Lý thuyết và bài tập Toán Lớp 5 - Công thức toán cơ bản và nâng cao

KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG (LỚP 5) 
I/ Đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch 
	Trong bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch) thương xuất hiện hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận (hoặc tỉ lệ nghịch). Trong hai đại lượng biến thiên này, người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng này và một giá trị của đại lượng kia rồi yêu cầu tìm giá trị còn lại của đại lượng thứ hai.
	Để tìm giá trị này ta có thể dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp tỉ số.
	+Phương pháp rút về đơn vị :
	Khi giải toán bằng phương pháp rút về đơn vị ta tiến hành theo các bước sau:
	Bước 1 : Rút về đơn vị : Trong bước này ta tính một đơn vị của đại lượng thứ nhất ứng với bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ hai hoặc ngược lại.
	Bước 2 : Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai : Trong bước này lấy giá trị còn lại của đại lượng thứ nhất nhân với (hoặc chia cho) giá trị của đại lượng thứ hai tương ứng với một đơn vị của đại lượng thứ nhất (vừa tìm được ở bước 1)
	+Phương pháp tỉ số :
	Khi giải toán bằng phương pháp tỉ số ta tiến hành theo các bước sau:
	Bước 1 : Tìm tỉ số : Ta xác định trong hai giá trị đã biết của đại lượng thứ nhất thì giá trị này gấp (hoặc kém) giá trị kia mấy lần.
	Bước 2 : Tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai.
	a/ Đại lượng tỉ lệ thuận : Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận với nhau khi đại lượng này tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hay giảm) bấy nhiêu lần.
	Muốn giải loại toán này ta cần phải thực hiện qua hai bước :
	Bước 1: Xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
	Bước 2 : Dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp dùng tỉ số để giải bài toán.
	Ví dụ 1 : May 5 bộ quần áo như nhau hết 20m vải. Hỏi may 23 bộ quần áo như thế thì hết bao nhiêu mét vải cùng loại ? 
	Phân tích :
	Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
	-Số mét vải để may 1 bộ quần áo là đại lượng không đổi.
	-Số bộ quần áo và số mét vải là hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận.
	Ta thấy :
	May 5 bộ quần áo hết 20m vải.
	May một bộ quần áo hết ?m vải.
	May 23 bộ quần áo hết ?m vải.
Lời giải
	Số mét vải may 1 bộ quần áo là :
	20 : 5 = 4 (m)
	Số mét vải để may 23 bộ quần áo là :
	4 x 23 = 92 (m)
	Đáp số : 92m vải
	Ví dụ 1: chỉ giải được bằng phương pháp rút về đơn vị (vì tỉ số 23 : 5 không phải là số tự nhiên).
	Ví dụ 2 : Lát 9m2 nền nhà hết 100 viên gạch. Hỏi lát 36m2 nền nhà cùng loại gạch đó thì hết bao nhiêu viên ?
	Phân tích :
	Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
	-Một đại lượng không đổi là số viên gạch để lát 1m2 nền nhà.
	Ta thấy diện tích 36m2 gấp 4 lần diện tích 9m2, vì vậy số gạch cần để lát 36m2 gấp 4 lần số gạch để lát 9m2.
	-Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ thuận là số viên gạch và diện tích nền nhà.
	Lời giải
	Diện tích 36m2 gấp diện tích 9m2 số lần là :
	36 : 9 = 4 (lần)
	Số gạch để cần lát 36m2 nên nhà là :
