Toán bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 3: Các bài toán về điền số vào phép tính

TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 CHUYÊN ĐỀ 3
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀN SỐ VÀO PHÉP TÍNH
I. MỤC TIÊU: 
- Nắm vững kiến thức về cách sắp số, điền số vào các phép tính.
- Rèn trí thông minh và tính tự học cho HS.
- Biết và thực hiện được các dạng toán sau: 
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ quy t¾c thùc hµnh bèn phÐp tÝnh.
D¹ng 2: C¸c bµi to¸n vÒ t×m ch÷ sè thay cho c¸c ch÷ trong phÐp tÝnh.
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ t×m ch÷ sè thay cho c¸c dÊu * trong phÐp tÝnh.
II. CHUẨN BỊ
Câu hỏi và bài tập thuộc dạng sẽ học.
Các kiến thức có liên quan.
II. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
D¹ng 1: C¸c bµi to¸n vÒ quy t¾c thùc hµnh bèn phÐp tÝnh.
Lo¹i 1. VÒ phÐp céng vµ phÐp trõ
Bài 1: Khi cộng một stn với 305, do sơ suất một học sinh đã bỏ quên chữ số 0 của số hạng thứ hai nên nhận được kết quả bằng 380. Tìm kết quả đúng của phép tính đó?
Bài 2: Khi cộng 1234 với một số có hai chữ số, do sơ suất một HS đã đặt phép tính như sau:
 1234
 + ab
Vì vậy, kết quả phép tính tăng thêm 414 đơn vị. Tìm kết quả đúng của phép tính đó?
Bài 3: Khi cộng một số tự nhiên có 4 chữ số với một số tự nhiên có 2 chữ số, do sơ suất một học sinh đã đặt phép tính như sau :
	abcd
	 + eg
	Hãy cho biết kết quả của phép tính thay đổi như thế nào?
Bài 4 : Tổng của 1 số tự nhiên và 1 số thập phân là 62,42. Khi cộng hai số này 1 bạn quên mất dấu phẩy ở số thập phân và đặt tính cộng như số tự nhiên nên kết quả sai là 3569.
 Tìm số thập phân và số tự nhiên đã cho.
Bài 5 : Cô giáo cho học sinh làm phép trừ một số có 3 chữ số với một số có 2 chữ số, một học sinh do sơ ý đã viết số trừ dưới cột hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. Tìm hai số đó, biết hiệu đúng là 783.
Bài 6 : Khi trừ một stn đi 208, do sơ suất một học sinh đã bỏ quên chữ số 0 ở số trừ, đồng thời viết nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được kết quả bằng 1050. Tìm kết quả đúng của phép tính ?
 Bài 7 : 
a) Khi cộng 1 số tự nhiên với 107, một học sinh đã chép nhầm số hạng thứ 2 thành 1007 nên được kết quả là 1996. Tìm tổng đúng của 2 số đó.
b) Khi trừ một stn đi 223, do sơ suất một học sinh đã viết nhầm số trừ là 23 đồng thời viết nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được kết quả bằng 1462. Tìm kết quả đúng của phép tính đó ?
c) Khi trừ 2108 đi một stn, một học sinh đã viết nhầm chữ số hàng chục của số trừ là 6 thành 4, chữ số hàng đơn vị là 4 thành 6 đồng thời viết nhầm dấu trừ thành dấu cộng nên nhận được kết quả bằng 2754. Tìm kết quả đúng của phép tính?
Lo¹i 2. VÒ phÐp nh©n vµ phÐp chia :
Bài 1 : Khi nhân một số tự nhiên với 104, do sơ suất một học sinh đã bỏ quên chữ số 0 của thừa số thứ hai nên nhận được kết quả bằng 4550. Tìm tích đúng của phép nhân đó ?	
Bài 2 :	Khi nhân 1 số tự nhiên với 6789, một bạn học sinh đã đặt tất cả các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng nên được kết quả là 
296 280. Hãy tìm tích đúng của phép nhân đó. 
Bài 3 : Khi nhân 1 số với 235 1 học sinh đã sơ ý đặt tích riêng thứ 2 và 3 thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 10285. Hãy tìm tích đúng ?
Bài 4 : Khi nhân 254 với 1 số có 2 chữ số giống nhau, bạn Hoa đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị.
	Hãy tìm số có hai chữ số đó.
