Toán 5 - Các bài toán về dấu hiệu chia hết

Các bài toán về dấu hiệu chia hết :
Khi giải các bài tập toán liên quan đến chia hết, chúng ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2 ; 3 ; 5 và 9. Tuy nhiên trong thực tế có nhiều bài phải vận dụng một số tính chất chia hết khác để giải. Chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ sau : 
Ví dụ 1 : Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại của M. Biết M lớn hơn N. Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết cho 3.
Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho một số nào đó khi số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho số đó hoặc số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó. Dựa vào tính chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và số trừ có cùng số dư khi chia cho số đó.
Giải : Đặt M = abc  thì N = cba  (a > c > 0 ; a, b, c là chữ số), khi đó  M - N = abc - cba. Giả sử  cba chia cho 3 dư r (0 Ê r < 3) thì a + b + c chia cho 3 cũng dư r. Do a + b + c = c + b + a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r. Vậy hiệu M - N chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì cả hai phép chia đều có số dư bằng nhau. Hãy tìm số dư của hai phép chia đó.
Phân tích: Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó. Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó. Từ đó ta tìm được số chia để suy ra số dư
Giải: Gọi số chia của hai số đã cho là abc (a > 0 ; a, b, c < 10). Vì hai số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 - 31513) chia hết cho abc  hay 2856 chia hết cho abc. Do 2856 = 4 x 714 nên  abc  = 714. Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97). Vậy số dư của hai phép chia đó là 97.
  Ví dụ 3 : Tìm thương và số dư của phép chia sau : (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x  x 15 + 200) : 182.
Phân tích : Nếu trong một tổng có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương của từng số hạng. Nếu các số chia cho số đó đều có dư thì số dư của tổng chính là tổng số dư của từng số hạng, nếu tổng các số dư đó nhỏ hơn số chia. Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu. Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó.
Giải : Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... x 15) chia hết cho 182. Vì 200 : 182 = 1 (dư 18) nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182 được 1 và dư 18. Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính : 1 x 3 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 + 1.
(Bạn đọc tự tìm ra đáp số)
Ví dụ 4 : Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có bao nhiêu con cừu ?”. Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con. Nếu chia số cừu cho 9 thì dư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư 19”. Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ?
Phân tích : Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19 mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25. Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết cho 225. Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 dư 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu.
Giải : Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25. Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 - 6 = 4719 (con).
Trên đây là 4 ví dụ tiêu biểu mà khi giải phải vận dụng một số tính chất chia hết. Những tính chất này không có trong chương trình cơ bản của tiểu học. Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy nó qua các bài toán. Học toán chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo và vận dụng kiến thức được học một cách linh hoạt mới thấy được vẻ đẹp của toán học phải không các bạn ? Hi vọng bài viết này là một kinh nghiệm nhỏ giúp các bạn học tốt hơn.
Trong thực tế ta gặp nhiều bài toán về công việc chung. Khi giải các bài toán dạng này ta có thể hiểu một công việc như là một đơn vị và biểu thị thành nhiều phần bằng nhau sao cho phù hợp với các điều kiện của bài toán, để thuận tiện cho việc tính toán và giải bài toán đó. Ta xét một vài ví dụ sau :
Ví dụ 1 : 
Ba người cùng làm một công việc. Người thứ nhất có thể hoàn thành công việc trong 3 ngày. Người thứ hai có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 3 lần công việc đó trong 8 ngày. Người thứ ba có thể hoàn thành một công việc nhiều gấp 5 lần công việc đó trong12 ngày. Hỏi cả ba người cùng làm công việc ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ, nếu mỗi ngày làm 9 giờ ?
Phân tích :
Muốn tính xem cả ba người cùng làm công việc ban đầu trong bao lâu ta phải biết được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày. Muốn tìm được số phần công việc cả ba người làm trong một ngày thì phải tìm được số phần công việc mỗi người làm trong một ngày. Số phần công việc làm trong một ngày của mỗi người chính bằng số phần công việc chung chia cho số ngày. Do đó số phần công việc chung phải chia hết cho số ngày. Số nhỏ nhất chia hết cho 3, 8 và 12 là 24. Vậy ta coi một công việc chung được giao là 24 phần bằng nhau để tìm số phần công việc của mỗi người trong một ngày.
Bài giải : 
Coi một công việc chung được giao là 24 phần bằng nhau thì số phần công việc của người thứ nhất làm trong một ngày là:
24 : 3 = 8 (phần). 
Số phần công việc người thứ hai làm trong một ngày là:
24 : 8 3 = 9 (phần). 
Số phần công việc người thứ ba làm trong một ngày là:
24 : 12 5 = 10 (phần). 
Số phần công việc cả ba người làm trong một ngày là:
8 + 9 + 10 = 27 (phần). 