	100 x 4 = 400 (viên)
	Đáp số : 92m vải
	Ví dụ 2: chỉ giải được bằng phương pháp tỉ số (vì kết quả trong bước rút về đơn vị không phải là số tự nhiên).
	b/ Đại lượng tỉ lệ nghịch: Hai đại lượng gọi là tỉ lệ nghịch với nhau khi đại lượng này tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng giảm (hay tăng) bấy nhiêu lần.
	Muốn giải loại toán này ta cần phải thực hiện qua hai bước :
	Bước 1: Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
	Bước 2 : Dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp dùng tỉ số để giải bài toán.
	Ví dụ 1 : Hai bạn An và Cường được lớp phân công đi mua kẹo về liên quan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua loại kẹo giá 4000 đồng 1 gói thì được 21 gói. Hỏi cũng số tiền đó mà các bạn mua loại kẹo giá 7000 đồng 1 gói thì được bao nhiêu gói.
	Phân tích :
	Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng :
	-Một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo.
	-Hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là số gói kẹo mua được và giá tiền 1 gói kẹo.
	Ta thấy :
	Cách 1 :
	Nếu giá 1000 đồng/ gói thì số kẹo mua được là :
	21 x 4 = 84 (gói)
	Nếu giá 7000 đồng/ gói thì số kẹo mua được là :
	84 : 7 = 12 (gói)
	Đáp số : 12 gói kẹo
	Cách 2 :
	Số tiền hai bạn đi mua kẹo là :
	21 x 4000 = 84000 (đồng)
	Nếu giá 7000 đồng/ gói thì số kẹo mua được là :
	84000: 7000 = 12 (gói)
	Đáp số : 12 gói kẹo
II/ Tỉ số phần trăm :
	1/ Tìm tỉ số phần trăm của hai số :
	Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số ta làm như sau :
	-Tìm thương của hai số đó.
	-Nhân thương đó với 100 và viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích tìm được.
	Ví dụ : Trong 80kg nước biển có 2,8kg muối. Tìm tỉ số phần trăm của lượng muối trong nước biến.
	Giải : Tỉ số phần trăm của lượng muối trong nước biến là :
	2,8 : 80 = 0,035 = 3,5%
	Đáp số : 3,5%
	2/ Tìm giá trị tỉ số phần trăm của một số :
	Muốn tìm giá trị tỉ số phần trăm của một số ta đem số đó nhân với số phần trăm.
	Ví dụ : Một trường tiểu học có 800 học sinh, trong đó số học sinh nữ chiếm 52%. Tính số học sinh nữ của trường đó.
	Phân tích : Tìm số học sinh nữ có nghĩa là tìm giá trị 52% của 800.
	Giải : Số học sinh nữ của trường đó là :
	 = 416 (học sinh)
	Đáp số : 16 học sinh.
	3/ Tìm một số khi biết giá trị một số phần trăm của nó
	Muốn tìm một số khi biết giá trị một số phần trăm của nó, ta đem giá trị ấy chia cho số phần trăm.
	Ví dụ : Số học sinh nữ của trường là 416 em và chiếm 52% số học sinh toàn trường. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ?
	Phân tích : Tìm số học sinh toàn trường có nghĩa là tìm một số khi biết số học sinh nữ là 52%.
	Giải : Số học sinh của trường đó là :
	416 : = = 800 (học sinh)
h : là chiều cao
b, c : là hai cạnh bên
a : cạnh đáy
p : chu vi
s : diện tích
 I - HÌNH TAM GIÁC
c
b
h
a
1 Kiến thức cần nhớ.
Công thức tính :
	a/ Chu vi hình tam giác : 
P = a + b + c
	Muốn tìm chu vi hình tam giác ta lấy ba cạnh cộng lại.
	b/ Diện tích hình tam giác : 
	 Muốn tìm diện tích hình tam giác ta lấy đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2.
S =
a x h
2

