Toán học lớp 5 - Các bài toán chọn lọc

CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC Ở TIỂU HỌC
Bài 1 : Ngày 8 tháng 3 năm 2004 là thứ ba. Hỏi sau 60
năm nữa thì ngày 8 tháng 3 là thứ  mấy ?
Bài giải : Năm thường có 365 ngày (tháng hai có 28 ngày) ;
năm nhuận có 366 ngày (tháng hai có 29 ngày). Kể từ 8 tháng
3 năm 2004 thì sau 60 năm là 8 tháng 3 năm 2064. Cứ 4 năm
thì có một năm nhuận. Năm 2004 là năm nhuận, năm 2064
cũng là năm nhuận. Trong 60 năm này có số năm nhuận là 60 :
4 + 1 = 16 (năm). Nhưng vì đã qua tháng hai của năm 2004
nên từ 8 tháng 3 năm 2004 đến 8 tháng 3 năm 2064 có 15 năm
có 366 ngày và 45 năm có 365 ngày. Vì thế 60 năm có số ngày
là : 366 x 15 + 365 x 45 = 21915 (ngày). Mỗi tuần lễ có 7 ngày
nên ta có 21915 : 7 = 3130 (tuần) và dư 5 ngày. Vì 8 tháng 3
năm 2004 là thứ ba nên 8 tháng 3 năm 2064 là chủ nhật.
Bài 2 : Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... 	+ 49 + 50.
Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng
cho tới khi được kết quả là 0 hay không ?
Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... 	+ 49 + 50.
Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các
số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là
một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b
bằng hiệu a - b thì A giảm đi : (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là
giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn
là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ.
Vì vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0.
1
Bài 3 : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau :
Số đầu tiên là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận
cùng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số
tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như
thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437......
Trong dãy trên có xuất hiện số 2005 hay không ?
Bài giải : Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có xuất
hiện nhóm chữ 2005 thì ta có : 2 + 0 là số có chữ số tận cùng
là 0 (vô lí).
Vậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2005.
Bài 4 : Có 5 đội tham gia dự thi toán đồng đội. Tổng số
điểm của cả 5 đội là 144 điểm và thật thú vị là cả 5 đội đều
đạt một trong ba giải : nhất (30 điểm) ; nhì (29 điểm) ; ba
(28 điểm).
Chứng minh số đội đạt giải ba hơn số đội đạt giải nhất
đúng một đội.
Bài giải : Ta thấy trung bình cộng điểm của một đội giải nhất
và một đội giải ba chính là số điểm của một đội giải nhì.
Nếu số đội đạt giải nhất bằng số đội đạt giải ba thì tổng số
điểm của cả 5 đội là : 29 x 5 = 145 (điểm) > 144 điểm, không
thỏa mãn.
Nếu số đội giải nhất nhiều hơn số đội giải ba thì tổng điểm 5
đội lớn hơn 145, cũng không thỏa mãn.
Do đó số đội giải nhất phải ít hơn số đội giải ba. Khi đó ta xếp
một đội giải nhất và một đội giải ba làm thành một cặp thì cặp
này sẽ có tổng số điểm bằng hai đội giải nhì. Số đội giải ba
thừa ra (không được xếp cặp với một đội giải nhất) chính là số
điểm mà tổng điểm của 5 đội nhỏ hơn 145. Vì vậy số đội giải
ba nhiều hơn số đội giải nhất bao nhiêu thì tổng điểm của 5 đội
sẽ nhỏ hơn 145 bấy nhiêu.
2
Vì tổng số điểm của cả 5 đội là 144 điểm nên số đội giải ba
nhiều hơn số đội giải nhất là 145 - 144 = 1.
Bài 5 : Một người mang cam đi đổi lấy táo và lê. Cứ 9 quả
cam thì đổi được 2 quả táo và 1 quả lê, 5 quả táo thì đổi
được 2 quả lê. Nếu người đó đổi hết số cam mang đi thì
được 17 quả táo và 13 quả lê. Hỏi người đó mang đi bao
nhiêu quả cam ?
Bài giải : 9 quả cam đổi được 2 quả táo và 1 quả lê nên 18 quả
cam đổi được 4 quả táo và 2 quả lê. Vì 5 quả táo đổi được 2
quả lê nên 18 quả cam đổi được : 4 + 5 = 9 (quả táo). Do đó 2
quả cam đổi được 1 quả táo. Cứ 5 quả táo đổi được 2 quả lê
nên 10 quả cam đổi được 2 quả lê. Vậy 5 quả cam đổi được 1
quả lê. Số cam người đó mang đi để đổi được 17 quả táo và 13
quả lê là : 2 x 17 + 5 x 13 = 99 (quả).
Nhận xét : Bài này có nhiều cách chẳng hạn tìm xem 1 quả lê
đổi được bao nhiêu quả táo rồi tìm xem bao nhiêu quả táo đổi
được từ số cam người đó mang đi. Từ số táo đã biết đó suy ra
số cam người đó mang đi.
Bài 6 : Tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy 1/3 số đó chia
cho 1/17 số đó thì có dư là 100.
Bài giải : Vì 17 x 3 = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên
cần tìm được chia ra thành 51 phần bằng nhau. Khi ấy 1/3 số
đó là 51 : 3 = 17 (phần) ; 1/17 số đó là 51 : 17 = 3 (phần).
Vì 17 : 3 = 5 (dư 2) nên 2 phần của số đó có giá trị là 100 suy
ra số đó là :
100 : 2 x 51 = 2550.
Bài 7 : Tuổi của con hiện nay bằng 1/2 hiệu tuổi của bố và
tuổi con. Bốn năm trước, tuổi con bằng 1/3 hiệu tuổi của bố
3
và tuổi con. Hỏi khi tuổi con bằng 1/4 hiệu tuổi của bố và
tuổi của con thì tuổi của mỗi người là bao nhiêu ?
Bài giải : Hiệu số tuổi của bố và con không đổi. Trước đây 4
năm tuổi con bằng 1/3 hiệu này, do đó 4 năm chính là : 1/2 -
1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi của bố và con).
Số tuổi bố hơn con là : 4 : 1/6 = 24 (tuổi).
Khi tuổi con bằng 1/4 hiệu số tuổi của bố và con thì tuổi con là
: 24 x 1/4 = 6 (tuổi).
Lúc đó tuổi bố là : 6 + 24 = 30 (tuổi).
Nhận xét : Có thể giải theo nhiều cách khác. Chẳng hạn : giả
sử hiệu số giữa tuổi bố và tuổi con là 12 phần thì trước đây 4
năm tuổi con gồm 4 phần (12 x 1/3 = 4) và hiện nay tuổi con
gồm 6 phần (12 x 1/2 = 6). Số phần tăng thêm là : 6 - 4 = 2
(phần) chính là do con tăng 4 tuổi. Từ đó suy ra bố hơn con số
tuổi là : (4 : 2) x 12 = 24 (tuổi).
Bài 8 : Hoa có một sợi dây dài 16 mét. Bây giờ Hoa cần cắt
đoạn dây đó để có đoạn dây dài 10 mét mà trong tay Hoa
chỉ có một cái kéo. Các bạn có biết Hoa cắt thế nào không ?
Bài giải : Xin nêu 2 cách cắt như sau :
Cách 1 : Gập đôi sợi dây liên tiếp 3 lần, khi đó sợi dây sẽ được
chia thành 8 phần bằng nhau.
Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 8 = 2 (m)
Cắt đi 3 phần bằng nhau thì còn lại 5 phần.
Khi đó độ dài đoạn dây còn lại là : 2 x 5 = 10 (m)
Cách 2 : Gập đôi sợi dây liên tiếp 2 lần, khi đó sợi dây sẽ được
chia thành 4 phần bằng nhau.
Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 4 = 4 (m)
Đánh dấu một phần chia ở một đầu dây, phần đoạn dây còn lại
được gập đôi lại, cắt đi một phần ở đầu bên kia thì độ dài đoạn
dây cắt đi là : (16 - 4) : 2 = 6 (m)
4
Do đó độ dài đoạn dây còn lại là : 16 - 6 = 10 (m).
