Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán về số, chữ số và dãy số

Những Vấn đề chung
I-/Tính cấp thiết
Hiện nay học Toán và giải toán của học sinh nhìn chung có chiều hướng tiến bộ so với trước. Có được điều đó chính là nhờ các em đã chú trọng, đầu tư nhiều cho việc học nói chung trong đó có học toán. Mặt khác, điều cốt lõi là các giáo viên đã đổi mới phương pháp dạy học phát huy tính chủ động, sáng tạo và óc tư duy cho học sinh. Nhưng do đặc điểm lứa tuổi, đại đa số các em chưa có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học thành hệ thống nhất là khi các kiến thức này nằm rải rác ở các lớp. Vì vậy nhiệm vụ của giáo viên bồi dưỡng học sinh là phải giúp các em hệ thống lại các kiến thức đã học thành từng chuyên đề nhỏ, từng loại toán, dạng toán để các em dễ dàng tiếp thu hơn và tiếp thu một cách khoa học.
Đối với các bài toán về số, chữ số và dãy số thì các kiến thức cơ bản có từ lớp 1 đến lớp 5, các kiến thức này được đưa ra từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng cao nhằm phù hợp với khả năng tư duy của các em. Do vậy nếu người dạy đầu tư thời gian công sức tập hợp các kiến thức này thành một chuyên đề có tính hệ thống và hướng dẫn, giúp đỡ học sinh các kiến thức từ dễ đến khó thì chắc chắn các em sẽ dễ dàng nắm được lượng kiến thức mà giáo viên và bài học đặt ra. Từ đó khả năng học toán của các em được nâng lên đến độ thích hợp để tiếp thu kiến thức theo trình độ nâng chuẩn và trên chuẩn
II-/Mục đích và yêu cầu
Khi chọn chuyên đề này để áp dụng cho việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì mục đích của đề tài là giúp các em có điều kiện nâng cao khả năng học toán đặc biệt là khả năng tư duy lôgíc và óc khái quát, tổng hợp. Bên cạnh đó đề tài này còn giúp các em có khả năng từ cách giải bài toán cụ thể mà khái quát hoá đưa các bài toán khác cùng loại về dạng đã học để giải. Học xong phần này các em phải đạt được các yêu cầu sau:
Nắm được các kiến thức cơ bản về dãy số có nâng cao.
Có kĩ năng giải toán và giải được các bài toán cùng dạng và cùng loại.
Đạt kết quả tốt trong hoc toán và trong các kì thi chọn học sinh giỏi.
III-/Đối tượng và phương pháp
Đề tài này dành cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 4 -5 trong các trường, đặc biệt nó có kết quả khả quan hơn trong việc bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi.
Phương pháp chính là: Phân tích, tổng hợp, giảng giải, vấn đáp, trực quan, điều tra..... đặc biệt chú trọng phương pháp phân tích để tìm ra cách giải của bài toán và tổng hợp để trình bày lời giải của bài toán. Ngoài ra còn sử dụng 1 số phương pháp khác như: thực hành, luyện tập, hoặc thảo luận theo nhóm...
