Giáo án môn Toán Lớp 5 - Chuyên đề: Tính tổng của một dãy số

CHUYÊN ĐỀ: 
TÍNH TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Nhớ lại cách tính số các số trong một dãy số cách đều .
(Số lớn nhất trong dãy – số bé nhất trong dãy):khoảng cách + 1
Nhớ lại cách thành lập số.
Nhớ lại cách tính trung bình cộng của một dãy số cách đều.
TBC một dãy số cách đều = (số bé nhất trong dãy + số lớn nhất trong dãy) : 2
Nhớ lại cách viết số trong hệ thập phân :
Ví dụ 1: 3256 = 3000 + 200 + 50 + 6 
	= 3 nghìn + 2 trăm + 5 chục + 6 đơn vị 
Ví dụ 2: 123456 = 123000 + 450 + 6 
	 = 123 nghìn + 45 chục + 6 đơn vị 
Ví dụ 3 (lớp 5): 
 123,456 = 1 trăm + 2 chục +3 đơn vị + 4 phần mười + 5 phần trăm + 6 phần nghìn
 = 100 + 20 + 3 + + + 
	 = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,05 + 0,006
DẠNG 1
TÍNH TỔNG CỦA MỘT DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU.
A.Thành lập công thức 
Ví dụ 1: Tính M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
 *Theo thói quen áp dụng quy tắc tính giá trị một biểu thức thì ta sẽ tính từ trái sang phải.Nhưng nếu tổng có rất nhiều số hạng thì làm sao ?Vậy việc tính tổng theo thứ tự từ trái sang phải không thuận tiện.Vì vậy ta nghĩ đến cách giải khác như sau:
 Cách 1: Sử dụng tính chất giao hoán,kết hợp để nhóm các cặp hai số có tổng bằng nhau.
M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4+ 7 ) + (5 + 6 )
Tới đây ta nhận xét tiếp: Trên đây là tổng của các tổng bằng nhau và giá trị của mỗi tổng đều bằng 11.Cho nên tổng của các tổng hai số trên bằng giá trị một tổng nhân với số số tổng.Vậy vấn đề còn lại là ta phải tính bao nhiêu tổng ? Tất nhiên quan sát các tổng từ trái sang phải ta thấy một số hạng của mỗi tổng lần lượt xuất hiện 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 . Vậy tương ứng có 5 tổng .
	Vậy M = 11 x 5 = 55 
Tới đây xin nói thêm :Ở bài trên thì M có 10 số hạng thì ta chia thành 5 tổng.Nhưng nếu số số hạng trong tổng là một số lẻ thì phải thừa ra một số.
	Ví dụ: N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11
	 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4+ 7 ) + (5 + 6 ) + 11
	 = 11 x 5 + 11 = 63	
	Quan sát cách giải trên vẫn còn phức tạp nhiều công đoạn.Để gọn hơn ta có cách giải sau:
+
Cách 2: M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
 M = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 
 Mx2 = 11 +11 + 11 +11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11
	Suy ra: M x 2 = 11 x 10 => M = 55
* Nhận xét: Rõ ràng cách này thuận tiện hơn nhiều và việc đếm số số hạng của 2xM thì bằng số số hạng của M.
 - Theo cách giải 2 ta có : 
Tổng một dãy số tự nhiên cách đều = (số bé nhất trong dãy + số lớn nhất trong dãy) x số các số trong dãy :2
Ví dụ 2: Tính N = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19
	Theo công thức trên ta có: 
N = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19
 = (1 + 19) x ( 19 – 1):2 + 1 : 2 
 = 100 
Chú ý: tính trong ngặc ( ) 
TỔNG QUÁT: Cho A là tổng một dãy số tự nhiên cách đều và cách nhau m đơn vị .
	Và A = a1 + a1 + a3 +  + an 
Công thức tổng quát:
	A = (a1 + an ) x ( an – a1 ): m + 1 : 2
Chú ý : Để tính số các số trong một dãy số cách đều mời các bạn đọc “Chuyên đề đếm số”.
