Phương pháp tìm nhiều cách giải của một bài toán tiểu học

PHƯƠNG PHÁP TÌM NHIỀU CÁCH GIẢI CỦA MỘT BÀI TOÁN TIỂU HỌC
 Phần 1: biến đổi biểu thức.
1)Biểu thức có hai phép tính.
1. a + ( b + c) = ( a + b) +c = (a + c ) + b
 2. a + ( b - c ) =( a + b) - c = (a - c) + b
 3. a - (b + c) = (a - b )- c = (a- c) - b
 4. a - (b - c) = (a - b) + c = (a + c )- b
 5. a x (b x c) =(a x b) x c =(a x c) x b
 6. a x( b : c) =(a x b) : c = (a : c) x b
 7. a : (b x c) =(a : b) :c = (a : c) : b
 8. a :(b :c) = ( a x c) : b = (a : b) x c
 9. a x (b + c) =(a x b) + (a x c)
 10. a x (b - c) = (a x b) - (a x c )
 11. (a + b) : c =(a : c) + (b : c)
 12. (a - b) : c =(a : c) - (b : c)
2)Biểu thức có nhiều phép tính.
 Trước hết tìm thứ tự thực hiện các phép tính của biểu thức, rồi biến đổi biểu thức theo các cặp phép tính.
VD: 
 (7 - 3) x 8 : 2 = (7 x 8 - 3 x 8) : 2 = 7 x 8 : 2 - 3 x 8 : 2
 áp dụng 10 áp dụng 12
 Phần 2: Phương pháp tìm nhiều cách giải của một bài toán.
IVí dụ
1.Bài toán: 
5 người mỗi người mua 4 xếp giấy, phải trả số tiền là 18000 đồng.Nếu 10 người, mỗi người mua12 xếp giấy thì số tiền phải trả là bao nhiêu?
 II.phương pháp
1) Trước tiên tìm một cách giải .(gọi là cách 1)
 *Lời giải : 
Cách 1:
+Tổng số xếp giấy của 5 người mua là: 4 x5 = 20 (xếp)
+Giá tiền mỗi xếp giấy là: 18000 : 20 = 900 (đồng)
+Tổng số xếp giấy 10 người mua là: 12 x10 =120 (xếp)
+10 người, mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là: 900 x 120 = 108000 (đồng)
 Đáp số:108000 đồng
2)Lập biểu thức chứa các giá trị đã cho ở bài toán của đáp số(gọi tắt là biểu thức đáp số)
Biểu thức này được lập bằng cách thay các giá trị trong biểu thức cuối cùng của đáp số bởi các biểu thức đã có trước đó ,ở trong lời giải cách 1.
Cụ thể:
Trong lời giải cách 1: Biểu thức cuối cùng của đáp số là: 900 x 120
-Giá trị 900 ta thay bởi biểu thức 18000 : 20
-Giá trị 120 ta thay bởi biểu thức 12 x 10
-Ta lại thay giá trị 20 trong biểu thức 18000 : 20 bởi biểu thức 4 x 5
-Sau khi thay ta có biểu thức chứa các giá trị đã cho ở bài toán của đáp số (gọi là biểu thức đáp số) là:
18000 : (4 x 5) x (12 x 10)
-Các giá trị của biểu thức này chứa và chỉ chứa các giá trị đã cho trong bài toán.
3)Biến đổi biểu thức đáp số.
Khi biến đổi sau một lần ta có một kết quả là một cách giải, nhưng để đặt được lời giải một cách dễ dàng cho một cách giải nhiều khi phải tính gộp các phép tính cho một lời giải .Sau đây để chỉ các bước tính gộp ta dùng dấu ở phía dưới.
Đối với biểu thức 18000 : (4 x 5) x (12 x 10) ta xem là kết quả 1.Quá trình biến đổi ta có thêm các kết quả sau:
Kq2 : ( 18000: ( 4 x 5 ) x 12) x 10.
Kq3: ( (18000: 5) : 4 x 12 ) x10.
Kq4 : ( 18000: 5) x ( 12 : 4) x 10.
Kq5 : ( 18000 : 4) x12 : 5 x 10.
Kq6 : ( 18000 : 4 ) x (10 : 5 ) x 12.
Kq7 : (18000 : 5) x 10 x ( 12 : 4) .
Kq8: 18000 x ( 12 : 4 ) x (10 : 5).
v.v......
4.Đặt câu lời giải cho từng phép tính ( hoặc từng cặp phép tính gộp)củamỗi kết quả ở bước 3ta được lời giảicủa các cách giải tương ứng.