Bài 5 :	Khi nhân 1 số tự nhiên với 218, một bạn học sinh đã đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị của thừa số thứ hai. Vì vậy kết quả của phép tính đã tăng thêm 20475 đơn vị. Tìm tích đúng của phép nhân đó. 
Bài 6 : Khi chia 1 số tự nhiên cho 41, một học sinh đã chép nhầm chữ số hàng trăm của số bị chia là 8 thành 3 và chữ số hàng đơn vị là 3 thành 8 nên được thương là 155 và dư 3. Tìm thương đúng và số dư trong phép chia đó.
Bài 7 :	 Tìm số bị chia và số chia của một phép chia, biết rằng số bị chia gấp 11 lần thương và thương bằng 5 lần số chia? 
Bài tập cho HS làm thêm:
D¹ng 2: C¸c bµi to¸n vÒ t×m ch÷ sè thay cho c¸c ch÷ trong phÐp tÝnh.
Cần giúp HS nắm vững các kiến thức:
Bài 1 : Thay mỗi chữ sau trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp.
bccb – abc = ab
abc = dad : 5
 ab d) abcd cd
 x bb cd bcd
 ab gc
 ab de
 bccb bcd
 bcd
 0
Bài 2 : Thay mỗi chữ số bằng các chữ số thích hợp trong phép tính sau :	
30ab c: abc = 241
aba + ab = 1326 	
Bài 3 : Tìm chữ số a và b, biết:
	a) 1ab x 126 = 201ab
	b) abcabc + abc = 321642
Bài 4 : Cho moät soá coù 2 chöõ soá: a laø chöõ soá haøng chuïc vaø b laø chöõ soá haøng ñôn vò, seõ ñöôïc vieát laø . Giaû söû a > b
a) Haõy chöùng toû raèng hieäu (- ) luoân luoân chia heát cho 9.
b) Chöùng toû raèng toång (+ ) luoân luoân chia heát cho 11. Soá laø soá vieát ngöôïc laïi cuûa soá .
D¹ng 3: C¸c bµi to¸n vÒ t×m ch÷ sè thay cho c¸c dÊu * trong phÐp tÝnh.
Bài 1: Điền chữ số thích hợp vào dấu * trong phép tính sau :
a/ 4 3 2 b/ * * * * * **
 x * * * * * * 2 
 3 0 * * * * *	 
 * * * * * *	
 1 * * * * 0
Bài 2. Xác định dấu của phép tính, sau đó tìm chữ số thích hợp thay dấu * :
a) 9*247* b) *57*89 c) 325
 *8**64 861*7* **
 *3575*2 *0*364 13**
 2***
 *4***
Bài 3 : Điền các chữ số vào dấu hỏi và vào các chữ trong biểu thức sau :
a) (? ? x ? + a) x a = 123
b) (? ? x ? – b) x b = 201
1. Khi bỏ quên chữ số 0 của số hạng thứ hai thì thực chất học sinh đó đã cộng số hạng thứ nhất với 35.
Vậy số hạng thứ nhất là : 380 – 35 = 345
Kết quả đúng của phép tính : 345 + 305 = 650
2. Theo cách đặt phép tính thì học sinh đó đã cộng số hạng thứ nhất với 10 lần số hạng thứ hai. Vậy 414 gấp số hạng thứ hai số lần là :
10 – 1 = 9 (lần)
Số hạng thứ hai là : 414 : 9 = 46
Kết quả đúng là : 1234 + 46 = 1280
3. Khi đặt phép tính như vậy thì số hạng thứ hai tăng gấp 100 lần .Ta có :
	Tổng mới = SH1 + 100 x SH2
	 = SH1 + SH2 + 99 x SH2 
	 = Tổng cũ + 99 x SH2 
Vậy tổng mới tăng thêm 99 lần số hạng thứ hai.