Các bạn lớp 5 thân mến! Sau khi các bạn học các phép tính đối với số thập phân thì các bạn có thể áp dụng tính chất của số trung bình cộng để làm.Vậy công thức trên có thể hiểu một cách khác như sau: Áp dụng tính chất một tích chia cho một số ta được:
A
=
 (a1 + an ) x ( an – a1 ): m + 1 
 2
Tức là bằng trung bình cộng của dãy số đó nhân số các số trong dãy.
(Chú ý: Lớp 4 cũng áp dụng được khi tổng (a1 + an ) chia hết cho 2 .
B.BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Tính:	
A = 1 + 2 + 3 + + 97 + 98 + 99
2) B = 3 + 5 + 7 + + 51 + 53 + 55 
3) C = 2 + 4 + 6 + + 48 + 50 + 52 
4) D = 1 + 4 + 7 ++ 94 + 97 + 100
5) E = 3 + 7 + 11 + + 83 + 87 + 91 
6) F = 10 + 15 + 20 ++ 115 + 120 + 125 
7) G = 3 + 13 + 23 ++ 333 + 343 + 353 
8) H = 9 + 18 + 27 ++ 981 + 990 + 999
9) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số
10) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số giống nhau.
11) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số khác nhau .
(chú ý: đây là dãy số không cách đều ,từ bài 9 và bài 10 ta tính được bài này)
12) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 2.
13) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 3.
14) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số không chia hết cho 3.
(chú ý: đây là dãy số không cách đều ,từ bài 9 và bài 13 ta tính được bài này)
15) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho cả 2 và 3.
16) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 5.
17) Tính tổng tất cả các số chẵn có hai chữ số bắt đầu từ 18.
18) Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số không chia hết cho 2 bắt đầu từ 33.
19) Tính tổng 50 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 50.
20 ) Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 91.
21) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số
22) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số giống nhau.
23) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau .
(chú ý: đây là dãy số không cách đều ,từ bài 21 và bài 22 ta tính được bài này)
24) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 2.
25) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 3.
26) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số không chia hết cho 3.
(chú ý: đây là dãy số không cách đều ,từ bài 21 và bài 25 ta tính được bài này)
27) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho cả 2 và 3.
28) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 5.
29) Tính tổng tất cả các số chẵn có 3 chữ số bắt đầu từ 118.
30) Tính tổng 100 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 50.
31 ) Tính tổng 140 số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 101.
32) Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số vừa chia hết cho cả 2 và 5.
33) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số chia 3 đều dư 1.
(HD:Bài này tính tổng thông qua việc tính tổng dãy số có 3 chữ số chia hết cho 3)
34) Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số chia 3 đều dư 2.
(HD:Bài này tính tổng thông qua việc tính tổng dãy số có 3 chữ số chia hết cho 3)
35) Cho: A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + + n . Tìm n để A = 3240
DẠNG 2
TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ TỰ NHIÊN ĐƯỢC 
THÀNH LẬP TỪ CÁC CHỮ SỐ ĐÃ CHO
Dạng không có chữ số 0 trong các chữ số đã cho
Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1;2;3 .
Hướng dẫn
	Cách 1:
Bước 1: Thành lập số: dùng phương pháp sơ đồ cây
 (Nếu bạn chưa đọc phương pháp này mời bạn đón đọc).
 2 3	 1	 3	 1 2
	 1	2 	3
 3 2 	 3	 1	 2 1
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 3 3 2
+
Bước 2: Tính tổng: 
Nhận xét: 
Bước thành lập số theo sơ đồ cây quá tốn nhiều thời gian đối với trường hợp lập rất nhiều số.
Nếu tính tổng rất nhiều số được thành lập thì bước 2 theo cách trên rất khó khăn.
- Ưu điểm phương pháp sơ đồ cây là lập theo trình tự khoa học;liệt kê hết tất cả các số cần lập.
*Từ các bước làm cụ thể trên ta có nhận xét sau để có cách giải thứ 2 tiện hơn như sau:
Cách 2: (cách này hầu hết được sử dụng trong violympic để tính nhẩm).
Gọi số có 3 chữ số khác nhau : abc lập từ 3 chữ số 1;2;3 
Nếu chọn một trong ba chữ số 1;2;3 đứng ở hàng trăm thì ta có 2 cách chọn ở hàng chục và 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên ta có mỗi chữ số 1;2;3 lặp lại 2 x 1 = 2 lần ở vị trí hàng trăm .Tổng các trăm là: (1 + 2 + 3) x 2 trăm.
Tương tự có tổng các chục là: (1 + 2 + 3)x2 chục
Tổng các đơn vị là: (1 + 2 + 3)x2 đơn vị
	(1 + 2 + 3)x2 trăm + (1 + 2 + 3)x2 chục + (1 + 2 + 3)x2 đơn vị
	= 12 trăm + 12 chục + 12 đơn vị 
	= 1200 + 120 + 12 
	= 1332
*Theo cách này ta có thể nhẩm như sau: 
 Mỗi chữ số được lặp lại 2 lần ở mỗi hàng và (1 + 2 + 3)x2=12.
1200 + 120 + 12 = 1332.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 2;5;6;7
Bài 2: Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số được lập từ các chữ số 3;5;6
Bài 3: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 2;5;6;7
Bài 4: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số được lập từ các chữ số 3;5;6
Bài 5: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau mà các chữ số của mỗi số đều lẻ.
Bài 6: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau mà các chữ số của mỗi số đều chẵn và khác 0.
Bài 7: Cho năm chữ số 1, 3, 4, 5,7 
a) Có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số chia hết cho 2? 
b) Tính tổng các số vừa lập được
Bài 8:
Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. 
a) Có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau mà mỗi số đều chia hết cho 5? 
b) Tính tổng các số vừa lập được.
Bài 9: Cho 3 chữ số 1; 2; a (với a khác 0).Tìm a để tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho bằng 1332.
Bài 10: Cho 4 chữ số a ; b ;1; 2 (với a>b).Bạn Lan đã viết được 24 số có 3 chữ số khác nhau mà khi tính tổng các số viết được thì có kết quả là 6660.Tìm các chữ số a và b.
Dạng có chữ số 0 trong các chữ số đã cho
Ví dụ 2 : Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 0;1;2;3 .
Hướng dẫn
Cách 1: Gọi số có 3 chữ số khác nhau : abc lập từ 4 chữ số 0;1;2;3
Nếu chọn một trong ba chữ số 1;2;3 đứng ở hàng trăm (vì a khác 0) thì ta có 3 cách chọn ở hàng chục và 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên ta có mỗi chữ số 1;2;3 lặp lại 3 x 2 = 6 lần ở vị trí hàng trăm .Tổng các trăm là: (1 + 2 + 3) x 6 trăm = 3600 đơn vị 
*Mỗi chữ số 1;2;3 ở hàng chục đều có 2 cách chọn ở hàng trăm và 2 cách chọn hàng đơn vị.
Vậy mỗi chữ số 1;2;3 được lặp lại 2 x 2 = 4 lần ở hàng chục nên có tổng các chục : (1 + 2 + 3)x4 chục = 240 đơn vị 
*Mỗi chữ số 1;2;3 ở hàng đơn vị đều có 2 cách chọn ở hàng trăm và 2 cách chọn hàng chục.
Mỗi chữ số 1;2;3 được lặp lại 2 x 2= 4 lần ở hàng đơn vị nên có tổng các đơn vị: (1 + 2 + 3)x4 đơn vị = 24 đơn vị 
	Tổng:	 3600 + 240 + 24 = 3864
Vậy tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 0;1;2;3 là: 3864
Cách 2:
Nhẩm: Nếu chọn một trong ba chữ số 1;2;3 đứng ở hàng trăm (vì a khác 0) thì ta có 3 cách chọn ở hàng chục và 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên ta có mỗi chữ số 1;2;3 lặp lại 3 x 2 = 6 lần ở vị trí hàng trăm.
*Mỗi chữ số 1;2;3 ở hàng chục đều có 2 cách chọn ở hàng trăm và 2 cách chọn hàng đơn vị nên ta có mỗi chữ số 1;2;3 lặp lại 2 x 2 = 4 lần ở vị trí hàng chục.
Tương tự mỗi chữ số 1;2;3 lặp lại 2 x 2 = 4 lần ở vị trí hàng đơn vị.
Ta có: Tổng : (1 + 2 + 3)x( 6 x 100 + 4x10 + 4) = 3864 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 0;4;5;7
Bài 2: Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số được lập từ các chữ số 0;5;6
Bài 3: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số 0;5;6;7
Bài 4: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số được lập từ các chữ số 0;3;5;6
Bài 5: Tính tổng tất cả các số có 3 chữ số khác nhau mà ...  = 6 lần ở vị trí hàng đơn vị .Tổng các đơn vị là: (1 +3 + 5 + 7) x 6 = 96 đơn vị 
 *Tương tự mỗi chữ số 1;3;5;7 được lặp lại 6 lần ở các hàng còn lại nên :
 Tổng các phần mười là : (1+ 3 + 5 + 7) x 6 phần mười = = 9,6 đơn vị 
Tổng các phần trăm là : (1+3 + 5 + 7) x 6 phần trăm = = 0,96 đơn vị 
Tổng các phần nghìn là : ( 1+3 + 5 + 7) x 6 phần nghìn = = 0,096 đơn vị 
Vậy tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 3 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 1;3;5;7 là : 96 + 9,6 + 0,96 + 0,096 = 106,656
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà mỗi số có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 3;5;7.
Bài 2: Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 3 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 3;5;7;8.
Bài 3: Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 3;4;5;7.
Bài 4: Tính tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số lẻ .
Bài 5: Cho 4 chữ số 2; 3; 5; a ( a khác 0) .Tìm a để tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà có 3 chữ số phần thập phân lập được lập từ các chữ số đã cho bằng 113,322.
Dạng có chữ số 0 trong các chữ số đã cho
Ví dụ 2 : Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 3 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;3;5;7 . 
 Hướng dẫn
	Bước 1: Lập số 
 Gọi các số thập phân đó có dạng a,bcd ; từ các chữ số 0;3;5;7 ta có :
	4 cách chọn vị trí a 
	ứng với mỗi cách chọn vị trí a ta có:
	3 cách chọn vị trí b
ứng với mỗi cách chọn vị trí b ta có:
2 cách chọn vị trí c 
ứng với mỗi cách chọn vị trí c ta có:
1 cách chọn vị trí d 
Vậy ta có 4 x 3 x 2 x 1 = 24 số 
Bước 2: Tính tổng
*Mỗi chữ số 0;3;5;7 được lặp lại 24: 4= 6 lần ở mỗi hàng nên : 
Tổng tất cả 24 số thập phân vừa lập là: 
(3+5+7) x 6 đơn vị +(3+5+7) x 6 phần mười + (3+5+7) x 6 phần trăm + (3+5+7) x 6 phần nghìn = 99 + + + = 99,99 
 Ví dụ 3 : Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;3;5;7 . 