 -Cụ thể;
Cách 2( đối với Kq2): ( 18000: ( 4 x 5 ) x 12) x 10.
+Tổng số xếp giấy 5 người mua là: 4 x 5 = 20 (xếp)
+Giá tiền mua mỗi xếp giấy là: 18000 : 20 = 900 ( đồng)
+Số tiền mua 12 xếp giấy là : 900 x 12 = 10800 ( đồng)
+10 người mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là :10800 x10 = 108000 (đồng)
Cách 3 (đối với Kq3): ( (18000: 5) : 4 x 12 ) x10.
+Số tiền mua 4 xếp giấy là:
18000 : 5 = 3600 (đồng)
+Giá tiền mỗi xếp giấy là :
3600 : 4 = 900(đồng)
+Số tiền mua 12 xếp giấy là :
900 x 12 = 10800 (đồng)
+10 người ,mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là :
10800 x 10 = 108000 (đồng)
Cách 4 (đối với Kq4): ( 18000: 5) x ( 12 : 4) x 10.
+Mỗi người mua 4 xếp giấy phải trả số tiền là:
18000 : 5 = 3600 (đồng)
+Mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là:
3600 x ( 12 : 4 ) = 10800 (đồng)
+10 người, mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là:
10800 x 10 = 108000 (đồng)
Cách 5(đối với Kq5): (18000 : 4) x 12 : 5 x 10.
+5 người,mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là:
( 18000 : 4 ) x 12 = 54000 (đồng)
+mỗi người trong 5 người trên phải trả số tiền là :
54000 : 5 = 10800 (đồng)
+10 người ,mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là:
10800 x 10 = 108000 (đồng)
Cách 6 (đối với Kq6): ( 18000 : 4 ) x (10 : 5 ) x 12.
+5 người mỗi người mua 1 xếp giấy phải trả số tiền là:
18000 : 4 = 4500 (đồng)
+10 người , mỗi người mua 1 xếp giấy phải trả số tiền là :
4500 x ( 10 : 5 ) = 9000 (đồng )
+10 người ,mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là:
9000 x 12 = 108000 (đồng )
Cách 7 (đối với Kq7): (18000 : 5) x 10 x ( 12 : 4) .
+10 người mỗi người mua 1 xếp giấy phải trả số tiền là :
(18000 : 5 ) x 10 = 36000 (đồng)
+10 người mỗi người mua 12 xếp giấy phải trả số tiền là :
36000 x ( 12 : 4 ) = 108000 (đồng)
Cách 8 (đối với Kq8): 18000 x ( 12 : 4 ) x (10 : 5).
+5 người, mỗi người mua 12 xếp giấy, phải trả số tiền là:
18000 x (12: 4) = 54000(đồng)
+10 người mỗi người mua 12 xếp giấy, phải trả số tiền là:
54000 x (10 : 5 ) = 108000 (đồng)
 v .v....
 III. Nhận xét:
1. Ở bài toán này, biểu thức chứa giá trị đã cho của đáp số chỉ có 2 phép tính nhân,chia.nên trong biến đổi ta cũng nhận được những biểu thức có hai phép tính đó.Đặc biệt số lần thực hiện phép tính là không đổi (luôn là 4) .(ta có nhận xét tương tự với hai loại phép tính cộng ,trừ.)do vậy mỗi cách 1,2,3,có 4 câu giải,cho từng phép tính.Các câu còn lại,có 3 hoặc 2 câu giải ,là do ta đặt câu giải cho 1 hoặc 2 phép tính gộp. trong tất các cách giải, câu lời giải cuối là như nhau.
2. Không phải mỗi dạng biến đổi (trung gian) của biểu thức đáp số ta cần đều có lời giải( tức là đặt được lời giải cho từng phép tính hoặc từng cặp phép tính gộp).Tìm được dạng của biểu thức rồi ,đặt lời giải cho từng phép tính ( hoặc từng cặp phép tính gộp) có những bài toán không phải dễ .
