Toán học 5 - Lật lại bài toán chia bò

Lật lại bài toán chia bò
Giới thiệu:Từ lớp 4 – 5 HS đã biết bài toán thử trí thông minh “Bài toán chia bò, ngựa.”, Khi học lên lớp 6 về phân số HS giải bài này không khó. Nhưng nếu là HSG có thể và cần phải đặt câu hỏi: - Chia thế đã công bằng và đúng di chúc chưa ? – Có thể giải theo hươngkhacs không ? - Có thể đặt bài toán tổng quát được không ? Tài liệu này giúp các bạn suy nghĩ !
 Bài toán cổ
Trong truyền thuyết Ấn Độ cổ đại kể câu chuyện: Có một ông già, trước khi lâm chung để lại di chúc rằng, muốn chia 19 con bò cho ba người con theo quy định: con cả được chia tổng số bò, con thứ hai được chia tổng số bò, còn con thứ ba được chia tổng số bò nhưng không được bán để chia tiền. 
Theo phong tục của Ấn Độ giáo thì bò được coi là vật linh thiêng nên không được giết thịt, chỉ có thể chia cả con đang sống. Sau khi người cha qua đời, ba người con đã tìm hết cách mà vẫn chưa chia được đàn bò, cuối cùng họ quyết định trình quan xét xử. Các quan lại địa phương vốn là túi rượu thịt, gặp việc khó bèn lấy lý do “quan thanh liêm khó quyết đoán việc trong nhà” để từ chối.
Ở làng bên có ông già thông thái. Một hôm ông đi qua nhà ba anh em nọ, bèn nghe bàn cãi sôi nổi. Hỏi xong ông mới biết nội dung câu chuyện chia bò. Chỉ thấy ông già trầm tư giây lát rồi nói: “Việc này làm được! Ta có một con bò cho các anh mượn. Như vậy tổng cộng có 20 con bò. Anh cả được chia , tức là 10 con, anh thứ hai được chia , tức là 5 con, còn anh thứ ba được chia , tức là 4 con. Ba anh em tổng cộng lại đúng 19 con bò, 1 con còn lại trả cho ta”.
Thật tuyệt diệu! Một vấn đề nan giải đã làm nhiều người suy nghĩ nát óc lại được giải quyết một cách nhẹ nhàng, khéo léo như vậy. Các chia này tự nhiên trở thành giai thoại và lưu truyền tới ngày nay.
Mở rông suy nghĩ
Tuy vậy, về sau ngoài sự khâm phục, người ta cũng có chút hoài nghi: liệu cách chia của ông già thông thái có đúng không? Bởi vì, theo di chúc người con cả được của 19 con nhưng sao lại được 10 con?
Rõ ràng là nếu hiểu theo nghĩa thông thường, nghĩa là người con cả được một nửa tổng số bò, người con thứ hai được tổng số con bò và người con thứ ba được tổng số bò, với điều kiện đặt ra là không được giết thịt thì bài toán không có lời giải.
Để tránh trùng với khái niệm chia ở trên, ta sẽ dùng “phân phối” và giả sử số bò nhận được không chẵn con. Nếu chia đơn thuần toán học (bò không chẵn con) thì sau khi phân phối lần đầu vẫn còn thừa:
19 – ( + + ) = (con).
Sau khi phân phối lần thứ hai còn thừa:
– ( + + = (con).
Nếu ta tiếp tục thì quá trình này sẽ kéo dài mãi tới vô cùng, chỉ khác số dư sau mỗi lần phân phối ngày càng ít đi.
Rõ ràng là trong quá trình phân phối như trên thì tổng cộng người con cả nhận được là:
= + + +  = = 10 (con).
Cũng vậy, người con thứ hai và người con thứ ba nhận được là:
= + + +  = = 5 (con).
= + + +  = = 4 (con).
Sau khi xem xét cẩn thận cách chia bò của ông già thông thái, các nhà toán học tuyên bố: kết quả chia bò của ông già thông thái là chính xác.
