Toán 5 - Các bài toán hình chữ nhật

Bài 1 : Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. 
Bài giải : Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ : 
Do đó 45 m ứng với số phần là :
16 - 1 = 15 (phần)
Chiều rộng ban đầu là :
45 : 15 = 3 (m)
Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :
3 x 12 = 36 (m2)
Bài 2:
Một hình chữ nhật có có chu vi bằng 99,4 ,biết nếu tăng chiều rộng thêm 8,5 dm và giảm chiều dài đi 4,2 thì nó trở thành hình vuông. Tính diện tích hình chữ nhật đã cho.
Bài giải:
Chiều dài hơn chiều rộng là:
8,5 + 4,2 = 12,7 ( dm )
Nửa chu vi hình chữ nhật đó là:
99,4 : 2 = 49,7 ( dm )
Chiều dài hình chữ nhật đó là :
( 49,7 + 12,7 ) : 2 = 31,2 ( dm )
Chiều rộng hình chữ nhật đó là :
( 49,7 – 12,7 ) : 2 = 18,5 ( dm)
Diện tích hình chữ nhật đó là :
31,2 x 18,5 = 577,2 ( dm2 )
ĐS : 577,2 dm2
Bài 3 : Hợp tác xã Hòa Bình dự định xây dựng một khu vui chơi cho trẻ em trong xã. Vì thế họ đã mở rộng một mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu. Chiều rộng mảnh đất chỉ có thể tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài. Khi đó mảnh đất trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích khu vui chơi đó. Biết rằng chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m. 
Bài giải : Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là ABCD, khi mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để được mảnh đất hình vuông APMN có cạnh hình vuông gấp 2 lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD và diện tích gấp 3 lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật ấy. Khi đó diện tích của các mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN, BPMH bằng nhau. 
Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp 2 lần độ dài cạnh AD nên 
Nửa chu vi mảnh đất ban đầu là 56 m nên AD + AB = 56 : 2 = 28 (m). 
Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) là : 28 : (3 + 4) x 3 = 12 (m). 
Cạnh hình vuông APMN là : 12 x 2 = 24 (m). 
Diện tích khu vui chơi là : 24 x 24 = 576 (m2). 
Bài 4 : Bác Phong có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài 8 m. Bác ngăn mảnh đó thành hai phần, một phần để làm nhà, phần còn lại để làm vườn. Diện tích phần đất làm nhà bằng 1/2 diện tích mảnh đất còn chu vi phần đất làm nhà bằng 2/3 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất của bác.
 Bài giải : Có hai cách chia mảnh đất hình chữ nhật thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Cách chia 1 : như hình 1. 
Hình 1
Gọi mảnh đất hình chữ nhật là ABCD và phần đất làm nhà là AMND. 
Vì diện tích phần đất làm nhà bằng nửa diện tích mảnh đất nên M, N lần lượt là điểm chính giữa của AB và CD. Do đó AM = MB = CN = ND. 
Chu vi của phần đất làm nhà là : (AM + AD) x 2 = (AM + 8) x 2 = = AM x 2 + 8 x 2 = AB + 16. 
Chu vi của mảnh đất là : (AB + AD) 2 = (AB + 8) x 2 = = AB x 2 + 8 x 2 = AB x 2 + 16. 
Hiệu chu vi mảnh đất và chu vi phần đất làm nhà là : (AB x 2 + 16) - (AB + 16) = AB. 
Hiệu này so với chu vi mảnh đất thì chiếm : 1 - 2/3 = 1/3 (chu vi mảnh đất) 
Do đó ta có : AB x 3 = AB x 2 + 16 
AB x 3 - AB x 2 = 16 
AB x (3 - 2) = 16 
AB = 16 (m). 
Vậy diện tích mảnh đất là : 16 x 8 = 128 (m2) 
Cách chia 2 : như hình 2. 
Hình 2
Lập luận tương tự trường hợp trên, ta tìm được AB = 4 m. Điều này vô lí vì AB là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật, đương nhiên phải lớn hơn 8 m. Do đó trường hợp này bị loại. 
Bài 5 : Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2 mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi ban đầu hơn chu vi mảnh đất hình vuông là 28 m. Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích hình vuông là 224 m2. Tính diện tích thửa đất ban đầu.
Bài giải :
Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là :
28 : 2 = 14 (m).
Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB.
Nửa chu vi hình AMND là AD + AM.
Do đó : MB = AB - AM = 14 (m).