3.Một số ví dụ:
a.Ví dụ 1:
Hằng ,Nga và Lan hái được 19 bông hoa.Hằng hái được 8 bông hoa,Nga hái được 5 bông hoa .Hỏi Lan hái được bao nhiêu bông hoa? (Toán 2)
1.Lời giải của cách 1:
+Số bông hoa Hằng và Nga hái được:
8 + 5 = 13 (bông hoa)
+Số bông hoa Lan hái được:
19 -13 = 6 (bông hoa)
 Đáp số: 6 bông hoa
2Lập biểu thức đáp số: 19 - ( 8+ 5 )
3.Biến đổi biểu thức đáp số:
Áp dụng I.3 ta có:19 - ( 8 + 5) = (19 - 8) -5 = (19- 5) - 8
4.Cách giải khác: 
Cách 2 (Đối với kết quả (19 - 8 ) - 5
+Số bông hoa Nga và Lan hái được là:
19 - 8 = 11 (bông hoa)
+Số bông hoa Lan hái được là:
11 - 5 = 6 (bông hoa)
Cách 3 (đối với kết quả:(19 - 5 ) -8
+Số bông hoa Hằng và Lan hái được là:
19 - 5 = 14 (bông hoa)
+Số bông hoa Lan hái được là:
14 - 8 = 6 (bông hoa)
b.Ví dụ 2
Có 4 lọ hoa ,mỗi lọ đều cắm 5 bông cúc, 3 bông hoa thược dược .Hỏi cả 4 lọ cắm bao nhiêu bông hoa? (toán 3)
1.Lời giải cách 1:
+Số bông hoa cắm trên mỗi lọ là:
5 + 3 = 8 (bông hoa)
+Số bông hoa cắm trên 4 lọ là:8 x 4 = 32 (bông hoa)
2.Biểu thức đáp số (5 + 3 ) x 4
3.Biến đổi biểu thức đáp số
Áp dụng I.9 ta có:(5 + 3 ) x 4 =(5 x 4) + (3x 4)
 4Cách giải khác:
Cách 2 đối với kết quả :(5 x 4 ) + (3 x 4)
+Số bông hoa cúc cắm trên 4 lọ là:
5 x 4 = 20 (bông hoa)
+Số bông hoa thược dược cắm trên 4 lọ là:
3 x 4 = 12 (bông hoa)
+Số bông hoa cắm trên 4 lọ là:
20 + 12 = 32 (bông hoa)
c. Ví dụ 3
 Mỗi người ăn hết 450 g gạo trong một ngày. Một gia đình có 4 người ăn trong một tháng 
(30 ngày) hết bao nhiêu kilôgam gạo (toán 4)
1.Cách gải 1
+Số gạo của 4 người ăn trong một ngày :
450 x 4 = 1800 (g)
+Số gạo của 4 người ăn trong một tháng (30 ngày):
1800 x 30 = 5400 (g) = 54 (kg)
2.Biểu thức đáp số: (450 x 4 ) x 30 
3.Biến đổi biểu thức đáp số:
Áp dụng I.5 ta có:
 (450 x 4) x30 = (450 x 30) x 4 = 450 x (4 x 30 )
4.Cách giải khác:
Cách2 Đối với kết quả (450 x 30 ) x 4
+Số gạo mỗi người ăn trong một tháng:
450 x 30 = 13500(g)
+Số gạo 4 người ăn trong 1 tháng:
13500 x 4 = 54 000(g) = 54 (kg)
Cách 3: đối với kết quả 450 x ( 4 x 30 )
+Số ngày của 4 người ăn trong một tháng:
30 x 4 = 120 (ngày)
+Số gạo của 4 người ăn trong một tháng:
450 x 120 = 54000(g) = 54 (kg)
d.Ví dụ 4:
Có 64 chai loại 0,75 lít, mỗi chai chứa 0,75 lít dầu hoả. Mỗi lít dầu hoả 0,76 kg, mỗi vỏ chai nặng 0,25 kg. Hỏi 64 chai dầu hoả cân nặng bao nhiêu? (toán5)
1.Lời giải của cách 1:
+Lượng dầu hoả trong mỗi chai cân nặng là:
0,76 x 0,75 = 0,57(kg)
+Mỗi chai dầu hoả cân nặng là:
0,57 + 0,25 = 0,82 (kg)
+64 chai dầu hoả cân nặng là:
0,82 x 64 = 52,48 (kg)
2.Biểu thức của đáp số ( 0,76 x 0,75 + 0,25 ) x 64
3.Biến đổi biểu thức đáp số:
Áp dụng I.9 và I.5 ta có:
(0,76 x 0,75 +0,25) x 64 = 0,76 x 0,75 x 64 + 0,25 x 64 = 0,76 x ( 64 x 0,75) +0,25 x 64
4.Cách giải khác:
Cách 2 đối với kết quả 0,76 x 0,75 x 64 + 0,25 x 64
+khối lượng dầu hoả trong 64 chai:
0,76 x 0,75 x 64 =36,4 (kg)
+Khối lượng của 64 vỏ chai:
0,25 x 64 = 16 (kg)
+Khối lượng của 64 chai dầu hoả:
36,48 + 16 = 52,48 (kg)
Cách 3 Đối với kết quả 0,76 x ( 64 x 0,75 ) + 0,25 x 64
+Số dầu có trong 64 chai:
0,75 x 64 =48 (lít)
+Khối lượng dầu hoả trong 64 chai:
0,76 x 48 = 36,48(kg)
+Khối lượng của 64 vỏ chai:
0,25 x 64 = 16 (kg)
+Khối lượng của 64 chai dầu hoả:
36,48 + 16 = 52,48 (kg)
e.Ví dụ 5
Vừa gà vừa chó bó lại cho tròn 36 con ,100 chân chẵn.Hỏi có bao nhiêu con gà ? Bao nhiêu con chó ?(toán nâng cao)
1.Lời giải của cách 1
+Giả sử 36 con đều là gà cả thì số chân là:
2 x 36 = 72 (chân)
+Số chân còn thiếu là:
100 - 72 = 28 (chân)
+Số chân còn thiếu là do ta đã bớt mỗi con chó 2 chân, vậy số con chó là:
28 : 2 = 14 (con) (1)
+Số con gà là:
36 - 14 = 22 (con) (2)
2.Biểu thức đáp số : Bài toán có 2 đáp số.
