Toán học 5 - Thủ thuật so sánh các phân số

THỦ THUẬT SO SÁNH CÁC PHÂN SỐ
 	Khi giảng dạy phần phân số cho học sinh tiểu học, có thể nói tất cả giáo viên đều cho rằng đây là phần khó nhất trong chương trình tiểu học. Trong những năm qua tôi tham gia dạy lớp 4, tôi thấy rằng nếu mỗi giáo viên biết hướng dẫn học sinh nắm vững các thủ thuật giải toán hay nói cách khác là những mẹo nhỏ khi giải toán thì khi gặp phải những bài toán đó thì hầu hết các em đều giải tốt. Điều quan trọng là khi gặp bài toán so sánh dạng nào thì ta sử dụng phương pháp nào cho phù hợp và cho có hiệu quả.
Trước hết, chúng ta cùng điểm lại các cách so sánh phân số học trong chương trình lớp 4 :
So sánh với đơn vị (so sánh với 1).
- So sánh các phân số với nhau ( gồm so sánh hai phân số cùng tử số và so sánh hai phân số khác mẫu số).
	Tiếp theo, chúng ta cùng điểm lại các phương pháp thường sử dụng để dạy so sánh phân số cho học sinh tiểu học.
Phương pháp quy đồng tử số hoặc mẫu số.
Phương pháp bắc cầu (so sánh với số trung gian hay so sánh với 1)
Phương pháp phần bù.
Phương pháp phần thừa.
Phương pháp rút gọn.
Phương pháp thực hiện phép chia.
Sau khi nắm được các cách so sánh phân số và các biện pháp dùng để so sánh phân số, giáo viên cần giúp cho học sinh biết vận dụng từng phương pháp so sánh theo thừng dạng bài sao cho phù hợp để đạt hiệu quả cao (tốn ít thời gian nhưng chính xác). Đây cũng là yêu cầu cần đạt đối với học sinh giỏi. Vì không phải bất kỳ học sinh nào cũng đều biết cách vận dụng cho thích hợp mà thông thường các em thường chỉ áp dụng ba cách so sánh phân số đã học trong chương trình cùng với cách quy đồng tử số hoặc mẫu số để so sánh phân số. Tuy nhiên cách làm này sẽ mất nhiều thời gian hơn. Bởi vậy, để cho học sinh giỏi nắm và so sánh các phân số một cách nhanh chóng và đạt hiệu quà, giáo viên cần hướng dẫn học sinh biết khi nào, dạng bài nào thì ta sử dụng phương pháp so sánh nào ?
Dưới đây là những trường hợp để sử dụng từng phương pháp so sánh thích hợp :
I. Sử dụng phương pháp bắc cầu :
Ta sử dụng phương pháp bắc cầu để so sánh phân số trong các trường hợp sau :
Nhận thấy ở phân số thứ nhất có tử số bé hơn mẫu số và ở phân số thứ hai có tử số lớn hơn mẫu số thì ta cùng so sánh hai phân số đó với số trung gian là 1.
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
Nhận xét : Ta thấy : phân số có tử số là 3 bé hơn mẫu số là 5 nên phân số 1.
Giải :
Vì 1 nên < 
Ghi chú : ở trường hợp này, học sinh có thể dùng cách quy đồng mẫu số hoặc tử số rồi so sánh vẫn được nhưng sẽ mất thời gian hơn, nhất là đối với những phân số như và , có thể dẫn đến quá trình quy đồng bị sai. Vì vậy, giáo viên nên khuyến khích học sinh sử dụng cách so sánh với 1.Mặc khác, để học sinh làm thành thạo dạng bài tập này thì giáo viên nên cho học sinh làm các bài tập trên với yêu cầu không quy đồng mẫu số hoặc tử số, hãy so sánh các cặp phân số sau :....
Nhận thấy tử số phân số thứ nhất bé hơn tử số phân số thứ hai mà mẫu số của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai thì ta so sánh với phân số trung gian là phân số có tử số bằng tử số của phân số thứ nhất (tử số bé hơn), có mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai (mẫu số bé hơn).
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
Nhận xét : Ta thấy : Tử số 13 25 nên ta so sánh và với phân số trung gian là ( có tử số bằng tử số phân số thứ nhất và mẫu số bằng mẫu số của phân số thứ hai - tức là lấy phân số làm phân số trung gian).
Giải :
Vì < và < nên < 
Nhận thấy ở phân số thứ nhất có a = b q + c và phân số thứ hai có n = n q – c thì ta so sánh với số trung gian là q.
Ví dụ : so sánh hai phân số và , ta thự hiện như sau :
Nhận xét : phân số thứ nhất có 25 = 12 2 + 1 và phân số thứ hai có 49 = 25 2 – 1 
Giải :
Ta có : = 2 + và = 2 - Vì > 2 ; .
Nhận thấy ở phân số thứ nhất có b = a q - c và phân số thứ hai có n = m q + c thì ta so sánh với số trung gian là .