	c/ Đáy hình tam giác : 
	 Muốn tìm đáy hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho chiều cao.
a =
S x 2
h

	c/ Chiều cao hình tam giác : 
	 Muốn tìm chiều cao hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho đáy.
h =
S x 2
a

 II - HÌNH THANG
1 Kiến thức cần nhớ.
	Hình thang là hình tứ giác có hai cạnh song song, hai cạnh này được gọi là hai cạnh đáy.
a
	Đường thẳng vuông góc với đáy gọi là đường cao của hình thang.
h : là chiều cao
c, d : là hai cạnh bên
a : đáy bé
b : đáylớn
s : diện tích
p : chu vi
d
H, d
c
b
 Hình thang cân Hình thang vuông
	¯Hình thang vuông : có hai góc vuông
	¯Hình thang cân : có hai đường chéo bằng nhau, hai góc tù bằng nhau và hai góc nhọn bằng nhau.
Công thức :
	a/ Chu vi hình thang : 
	Muốn tìm chu vi hình thang ta lấy tổng chiều dài hai cạnh bên và hai cạnh đáy.
P = a + b + c + d
	b/ Diện tích hình thang : 
S =
(a + b) x h
2

	 Muốn tìm diện tích hình thang ta lấy tổng chiều dài hai cạnh đáy nhân với chiều cao rồi chia cho 2.
	c/ Chiều cao hình thang: 
h =
S x 2
(a + b)

	Muốn tìm chiều cao hình thang, ta lấy hai lần diện tích chia cho tổng chiều dài hai đáy.
	d/ Tổng chiều dài hai đáy hình thang: 
A + b =
S x 2
h

	Muốn tìm tổng chiều dài hai đáy hình thang, ta lấy hai lần diện tích chia cho chiều cao.
 	e/ Muốn tìm đáy lớn, (đáy bé) hình thang ta lấy tổng hai đáy trừ đi đáy bé (đáy lớn) 
OA = OB = OR = r (bán kinh)
AB = d (đường kính)
C : chu vi
b : đáylớn
s : diện tích
R
r
d
B
A
III - HÌNH TRÒN
1. Kiến thức cần nhớ :
Công thức :
	a/ Chu vi hình tròn: 
C = d x 3,14
	Muốn tìm chu vi hình tròn ta lấy đường kính nhân với 3,14.
	b/ Diện tích hình tròn: 
	 Muốn tìm diện tích hình tròn ta lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với 3,14
s = r x r x 3,14
	c/ (với r = d : 2 và d = r x 2)
	d/ Tìm đường kính : 
	Muốn tìm đường kính ta lấy chu vi chia cho 3, 14 
d = c : 3,14
 	e/ Tìm bán kính : 
	Muốn tìm bán kính hình tròn ta lấy chu vi chia cho 3, 14 : 2
r = c : 3,14 : 2
- Hai hình tròn có bán kính (hoặc đường kính) gấp nhau bao nhiêu lần thì chu vi của chúng cũng gấp nhau bao nhiêu lần.
- Hai hình tròn có tỉ số chu vi là k thì tỉ số bán kính (hoặc đường kính) bằng k thì tỉ số diện tích của chúng là k x k
IV/ Hình hộp chữ nhật :
	Là hình có 6 mặt gồm hai mặt đáy và 4 mặt bên đều là hình chữ nhật.
Pđ : chu vi đáy ; 
V : thể tích
Sxq : diện tích xung quanh
a : chiều dài
b : chiều rộng
c : chiều cao
Stp : diện tích toàn phần
Sđ : diện tích đáy
	a/ Diện tích xung quanh: 
Sxq = (a + b) x 2 x c
	 Muốn tìm diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ta lấy chu vi của mặt đáy nhân với chiều cao.
	b/ Diện tích toàn phần: 
Stq = Sxq + Sđ x 2
	 Muốn tìm diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy.
	c/ Thể tích : 
V = a x b x c
	 Muốn tìm thể tích hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng rồi nhân với chiều cao.
	d/ Chu vi đáy (Pđ ) : 
V = a + b x 2 hoặc = Sxq : c
	 Muốn tìm chu vi đáy hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng rồi nhân với 2 ( hoặc lấy diện tích xung quanh chia cho chiều cao).
	e/ Diện tích đáy (Sđ ) : 
	 Muốn tìm diện tích đáy hình hộp chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng, hay diện tích ( Stq trừ Sxq ) chia 2 ( hoặc lấy thể tích chia cho chiều cao).
Sđ = a + b = (Stq – Sxq ) : 2 hoặc = V : c
IV/ Hình lập phương :
	Là hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao bằng nhau.
V : thể tích
Sxq : diện tích xung quanh
a : cạnh
Stp : diện tích toàn phần
Sm : diện tích một mặt
	a/ Diện tích xung quanh (Sxq ) : 
Sxq = a x a x 4
	 Muốn tìm diện tích xung quanh của hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với 4.
	b/ Diện tích toàn phần (Stq ) : 
Stq = Sxq + Sđ x 2
	 Muốn tìm diện tích toàn phần của hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với 6.
	c/ Diện tích một mặt (Sm): 
	 Muốn tìm diện tích một mặt hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh, hay diện tích xung quanh chia 4 hoặc diện tích toàn phần chia 6.
V = a x b x c
	d/Thể tích ( V ) : 
V = a x a x a
	 Muốn tìm thể tích hình lập phương ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với cạnh.
	e/ Tìm cạnh : 
	 Muốn tìm một cạnh hình lập phương ta lấy thể tích chia cho diện tích một mặt.
A = V : Sm
CHUYÊN ĐỀ : TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
TÓM TẮT KIẾN THỨC :
I/ BA QUY TẮT TÍNH VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG, THỜI GIAN :
1/ Muốn tìm quãng đường ta lấy vận tốc nhân thời gian :
	s = v x t
2/ Muốn tìm vận tốc ta lấy quãng đường chia cho thời gian :