Nội dung và kết quả
I-/Nội dung
Các bài toán về số, chữ số và dãy số là các bài toán yêu cầu học sinh biết dựa vào các tính chất, các đặc điểm của chữ số, số để giải toán đồng thời tính toán trên cơ sở dãy số hoặc quy về dãy số để tính toán và giải toán. Khi bắt đầu bồi dưỡng kiến thức cho các em, qua điều tra và trắc nghiệm tôi thấy kiến thức về số, chữ số và dãy số của các em còn bị hổng nhiều. Các em chưa biết cách giải các bài toán về số, chữ số và dãy số nhất là các bài toán phải quy về dãy số để giải. Ví dụ “Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số “hoặc” Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ mọt thành một số lớn. Hỏi chữ số thú 2004 là chữ số nào”
Qua một số bài làm của học sinh và một số bài kiểm tra, kết quả cụ thể của học sinh như sau:
Tổng số bài làm
Điểm 9 - 10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm 1 - 4
35
7 = 20%
14 = 40%
14 = 40%
Với kết quả này các em chưa đạt trình độ chuẩn của học sinh giỏi. Như vậy các em khó mà đạt được điểm cao trong các kì thi chọn học sinh giỏi các cấp. Từ đó tôi thấy cần phải giúp các em hệ thống hoá kiến thức về dãy số và các bài toán về số, chữ số và dãy số để các em có cái nhìn tổng quát về kiến thức đã và đang học
Bước đầu để các em làm quen với số, chữ số và dãy số tôi đưa ra các ví dụ cụ thể sau đó tổng quát thành các kiến thức đơn giản, cơ bản các em cần nắm được cụ thể như sau:
Số và chữ số
Những kiến thức cần lưu ý:
a- Chữ số là các kí hiệu có tính chất quy ước, dùng để ghi các số. Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết 1 số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. chữ số đầu tiên kể từ bên trái của 1 số tự nhiên phải khác 0. Với 10 chữ số này, ta có thể viết được tất cả các số.
b- Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên :
	ab = a x 10 + b
	abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c
	abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d = ab x 100 + cd
c- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên :
c.1- Trong 2 số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn.
c.2- Nếu 2 số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn hơn sẽ lớn hơn.
d- Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. Số chẵn có tính chất là luôn chia hết cho 2.
e- Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. Số lẻ có tính chất là không chia hết cho 2, mà khi chia cho 2 thì luôn dư 1.
g- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
h- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau2 đơn vị là 2 số chẵn liên tiếp.
i- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp.
k- Khi phải viết số có nhiều chữ số giống nhau người ta thường chỉ viết 2 chữ số đầu rồi ... sau đó viết chữ số cuối bên dưới ghi số lượng chữ số giống nhau đó
 10 . . . 0 
8chữ số 0
 2- Các dạng toán:
F Dạng 1 : Sử dụng cấu tạo thập phân của số 
ở dạng này ta thường gặp các loại toán sau:
Loại 1: Viết thêm 1hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho .
	Giải :
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dược số 9ab. Theo bài ra ta có :
	9ab = ab x 13
	 900 + ab = ab x 13
	900 = ab x 13 – ab
	900 = ab x ( 13 – 1 )
	900 = ab x 12 
	 ab = 900 : 12
	 ab = 75
Bài 2 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1 112 đơn vị . 
	Giải :
Gọi số phải tìm là abc. Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dược số abc5.
Theo bài ra ta có :
	abc5 = abc + 1 112
	10 x abc + 5 = abc + 1 112 
	10 x abc = abc + 1 112 – 5 
	10 x abc = abc + 1 107
	10 x abc – abc = 1 107
	( 10 – 1 ) x abc = 1 107
	9 x abc = 1 107
	abc = 123
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận dược thì số đó lại tăng lên 3 lần.
	Giải:
Gọi số phải tìm là ab. Viết thêm chữ số 0xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b. Theo bài ra ta có :
	ab x 10 = a0b 
Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00. Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số a00 ta được số 1a00. Theo bài ra ta có :
	1a00 = 3 x a00
Giải ra ta được a = 5 .Số phải tìm là 50
Loại 2 : Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên
Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó.
	Giải :
	Gọi số phải tìm là abcd. Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số ab.
	Theo đề bài ta có
	abcd – ab = 4455
	100 x ab + cd – ab = 4455
	cd + 100 x ab – ab = 4455
	cd + 99 x ab = 4455
	cd = 99 x (45 – ab)
	Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45 – ab phải bằng 0 hoặc 1.
	- Nếu 45 – ab = 0 thì ab = 45 và cd = 0.
	- Nếu 45 – ab = 1 thì ab = 44 và cd = 99.