Ví dụ : So sánh hai phân số và , ta làm như sau : 
Nhận xét : 8 = 3 3 – 1 và 13 = 4 3 + 1. Ta thấy phân số thứ nhất  có 8 = 3 3 – 1 và phân số thứ hai có 13 = 4 3 + 1 nên ta so sánh hai phân số trên với phân số (tức là lấy phận số làm phân số trung gian). 
Giải
 Ta thấy >  ; mà = nên >  ; 
II. Sử dụng phương pháp phần bù :
Ta sử dụng phương pháp phần bù để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau :
Nhận thấy mẫu số lớn hơn tử số và hiệu của mẫu số với tử số của cả hai phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần bù với 1.( Tức là cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số cũng bằng 1 hay nói cách khác là các phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số cũng bằng 1).
Ví dụ 1: So sánh và , ta thực hiện như sau :
Nhận xét : Ta thấy có 8 < 9  và có 5 < 6; đồng thời 8 – 9 = 5 – 6
Giải
Ta có : = 1 -  ; = 1 - . Vì 
Ví dụ 2: So sánh và ta thực hiện như sau :
 Nhận xét : Ta thấy có 2006 < 2007 và có 2007 < 2008 đồng thời 2007- 2006 = 2008 - 2007
Giải
Ta có : = 1 -  ; = 1 - Vì > nên < 
2) Nhân thấy phân số thứ nhất có b = a q + c và phân số thứ hai có n = m q + c thì ta tìm phần bù với .( Tức là cả hai phân số đều có tử số nhỏ hơn mẫu số và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số đều bằng nhau nhưng lớn hơn 1 hay nói cách khác là các phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa hai mẫu số và tử số trong cùng một phân số đều bằng nhau nhưng lớn hơn 1).
Ví dụ : So sánh hai phân số và 
Nhận xét : Nhận thấy phân số thứ nhất có 5 = 2 2 + 1 và phân số thứ hai có 7 = 3 2 + 1 nên ta giải như sau
Giải
 	Ta có : = -  ; = - ví > nên < .
Chú ý : Chúng ta sử dụng phương pháp phần bù để so sánh hai phân số trong trường hợp cả hai phân số đều nhỏ hơn 1.
III. Sử dụng phương pháp phần thừa :
Ta sử dụng phương pháp phần thừa để so sánh hai phân số trong các trường hợp sau :
1) Nhận thấy tử số lớn hơn mẫu số và hiệu của tử số và mẫu số của hai phân số đều bằng nhau thì ta tìm phần thứa với 1.
Ví dụ : So sánh và ta làm như sau :
Nhận xét : Ta thấy phân số có 13 > 10 và phân số cũng có 29 > 26 còn 13 -10 = 29 – 26 nên ta giải như sau :
Giải
Ta có : = 1 +  ; = 1 +  ; Vì > nên > 
2) Nhận thấy ở hai phân số có tử số đều lớn hơn mẫu số và lấy tử số chia cho mẫu số đều có thương bằng nhau và số dư cũng bằng nhau.
Ví dụ : So sánh và ta làm như sau :
Nhận xét  Ta thấy phân số có 43 > 14 và phân số có 10 > 3 còn 43 : 14 = 10 : 3 = 3 dư 1 nên ta giải như sau :
Giải :
Ta có : = 3 +  ; = 3 +  ; Vì <  nên < 
Chú ý : Chúng ta sử dụng phương pháp phần thừa để so sánh hai phân số trong trường hợp cả hai phân số đều lớn hơn 1.
3) Nhận thấy tử số của các phân số và mẫu số của các phân số lập thành dãy cách đều thì ta tìm phần thừa với phân số có tử số, mẫu số là khoảng cách của hai dãy số đó.
Ví dụ : Hãy xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn :  ;  ;  ;  ; 
Nhận xét : - Xét tử số, ta thấy : 18 ; 20 ; 22 ; 24 ; 26 là dãy số cách đều.
	 - Xét mẫu số, ta thấy : 26 ; 30 ; 34 ; 38 ; 42  là dãy số cách đều. Nên ta giải như sau :
Giải :
Ta thấy : = + = +  ; = + = +  ; = + = +  ;
	 = + = +  ; = + = + .
Vì > > > > nên dãy số trên được xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là :
 ;  ;  ;  ; .
IV. Sử dụng phương pháp rút gọn :
Khi ta thấy các phân số cần so sánh chưa tối giản và giữa tử số và mẫu số của các phân số đó có đặc điểm gần giống nhau.
Ví dụ : So sánh hai phân số : và 
Nhận xét  
Giải :
Ta có : = =  ; = = 
Vì < nên < 
V. Sử dụng phương pháp phép chia :
Ta sử dụng phương pháp phép chia trong những trường hợp sau :
Khi ta thấy các phân số đó không có mối liên hệ trong các trường hợp nêu trên.
Khi đề bài chỉ yêu cầu điền đúng sai dưới dạng trắc nghiệm mà không cần giải thích gì thêm thì ta sử dụng phương pháp này để đỡ tốn thời gian.
Ví dụ : So sánh hiai phân số và , ta làm như sau :
Nhận xét  
Giải :
Ta có :  : = . Vì > 1 nên > 
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi trong việc so sánh hai phân số bất kỳ theo cách nhanh nhất, hợp lí nhất. Rất mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp.