Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh vận dụng dấu hệu chia hết trong giải toán

GIÚP HỌC SINH VẬN DỤNG
DẤU HỆU CHIA HẾT TRONG GIẢI TOÁN
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Trong chương trình môn toán Tiểu học, học sinh đã được học về dấu hiệu chia hết cho 5; 2; 3 và 9. Dựa vào đặc điểm của từng số, học sinh dễ dàng nhận biết số đó có chia hết cho 5; 2; 3 và 9 hay không hoặc các em có thể tìm được những số chia hết cho 5; 2; 3 và 9 theo yêu cầu của từng bài tập. Ví dụ:
1, Số nào trong các số: 2456; 1233; 1026;4567 chia hết cho 9 ?
2, Viết chữ số thích hợp vào dấu * ở số 123* để được số có 4 chữ số chia hết cho 5.
- Ở bài tập 1, các em dễ dàng phát hiện ra số 1233 là số chia hết cho 9 dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9 (tổng các chữ số của số 1233 là (1 + 2 + 3 + 3 = 9) chia hết cho 9).
- Ở bài tập 2, các em dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5: là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên tìm ngay được hai số là 1230 và 1235.
 Tuy nhiên đối với những em có năng khiếu môn toán khi giải bài toán nâng cao liên quan đến dấu hiệu chia hết thường lúng túng, không xác định được dạng toán và cách giải. Một số em do chịu khó suy nghĩ, tìm hiểu nên cũng tìm ra kết quả nhưng không biết cách giải hoặc diễn đạt dài dòng không phù hợp. 
 Qua nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh có năng khiếu môn toán, tôi đã có một số kinh nghiệm giúp đỡ các em có thể tự tin giải các bài toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết như sau.
PHẦN II. NỘI DUNG:
I. Giúp học sinh nắm được tính chất của dấu hiệu chia hết:
 Khi lên lớp, căn cứ vào tình hình thực tế của lớp, giáo viên cần phân loại đối tượng học sinh trong lớp mình để có thể dễ dàng giúp đỡ những em học yếu vươn lên đạt yêu cầu, đồng thời tạo điều kiện cho học sinh có năng khiếu vươn lên học giỏi, có thể giải tốt các bài toán có nội dung mở rộng trên cơ sở các kiến thức trong SGK. 
Ví dụ: Sau khi được học về dấu hiệu chia hết cho 5, 2, 3 và 9, giáo viên cần giúp các em có năng khiếu tìm hiểu thêm một số tính chất, đặc điểm của dấu hiệu chia hết. Từ đó các em vận dụng giải tiếp các bài toán có nội dung nâng cao.
1, Nếu mỗi số hạng của một TỔNG (hoặc HIỆU) đều chia hết cho số m thì TỔNG (hoặc HIỆU) của chúng cũng chia hết cho số m. 
Ví dụ: 
Am
Bm
Cm thì (A +B +C) m hoặc (A - B – C) m
Ví dụ cụ thể: thì (12 + 15 + 18) 3.
2, Nếu một số hạng của tổng không chia hết cho m, còn tất cả các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng của chúng không chia hết cho m.
Ví dụ: A không chia hết cho m
 Bm
 Cm thì A + B + C không chia hết cho m.
Ví dụ cụ thể:
 12 không chia hết cho 5
 155
 205 thì (12 + 15 + 20) = 47 không chia hết cho 5.
3, Nếu tổng chia hết cho m, một số hạng chia hết cho m, còn tất cả các số hạng còn lại của tổng không chia hết cho m thì tổng của các số hạng còn lại cũng phải chia hết cho m.
Ví dụ: Am
 B không chia hết cho m
 C không chia hết cho m
Nếu (A + B +C) m thì (B + C) m.
Ví dụ cụ thể:
10 2; 11 và 13 không chia hết cho 2. Ta thấy tổng của 3 số (10 + 11 + 13) = 34 chia hết cho 2 và (11 + 13) = 24 cũng chia hết cho 2.
4, Nếu A chia cho m dư n
 A chia cho x dư n
 A chia cho y dư n thì (A – n) đồng thời chia hết cho m; x; y,
Ví dụ cụ thể: 
61 : 5 = 12 dư 1
61 : 6 = 10 dư 1
61 : 4 = 15 dư 1 vậy (61 – 1) = 60 đồng thời chia hết cho 4; 5 năm.