Hướng dẫn 
Bước 1: Lập số 
 Gọi các số thập phân đó có dạng ab,cd ; từ các chữ số 0;3;5;7 ta có :
	3 cách chọn vị trí a 
	ứng với mỗi cách chọn vị trí a ta có:
	3 cách chọn vị trí b
ứng với mỗi cách chọn vị trí b ta có:
2 cách chọn vị trí c 
ứng với mỗi cách chọn vị trí c ta có:
1 cách chọn vị trí d 
Vậy ta có 3 x 3 x 2 x 1 = 18 số 
Bước 2: Tính tổng
*Mỗi chữ số 3;5;7 được lặp lại 18: 3= 6 lần ở hàng chục nên có tổng các chục là : ( 3 + 5 + 7) x 6 chục = 900 đơn vị 
*Mỗi chữ số 3;5;7 ở hàng đơn vị đều có 2 cách chọn ở hàng chục và 2 cách chọn hàng phần mười và 1 cách chọn ở hàng phần trăm.
Vậy mỗi chữ số 3;5;7 được lặp lại 2 x 2 x 1 = 4 lần ở hàng đơn vị nên có tổng các đơn vị : (3+ 5 + 7) x 4 đơn vị = 60 đơn vị 
*Mỗi chữ số 3;5;7 ở hàng phần mười đều có 2 cách chọn ở hàng chục và 2 cách chọn hàng đơn vị và 1 cách chọn ở hàng phần trăm.
Vậy mỗi chữ số 3;5;7 được lặp lại 2 x 2 x 1 = 4 lần ở hàng phần mười nên có tổng các phần mười là : (3+ 5 + 7) x 4 phần mười = 6 đơn vị 
*Tương tự tổng các phần trăm là: (3+ 5 + 7) x 4 phần trăm = 0,6 đơn vị 
	Vậy tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;3;5;7 là: 900 + 60 + 6 + 0,6 = 966,6
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà mỗi số có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;3;5;7.
Bài 2: Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;3;5;7;8.
Bài 3: Tính tổng tất cả các số thập phân có 4 chữ số khác nhau mà có 3 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số: 0;4;5;7.
Bài 4: Tính tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được từ các chữ số chẵn .
Bài 5: Cho 4 chữ số 0; 2; 3; a .Tìm a để tổng tất cả các số thập phân có 3 chữ số khác nhau mà có 2 chữ số phần thập phân lập được lập từ các chữ số đã cho bằng 644,4.
DẠNG 4 (DÀNH CHO LỚP 5)
TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ THẬP PHÂN CÁCH ĐỀU 
Ví dụ 3 : Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 8 và nhỏ hơn 10 mà có 2 chữ số ở phần thập phân.
Hướng dẫn 
Dãy số thập phân lớn hơn 8 và nhỏ hơn 10 có hai chữ số phần thập phân là:
8,01 ; 8,02 ; 8,03 ; ; 9,97 ; 9,98 ; 9,99 
Tổng: 8,01 + 8,02 + 8,03 + + 9,97 + 9,98 + 9,99 
	 = + + ++ + + 
801 + 802 + 803 + + 997 + 998 + 999
 100
	 = 	
(999 + 801) x (999 – 801) + 1 : 2
 100
	 = 
	 = 1791
Dựa vào quy trình tính trên ta nhận thấy chẳng khác gì cách tính tính trong dãy số tự nhiên ,chỉ khác ta phải chia cho 100 (do có hai chữ số phần thập phân) 
	Các bạn thử nghĩ xem nếu có 3;4;5;. Chữ số phần thập phân thì ta sẽ chia cho mấy ? 
	Vậy ta có cách tính gọn hơn như sau: ta xem tất cả các số trong dãy đều là số tự nhiên ,ta tính tổng tất cả các số tự nhiên trong dãy rồi chia cho 100.
(999+ 801) x (1000 – 800 -1 ) : 2
 100
	 	 = 1791
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 4 và nhỏ hơn 5 mà có 2 chữ số ở phần thập phân.
Bài 2: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 6 và nhỏ hơn 8 mà có 2 chữ số ở phần thập phân.
Bài 3: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 4 và nhỏ hơn 5 mà có 3 chữ số ở phần thập phân.
Bài 4: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 6 và nhỏ hơn 8 mà có 3 chữ số ở phần thập phân.