Đáp số (1) có biểu thức là: (100 - 2 x 36 ): ( 4 - 2) (1*)
Đáp số 2 có biểu thức là: 36 - ( 100 - 2 x 36 ) : (4 - 2) (2*)
3. Biến đổi biểu thức đáp số:
 Đáp số ( 1)
(100 - 2 x 36 ) : (4 -2) = 100: (4 - 2)- 2 x 36: ( 4 - 2 ) = 50 - 36 (3)
Đáp số (2) 36 - ( 100 - 2 x 36 ) : (4 - 2)
Quy đồng mẫu số 36 x (4 -2) - (100 - 2 x 36) : (4 - 2 )
Rút gọn : 4 x 36 - 100 : (4 - 2 ) (4)
ấcCcs cách giải khác:
Cách 2 Đối với kết quả (3)
+Nếu mỗi con gà chỉ có 1 chân, mỗi con chó chỉ có 2 chân thì số chân có trong đàn là:
100 : 2 = 50 (chân)
+Số chân còn thiếu chính bằng số con chó, là:
50 - 36 = 14 (con)
+Số con gà là :
36 - 14 = 22 ( con )
Cách 3 đối với kết quả (4)
Chú ý kết quả (4) có dạng với kết quả (1*) nên cách giải giống với cách 1.Cụ thể:
+Giả sử 36 con đều là chó cả, thì số chân là :
4 x 36 = 144 (chân)
+Số chân thừa ra là:
144 - 100 = 44 (chân)
+Có số chân thừa ra là do mỗi con gà ta đã tính thêm 2 chân.Vậy số con gà là:
44 :( 4 - 2 ) = 22 (con)
+Số con chó là:
36 - 22 = 14 (con)
*Lưu ý:
Với một số bài toán dạng suy luận có lý hoặc giải bằng phương pháp giả thiết tạm như bài toán trên,có thể có những cách giải khác mà sự lập luận trong quá trình giải không nằm trong quá trình biến đổi của biểu thức đáp số.Nên khi tìm các cách giải của một bài toán chúng ta cũng nên cẩn thận đẻ xác định các khả năng có thể giải được.
Ví dụ như bài toán trên,có cách giải khác nhưng không nằm trong quá trình biến đổi của biểu thức đáp số như sau:
Cách4:
+Giả sử có 18 con gà và 18 con chó( * ).Lúc đó tổng số chân gà và chó sẽ là:
18 x 2 + 18 x 4 = 108 (chân)
+Thực tế chỉ có 100 chân nên phải tìm cách rút bớt 8 chân mà tổng số con vẫn không thay đổi. Ta thấy nếu thay 1 con chó bằng 1 con gà thì tổng số con vẫn không thay đối nhưng
tổng số chân sẽ giảm đi: 4 - 2 = 2(chân)
+Vậy muốn số chân phải giảm đi 8 thì số con chó phải thay bằng gà là: 8 : 2 = 4 (con)
+Do đó số gà là: 18 + 4 = 22 (con)
+Số chó là: 36 - 22 = 14 (con)
Đáp số: 22 con gà ,14 con chó.
 (*) Có thể giả sử ''20 con gà và 16 con chó'' hoặc ''10 con gà và 26 con chó' 'v...v...Miễn sao ''tổng số gà và chó bằng 36 con là được''.