Thời gian cần để cả ba người cùng làm xong công việc ban đầu là : 
24:27 = 8/9 ( ngày)
Số giờ cần để cả ba người hoàn thành công việc ban đầu là :
9 x 8/9 = 9 (ngày)
Ví dụ 2 :
Để cày xong một cánh đồng, máy cày thứ nhất cần 9 giờ, máy cày thứ hai cần 15 giờ. Người ta cho máy cày thứ nhất làm việc trong 6 giờ rồi nghỉ để máy cày thứ hai làm tiếp cho đến khi cày xong diện tích cánh đồng này. Hỏi máy cày thứ hai đã làm trong bao lâu ?
Phân tích: 
Ở bài này “công việc chung” chính là diện tích cánh đồng. 
Theo cách phân tích ở bài toán 1, diện tích cánh đồng biểu thị số phần là số nhỏ nhất chia hết cho 9 và 15. Nếu coi diện tích cánh đồng là 45 phần bằng nhau thì sẽ tìm được số phần diện tích của mỗi máy cày trong một giờ. Từ đó ta tìm được thời gian máy cày thứ hai làm.
Bài giải: 
Coi diện tích cánh đồng là 45 phần bằng nhau thì mỗi giờ ngày thứ nhất cày được số phần diện tích là:
45 : 9 = 5 (phần). 
Trong 6 giờ máy cày thứ nhất cày được số phần diện tích là:
5 x 6 = 30 (phần). 
Số phần diện tích còn lại là:
45 - 30 = 15 (phần). 
Mỗi giờ máy thứ hai cày được số phần diện tích là:
45 : 15 = 3 (phần). 
Thời gian để máy thứ hai cày nốt số phần diện tích còn lại là: 
15 : 3 = 5 (giờ).
Ví dụ 3 :
Ba vòi cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu riêng vòi thứ nhất thì sau 6 giờ sẽ đầy bể, riêng vòi thứ hai chảy thì sau 4 giờ sẽ đầy bể. Hỏi riêng vòi thứ ba chảy thì sau mấy giờ đầy bể ?
Phân tích : 
1 giờ 20 phút = 80 phút ; 6 giờ = 360 phút ; 4 giờ = 240 phút. Muốn tính riêng vòi thứ ba chảy đầy bể trong bao lâu thì phải biết mỗi phút vòi thứ ba chảy được mấy phần của bể. Để tính được số phần bể vòi thứ ba chảy trong một phút ta phải tính số phần bể vòi thứ nhất, vòi thứ hai chảy trong một phút. Như vậy số phần của công việc chung phải chia hết cho thời gian của từng vòi, tức là chia hết cho 80 ; 360 ; 240. Số nhỏ nhất chia hết cho 80 ; 240 và 360 là 720. ở bài toán này “công việc chung” là lượng nước đầy bể, nên biểu thị lượng nước đầy bể là 720 phần, ta giải ví dụ này như sau :
Bài giải :
Coi lượng nước đầy bể là 720 phần bằng nhau thì mỗi phút cả ba vòi cùng chảy được số phần bể là:
720 : 80 = 9 (phần). 
Mỗi phút vòi thứ nhất chảy một mình được số phần của bể là: 
720 : 360 = 2 (phần). 
Mỗi phút vòi thứ hai chảy một mình được số phần của bể là: 
720 : 240 = 3 (phần). 
Do đó mỗi phút vòi thứ ba chảy một mình được số phần của bể là: 
9 - (2 + 3) = 4 (phần). 
Thời gian để vòi thứ ba chảy một mình đầy bể là: 
720 : 4 = 180 (phút).        (Đổi 180 phút = 3 giờ). 
Vậy sau 3 giờ vòi thứ ba chảy một mình sẽ đầy bể.
Ba ví dụ trên còn có cách giải khác, nhưng tôi muốn đưa ra cách giải này để các em học sinh lớp 4 cũng có thể làm quen và giải tốt các bài toán dạng này. Bây giờ bạn đọc hãy thử sức với các bài toán sau nhé.
Bài 1 :
Sơn và Hải nhận làm chung một công việc. Nếu một mình Sơn làm thì sau 3 giờ sẽ xong việc, còn nếu Hải làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong công việc đó. Hỏi cả hai người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong công việc đó.
Bài 2 :
Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước thì sau 1 giờ 12 phút sẽ đầy bể. Nếu một mình vòi thứ nhất chảy thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Hỏi nếu một mình vòi thứ hai chảy thì mấy giờ đầy bể ?
Bài 3 :
Ba người dự định đắp xong một con đường. Người thứ nhất có thể đắp xong con đường đó trong 3 tuần. Người thứ hai có thể đắp xong một con đường dài gấp 3 lần con đường đó trong 8 tuần. Người thứ ba có thể đắp xong một con đường dài gấp 5 lần con đường đó trong 12 tuần. Hỏi cả ba người cùng đắp con đường dự định ban đầu thì sẽ hoàn thành trong bao nhiêu giờ, nếu mỗi tuần làm việc 45 giờ ?