v =
s

 ... 4:	2424 : 6 : 4 
	= 2424 : (6 x 4)
	= 2424 : 24
	= 101
DẠNG TOÁN TÍNH NHANH :
1/ Những kiến thức cơ bản cần nhớ.
a/ Tính giao hoán.
	- Tổng (tích) không thay đổi khi ta đổi chỗ các số hạng(thừa số)
a + b = b + a
và a x b = b x a
	Chú ý:
	- Bài toán chỉ có cộng trừ hay chỉ có nhân, chia ta thay đổi vị trí tuỳ ý, nhớ kèm theo dấu của chúng.
	- Bài toán có phép cộng, trừ lẫn lộn với nhân, chia. Muốn giao hoán phải phân cụm để đưa về bài toán chỉ có công, trừ hay chỉ có nhận, chia giữa các cụm. Khi giao hoán phải giao hoán cả cụm.
b/ Tính kết hợp:
	Trong phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng, thừa số một cách tuỳ ý nhưng chú ý nếu trước dấu ngoặc là dấu trừ hoặc dấu chia thì phải đổi dấu các số hạng, thừa số trong ngoặc:
	(a + b) + c = a + (b + c)
	(a + b) - c = a + (b - c) = (a - c) + b
	a - (b + c) = a - b - c
	(a x b) x c = a x (b x c)
	( a x b) : c = a x (b : c) = (a : c) x b
	a : (b x c) = a : b : c
c/ Tính phân phối:
	Chỉ dùng cho phép nhân hay phép chia.
	a x (b + c) = a x b + a x c
	a x (b - c) = a x b - a x c
	(a + b) : c = a : c + b : c
	(a - b) : c = a : c - b : c
d/ Các tính chất khác:
	* Phép tính với số không (0)
	- Phép nhân : 	a x o = o x a = o
	- Phép chia:	o : a = o
	- Phép cộng;	a + o = o + a = a
	- Phép trừ;	a - o = a
	* Phép nhân, chia với 1.
	- Phép nhân: 	a x 1 = 1 x a = a
	- Phép chia:	a : 1 = a; a : a = 1
	- Một số trừ cho một hiệu:
	a - (b - c) = a - b + c
	- Một số chia cho một thương:
	a : (b : c) = a : b x c
2- Các dạng toán tính nhanh thường gặp.
	Sau khi giáo viên đưa ra những lý thuyết cơ bản cần cho việc giải loại toán này thì tiến hành phân dạng. Bên cạnh những kiến thức chung đó thì mỗi dạng lại có cái riêng của nó.
	Dạng 1 : Tính chất giao hoán và kết hợp:
	Đây là dạng toán đơn giản, học sinh chủ yếu áp dụng kiến thức cơ bản đã học trong chương trình sách giáo khoa. Nhưng cần chú ý trường hợp giao hoán cả cụm phép tính và dấu phép tính không được đổi.
	Ví dụ:
	a/ 50 x 38 : 5 : 19
	b/ 25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
Hướng dẫn giải:
	a/ 50 x 38 : 5 : 19 = (50 : 5) x (38 : 19) 
	= 10 x 2
	= 20
b/ Phải phân cụm theo nguyên tắc nhóm những số và những ngoặc đơn nhân chia với nhau:
	25 x 4 + 25 : 5 - 4 x (30 - 5) - 5
 = (25 x 4) + (25 : 5) - 4 x (30 - 5) - 5
 = (25 x 4) - 4 x (30 - 5) + (25 : 5) - 5
 = (25 x 4) - 25 x 4 + 5 - 5 
 = 0 + 0
 = 0
	Với dạng toán này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh quan sát tìm những số nào để giao hoán, kết hợp với nhau tạo ra một phép tính có thể nhẩm được trong óc mà không phải đặt tính bằng bút. Chú ý cách phân cụm sao cho chính xác.
Dạng 2: Tính phân phối (đặt thừa số chung)
	Tính chất này chỉ có trong phép nhân, chia không có với phép cộng, trừ. 
	Phương pháp giải dạng toán này như sau:
	* Loại 1:
	- Quan sát trong các tích, các thương xem có thừa số nào chung hoặc dựa vào dấu hiệu bài toán tìm thừa số chung.
	- Đưa thừa số chung ra ngoài còn lại các số và phép tính đi kèm đưa vào trong ngoặc.
	- Thực hiện phép tích trong ngoặc trước rồi làm phép tính với thừa số chung để rồi tìm ra kết quả.
Ví dụ:
	 27 x 38 + 62 x 27 - 27 x 90
 	= 27 x (38 + 62 - 90)
 	= 27 x 10
 	= 270 
* Loại 2: Lấy lần lượt từng số hạng trong tổng hoặc hiệu nhân hay chia với thừa số chung. Sau đó cộng hoặc trừ các kết quả đó với nhau tìm ra kết quả của phép tính.
	Ví dụ:
	(99 + 66) : 33 = 99 : 33 + 66 : 33 
	 = 3 + 2
	 = 5