4. Số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân nên quên dấu phẩy tức là đã tăng số đó lên 100 lần. Như vậy tổng đã tăng 99 lần số đó. Suy ra số thập phân là : (3569 – 62,42) : 99 = 35,42
Số tự nhiên là : 62,42 - 35,42 = 27
5. Khi đặt như vậy tức là bạn học sinh đó đã tăng số trừ đó lên 10 lần. Do vậy hiệu đã giảm đi 9 lần số trừ.
Số trừ là : (783 – 486) : 9 = 33
Số bị trừ là : 783 + 33 = 816
6. Do sơ suất, nên học sinh đã cộng số bị trừ với 28. Số bị trừ (hay số hạng thứ nhất trong phép tính viết nhầm) là : 1050 – 28 = 1022
Kết quả đúng là : 1022 – 208 = 814	
(Cho HS tự làm bài 7)	 
1. Kho bỏ quên chữ số 0 của thừa số thứ hai thì thực chất học sinh đó đã nhân thừa số thứ nhất với 14. Thừa số thứ nhất là : 4550 : 14 = 325
Tích đúng phép nhân là : 325 x 104 = 33800
2 Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng tức là bạn học sinh đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 9, 8, 7 và 6 rồi cộng kết quả lại. Do 9 + 8 + 7 + 6 = 30
nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất. Vậy thừa số thứ nhất là :
	296 280 : 30 = 9 876
Tích đúng là : 	9 876 x 6789 = 67 048 164
3 Khi nhân một số A với 235, học sinh đó đặt 2 tích riêng cuối thẳng cột như trong phép cộng, tức là em đó đã lần lượt nhân A với 5, với 30, với 20 rồi cộng ba kết quả lại .
Vậy : A x 5 x A x 30 x A x 20 = 10 285 
	A x 55 = 10 285
	A = 10 285 : 55 = 187 
Vậy tích đúng là : 187 x 235 = 43 945
4 Gọi thừa số thứ hai là aa
Khi nhân đúng ta có 254 x aa hay 254 x a x 11
Khi đặt sai tích riêng tức là lấy 
254 x a + 254 x a = 254 x a x 2
	Vậy tích giảm đi 254 x a x 9
	Suy ra : 254 x 9 x a = 16002
	a = 16002 : (254 x 9) = 7
	Vậy thừa số thứ hai là 77.
 5 Khi đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị, thừa số thứ hai tăng là : 281 – 218 = 63
Như vậy tích sẽ tăng thêm 63 lần thừa số thứ nhất. Vậy thừa số thứ nhất là : 20475 : 63 = 325
Tích đúng phép nhân là : 325 x 218 = 70850
6 Số bị chia trong phép chia sai là :
	41x 155 + 3 = 6358
Số bị chia của phép chia đúng là : 6853
Phép chia đúng là : 6853 : 41 = 167 dư 6
7 Số bị chia gấp 11 lần thương, suy ra số chia bằng 11. 
 Vì thương gấp 5 lần số chia nên thương của phép chia đó là : 11 x 5 = 55
Số bị chia là : 11 x 55 = 605
1. Khi nh©n mét STN víi 203, do s¬ suÊt mét HS ®· bá quªn ch÷ sè 0 cña thõa sè thø 2 vµ nhËn ®­îc kÕt qu¶ b»ng 2875. T×m kÕt qu¶ ®óng cña phÐp tÝnh ®ã.
2. Khi nh©n mét STN víi 215, do s¬ suÊt mét HS ®· ®Æt c¸c tÝch riªng th¼ng cét víi nhau nh­ trong phÐp céng nªn nhËn ®­îc kÕt qu¶ b»ng 10000. T×m tÝch ®óng cña phÐp nh©n ®ã.
3. Khi chia mét STN cho 25, do s¬ suÊt mét HS ®· ®æi chç ch÷ sè hµng tr¨m vµ ch÷ sè hµng ngh×n nªn nhËn ®­îc kÕt qu¶ b»ng 342 d­ 24. T×m tÝch ®óng cña phÐp chia ®ã.
4. Khi chia mét STN cho 101, mét HS ®· ®æi chç ch÷ sè hµng tr¨m vµ hµng ®¬n vÞ cña sè bÞ chia nªn nhËn ®­îc th­¬ng lµ 65 vµ d­ 100 kÕt qu¶ b»ng 342 d­ 24. T×m th­¬ng vµ sè d­ cña phÐp chia ®ã.
1. NÕu ®Ò bµi cho phÐp tÝnh hµng ngang th× ta ®­a vÒ cét däc.
2. NÕu ®Ò bµi cho phÐp trõ th× ®­a vÒ phÐp céng. NÕu cho phÐp chia th× ®­a vÒ phÐp nh©n.
3. Khi ®· t×m ®­îc ch÷ sè nµo, th× thay ngay vµo phÐp tÝnh ®Ó cã bµi to¸n ®¬n gi¶n h¬n.
4. NÕu bµi to¸n yªu cÇu c¸c ch÷ sè kh¸c nhau ®­îc thay bëi c¸c ch÷ sè kh¸c nhau, khi gi¶i ta ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn nµy. Ng­îc l¹i, c¸c ch÷ kh¸c nhau vÉn cã thÓ thay b»ng c¸c ch÷ sè gièng nhau.
