, ghép hình là khó và phức tạp, cũng vì vậy mà sức hấp dẫn và sự lôi kéo của các bài tập này càng lớn. 
Việc vẽ hình trên giấy kẻ ô vuông sẽ giúp ta dễ hình dung hơn phần nào được để nguyên, phần nào phải cắt, ghép và phải cắt ghép như thế nào? 
Việc giải bài toán cắt ghép hình có thể tiến hành theo qui trình: 
1. Vẽ hình đã cho trên giấy kẻ ô vuông sao cho có thể đếm được số ô vuông của hình vẽ. Quan sát đặc điểm các yếu tố hình đã cho: đỉnh, cạnh, góc; vị trí; hình dạng và độ lớn. Tưởng tượng ra hình cần ghép được (có thể vẽ thử trên giấy kẻ ô vuông). 
2. Phân tích, đối chiếu, so sánh các yếu tố hình đã cho và cần tìm xác định các yếu tố nào đã được thỏa mãn; xác định được bộ phận nào cần cắt ghép. Thực hiện cắt ghép thử. 
3. Cắt ghép theo sự phân tích bước 2. 
4. Kiểm tra các yêu cầu của bài toán, tìm các cách ghép khác và chọn cách tốt nhất. 
Ví dụ 1: Có một tờ bìa hình vuông đã cắt đi 1/4 hình vuông đó ở một góc. Hãy chia hình đó thành 4 phần bằng nhau. 
Bước 1: Vẽ hình đã cho trên giấy kẻ ô vuông. Hình đã cho tạo thành từ 3 ô vuông lớn, mỗi ô lại có 4 ô vuông nhỏ. Tất cả có 12 ô vuông nhỏ. 
Bước 2: Hình cắt ra thành 4 mảnh bằng nhau, như vậy mỗi mảnh có 3 ô vuông nhỏ. 
Nếu mỗi ô vuông lớn cũng bỏ đi một ô vuông nhỏ thì mỗi ô vuông lớn còn lại 3 ô vuông là mảnh cần cắt ra. Các ô vuông nhỏ được cắt từ ô vuông lớn khi ghép lại phải là mảnh còn lại. Vì vậy mảnh còn lại có dạng ô vuông lớn cắt đi ô vuông nhỏ, nên mảnh còn lại là phần liên thông gồm 3 ô vuông ở 3 ô vuông lớn. 
Bước 3: Cắt theo đường ABDEFGH ta được 1 mảnh. Cắt mảnh còn lại theo 2 đường: FI và CD ta được 3 mảnh còn lại. 
Bước 4: Bốn mảnh được cắt là: MHGFIN; HGEBA; FIKCD; CDAQP đều là 1 ô vuông lớn bỏ đi một ô vuông nhỏ còn 3 ô vuông có hình dạng như nhau và bằng nhau về độ lớn. 
Ví dụ 2: Chia hình vuông thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau. 
Bước 1: Vẽ hình vuông trên giấy kẻ ô vuông. Hình vuông được chia thành 16 ô vuông nhỏ. 
Bước 2: Mảnh được cắt ra là các tam giác có diện tích bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích 4 ô vuông. Khi đó cạnh đáy và chiều cao tương ứng của mỗi tam giác có độ dài bằng độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. 
Bước 3: Cắt hình vuông theo hai đường chéo AC và BD tạo ra bốn tam giác OAD; ODC; OCB và OBA bằng nhau và cùng diện tích bằng 4 ô vuông nhỏ. 
Bước 4: Các tam giác OAD; ODC; OCB; OBA bằng nhau: Gấp hình vuông theo hai đường chéo ta được 4 tam giác trùng khít lên nhau, do đó nó bằng nhau và bằng nhau về diện tích. 
Cách khác: Mỗi mảnh được cắt ra là một tam giác có diện tích 4 ô vuông, nên tam giác đó có cạnh và độ dài đường cao tương ứng là độ dài cạnh 4 và 2 ô vuông. Nếu lấy AB làm 1 cạnh của 1 tam giác được cắt ra thì đỉnh còn lại của tam giác thuộc đường thẳng MN, các vị trí của đỉnh có thể là M, F, O. Vì vậy ta còn có các cách giải sau: 
Cách 2: Cắt theo các đường BM; CM; MN. 
Cách 3: Cắt theo đường AE; BE; AF. 
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật có độ dài cạnh là 9 cm và 16 cm. Hãy cắt hình chữ nhật thành 2 mảnh để ghép lại được 1 hình vuông. 
Bước 1: Vẽ hình chữ nhật trên giấy kẻ ô vuông. Số ô vuông là: 9 x 16 = 144 (ô vuông). Hình ghép được từ hai mảnh cắt ra là hình vuông cùng diện tích là 144 ô nên mỗi cạnh hình vuông độ dài là cạnh 12 ô vuông. 
Bước 2: Hình vuông ghép lại từ hai mảnh có dạng như hình AEFG. Khi đó AD kéo dài DG có độ dài 3 ô vuông và AB bị rút ngắn bớt đi BE có độ dài cạnh 4 ô vuông. Hình chữ nhật DHFG có độ dài cạnh tương ứng 12 ô; và 3 ô là hình được ghép với hình chữ nhật AEHD để có hình vuông AEFG. Nếu cắt theo đường XY thì hình chữ nhật tương ứng để ghép được hình chữ nhật DHFG là hình chữ nhật YTCX. Khi đó B chuyển tới vị trí N; E chuyển tới vị trí M và M chuyển tới vị trí Y. 
Bước 3: Cắt hình chữ nhật theo đường XYZMNE; DX = 4; YZ = 4; MN = 4 ta được hai mảnh là ADXYZMNE và CXYZMNEB. 
Bước 4: Ghép mảnh CXYZMNEB trùng với FGDXYZMN ta được hình vuông AGFE. 
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Cắt một hình chữ thập thành 5 mảnh ghép lại được một hình vuông. 
Bài 2: Hãy cắt 2 hình vuông bất kì thành các mảnh để ghép lại được một hình vuông. 
Bài 3: Có thể cắt các hình vuông ABEF; ACGH để ghép lại thành hình vuông BCMN không? 
Hoµng TuyÕn