II. Giúp học sinh tập tìm số dư trong phép chia một số cho 5, 2, 3 và 9:
Ví dụ 1: Tìm số dư trong phép chia:
a, 153 : 5 b, 234:5
GV hướng dẫn học sinh thực hiện phép chia để tìm số dư:
Thực hiện phép chia ta có: a, 153 : 5 = 30 dư 3; b, 239 : 5 = 47 dư 4.
Mặt khác ta lấy chữ số hàng đơn vị của mỗi số trên chia cho 5 ta có:
a, 3:5 dư 3 b, 9 : 5 dư 4.
=> KL: Số dư trong phép chia một số chia cho 5 chính là số dư trong phép chia chữ số hàng đơn vị cho 5.
(Cách hướng dẫn tìm số dư trong phép chia một số chia cho 2 cũng tiến hành tương tự).
Ví dụ 2: Tìm số dư trong phép chia:
a, 149 : 3 b, 377 : 3
- GV hướng dẫn học sinh thực hiện phép chia để tìm số dư:
Thực hiện phép chia ta có: a, 149 : 3 = 46 dư 1
 b, 377 : 3 = 125 dư 2.
- Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện phép chia tổng các chữ số của mỗi số trên cho 3:
a, Tổng các chữ số của số 149 bằng: (1 + 4 + 9 = 14) ta thấy 14 : 3 = 4 dư 1;
b, Tổng các chữ số của số 377 bằng: (3 + 7 + 7 = 17) ta thấy 17 : 3 = 5 dư 2;
=> KL: Số dư trong phép chia một số chia cho 3 bằng số dư trong phép chia tổng các chữ số của số đó chia cho 3.
(Tương tự GV hướng dẫn học sinh tìm số dư trong phép chia một số chia cho 9)
III. Một số dạng toán vận dụng:
 Sau khi học sinh đã nắm được tính chát của dấu hiệu chia hết, giáo viên đưa ra hệ thống bài tập theo từng dạng (từ dễ đến khó) để học sinh dễ dàng vận dụng giải toán đồng thời giúp học sinh dễ nhớ và nhớ lâu các cách giải. Qua đó tập luyện kĩ năng tư duy, diễn đạt cho học sinh.
Dạng 1: Tính chất chia hết của tổng (hiệu) – Tìm số dư.
Bài 1: Không làm phép tính, em hãy xét xem các tổng và hiệu dưới đây có chia hết cho 3 không ?
a, 120 + 225 b, 450 – 160
* Đây là bài tập dễ nên HS có thể dễ dàng vận dụng các tính chất để tự giải.
Giải:
a, Số 1203 vì ( 1 + 2 + 3 = 3 mà 33)
 Số 2253 vì ( 2 + 2 + 5 = 9 mà 93)
Vậy 120 + 225 chia hết cho 3.
b, Số 4503 vì ( 4 + 5 + 0 = 9 mà 93)
 Số 160 không chia hết cho 3 vì (1 + 6 + 0 = 7 mà 7 không chia hết cho 3)
Vậy : 450 – 160 không chia hết cho 3.
Bài 2: Không làm phép tính, tìm sô dư của:
a, 379 : 2 b, 459 : 5 c, 1327 : 3 d, 1234 : 9
Giải:
a, 379 : 2 dư 1 vì chữ số hàng đơn vị là 9 chi cho 2 dư 1.
b, 479 : 5 dư 4 và chữ số hàng đơn vị là 9 chia cho 5 dư 4.
c, 1327 chia cho 3 dư 1 vì 1 + 3 + 2 + 7 = 13 mà 13 chia cho 3 dư 1.
d, 1234 chia cho 9 dư 1 vì 1 + 2 + 3 + 4 = 10 mà 10 chia cho 9 dư 1.
Bài 3: Bạn Liên đội trưởng báo cáo với chị tổng phụ trách trong dợt thi đua kế hoạch nhỏ: “Các đội đã thu hoạch được một số giấy: đội thứ nhất: 447kg; đội thứ hai: 567kg; đội thứ ba: 579kg; đội thứ tư: 669kg. Tổng số toàn liên đội thu được 2312kg.” Chị phụ trách nói ngay: “Em tính tổng số sai rồi”. Em hãy giải thích tại sao chị phụ trách không làm tính mà biết ngay được tổng số giấy toàn liên đội thu được là sai ?