1.
a) Ta viết lại phép tính cột dọc : abc 
 + ab
 bccb 
- Từ phép tính trên ta thấy phép cộng các chữ số hàng chục phải nhớ 1 sang chữ số hàng trăm của số hạng thứ nhất. Vậy phép cộng chữ số hàng trăm là : a + 1 = bc
Suy ra a = 9 ; b = 1 ; c = 0
- Phép tính cần tìm là : 1001 – 910 = 91
b) Ta viết lại phép tính về dạng : abc x 5 = dad
- 5 nhân với một số có ba chữ số, vậy số hàng trăm a = 1.
- 5 nhân với c có tận cùng là 5 hoặc 0. Vì vậy d bằng 5 hoặc 0. Nhưng d không thể bằng 0 ; nên d = 5. 
- Vậy abc = 515 : 5 = 103
- Phép tính cần tìm là : 103 = 515 : 5
c) 
- Xét tích riêng thứ nhất bx ab = ab, suy ra b=1
- Xét phép cộng các chữ số hàng trăm của các tích riêng : a + 1 = bc, suy ra a = 9 và c = 0.
- Phép tính cần tìm là : 91 x 11 = 1001
d) Theo tích riêng thứ nhất, ta có : b x cd = cd
Vậy b = 1. Thay vào ta có :
 a1cd cd
 cd 1cd
 gc
 de
 1cd
 1cd
 0
Nhìn vào tích riêng cuối cùng, ta thấy :
 d x cd = 1cd
 d x cd = 100 + cd
 d x cd – cd = 100
 (d – 1) x cd = 100
Vì 100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 nên d – 1 có thể bằng 2 ; 4 hoặc 5. Suy ra d có thể bằng 3 ; 5 hoặc 6.
Nếu d = 3 thì cd = 50 (loại)
Nếu d = 5 thì cd = 25 và a = 3
Nếu d = 6 thì cd = 20 (loại)
Vậy phép tính có : a = 3 ; b = 1 ; c = 2 ; d = 5
2.
a) Ta viết lại thành phép nhân :
	30abc = 241 x abc
 30000 + abc = 241 x abc
 30000 = 241 x abc – abc
	30000 = (241 – 1) x abc
	30000 = 240 x abc
	 abc = 30000 : 240
	 abc = 125
Phép tính cần tìm là 30125 : 125 = 241
b) Vì abab = 101 x ab nên theo đề ta có:
 101 x ab + ab = 1326
 ab x (101 + 1) = 1326
 ab x 102 = 1326
 => ab = 13
Phép tính cần tìm là 1326 – 1313 = 13
3 a) 1ab x (125 + 1) = 2000 + 1ab 
	1ab x 125 + 1ab = 2000 + 1ab 
	 1ab x 125 = 2000 
 1ab = 2000 : 125 = 160
 160 x 125 = 20160; Vậy a = 6; b = 0 
b) abcabc + abc = 321642
 1001 x abc + abc = 321642
 1002 x abc = 321642
 => abc = 321
Vậy ta có phép tính: 321321 + 321 = 321642
4 a) Ta coù: = a x 10 + b; = b x 10 + a
	- = a x 10 + b – b x 10 – a
	 = a x 9 – b x 9
	 = (a – b) x 9 
Vaäy hieäu (- ) luoân luoân chia heát cho 9.
b) Ta laïi coù : + = a x 10 + b + b x 10 + a
	 = a x 11 + b x 11
	 = (a + b) x 11
Vaäy toång (+ ) luoân luoân chia heát cho 11.
1. a) Trước hết ta xác định chữ số hàng đơn vị của số nhân : * x 432 = 30**.
Ta thấy tích bằng 30** nên chữ số hàng đơn vị của thừa số thứ hai phải lớn hơn 6 và bé hơn 8. Vì nếu * = 6 thì 6 x 432 = 2 592 < 30**
 nếu * = 8 thì 8 x 432 = 3 456 > 30**
 Vậy * = 7
- Tiếp theo ta xác định chữ số hàng chục của số nhân : 	* x 432 = ***. Vậy chữ số hàng chục của thừa số thứ hai chỉ có thể là 1 hoặc 2. 