Số phải tìm là 4500 hoặc 4499.
Loại 3 : Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó
Bài 1 : Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tỏng các chữ số của nó.
	Giải :
Cách 1 :
	Gọi số phải tìm là ab. Theo bài ra ta có
	ab = 5 x (a + b)
	10 x a + b = 5 x a + 5 x b
	10 x a – 5 x a = 5 x b – b
	(10 – 5) x a = (5 – 1) x b
	5 x a = 4 x b
	Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5.
	 + Nếu b = 0 thì a = 0 (loại)
	 + Nếu b = 5 thì 5 x a = 20, vậy a = 4.
	Số phải tìm là 45.
Cách 2 :
	Theo bài ra ta có
	ab = 5 x ( a + b)
	Vì 5 x (a + b) có tận cùng bằng 0 hoăc 5 nên b bằng 0 hoặc 5.
	 + Nếu b = 0 thay vào ta có :
	a5 = 5 x (a + 5)
	10 x a + 5 = 5 x a + 25
Tính ra ta được a = 4.
Thử lại : 45 : (4 + 5) = 5 . Vậy số phải tìm là 45.
Bài 2 	: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1
	Giải :
	Gọi số phải tìm là ab và hiệu các chữ số của nó bằng c.
	Theo bài ra ta có :
	ab = c x 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3.
	+ Nếu c = 1 thì ab = 29.
Thử lại : 9 – 2 = 7 ạ1 (loại)
	+ Nếu c = 2 thì ab = 57. 
Thử lại : 7 – 5 = 2 ; 57 : 2 = 28 (dư 1)
	+ Nếu c= 3 thì ab = 58.
Thử lại : 8 – 5 = 3 ; 85 : 3 = 28 (dư 1)
Vậy số phải tìm là 85 và 57.
Bài 3 	 : Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
	Giải :
Cách 1 :
	Gọi số phải tìm là abc. Theo bài ra ta có
	abc = 5 x a x b x c.
	Vì a x 5 x b x c chia hết cho 5 nên abc chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có.
	100 x a + 10 x b + 5 = 25 x a x b.
	20 x a + 2 x b +1 = 5 x a x b.
	Vì a x 5 x b chia hết cho 5 nên 2 x b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 x b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2 x b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7.
	- Trường hợp b = 2 ta có a25 = 5 x a x 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Vậy trường hợp b = 2 bị loại.
	- Trường hợp b = 7 ta có 20 x a + 15 = 35 x a. Tính ra ta được a = 1.
Thử lại :
	175 = 5 x 7 x 5.
Vậy số phải tìm là 175.
Cách 2 :
	Tương tự cach 1 ta có :
	ab5 = 25 x a x b
	Vậy ab5 chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, ab5 là số lẻ cho nêna, b phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a = 1. Số phải tìm là 175.
Loại 4 : So sánh tổng hoặc điền dấu
Bài 1 : Cho A = abc + ab + 1997
	 B = 1ab9 + 9ac + 9b
	So sánh A và B
	Giải :
	Ta thấy : B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b
	 = 1999 + ab0 + a0 + c + b
	 = 1999 + abc + ab
	. . .ị a > B
Bài 2	: So sánh tổng A và B.
	A = abc +de + 1992
	B = 19bc + d1 + a9e
	Giải :
	Ta thấy : B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90
	 = abc + de + 1991
	Từ đó ta suy ra A > B.
bài 3	: Điền dấu
	1a26 + 4b4 +5bc ƒ abc + 1997
	abc + m000 ƒ m0bc + a00
	x5 + 5x ƒ xx +56
F Dạng 2 : Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các phép tính.
Bài 1 : Tổng của hai số gấp đôi số thứ nhất. Tìm thư ... của dãy số đó
Ví dụ 1: 1, 2, 4, 8, 16 ...........
Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy đều gấp đôi số hạng đứng liền trước nó
Ví dụ 2: 1, 4, 9, 16, 25,..................