Bài 5: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 4,5 và nhỏ hơn 5 mà có 2 chữ số ở phần thập phân.
Bài 6: Tính tổng tất cả các số thập phân lớn hơn 6,2 và nhỏ hơn 7,8 mà có 3 chữ số ở phần thập phân.
DẠNG 5
TÍNH TỔNG MỘT DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT 
Ví dụ 1: Tính tổng sau: viết kết quả dưới dạng phân số tối giản 
Hoặc người ta cho dưới dạng: A = + + + + + 
Có 10 thừa số 2
Cách 1: Ta thấy : số hạng thứ nhất có mẫu 2 có 1 thừa số 2 
	 số hạng thứ hai có mẫu 4 = 2 x 2 có 2 thừa số 2
 số hạng thứ ba có mẫu 8 = 2 x 2 x 2 có 3 thừa số 2
..
 Có 10 thừa số 2 
Vậy số hạng thứ 10 có mẫu 2 x 2 x 2 x .x 2 x 2 x 2 = 1024 
 = - ; = - ; ; - 
Ta có : 
	 = + - + - + - +  + - 
	 = + - = 1 - = 
Cách 2: 
	 Ta thấy : số hạng thứ nhất có mẫu 2 có 1 thừa số 2 
	 số hạng thứ hai có mẫu 4 = 2 x 2 có 2 thừa số 2
 số hạng thứ ba có mẫu 8 = 2 x 2 x 2 có 3 thừa số 2
..
 Có 10 thừa số 2 
Vậy số hạng thứ 10 có mẫu 2 x 2 x 2 x .x 2 x 2 x 2 = 1024 
 	A = + + + + + + 
2 x A – A = 2 x(++++ ++) – (+ +++ ++)
 A = (1 + + + + + + ) – (+ +++ ++ )
	A = 1 - = 
+ 
TỔNG QUÁT: 
 = 1 - = 
( Lưu ý: dạng này nếu có nhiều số hạng thì làm theo 2 cách trên là thuận tiện nhất không đi quy đồng mẫu số nhé! Tính không nổi đâu, hết ngày mất).
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Tổng có 13 số hạng
Bài 1: 
Bài 2: Tính : B = + + + 
Có 10 thừa số 2
Bài 3: Tính : C = + + +  + 
Có 8 thừa số 3
Tổng có 6 số hạng 
	Bài 4: Tính : B = + + + 
 Bài 5: Cho B = + + + + Tìm n để B = 
 Bài 6 *: Cho C = + + + + Tìm n để C = 
 Bài 7: Cho B = + + + + .Hãy so sánh B với 
Ví dụ 2: Tính tổng sau: viết kết quả dưới dạng phân số tối giản 
	B = + + + + + (1)
 	= + + + + + (2)
	= ( -) +(- ) + (- ) + (- ) + +(- ) 
= - = 
Lưu ý : Đề bài có thể ra một trong hai dạng (1) hoặc (2).Dạng (1) là dạng ẩn của dạng (2) ,dạng (2) là dạng ẩn của dạng (3).
Từ quy luật trên ta nghĩ đến một dạng tổng quát nhất:
TỔNG QUÁT : Từ dạng (2)
 A= + + + + + (với n là số tự nhiên lớn hơn 1 )
 = 1 - = 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
 Bài 1 : Tính A = + + + + + 
Bài 2 : Tính B = + + + + + 
Bài 3 : Tính C = + + + + 
Bài 4 : Tìm n để D = + + + + + bằng 
Bài 5: Cho E = + + + + So sánh E với 
7
Bài 6 : Cho G = + + + + + Hãy so sánh G với 
Ví dụ 3: Tính tổng sau: viết kết quả dưới dạng phân số tối giản 
	B = + + + + + (1)
 	= + + + + + (2)
	= ( -) +(- ) + (- ) + (- ) + +(- ) (3)
= - = 
Lưu ý : Đề bài có thể ra một trong hai dạng (1) hoặc (2).Dạng (1) là dạng ẩn của dạng (2) ,dạng (2) là dạng ẩn của dạng (3).