	+ Một số chú ý:
	- Phép tính có tính khuyết thừa số 1 thì khi đưa thừa số chung ra ngoài phải chú ý thừa số 1 còn lại trong ngoặc.
	- Quan sát kỹ để không nhầm lẫn giữa các tính chất.
Dạng 3: Dấu hiệu chia hết
* Trước hết cho học sinh nhắc lại nội dung cơ bản của dấu hiệu chia hết đối với những số thường gặp như: Dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9, 4, 8.
* Phương phát giải loại toán này.
	- Quan sát xem tích của tử và tích của mẫu có cặp số nào cùng chi hết cho một số thì ta rút gọn.
	- Rút gọn một lần chưa hết ta rút gọn cho lần 2.
	- Sau khi rút gọn xong thì tính tích những thừa số còn lại của tử và mẫu để tìm ra kết quả:
	Ví dụ:
1 x 2 x 3 x 4
=
1 x 1 x 1 x 1
=
1
5 x 6 x 7 x 8
5 x 2 x 7 x 1
70
Dạng 4: Thêm (bớt) đơn vị hay giảm (gấp) số lầm.
	Giáo viên cần cung cấp cho học sinh một số tính chất cơ bản sau:
	- Trong một tổng nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi:
	a + b = (a - m) + (b + m)
	- Khi cùng thêm hoặc cùng bớt một số đơn vị như nhau ở cả số trừ và số bị trừ thì hiệu số không thay đổi:
	a - b = (a - m) - (b - m)
	- Trong phép chia nếu ta cùng tăng hoặc cùng giảm số bị chia và số chia cùng một số lần thì thương không thay đổi:
	a : b = (a : m) : (b : m)
	Ví dụ:
	 1, 25 x 16,84
	= (1,25 x 4) x (16,84 : 4)
	= 5 x 4,21
	= 21,05
Dạng 5: Cặp số đặc biệt:
* Giáo viên nêu cho học sinh một số cặp số đặc biệt yêu cầu học sinh học gần như học thuộc lòng.
	- Vận dụng nhân nhẩm với 10, 100, 1000..., 0,1; 0,01. . . Để tìm cặp số đặc biệt khác.
	- Cung cấp cho học sinh một số tính chất nhân nhẩm sau để học sinh tìm ra cặp số đặc biệt:
	a x 0,5 = a : 2
	a x 2,5 = a x 10 : 4
	a : 0,25 = a x 4
* Đối với dạng toán này có thể phân ra hai loại và có phương pháp giải như sau:
	+ Loại 1: Cặp số đặc biết có kết quả là 1, 10 , 100 . . .
	- Quan sát tìm ra những số cùng phép tính để có thể tạo thành cặp đặc biệt thì nhóm lại với nhau.
	- Tìm kết quả của cặp đặc biệt trước rồi mới tính kết quả của biểu thức.
	Ví dụ: 2 x 3 x 4 x 8 x 50 x 25 x 125
	= (2 x 50) x (4 x 25) x (8 x 125) x 3
	= 100 x 100 x 1000 x 3
	= 30 000 000
	+ Loại 2: Chữ số được lặp lại.
	Ví dụ: ababab; abcabcabc
	 Đối với loại này ta tiến hành như sau:
	- Tìm ra chữ số hoặc cặp chữ số (tử và mẫu) được lập lại.
	- Lấy số đó chia cho cặp chữ số hoặc chữ số lặp lại để tìm thương.
	- Phân tích số thành tích của chữ số hay cặp chữ số lặp lại và thương vừa tìm được.
	- Vận dụng tính chất phép tính tìm kết quả biểu thức:
	Ví dụ: 252525 x 4
	= 25 x 10101 x 4 
	= 25 x 4 x 10101
	= 100 x 10101
	= 1010100
	- Sau khi giải một số bài tập giáo viên rút ra cho học sinh mẹo phân tích số thành tích cho loại toán này như sau:
	. Quan sát tìm cặp chữ số hay chữ số được lặp lại
	. Đếm xem có bao nhiêu chữ số hoạc cặp chữ số lặp lại thì có thể phân tích số đó thành tích của chữ số hoặc cặp chữ số lặp lại với bấy nhiêu cặp 01; 001 ; 0001. . .
Dạng 6: Qui luật dẫy số đặc biệt
	+ Trước hết giáo viên hướng dẫn cách tìm qui luật
	+ Giáo viên nêu một số qui luật thường gặp như :
	- Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó nhân với a
	- Số hạng bất kỳ bằng số hạng liền trước nó cộng với a
	- Số hạng bất kỳ bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự đó
	- Số hạng bất kỳ kể từ số hạng thứ 3 bằng tổng hai số hạng trước nó
	+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tính tổng.
Số số hạng
= 
Số lớn nhất - số nhỏ nhất
+
1
Khoảng cách a