Bài 9 : Tôi đi bộ từ trường về nhà với vận tốc 5 km/giờ. Về
đến nhà lập tức tôi đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15
km/giờ. Biết rằng quãng đường từ nhà tới trường ngắn
hơn quãng đường từ nhà đến bưu điện 3 km. Tổng thời
gian tôi đi từ trường về nhà và từ nhà đến bưu điện là 1 giờ
32 phút. Bạn hãy tính quãng đường từ nhà tôi đến trường.
Bài giải : Thời gian để đi 3 km bằng xe đạp là : 3 : 15 = 0,2
(giờ)
Đổi : 0,2 giờ = 12 phút.
Nếu bớt 3 km quãng đường từ nhà đến bưu điện thì thời gian
đi cả hai quãng đường từ nhà đến trường và từ nhà đến bưu
điện (đã bớt 3 km) là :
1 giờ 32 phút - 12 phút = 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Vận tốc đi xe đạp gấp vận tốc đi bộ là : 15 : 5 = 3 (lần)
Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian
nên thời gian đi từ nhà đến trường gấp 3 lần thời gian đi từ nhà
đến thư viện (khi đã bớt đi 3 km). Vậy :
Thời gian đi từ nhà đến trường là : 80 : (1 + 3) x 3 = 60 (phút)
;
60 phút = 1 giờ
Quãng đường từ nhà đến trường là : 1 x 5 = 5 (km).
Bài 10 : Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến
30 để chia cho 1000000. Bạn hãy cho biết :
1) Phép chia có dư không ?
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao
nhiêu ?
Bài giải :
5
Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... 	x 29 x 30, trong đó các thừa số chia
hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể
coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với
một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có
các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6, 8,
12, . . . 	, 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7
cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ
số 0.
Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1
000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0.
Bài 11 : Ba bạn Toán, Tuổi và Thơ có một số vở. Nếu lấy
40% số vở của Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì số vở
của ba bạn bằng nhau. Nhưng nếu Toán bớt đi 5 quyển thì
số vở của Toán bằng tổng số vở của Tuổi và Thơ. Hỏi mỗi
bạn có bao nhiêu quyển vở ?
Bài giải : Đổi 40% = 2/5.
Nếu lấy 2/5 số vở của Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì mỗi
bạn Tuổi hay Thơ đều được thêm 2/5 : 2 = 1/5 (số vở của
Toán)
Số vở còn lại của Toán sau khi cho là :
1 - 2/5 = 3/5 (số vở của Toán)
Do đó lúc đầu Tuổi hay Thơ có số vở là :
3/5 - 1/5 = 2/5 (số vở của Toán)
Tổng số vở của Tuổi và Thơ lúc đầu là :
2/5 x 2 = 4/5 (số vở của Toán)
Mặt khác theo đề bài nếu Toán bớt đi 5 quyển thì số vở của
Toán bằng tổng số vở của Tuổi và Thơ, do đó 5 quyển ứng với
: 1 - 4/5 = 1/5 (số vở của Toán)
Số vở của Toán là : 5 : 1/5 = 25 (quyển)
Số vở của Tuổi hay Thơ là : 25 x 2/5 = 10 (quyển).
6
Bài 12 : Hai số tự nhiên A và B, biết A < B và hai số có
chung những đặc điểm sau :
- Là số có 2 chữ số.
- Hai chữ số trong mỗi số giống nhau.
- Không chia hết cho 2 ; 3 và 5.
a) Tìm 2 số đó.
b) Tổng của 2 số đó chia hết cho số tự nhiên nào ?
Bài giải : Vì A và B đều không chia hết cho 2 và 5 nên A và B
chỉ có thể có tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vì 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18
là 2 số chia hết cho 3 nên loại trừ số 33 và 99. A < B nên A =
11 và B = 77.
b) Tổng của hai số đó là : 11 + 77 = 88.
Ta có :
88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11.
Vậy tổng 2 số chia hết cho các số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ;
88.
Bài 13 : Hai bạn Xuân và Hạ cùng một lúc rời nhà của
mình đi đến nhà bạn. Họ gặp nhau tại một điểm cách nhà
Xuân 50 m. Biết rằng Xuân đi từ nhà mình đến nhà Hạ
mất 12 phút còn Hạ đi đến nhà Xuân chỉ mất 10 phút. Hãy
tính quãng đường giữa nhà hai bạn.
Bài giải : Trên cùng một quãng đường thì tỉ số thời gian đi của
Xuân và Hạ là : 12 : 10 = 6/5.
Thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ số vận tốc của Xuân
và Hạ là 5/6. Như vậy Xuân và Hạ cùng xuất phát thì đến khi
gặp nhau thì quãng đường Xuân đi được bằng 5/6 quãng
đường Hạ đi được.
Do đó quãng đường Hạ đi được là :
50 : 5/6 = 60 (m).
Quãng đường giữa nhà Xuân và Hạ là : 50 + 60 = 110 (m).
7
Bài 14 : A là số tự nhiên có 2004 chữ số. A là số chia hết
cho 9 ; B là tổng các chữ số của A ; C là tổng các chữ số
của B ; D là tổng các chữ số của C. Tìm D.
Bài giải : Vì A là số chia hết cho 9 mà B là tổng các chữ số
của A nên B chia hết cho 9. Tương tự ta có C, D cũng chia hết
cho 9 và đươ ... là
: 17 + 19 = 36 (quả)
Vì số táo của Chi gấp 5 lần tổng số táo còn lại của An và Bình
nên số táo còn lại của hai bạn gồm 1 phần. Như vậy An và
Bình đã cho đi số phần là : 10 - 1 = 9 (phần)
Vậy số táo của Chi là : (36 : 9) x 5 = 20 (quả)
Vì ba bạn có số táo bằng nhau nên mỗi bạn lúc đầu có 20 quả.
Bài 56 : Nếu đếm các chữ số ghi tất cả các ngày trong năm
2004 trên tờ lịch treo tường thì sẽ được kết quả là bao
nhiêu ?
Bài giải : Năm 2004 là năm nhuận có 366 ngày.
Một năm có 12 tháng, mỗi tháng có 9 ngày từ mùng 1 đến
mùng 9 là những ngày được viết bằng các số có 1 chữ số. Như
vậy số ngày được viết bằng số có 1 chữ số là : 9 x 12 = 108
(ngày).
Số ngày còn lại trong năm được viết bằng số có 2 chữ số là :
366 - 108 = 258 (ngày).
33
Vậy đếm các chữ số ghi tất cả các ngày của năm 2004 trên tờ
lịch thì ta được :
1 x 108 + 2 x 258 = 624 (chữ số).
Bài 57 : Cho một số tự nhiên, nếu viết thêm một chữ số vào
bên phải số đó ta được số mới hơn số đã cho đúng 2004
đơn vị. Tìm số đã cho và chữ số viết thêm.
Bài giải :
Gọi số tự nhiên đã cho là A chữ số viết thêm là x thì số mới là
Ax.
Ta có Ax - A = 2004
A x 10 + x - A = 2004 (phân tích số)
A x 10 - A + x = 2004
A x (10 - 1) + x = 2004 (một số nhân với một tổng)
A x 9 + x = 2004
Vì A x 9 chia hết cho 9 ; 2004 chia 9 dư 6 nên x chia cho 9
phải dư 6. Vì x là chữ số nên x = 6. Ta có :
A x 9 + 6 = 2004
A x 9 = 2004 - 6
A x 9 = 1998
A = 1998 : 9
A = 222.
Vậy số tự nhiên đã cho là 222 ; chữ số viết thêm là 6.
Bài 58 : Trong đợt trồng cây đầu năm, lớp 5A cử một số
bạn đi trồng cây và trồng được 180 cây, mỗi học sinh trồng
được 8 hoặc 9 cây. Tính số học sinh tham gia trồng cây,
biết số học sinh tham gia là một số chia hết cho 3.
Bài giải : Nếu mỗi bạn trồng 9 cây thì số người tham gia sẽ ít
nhất và chính là : 180 : 9 = 20 (người).
34
Vì 180 : 8 = 22 (dư 4) nên số người tham gia nhiều nhất là 22
người và khi đó có 4 người trồng 9 cây, còn lại mỗi người
trồng 8 cây.