* GV hướng dẫn học sinh:
- Số giấy thu được của từng đội là số cùng chia hết cho số nào ?
- Tổng số giấy thu được của cả liên đội mà bạn liên đội trưởng tính được có chia hết cho số đó không ?
*Hướng giải:
- Các số: 447; 567; 579; 669 đều chia hết cho 3 (vì mỗi số trên đều có tổng các chữ chia hết cho 3) nên tổng số giấy thu được của toàn liên đội là một số chia hết cho 3 (Vận dụng tính chất chia hết).
- Tổng số giấy của cả liên đội mà bạn liên đội trưởng tính là 2132kg mà 2132 là số không chia hết cho 3 (tổng các chữ số của 2132 là: 1 + 2 + 3 + 2 = 8 mà 8 không chia hết cho 3).
Vậy tổng số giấy của toàn liên đội mà bạn nhỏ tính là saị
Bài 4: Một người vào một cửa hàng tạp phẩm, người đó đã mua 6 chiếc bút máy cùng loại, một số bút chì giá 1500 đồng một chiếc, 2 quyển sổ tay giá 4800 đồng một quyển và 12 xếp giấỵ Người bán hàng sau khi tính toán và yêu cầu người mua hàng phải trả 82 000 đồng. Theo em người bán hàng có tính nhầm không ? Tại sao ? (Dựa theo đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 1997-1998)
GV hướng dẫn học sinh:
- Nhận xét xem số tiền người đó mua các mặt có cùng chia hết cho số nào không ?
- Số tiền mà người bán hàng tính cho người mua hàng phải trả có cùng chia hết cho số đó không ?
Hướng giải:
- Số tiền mua 6 chiếc bút máy là một số chia hết cho 3;
- Giá tiền mua một chiếc bút chì là 1500 đồng là một số chia hết cho 3 nên người đó mua bao nhiêu chiếc bút chì thì tổng số tiền mau bút chì cũng là một số chia hết cho 3;
- Giá tiền mua một cuốn sổ tay là 4800 đồng là một số chia hết cho 3 nên số tiền mua 2 cuốn sổ tay cũng là một số chia hết cho 3;
- Số tiền mua 12 xếp giấy cũng là một số chia hết cho 3;
Vậy tổng số tiền mua các mặt hàng trên cũng là một số chia hết cho 3 (Vận dụng tính chất chia hết).
Tổng số tiền mà người bán hàng tính cho người mua hàng phải trả là 82 000 đồng là một số không chia hết cho 3.
Do đó người bán hàng đã tính saị
Bài 5: Một cửa hàng có 5 rổ cam và quýt, trong mỗi rổ chỉ đựng một loại quả. Số quả ở mỗi rổ là 50, 45, 40, 55, 70 quả. Sau khi bán đi một rổ thì số quả cam còn lại gấp 3 lần số quả quýt. Hỏi trong các rổ còn lại rổ nào đựng cam, rổ nào đựng quýt ? (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh-Năm học 2003-2004)
Hướng giải:
- Sau khi bán đi một rổ thì số cam còn lại gấp 3 lần số quýt. Do đó số quả còn lại là một số chia hết cho 4; trong đó số quả quýt chiếm số quả còn lạị
- Tổng số quả cam và quýt lúc đầu là:
50 + 45 + 40 + 55 + 70 = 260 (quả).
- Số 260 chia hết cho 4; số cam còn lại cũng chia hết cho 4 nên số cam đã bán cũng phải chia hết cho 4 (Vận dụng tính chất chia hết).
- Trong các số 50, 45, 55, 40, 70 chỉ có số 40 chia hết cho 4 nên rổ đã bán là rổ có 40 quả.
- Số quả còn lại: 260 – 40 = 220 (quả).
- Số quýt còn lại: 220 = 55 (quả)
- Vậy trong 4 rổ còn lại thì rổ 55 quả là rổ đựng quýt và có 3 rổ cam là rổ 45 quả; 50 quả; 70 quả.
