Toán học 5 - Chuyên đề 1: Các bài toán về số và chữ số

CHUYÊN ĐỀ 1
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
 I. Những kiến thức cần lưu ý :
 1. Có 10 chữ số là 0 ; 1; 2; 3; 4..;9. Khi viết một số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của một số TN phải khác 0.
 2. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên :
 = a 10 + b
 = a 100 + b 10 + c = 10 + c
 = a 1000 + b 100 + c 10 + d
 = 10 + d = 100 + 
 3. Quy tắc so sánh hai số TN :
a) Trong hai số TN, số nào có chữ số nhiều hơn thì lớn hơn.
b) Nếu hai số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phải lớn hơn thì số đó lớn hơn.
 4. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0 ; 2; 4;....;8 là các số chẵn.
 5 . Số TN có tận cùng bằng 1;3 ;5;...;9 là các số lẻ.
 6. Hai số TN liên tiếp hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn ( kém ) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp.
 7. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.
 8. Hai số lẻ liên tiếp hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn ( kém ) nhau 2 đơn vị là hai số chẵn liên tiếp.
 II. Một số dạng toán điển hình :
 Dạng 1: Viết số TN từ những chữ số cho trước
 Bài 1 : Cho bốn chữ số : 0; 3; 8 và 9.
Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho ?
Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho?
Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho ?
 Lời giải:
Cách 1. 
Chọn số 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số:
3089; 3098; 3809; 3890; 3908; 3980.
 Vậy từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đầu bài.
Chữ số 0 không thể đứng được ở vị trí hàng nghìn. 
Vậy số các số thoả mãn điều kiện của đề bài là:
6 3 = 18 ( số )
Cách 2: 
Lần lượt chọn các chữ số nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau:
- Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện của đầu bài ( vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn ).
- Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm ( đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn )
- Có 2 cách chọn chữ số hàng chục ( đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm còn lại )
- Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị ( đó là 1 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn , hàng trăm , hàng chục )
Vậy các số được viết là:
3 3 2 1 = 18 ( số )
b) Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất ( trong 4 chữ số đã cho ). Vậy chữ số hàng nghìn phải tìm bằng 9.
Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8.
Chữ số hàng chục là số lớn nhất trong hai chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3.
Số phải tìm là 9830.
Tương tự số bé nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là 3089.
c) Tương tự số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 9803
 Số chẵn nhỏ nhất thoả mãn điều kiện của đầu bài là : 3098.
Bài 2 : Cho 5 chữ số : 0; 1; 2; 3; 4.
Hãy viết các số có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho ?
Tìm số chẵn lớn nhất, số lẻ nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 5 chữ số đã cho ?
Dạng 2: Các bài toán giải bằng phân tích số : 
Bài 1: Tìm 1 số TN có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho ?
Lời giải: 
Gọi số phải tìm là . Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta được số . Theo bài ra ta có :
= 13
900 + = 13
 900 = 13 - 
 900 = ( 13 – 1 )
 900 = 12
 = 900 : 12
 = 75
 Vậy số phải tìm là 75.
Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị.
Lời giải: 
 Gọi số phải tìm là . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số 
Theo bài ra ta có:
 = + 1112
10 + 5 = + 1112
10 = + 1112 – 5
10 - = 1107
( 10 – 1 ) = 1107
9 = 1107
 = 1107 : 9
 = 123
 Vậy số phải tìm là 123.
Bài 3: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 31 lần số phải tìm.
Bài 4: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số mới lớn hơn số phải tìm là 230 đơn vị.
Dạng 3: Những bài toán về xét các chữ số tận cùng của số
 Một số kiến thức cần lưu ý:
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
Tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
Tích 1 3 5 7 9 có chữ số tận cùng bằng 5.
Tích a a không thể có tận cùng bằng 2; 3; 7 hoặc 8.
Bài 1: Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) – ( 11 + 12 + .....+ 19 ).
b) ( 1981 + 1982 + ...+ 1989 ) ( 1991 + 1992 +....+ 1999 )
c) 21 23 25 27 – 11 13 15 17
Lời giải :
a) Chữ số tận cùng của tổng : ( 1991 + 1992 + ...+ 1999 ) và ( 11 + 12 + .....+ 19 ) đều bằng chữ số tận cùng của tổng 1 + 2 + 3 + ..... + 9 và bằng 5. Cho nên hiệu đó có tận cùng bằng 0.
b) Tương tự phần a, tích đó có tận cùng bằng 5.
c) Chữ số tạnn cùng của tích 21 23 25 27 và 11 13 15 17 dều bằng chữ số tận cùng của tích 1 3 5 7 và bằng 5. Cho nên hiệu trên có tận cùng bằng 0.
Bài 2 : Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) 136 136 – 42 = 1960
b) - 8557 = 0
Lời giải: 
a) Kết quả sai, vì tích của 136 136 có tận cùng bằng 6 mà số trừ có tận cùng bằng 2 nên hiệu không thể có tận cùng bằng 0.
b) Kết quả sai, vì tích của một số TN nhân với chính nó có tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9.
Bài 3 : Không làm tính, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau :
a) ( 1999 + 2378 + 4545 + 7956 ) – ( 315 + 598 + 736 + 89 )
b) 56 66 76 86 – 51 61 71 81
Bài 4 : Không làm tính, hãy xét xem kết quả sau đây đúng hay sai ? Giải thích tại sao ?
a) - 853467 = 0
b) 11 21 31 41 – 19 25 37 = 110