Chiều rộng BC của hình ABCD là :
224 : 14 = 16 (m)
Chiều dài AB của hình ABCD là :
16 + 14 = 30 (m)
Diện tích hình ABCD là :
30 x 16 = 480 (m2). 
Bài 6 : Một tờ giấy hình vuông có diện tích là 72 cm2 thì đường chéo của tờ giấy đó dài bao nhiêu ? 
Bài giải : Gọi tờ giấy hình vuông là ABCD. Nối hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (hình vẽ). 
Hình vuông được chia thành 4 tam giác vuông nhỏ có diện tích bằng nhau. 
Diện tích tam giác AOB là : 72 : 4 = 18 (cm2). 
Vì diện tích tam giác AOB bằng (OA x OB) : 2, do đó (OA x OB) : 2 = 18 (cm2). Suy ra OA x OB = 36 (cm2). 
Vì OA = OB mà 36 = 6 x 6 nên OA = 6 (cm). 
Vì AC = 2 x OA nên độ dài đường chéo của tờ giấy đó là : 6 x 2 = 12 (cm). 
Bài 7 : Cho hai hình vuông ABCD và MNPQ như trong hình vẽ. Biết BD = 12 cm. Hãy tính diện tích phần gạch chéo.
Bài giải : Diện tích tam giác ABD là :
(12 x (12 : 2))/2 = 36 (cm2)
Diện tích hình vuông ABCD là :
36 x 2 = 72 (cm2)
Diện tích hình vuông AEOK là :
72 : 4 = 18 (cm2)
Do đó : OE x OK = 18 (cm2)
r x r = 18 (cm2)
Diện tích hình tròn tâm O là :
18 x 3,14 = 56,92 (cm2)
Diện tích tam giác MON = r x r : 2 = 18 : 2 = 9 (cm2)
Diện tích hình vuông MNPQ là :
9 x 4 = 36 (cm2)
Vậy diện tích phần gạch chéo là :
56,52 - 36 = 20,52 (cm2)
Bài 2: ( 2,5 điểm ) 
Vẽ hình cho 0,5 điểm, câu a/ 1 điểm, câu b/ 1 điểm.
a/ . Gọi S là diện tích:
Ta có: SBAHE = 2 SCEH
Vì BE = EC và hai tam giác BHE, HEC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung H nên SBHE = SHEC
Do đó SBAH = SBHE = SHEC
Suy ra: SABC = 3SBHA và AC = 3HA ( vì hai tam giác ABC và BHA có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung B)
Vậy HA = = 6 : 3 = 2 ( cm)
Nghĩa là điểm H phải tìm cách A là 2cm
b/ Ta có: SABC = 6 x 3 : 2 = 9 ( cm2)
Vì BE = EC và hai tam giác BAE, EAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh chung A, nên SBAE = SEAC do đó:
SEAC = SABC = 9 : 2 = 4,5 (cm2)
Vì SHEC = SABC = 9 : 3 = 3 (cm2)
Nên SAHE = 4,5 – 3 = 1,5 (cm2)
Lưu ý: Học sinh giải các khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
Bài 8:
Người ta xếp những hình lập phương nhỏ cạnh 1 cm thành 1 hình hộp chữ nhật có kích thước 1,6 dm ; 1,2dm ; 8 cm. Sau đó người ta sơn 6 mặt của hình vừa xếp được . Tính số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt
Bài giải:
1,6 dm = 16 cm ; 1,2 dm = 12 cm
Số hình lập phương được sơn 2 mặt của mỗi mặt hình lớn là :
( 16 + 12 ) x 2 – 4 = 52 ( hình )
( 16 + 12 ) x 2 – 4 = 52 ( hình )
( 8 - 2 ) x 4 = 24 ( hình )
Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là :
52 + 52 + 24 = 128 ( hình )
ĐS : có tất cả 128 hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt.
Bài 9:
Người ta xếp những hình lập phương nhỏ cạnh 1cm thành một hình hộp chữ nhật có kích thước : 1,6 dm ; 1,2 dm ; 8cm. sau đó người ta sơn 6 mặt của hình vừa xếp được . Tính số hình lập phương nhỏ không sơn mặt nào
Bài giải
1,6 dm = 16 cm ; 1,2dm = 12 cm
Số hình lập phương nhỏ không sơn mặt nào là :
( 16 – 2 ) x ( 12 – 2 ) x ( 8 – 6 ) = 560 ( hình )
ĐS : 560 hình lập phương nhỏ không sơn mặt nào.