Bài 6: Có 6 miếng bìa, mỗi miếng đều có một mặt màu xanh và một mặt màu đỏ. Trên mỗi mặt người ta đều ghi một số. Tổng các số trên mỗi mặt của mỗi miếng bìa lần lượt là các số: 46; 147; 215; 59; 131; 152. Sau khi cất đi một miếng bìa thì tổng các số trên các mặt màu xanh của các miếng bìa còn lại gấp 4 lần tổng các số trên các mặt màu đỏ của các miếng bìa còn lạị
Tìm tổng các số trên các mặt màu đỏ của các miếng bìa còn lạị (Đề kiểm tra đội tuyển HSG tỉnh Nghệ An lần thứ 3 – Năm học 1994-1995)
(Cách HD giải tương tự bài 5)
Bài 7: Khảo sát chất lượng môn toán lớp 5A thì thấy có 50% số học sinh đạt điểm trung bình, 15% số học sinh đạt điểm giỏi, 30% đạt điểm khá, còn lại là học sinh đạt điểm yếụ Hỏi lớp 5A có bao nhiêu học sinh ? Biết số học sinh lớp 5A không quá 35 em ?
Hướng giải:
- Ta thấy: 50% = ; 15% = ; 30% = .
- Vậy số học sinh lớp 5A là một số đồng chời chia hết cho 2, 10 và 20.
- Trong các số bé hơn 35 chỉ có 20 là chia hết cho 2, 10 và 20.
- Vậy số học sinh lớp 5A là 20 em.
Dạng 2: Tìm số theo điều kiện chia có dư
Bài 1: Tìm tất cả những số có hai chữ số khi chia cho 2 thì dư 1, chia cho 3 thì dư 2, chia cho 5 thì dư 4.
Hướng giải:
Đưa bài toán về điều kiện chia hết.
- Nếu ta cộng thêm 1 đơn vị vào số cần tìm thì ta được số A, số A sẽ chia hết cho 2, 5 và 3. 
- Số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng là 0. Số A có dạng a0 (a khác 0).
- Số A chia hết cho 3 nên a chỉ có thể là 3, 6, 9.
- Những số có hai chữ số chia hết cho 2, 3 và 5 là: 30; 60; 90.
- Số cần tìm có thể là:
30 – 1 = 29
60 – 1 = 59
90 – 1 = 89.
(bài này có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những cách khác, tôi không nêu ở đây).
Bài 2: Trong dịp tết trồng cây “Đời đời nhớ ơn Bác” một tổ học sinh trồng được một số câỵ Số đó là một số nhỏ nhất mà đem chia cho 4 dư 1, chia cho 5 cũng dư 1 và chia cho 6 cũng dư 1, biết rằng số đó chia hết cho 7 và nhỏ hơn 400. Tìm số đó.
Hướng dẫn:
- Gọi A là số cần tìm trừ đi 1 đơn vị (A < 399).
- Ta có A chia hết cho 4, chia hết cho 5, chia hết cho 6 (tức là chia hết cho 2 và 3) và chia cho 7 thì dư 6.
- Do A cùng chia hết cho 2, cho 5, cho 3 và cho 4 và A < 399 nên A có thể là: 60; 120; 180; 240; 300; 360. 
- Kết hợp điều kiện chia cho 7 thì dư 6, ta thấy A chỉ có thể là 300.
Vậy số cần tìm là 301
Bài 3: Một cửa hàng bán vật liệu xây dựng có 6 ngăn đựng đinh có khối lượng là 22kg, 23kg, 26kg, 28kg, 29kg và 31kg. Hai khách hàng đến mua 5 ngăn. Một khách hàng đã mua gấp 4 lần khối lượng đing người kia muạ Hỏi còn lại ngăn đựng bao nhiêu kilôgam đinh ?
Hướng dẫn:
- Khối lượng đinh của hai khách hàng mua là một số chia hết cho 5.
- Tổng khối lượng đinh ở 5 ngăn là: 22 + 23 + 26 + 28 + 29 + 31 = 159 (kg) là một số chia cho 5 dư 4.
- Khối lượng đinh đã bán là một số chia hết cho 5; vậy khối lượng đinh còn lại là một số chia cho 5 dư 4.
Trong 6 ngăn: 22kg; 23kg; 26kg; 28kg; 29kg và 31kg chỉ có ngăn 29kg là phù hợp (vì 29 chia cho 5 dư 4).
