Toán học lớp 5 - Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết

Dạng 3 : Bài tốn liên quan đến điều kiện chia hết.
	* Bài tập vận dụng	
a.Loại tốn viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
I/ CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT:
Dấu hiệu chia hết cho 2:
- Các số có tận cùng là các số chẵn (0; 2; 4; 6; 8) thì chia hết cho 2.
Dấu hiệu chia hết cho 3:
- Các số có tổng chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 4:
- Các số có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Dấu hiệu chia hết cho 5:
- Các số có tận cùng là 0 và 5 thì chia hết cho 5.
Dấu hiệu chia hết cho 9:
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
Số vừa chia hết cho 2 và 3 thì chia hết cho 6.
Bài 1 : Hãy thiết lập các số cĩ 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5, 9 thoả mãn điều kiện
a, Chia hết cho 2
b, Chia hết cho 4
c, Chia hết cho 2 và 5
	Giải :
a, Các số chia hết cho 2 cĩ tận cùng bằng 0 hoặc 4. Mặt khác mỗi số đều cĩ các chữ số khác nhau, nên các số thiết lập được là
	540; 504
	940; 904
	450; 954
	950; 594
	490
	590
b, Ta cĩ các số cĩ 3 chữ số chia hết cho 4 được viết từ 4 chữ số đã cho là :
	540; 504; 940; 904
c, Số chia hết cho 2 và 5 phải cĩ tận cùng 0. Vậy các số cần tìm là 
	540; 450;490
	940; 950; 590 .
Bài 2: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 ta lập được bao nhiêu số cĩ 4 chữ số chia hết cho 5?
	Giải:
	Một số chia hết cho 5 khi tận cùng là 0 hoặc 5.
	Với các số 1, 2, 3, 4, ta viết được 4 x 4 x 4 = 64số cĩ 3 chữ số 
	Vậy với các số 1, 2, 3, 4, 5 ta viết được 64 số cĩ 5 chữ số (Cĩ tận cùng là 5)
b, Loại tốn dùng dấu hiệu chia hết để điền vào chữ số chưa biết .
	ở dạng này: -Nếu số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận cùng .
	-Dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các dấu hiệu chia hết cịn lại của số phải tìm để xác định các chữ số cịn lại .
Bài 3:Thay x và y vào 1998xy để được số chia hết cho 2, 5, 9.
	Giải :
	Số phải tìm chia hết cho 5 vậy y phải bằng 0 hoặc 5.
	Số phải tìm chia hết cho 2 nên y phải là số chẵn 
Từ đĩ suy ra y = 0 . Số phải tìm cĩ dạng 1998x0.
Số phải tìm chia hết cho 9 vậy (1 +9 + 9+ 8 + x )chia hết cho 9 hay (27 + x) chia hết cho 9. Suy ra x = 0 ; hoặc x=9.
Số phải tìm là : 199800 ; hoặc 199890
Bài 4: Cho n = a378b là số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau. Tìm tất cả các chữ số a và b để thay vào ta dược số n chia hết cho 3 và 4 .
	Giải :
	- n chia hết cho 4 thì 8b phải chia hết cho 4. Vậy b = 0, 4 hoặc 8
	- n cĩ 5 chữ số khác nhau nên b = 0 hoặc 4
	- Thay b = 0 thì n = a3780
	 + Số a3780 chia hết cho 3 thì a = 3, 6 hoặc 9
	 + Số n cĩ 5 chữ số khác nhau nên a = 6 hoặc 9
	Ta được các số 63 780 và 930780 thoả mãn điều kiện của đề bài
	- Thay b = 4 thì n = a3784
	+ Số a3784 chia hết cho 3 thì a = 2, 5 hoặc 8
	+ Số n cĩ 5 chữ số khác nhau nên a = 2 hoặc 5. Ta được các số 23784 và 53 784 thoả mãn điều kiện đề bài
	Các số phải tìm 63 780; 93 780; 23 784; 53 784.
c.Các bài tốn về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu .
Các tính chất thường sử dụng trong loại này là :
. Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng 
 chia hết cho 2
 . Nếu SBT và ST đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2
 . Một số hạng khơng chia hết cho 2, các số hạng cịn lại chia hết cho 2 thì tổng khơng chia hết cho 2
 . Hiệu của 1 số chia hết cho 2 và 1 số khơng chia hết cho 2 là 1 số khơng chia hết cho 2.
 .Tổng số dư khi chia cho 2 của mỗi số hạng chia hết cho 2 thì tổng đĩ chia hết cho 2.
	(Tính chất này tương tự đối với các trường hợp chia hết khác)
CHÚ Ý:
1) Nếu a chia 2 dư 1 thì chữ số tự cùng của nó bằng 1; 3; 5; 7; và 9 . Đó là những chữ số lẻ .
2) Nếu a chia 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6; dư 2 thì chữ số tận cùng của nó bằng 2 hoặc 7; Dư 3 thì chữ số tận cùng của nó bằng 3 và 8; Dư 4 thì chữ số tận cùng của nó bằng 4 và 9 .
3) Nếu a và b cùng số dư khi chia cho 2, thì hiệu của nó sẽ chia hết 2. Cũng có tính chất tương ự đối với các trường hợp khác khi chia cho 3; 4; 5 và 9.
Ví dụ: 23 : 2 = 11 (dư 1)
 47 : 2 = 13 (dư 1)
Hai phép chia trên cùng chia cho 2 và dư 1. Nên hiệu của nó là 47 – 23 = 24 chia hết cho 2.
4) Nếu a chia cho b dư b – 1 thì a + 1 chia hết cho cho  .
Ví dụ: 80 : 9 = 8 (dư 8 = 9 – 1)
 81 : 9 = 9
5) Nếu a chia cho b dư 1 thì a – 1 chia hết cho b.
Ví dụ: 25 : 2 = 12 (dư 1)
 24 : 2 = 12 (24 = 25 -1)
Bài 5 : Khơng làm phép tính xét xem các tổng và hiệu dưới đây cĩ chia hết cho 3 hay khơng .
a, 459 + 690+1236
b, 2 454 - 374
	Giải :
a, 459, 690, 1 236 đều là số chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1 236 chia hết cho 3
b, 2 454 chia hết cho 3 và 374 khơng chia hết cho 3 nên 2 454 - 374 khơng chia hết cho 3.
Bài 6 : Tổng kết năm học 2001- 2002 một trường tiểu học cĩ 462 học sinh tiên tiến và 195 học sinh xuất sắc. Nhà trường dự định thưởng cho học sinh xuất sắc nhiều hơn học sinh tiên tiến 2 quyển vở 1 em. Cơ văn thư tính phải mua 1996 quyển thì vừa đủ phát thưởng. Hỏi cơ văn thư tính đúng hay sai ? vì sao?
Giải :
Ta thấy số HS tiên tiến và số HS xuất sắc đều là những số chia hết cho 3 vì vậy số vở thưởng cho mỗi loại HS phải là 1 số chia hết cho 3. Suy ra tổng số vở phát thưởng cũng là 1 số chia hết cho 3, mà 1996 khơng chia hết cho 3 > Vậy cơ văn thư đã tính sai.
d. Các bài tốn về phép chia cĩ dư
	ở loại này cần lưu ý :
- Nếu a : 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a là 1, 3, 5, 7, 9
- Nếu a : 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1 hoặc 6 ; a : 5 dư 2 thì chứ số tận cùng phải là 2 hoặc 7 . . .
- Nếu a và b cĩ cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2
- Nếu a : b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b
- Nếu a : b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b
Bài 7 : Cho a = x459y. Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5, 9 đều dư 1
	Giải :
	Ta nhận thấy :
- a : 5 dư 1 nên y bằng 1 hoặc 6
- Mặt khác a : 2 dư 1 nên y phải bằng 1. Số phải tìm cĩ dạng a= x4591
- x4591 chia cho 9 dư1 nên x + 4 + 5 + 9 + 1 chia cho 9 dư 1. vậy x chia hết cho 9 suy ra x = 0 hoặc 9. Mà x là chữ số đầu tiên của 1 số nên khơng thể bằng 0 vậy x = 9
Số phải tìm là : 94591
Bài 8 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đĩ cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5, cho 7 dư 6
	Giải :
	Gọi số phải tìm là a thì a + 1 chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6 và 7 như vậy a + 1 cĩ tận cùng là chữ số 0
	a + 1 khơng là số cĩ 1 chữ số. Nếu a + 1 cĩ 2 chữ số thì a + 1 tận cùng là chữ số 0 lại chia hết cho 7 nên a + 1 = 70 (loại vì 70 khơng chia hết cho 3)
	Trường hợp a + 1 cĩ 3 chữ số thì cĩ dạng xy0
	. Số xy0 chia hết cho 4 nên y phải bằng 0, 2, 4, 6 hoặc 8
	. Số xy0 chia hết cho 7 nên xy bằng 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77; 84; 91 hoặc 98
	. Số xy0 chia hết cho 3 thì x + y + 0 chia hết cho 3
Kết hợp các điều kiện trên thì a + 1 = 420 vậy a = 419
	Đáp số : 419.
e. Vận dụng tính chất chia hết và chia cịn dư để giải tốn cĩ lời văn
Bài 9 : Tổng số HS khối 1 của một trường tiểu học là 1 số cĩ 3 chữ số và chữ số hàng trăm là 3. Nếu xếp hàng 10 và hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì khơng cịn dư. Tính số HS khối 1 cuỉa trường đĩ.
	Giải : 
	Theo đề bài thì số HS khối 1 đĩ cĩ dạng 3ab. Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8. Thay vào ta được số 3a8. Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8 nên 3a8 - 8 = 3a0 phải chia hết cho 12 suy ra 3a0 chi hết cho 3. suy ra a = 0, 3, 6 hoặc 9. Ta cĩ các số 330; 390 khơng chia hết cho 12 vì vậy số HS khối 1 là 308 hoặc 368 em. số 308 khơng chia hết cho 8 vậy số HS khối 1 của trường đĩ là 368 em.
	* Bài tập về nhà :
Bài 1 : Cho 4 chữ số 0, 1, 5 và 8. Hãy lập các số cĩ 3 chữ số khác nhau thoả mãn điều kiện 
a, Chia hết cho 6
b, Chia hết cho 15
Bài 2 : Hãy xác định các chữ số ab để khi thay vào số 6a49b ta được số chia hết cho :
a, 2, 5 và 9
b, 2 và 9
Bài 3 : Khơng làm phép tính xét xem các tổng và hiệu đưới đây cĩ chia hết cho 3 hay khơng
a, 1 236 + 2 155 + 42 702
b, 92 616 - 48 372
Bài 4 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đĩ cho 3, 4, 5 đều dư 1 và chia cho 7 thì khơng dư.
Bài 5 : Một cơng ty cĩ số cơng hưởng mức lương 360 000đ. Số khác hưởng mức 495 000đ, số cịn lại hưởng 672 000đ/ tháng. Sau khi phát lương tháng 7 cho cơng nhân cơ kế tốn cộng hết 273 815 000đ. Hỏi cơ kế tốn tính đúng hay sai? tại sao?
Bài 6 : Lớp 5A xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4 được một số hàng khơng thừa bạn nào. Nếu lấy tổng các hàng xếp được đĩ thì được 39 hàng. Hỏi lớp 5A cĩ bao nhiêu bạn.