Quy luật: Số hạng ở vị trí nào thì bằng chính số thứ tự của vị trí ấy nhân với chính nó
Ví dụ 3: 1, 3, 6, 10, 15,............
Quy luật: Mỗi số hạng bằng tổng của số hạng liền trước với số thứ tự của nó trong dãy số
.................
Sau khi các em nắm bắt được các kiến thức cơ bản về dãy số tôi tiếp tục nâng dần mức độ khái quát lên để các em hiểu sâu, hiểu kĩ hơn về dãy số. Đó là các bài toán về dãy số
Các bài toán về dãy số cách đều
@Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số
Bài toán: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7,........99. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng
Lời giải cụ thể:
Số cuối hơn số đầu là:
 99 - 1 = 98
Khoảng cách giữa 2 số hạng liền nhau là: 
 - 1 = 5 - 3 = 2
 Số khoảng cách là:
 98: 2 = 49
 Số số hạng là:
 49 + 1 = 50
 Biểu thức đáp số là:
 ( 99 - 1) : ( 5 - 3) + 1 = 50
Rút ra công thức tổng quát:
 Số số hạng = (Số cuối - số đầu): khoảng cách + 1
Bài tập áp dụng
+ Bài 1: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,..............100
Dãy số được viết theo quy luận nào ? số 51 có thuộc dãy số không? Tại sao ?
+ Bài 2: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,......... 214. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng
@Dạng 2: Tính tổng của dãy số
Bài toán: Cho dãy số : 2, 4, 6, 8, .........100. Hãy tính tổng của dãy số đó
Lời giải cụ thể
Tổng của số đầu và số cuối à
 2+ 100 = 102
Dãy số có số hạng là:
 ( 100 - 2) : 2 + 1 = 50
Tổng của dãy số là: 
 (102 ´ 50) : 2 = 2550
Biểu thức đáp số là 
 (2 + 100) ´ 50 : 2 = 2550
Công thức tổng quát
Tổng = (số đầu + số cuối) ´ Số số hạng : 2
Bài toán áp dụng: 
Bài 1: Cho dãy số: 5, 9, 13,........... 1981
Tính tổng của dãy số đó
Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp thành dãy số: 2, 4, 6, 8, . . . , 234
	a-Tính tổng của dãy số trên? 
 b- Không làm tính cụ thể, em hãy cho biết nếu viết tiếp đến số 2004 thì tổng của dãy số đó có chia hết cho 3 không? Tại sao?
@Dạng 3: Tìm só hạng thứ n của dãy số
Bài toán: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,............Hỏi số hạng thứ 100 của dãy số là số nào 
Lời giải cụ thể
Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là
 98 - 1 = 99
Mỗi khoảng cách là
 3 - 1 = 5 - 3 = 2
Số hạng thứ 100 là
 1 + 99 ´ 2 = 199
Công thức tổng quát:
 Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách ´ (Số số hạng - 1)
- Bài toán áp dụng: Cho dãy số : 101, 104, 107,......
Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó.
@Dạng 4: Tìm số chữ số của dãy biết số số hạng 
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Giải:
Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số.
Vậy số chữ số cần dùng là :
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 51 ´ 3 = 342 chữ số
Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số.
Giải:
Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có
 ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số
Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số
Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số
Vậy người ta phải dùng số chữ số là:
9 ´ 1 + 90 ´ 2 + 135 ´ 3 = 594 chữ số
áp dụng:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2004 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số
Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
@Dạng 5: Tìm số hạng biết số chữ số
Bài toán: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang
Giải:
Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có
 9 số có 1 chữ số
 có 90 số có 2 chữ số
Để viết các số này cần số chữ số là
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số
Số chữ số còn lại là:
- 189 = 246 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 
: 3 = 82 số
Số trang quyển sách đó là
 99 + 82 = 181 ( trang)
áp dụng:
Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu.
Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh
@Dạng 6: Tìm chữ số thứ n của dãy
Bài toán: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ?
Giải:
 Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số
 Có 90 số có 2 chữ số
 Để viết các số này cần
 9 ´ 1 + 90 ´ 2 = 189 chữ số
 Số chữ số còn lại là
 - 189 = 11 chữ số
Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được
 11 : 3 = 3 số dư 2 chữ số
Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến
 99 + 3 = 102
Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103.
áp dụng: 
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó.
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2004 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai?
@Dạng 7: Tìm xem tích các số hạng trong dãy tận cùng bằng chữ số nào
Bài toán 1: Em hãy tính xem tích các số tự nhiên liên tiếp từ 18 đến 26 tận cùng bằng mấy chữ số giống nhau.
Giải
Tích đó viết như sau: 18 ´ 19 ´ 20 ´ ....... ´ 26
Ta thấy 25 = 5 ´ 5 mà mỗi số chẵn khi nhân với 5 cho ta 1 số tròn chục. Mặt khác trong dãy còn có số 20 là số tròn chục. Mỗi số tròn chục khi nhân cho ta một chữ số 0. Vậy tích đã cho có tận cùng bằng 3 chữ số giống nhau , đó là chữ số 0
Bài toán 2: Tích sau có tận cùng là chữ số nào:
9 ´ 19 ´ 29 ´..........´ 99
Giải:
Tích trên có ( 99 - 9) : 10 + 1 = 10 thừa số mà .............9 ´.......9 = .......1
Có 10 : 2 = 5 cặp như vậy. Mà ..........1 ´ .......1 ´........´.......1 = ..........1
Vậy tích trên có tận cùng là chữ số 1. Như vậy nếu số thừa số có tận cùng là 9 trong dãy là lẻ thì tích sẽ có tận cùng là: ..........1 ´ .........9 = ......9 nếu thừa số là chẵn thì tích sẽ có tận cùng là 1
áp dụng:
Bài 1: Tích các số tự nhiên liên tiếp từ 24 đến 75 có tận cùng là mấy chữ số giống nhau
Bài 2: Các tích sau có tận cùng là chữ số nào:
6 ´ 16 ´ 26 ´...........´ 1996
7 ´ 17 ´ 27 ´..........´ 197
@Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3.......n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136
Giải:
áp dụng công thức tính tổng ta có :
+ 2 + 3 +........+ n =136
Do đó: (1 + n ) ´ n = 136 ´ 2
 = 17 ´ 8 ´ 2
 = 16 ´ 17
 Vậy n = 16
Bài toán 2: Cho dãy số 21, 22, 23, ......n
Tìm n biết 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840
Giải:
Nếu cộng thêm và tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng sau:
 1 + 2 + 3 +..........+ 21 + 22 + 23 +.........+ n
áp dụng công thức tính tổng ta có
 (1 + n) ´ n : 2 = 1 + 2 + ....+ 20 + 4840
 = ( 1 + 20) ´ 20 : 2 + 4840
 = 210 + 4840 = 5050
 ( 1+ n) ´ n = 5050 ´ 2
 = 10100
 = 101 ´ 100
 Vậy n = 100
áp dụng
Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345
Hãy tìm số n
Bài 2: Tìm số n biết rằng
+ 102+........+n = 15050
@Dạng 9: Viết liên tiếp 1 nhóm chũ số ( chữ cái) thành dãy. Hỏi chữ số (chữ cái) thứ n là chữ số ( chữ cái) nào .
Bài toán 1; Một bạn học sinh viết liên tiếp các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 thành dãy 1357913579........Hỏi chữ số thứ 1998 là chữ số nào
Giải
Ta nhận thấy cứ 5 chữ số lập thành 1 nhóm 13579 với 1998 chữ số ta viết được
: 5 = 399 nhóm dư 3 chữ số dùng để viết nhóm tiếp theo, nhưng mới viết được135. Vậy chữ số thứ 1998 là chữ số 5.