 Nếu * = 1 thay vào ta được phép nhân không thể được kết quả là một số có 5 chữ số. 
 Vậy * = 2, thay vào ta được phép nhân :
	 4 3 2
 ì x 2 7
	 3 0 2 4
	 8 6 4 	 
	 1 1 6 6 4
b/ 
- Trước hết ta xét tích riêng 2 x * * = * * *
Từ đây ta suy ra chữ số hàng trăm của tích riêng phải bằng 1 và chữ số hàng chục của số chia lớn hơn hoặc bằng 5. Thay vào ta có phép tính :
* * * * * * *
 * * * * 2
 1 * *
 1 * *
 0
- Ta xét phép trừ để tìm số dư trong lần chia thứ nhất : 	 * * * - * * = 1
Phép trừ đó phải là 100 – 99 = 1. 
Thay vào ta có :
1 0 0 * * * *
 9 9 * * 2
 1 * *
 1 * * 
	 0
- Xét tích riêng thứ nhất * x * * = 99 mà chữ số hàng chục của số chia phải lớn hơn 4 nên số chia bằng 99. Suy ra tích riêng cuối cùng là 
 2 x 99 = 198 
Vậy phép chia cần tìm là:
 10098 99 
 99 102
 198 
 198 
 0
2
 a) Theo hình thức đặt phép tính, là phép cộng.
Thực hiện phép cộng ta có :
Hàng đơn vị : * + 4 = 2 => * = 8
Hàng chục : 7 + 6 + 1 = * => * = 4
Hàng trăm : 4 + * + 1 = 5 => * = 0
Hàng nghìn : 2 + * = 7 => * = 5
Hàng chục nghìn : * + 8 = 5 => * = 7
Hàng trăm nghìn : 9 + * + 1 = 3 => * = 3
Phép tính là : 972478
 + 385064
 1357542
b) Suy luận tương tự câu a, ta được phép tính :
 1570839
 - 861475
 709364
c) Theo hình thức đặt phép tính thì đây là phép nhân.
- Xét tích riêng thứ nhất : 325 x * = 13**
Nếu thừa số * bé hơn 4 thì tích riêng có 3 chữ số, nếu thừa số * lớn hơn 4 thì tích riêng có số trăm lớn hơn 13. Vậy chữ số hàng đơn vị của thừa số cần tìm bằng 4.
- Xét tích riêng thứ hai : 325 x * = 2***
Nếu thừa số * bé hơn 7 thì chữ số hàng nghìn của tích là 1 hoặc 0. Vậy chữ số hàng chục của thừa số cần tìm phải lớn hơn 6.
Dùng cách thử chọn, ta tìm được chữ số hàng chục của thừa số cần tìm bằng 7.
Phép tính cần tìm là :
 325
 x 74
 1300
 2275
 24050
3.
a) Vì 123 = 1 x 123 = 3 x 41 nên a =1 hay = 3
- Nếu a =1, ta có (? ? x ? + 1) x 1 = 123
 Hay ? ? x ? = 123 : 1 – 1 = 122 
 Mà 122 bằng 61 x 2. Vậy ta có
(61 x 2 + 1) x 1 = 123 (1)
- Nếu a = 3. Ta có
 (? ? x ? + 3) x 3 = 123
Hay ? x ? = 123 : 3 – 3 = 38
38 = 1 x 38 hay = 2 x 19
Vậy ta có : (38 + 1 + 3) x 3 = 123 (2) 
Hoặc : (19 x 2 + 3) = 123 (3).
Vậy bài toán có 3 đáp số (1), (2), (3).
b) Vì 201 =1 x 201 = 3 x 67, nên b =1 hay 3
Nếu b = 1 ta có : (?? X ? – 1) x 1 = 201
Ta không tìm được các giá trị thích hợp cho ?? x ?
Nếu b = 3. Ta có (?? X ? – 3) x 3 = 201
Hay ? x ? = 201 : 3 + 3 = 70
70 = 1 x 70 = 2 x 35 = 5 x 14 = 7 x 10
Nên có các kết quả :
(70 x 1 – 3) x 3 = 201
(35 x 2 – 3) x 3 = 201
(14 x 5 – 3) x 3 = 201
(10 x 7 – 3) x 3 = 201