Từ đó câu chuyện chia bò được người ta coi là giải quyết xong. Không ngờ, chẳng bao lâu sự việc lại được nêu lên đầy kịch tính. Có người cho rằng cách chia của ông già thông thái chỉ là “mèo mù vớ chuột chết” mà thôi. Người ta đưa ra lý lẽ rằng, nếu người cha chỉ để lại 15 con bò mà không phải là 19 con bò, di chúc lại quy định con cả được chia , con thứ được chia và con thứ 3 được chia , vậy kết quả sẽ ra sao? Thậm chí có người còn tỏ ra nghi ngờ về “động cơ” của ông già thông thái. Họ cho rằng, nếu ông già thông thái dắt đến 1 con bò, thêm thành 16 con. Theo di chúc, con cả được chia 8 con, con thứ hai được chia 4 con, con thứ ba được chia 2 con. Tổng cộng ba anh em được chia 14 con. Vậy thì có phải ông già thông thái dắt cả 2 con bò còn lại về không? Ai dám bảo là ông già thông thái không có “máu tham”!
Người ta nói không phải không có lý, tức là một vấn đề sắp “cuốn cờ tắt trống”, tro tàn lại cháy bùng lên! Qua nhiều lần tranh luận, cuối cùng người ta đã làm rõ: biện pháp của ông già thông thái quả thực có tính “may rủi”. Sự ách tắc của vấn đề không phải ở chỗ ông già thông thái có dắt bò đến hay không, hoặc dắt mấy con bò đến lại dắt mấy con bò về, mà ở chỗ tỷ lệ mà ba anh em được chia theo di chúc là:
: : = 10 : 5 : 4
Như vậy ta còn có thể hiểu cách “phân phối” bò cho ba người con trai theo một nghĩa khác: chia tỷ lệ.
Người con cả, người con thứ hai và người con thứ ba được nhận các phần x, y, z (con bò) tương ứng theo tỷ lệ: , , .
x : y : z = : : = = = = 
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, ta được:
= = = = 1
Vậy: x = 10; y = 5; z = 4.
Như vậy cách chia của ông già thông thái là hoàn toàn chính xác.
Thế thì tại sao ông già thông thái lại không dùng phương pháp tỷ lệ thức mà lại dùng phương pháp phân số? Có thể là ông già chỉ mới qua thực tế mà nhận ra là nếu tổng của ba phân số ở trên là thì chỉ cần thêm , tức là mượn thêm 1 con bò nữa là được.
Lại nữa, nếu không phải là ba người con được chia tài sản, mà là 4, 5, 6 người con thì sao?
Từ cách giải quyết của ông già thông thái ta thấy, trên thực tế ông đã ngầm thay đổi nội dung của bài toán tỷ lệ thức thành bài toán phân số, tức là có 20 con bò được chia theo tỷ lệ , , và . Như vậy ta đã có bài toán chia tài sản cho bốn người. Và cũng tương tự như vậy, ta có bài toàn chia theo tỷ lệ thức nếu như tổng các phân số không chẵn đơn vị (hoặc nói chung là không chẵn các số nguyên).
Kết luận vừa nêu không chỉ đưa ra lời giải tốt nhất của bài toán chia bò cho ba anh em, mà còn có thể cấu tạo ra nhiều bài toán thú vị về chia dê, chia gà, tương tự theo kiểu đó. Bảng sau cung cấp cho các bạn ham thích tham khảo khi tự đặt các bài toán chia tỷ lệ cho ba người.
I
II
III
IV
V
VI
VII
Số tài sản
7
11
11
17
19
23
41
Người con cả được
Người con thứ hai được
Người con thứ ba được
Từ bảng trên có người sẽ hỏi: Tại sao số tài sản lại chỉ có 6 đại lượng: 7, 11, 17, 19, 23 và 41?
Ở đây ta xét trường hợp chia tài sản cho ba người và chỉ mượn 1 đơn vị tài sản. Ta có:
= + + (*)
trong đó n + 1 là bội chung nhỏ nhất của X, Y và Z; X < Y < Z.
Lúc đầu người ta cho rằng, số nghiệm của phương trình (*) là vô hạn nhưng sau đó người ta tìm ra được là chỉ có 7 trường hợp thỏa mãn (trong đó số 11 có 2 trường hợp) như bảng nêu trên.
Bạn hãy thử giải bài toán chia tài sản sau đây (Trong “Giáo trình đại số” của A.N. Xtraunoliubxki): cho con trai, cho con gái và phần còn lại cho vợ 3 000 USD, trả nợ 2 500 USD. Vậy tài sản có bao nhiêu và mỗi người được bao nhiêu?
Đáp số: Tài sản có 20 625 USD; con trai được 6 875 USD, con gái được 8 250 USD.
 Nguồn (Hữu hạn trong vô hạn - Nguyễn Bá Độ)