Bài toán 2: Người ta viết liên tiếp các chữ cái K, I, N , H, M, Ô, N thành các dãy 
KINH MÔN KINH MÔN........
Hỏi chữ cái thứ 2000 là chữ cái nào
Giải:
Ta thấy cứ 7 chữ cái thành lập 1 nhóm KINH MÔN với 2000 chữ cái ta viết được số nhóm là:
: 7 = 285 nhóm, dư 5 chữ cái để viết nhóm tiếp theo nhưng với viết được
 KINH M. 
Vậy chữ cái thứ 2000 là chữ M
áp dụng: 
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các chữ cái H, A, I , D, Ư, Ơ, N, G thành dãy
HAI DƯƠNG HAI DƯƠNG........... viết đến chữ cái thứ 1234 thì phát hiện ra đã viết nhầm chữ cái đó. Hỏi chữ cái viết nhầm là chữ cái nào
Bài 2: Người ta viết các chữ cái: T, o, A, n, t, u, Ô, i, t, h, ơ thành dãy ToAntuôithơToAntu..... mỗi chữ cái viết 1 màu khác nhau theo thứ tự xanh, đỏ, vàng. Hỏi chữ cái thứ 2004 là chữ gì, màu gì?
II-/Kết quả
Qua một thời gian giúp các em học và ôn luyện các kiến thức cơ bản, hướng dẫn các em làm các bài toán về dãy số, qua kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh có sự tiến bộ nhanh. Các em không bị lúng túng khi gặp loại toán này mà ngược lại các em rất thích các dạng toán mà tôi đã hệ thống được. Các em học tập hăng say hơn, hứng thú hơn và kết quả là các em nắm kiến thức chắc và làm bài tốt. Cụ thể như sau
Tổng số bài tham gia
Điểm 9 - 10
Điểm 7 - 8
Điểm 5 - 6
Điểm 1 - 4
35
5 = 14,3%
12 = 34,3%
14 = 40%
4 = 11,4%
Qua kết quả này cho ta thấy tác dụng rõ rệt của đề tài này đối với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong nhà trường.
III-/Hạn chế
Do thời gian nghiên cứu có hạn nên các kiến thức hệ thống được chưa sâu. Mặt khác trình độ của học sinh trong lớp không đồng đều cũng phần nào hạn chế tác dụng của đề tài này. Chính vì vậy kết quả đạt được chưa thật như mong muốn theo yêu cầu đề ra 
Kết luận chung
Học sinh Tiểu học rất tiềm tàng khả năng phát triển, các em luôn muốn vươn tới cái mới, cái hay và tự khẳng định mình. Nhưng khả năng tư duy của các em mới ở mức độ từ biểu tượng cụ thể để rút ra đánh giá, kết luận mà chưa có khả năng khái quát, tống hợp các kiến thức được học. Khi giáo viên hướng dẫn học sinh cùng làm công việc này tức là hệ thống hoá các kiến thức đã và đang học của một phần nào đó thành các kiểu, loại, dạng toán có chung một vài đặc điểm toán học thì các em sẽ dễ dàng nắm được kiến thức chính cơ bản và áp dụng để giải các bài toán theo yêu cầu của nội dung học. Từ đó do không bị ức chếvề khả năng nên các em học tập thoải mái hơn, phát huy tính tích cực của mình trong học tập và đạt được yêu cầu mà chương trình đề ra. Như vậy ta đã giúp các em cách học có khoa học, lô gic và luôn hướng tới sự khái quát, tổng hợp. Mặt khác kĩ năng giải toán của các em được rèn giũa qua làm các bài tập và năng lực tư duy của các em được phát triển có định hướng. Từ đó tạo tiền đề để các em học tập tốt hơn các môn học khác và học tiếp lên các lớp trên. Đó cũng chính là mục tiêu của đề tài này.