Dạng 3: Điền chữ số thích hợp vào một số để số đó thoả mãn điều kiện chia hết.
Bài 1: Viết chữ số thích hợp vào dấu ? ở số 7?8? để:
a, Được 1 số có 4 chữ số chia hết cho 5, 2 và 3.
b, Được một số chia hết cho 15. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An – Năm học 2001-2002).
* Đối với dạng bài tập này nhiều em có thể tìm ra được 1 số thoả mãn điều kiện bài toán nhưng hầu hết các em không biết cách lập luận để giải bài toán và không tìm hết được tất cả các số thoả mãn điều kiện bài toán.
* Hướng dẫn HS giải:
- Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng phải là chữ số 0; vậy b = 0;
- Thay b = 0 vào số 7?8? ta được số 7?80; số này chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
- Từ đó ta tìm được các số càn tìm.
Giải:
 Muốn số 7?8? đồng thời chia hết cho 2 và 5 thì b phải bằng 0. Thay b = 0 vào số 7?8? ta có số 7?80. Số 7?80 chia hết cho 3 khi (7 +? + 8 + 0) chia hết cho 3 hay (15 + ?) chia hết cho 3. Vậy ? có thể nhận các giá trị là: 0; 3; 6; 9.
Ta có các số cần tìm là:
7080; 7380; 7680; 7980.
Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết 5 mà số đó đọc xuôi cũng như đọc ngược đều có giá trị không đổi. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An – Năm học 2000-2001).
* Giúp học sinh phân tích:
- Số có 4 chữ số mà khi đọc xuôi cũng như đọc ngược thì số đó sẽ có dạng abba (a khác 0).
- Số chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. vậy a = 5.
- Số chia hết cho 3 thì có tổng của các chữ số của nó cũng chia hết cho 3.
- Từ đó học sinh có thể giải được bài toán.
* Giải:
Vì số cần tìm là số có 4 chữ số và khi đọc xuôi cũng như đọc ngược đều có giá trị không đổi nên số cần tìm có dạng abba . Mặt khác a là chữ số ở hàng cao nhất của số đó nên a 0.
Số abba chia hết cho 5 khi a = 5. Thay a = 5 vào abba ta có số 5bb5. Số 5bb5 chia hết cho 3 khi (5 + b + b + 5) chia hết cho 3 hay (10 + b 2) chia hết cho 3. Vậy a có thể nhận các giá trị là:
 a = 1
 a = 4
 a = 7
Các số cần tìm là:
5115; 5445; 5775.
PHẦN III: KẾT LUẬN
1, Kết quả đạt được:
 Sau khi áp dụng một số biện pháp đã nêu trên vào quá trình dạy học tôi nhận thấy:
- Đa số các em học sinh đều giải tốt các bài toán có liên quan đến dấu hiệu chia hết;
- Bài giải của các em được lập luận chặt chẽ, khoa học hơn trước;
- Các tiết học diễn ra nhẹ nhàng, hào hứng;
- Nhiều em yêu thích môn toán, ham tìm hiểu và giải các bài toán khó;
- Một số em trước đây rất ngại học toán nay đã có hứng thú học toán. 
2, Bài học kinh nghiệm:
- Đối với từng bài học trong SGK môn toán, GV cần quan tâm đến yêu cầu cơ bản, tối thiểu mà tất cả HS cần nắm được, đạt được sau bài học đó. 
- Sau khi HS đã nắm vững kiến thức cơ bản, chúng ta cần hướng dẫn học sinh biết phát triển, khai thác, vận dụng kiến thức kĩ năng đã học theo hướng mở rộng hơn, sâu hơn nhằm nâng cao, phát triển cho một bộ phận học sinh có năng khiếu môn toán vươn lên học giỏi.
- Cần có hệ thống bài tập phù hợp theo từng dạng, từ dễ đén khó.
- Biết quan tâm, giúp đỡ và động viên học sinh khi các em gặp khó khăn trong giải toán.
- Giáo dục HS yêu thích môn toán.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học. Rất mong được sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp.
 Hậu Thành, ngày 29 tháng 4 năm 2010.
 NGƯỜI VIẾT
 Chu Văn Ngoạn