Từ quy luật trên ta nghĩ đến một dạng tổng quát nhất:
TỔNG QUÁT : Từ dạng (2)
 B= ++ ++ + (với n là số tự nhiên lớn hơn 2 )
 = 1 - = (công thức này giống dạng tổng quát trên)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính A = + + + + 
	Bài 2: Tính B = + + + + + 
 (Gợi ý : Sử dụng tính chất A = B suy ra 2 x A = 2 x B lúc đó tất cả tử của các phân số đều bằng 2) 
 Bài 3: Tính B = + + + + + 
 Bài 4: Tính C = + + + + + 
 Bài 5: Cho D = + + + + + 
Biết D = 
*NHẬN XÉT CHUNG:
 Từ ví dụ 2 và 3 ta thấy:
 -Giá trị của tử số đúng bằng khoảng cách giữa hai thừa số dưới mẫu số.
 - Thừa số thứ nhất của mẫu phân số thứ hai chính là thừa số thứ hai của mẫu phân số thứ nhất và cứ tiếp tục như thế cho đến phân số cuối cùng trong dãy.
DẠNG 6
TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT 
Ví dụ 1: Tính 
 A= 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 + 10 - 11 - 12 + 13 + 14 - .... .+ 301 + 302
 = 1+ 2 + 4 + 4 + 4 + . + 4 
Nếu bớt hai số đầu tiên trong dãy 1 và 2 thì còn lại 302 – 2 = 300 số chia thành 
300 : 4 = 75 nhóm ,với mỗi nhóm có giá trị là 4 
Vậy A = 1 + 2 + 4 x 75 = 303 
Cách khác: học sinh tự tìm hiểu 
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính : A = 99 - 97 + 95 - 93 + 91 – 89 + + 7 – 5 + 3 -1 
Bài 2: Tính : B = 100 -99 + 98 - 97 +96 - 95 + 94 – 93 + + 6– 5 + 4- 3 + 2-1 
Bài 3: Tính : C= 100 + 98 +96 + 94 + + 6 + 4 + 2 - 99 - 97 - 95 – 93 -  – 5- 3-1 
DẠNG 7
TÍNH TỔNG MỘT DÃY CÁC TÍCH CỦA CÁC THỪA SỐ GIỐNG NHAU
Ví dụ 1: Tính A = 2 + 2 x 2 + 2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2 x 2 + + 2 x 2 x x 2 x 2
 	 	 10 thừa số 2
Giải
Ta có: 2 x A – A = (2x2 + 2x2x2 + 2x2x2x2 + 2x2x2x2x2 + + 2 x 2 x x 2 x 2) – 
 	 11 thừa số 2
(2 + 2 x 2 + 2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2 x 2 + + 2 x 2 x x 2 x 2)
 	 10 thừa số 2
	= 2 x 2 x x 2 x 2 – 2 = 2046
 11 thừa số 2
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính : A = 3+ 3x 3+ 3x 3x 3+ 3x 3x 3x 3+ + 3x 3x x 3x 3
 	 7thừa số 3
Bài 2: Tính : B = 4+ 4x 4+ 4x 4 x 4 + 4 x 4 x 4 x 4 + + 4 x 4 x x 4 x 4
 	 6 thừa số 4
CÁC BÀI TẬP DẠNG KHÁC CÓ LIÊN QUAN
1.Tính :
(1 x 3 x 9 x 27 x 81 x 283 x729 x 2187 x 6561 ) x (185 x187- 185 x 186 – 92 – 93)
 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 +128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096
 2.so sánh: +++++++++ với 10	
 Bài 3:
Tính tổng: 1x2+3x4+5x6+......+99x100
Gọi biểu thức trên là A, ta có :
A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)
A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.
A x 3 = 99x100x101
A = 99x100x101 : 3 A = 333300