Tổng
=
(Số lớn nhất + Số nhỏ nhất)
x
Số số hạng
2
Dạng 7: Thành phần hay kết quả của biểu thức bằng 0. Với dạng này giáo viên còn hướng dẫn học sinh như sau:
	- Quan sát biểu thức tìm ra những phép tính, nhóm phép tính có điểm đặc biệt (bằng 0)
	- Thực hiện phép tính, nhóm phép tính đó trước rồi tìm kết quả của biểu thức.
	Ví dụ: 754 x 75 - 25 - 2262 + 4568
	= 754 x 75 - 25 x 3 x 754 +4568
	= 754 x 75 - 75 x 754 + 4568
	= 0 + 4568
	= 0
Dạng 8:
	Thành phần hay kết quả của biểu thức bằng 1.
	- Trước hết hướng dẫn học sinh quan sát tìn ra hoặc làm xuất hiện những số hay phép tính giống nhau:
	- Áp dụng tính chất a : a = 1 để tìm ra kết quả của phép tính hay biểu thức.
	Ví dụ 1:
	(357 x 45 + 74 x 357 ) : 119
	= 357 x (45 + 74) : 119
	= 357 x 119 : 119
	= 257 x 1
	= 357
	Ví dụ 2:
1995
x
19961996
x
199319931993
1996
19931993
199519951995

=
1995 x 1996 x 10001 x 1993 x 100010001
1996 x 1993 x1 0001 x 1995 x 100010001
	 = 1
Dạng 9: Cấu tạo số.
	Để giải được dạng toán tính nhanh này giáo viên cần cung cấp cho học sinh 1 số kiến thức về cấu tạo số như sau:
abc = a x 100 + b x 10 + c
	 = ab x 10 + c
	 = a 00 + b0 + c = ab0 + c
	Ví dụ 1:
	1057 - 57 = 1000 + 57 - 57 
	 = 1000 + 0
	 = 1000
	Ví dụ 2:
 1125 x 44 = (1000 + 100 + 25) x (40 + 4)
= (1000 + 100 + 25) x 40 + (1000 + 100 + 25) x 4
	= 1000 x 40 + 100 x 40 + 25 x 40 + 1000 x 4 + 100 x 4 + 25 x 4
	= 40.000 + 4000 + 1000 + 4000 + 400 + 100
	= 49500
	Lưu ý: Tuỳ từng bài toán mà phân tích số theo cách nào cho phù hợp và thuận tiện.
Dạng 10:
 	Hiệu / tích.
	Giáo viên cho học sinh biết Hiệu / tích là dạng phân số có tử số là hiệu 2 số và mẫu số là tích 2 số.
	Dạng này ta có thể hướng dẫn học sinh giải theo 2 loại như sau:
* Loại 1: Phân số có dạng Hiệu/ tích .
	- Hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra các phân số có dạng hiệu/tích.
	- Phân tích các số có dạng Hiệu/ tích thành hiệu 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số lần lượt là 2 thừa số của tích.
	- Áp dụng tích chất phép tính để tìm được kết quả cuối cùng là phân số đầu trừ phân số cuối của biểu thức.
	Ví dụ: Tính nhanh.
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
+
1
x
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
	Ta thấy:
1
X
1
=
1
1
2
2

=
1
-
1
2
	Tương tự:
1
x
1
=
1
=
3
-
2
=
1
-
1
2
3
6
6
3
2
3
	. . . . .
	. . . . . . .
1
X
1
=
1
-
1
5
6
5
6
Vậy biểu thức đã cho có thể viết là:
=
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6

=
1
+
0
+
0
+
0
+
0
-
1
6

=
1
-
1
=
6
-
1
=
5
6
6
6
6

Loại 2: Tổng các phân số có dạng hiệu/tích
	Ví dụ:
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
2
4
8
16
32
64
128
	Ta có:
1
=
1
-
1
;
1
+
1
=
1
-
1
2
2
2
4
4

1
+
1
+
1
=
3
+
1
=
7
=
1
-
1
2
4
8
4
8
8
8

1
+
1
+
1
+
1
=
7
+
1
=
1
-
1
2
4
8
16
8
16
16
Tương tự:
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
+
1
=
1
-
1
=
127
2
4
8
16
32
64
128
128
128
Dạng 11: Dạng tổng hợp:
	* Sau khi học sinh nắm chắc các dạng toán cụ thể thì giáo viên đưa ra dạng toán tổng hợp tức là kết hợp vài dạng toán trong một bài toán để học sinh thực hành.
	Với dạng toán này học sinh phải quan sát biểu thức tìm ra phép tính hay nhóm phép tính này thuộc dạng nào thì áp dụng phương pháp giải cho thích hợp .
	Ví dụ: 
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101 - 50 - 51)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048

=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x (101 x 102 - 101 x 101- 101)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048

=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x (102 - 101 - 1)
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048

=
(1+ 2 + 4 + 8 + 10 + . . . + 512) x 101 x 0
2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024 + 2048
	= 0