Theo đầu bài số người tham gia là một số chia hết cho 3 nên có
21 bạn tham gia.
Bài 59 : Cha hiện nay 43 tuổi. Nếu tính sang năm thì tuổi
cha vừa gấp 4 tuổi con hiện nay. Hỏi lúc con mấy tuổi thì
tuổi cha gấp 5 lần tuổi con ? Có bao giờ tuổi cha gấp 4 lần
tuổi con không ? Vì sao ?
Bài giải : Tuổi của cha sang năm là :
43 + 1 = 44 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là :
44 : 4 = 11 (tuổi)
Tuổi cha hơn tuổi con là :
43 - 11 = 32 (tuổi)
Khi tuổi cha gấp 5 lần tuổi con thì cha vẫn hơn con 32 tuổi.
Tuổi con khi đó là : 32 : (5 - 1) = 8 (tuổi)
Nếu tuổi cha gấp 4 lần tuổi con, khi đó tuổi con là 1 phần thì
tuổi cha là 4 phần như thế. Tuổi cha hơn tuổi con số phần là : 4
- 1 = 3 (phần), khi đó cha cũng vẫn hơn con 32 tuổi ; 32 không
chia hết cho 3 nên không bao giờ tuổi cha gấp 4 lần tuổi con
(vì ta coi tuổi con hàng năm là một số tự nhiên).
Bài 60 : Một đoàn tàu hỏa dài 200 m lướt qua một người đi
xe đạp ngược chiều với tàu hết 12 giây. Tính vận tốc của
tàu, biết vận tốc của người đi xe đạp là 18 km/giờ.
Bài giải : Đoàn tàu hỏa dài 200 m lướt qua người đi xe đạp hết
12 giây, có nghĩa là sau 12 giây tổng quãng đường tàu hỏa và
35
xe đạp đi là 200 m. Như vậy tổng vận tốc của tàu hỏa và xe
đạp là :
200 : 12 = 50/3(m/giây),
50/3 m/giây = 60 km/giờ.
Vận tốc của xe đạp là 18 km/giờ, thì vận tốc của tàu hỏa là :
60 - 18 = 42 (km/giờ).
Bài 61. Chứng tỏ rằng kết quả của phép nhân sau
3 x 3 x 3 x ... 	x 3
(2000 thừa số 3) là số có ít hơn 1001 chữ số.
Lời giải. Trong tích số A = 3 x 3 x 3 x ... 	x 3 gồm 2000 thừa
số 3, kết hợp từng cặp số 3 được A = (3 x 3) (3 x 3) ... 	(3 x 3)
= 9 x 9 x ... 	x 9 gồm 1000 thừa số 9.
Xét số B = 9 x 10 x ...x 10 thừa số 10 nên số B = 90...0 có 999
chữ số 0 và 1 chữ số 9, nghĩa là có 1000 chữ số.
Vì 9 < 10 nên A = 9 x 9 x ... x 9 < B = 9 x10 x ... 	x 10
Vậy số A có ít hơn 1001 chữ số.
Bài 62. Nếu trong một tháng nào đó mà có 3 ngày thứ bảy
đều là các ngày chẵn thì ngày 25 của tháng đó sẽ là ngày
thứ mấy ?
Lời giải.
Cách 1. Trong một tháng nào đó có ba ngày thứ bảy là ngày
chẵn thì chắc chắn còn có hai ngày thứ Bảy là ngày lẻ. Năm
ngày thứ Bảy đó sắp xếp như sau :
36
Số ngày nhiều nhất trong một tháng là 31 ngày. Tháng này có
4 tuần và 3 ngày. Nếu thứ bảy đầu tiên là ngày mùng 4 thì
tháng đó sẽ có số ngày là: 4 + 7 x 4 = 32 (ngày) ; trái với lịch
thông thường.
Vì thế thứ bảy đầu tiên (1) phải là ngày mùng 2 ; thứ 7 thứ tư
sẽ là ngày: 2 + 7 x 3 = 23
Vậy ngày 25 của tháng đó là ngày thứ hai.
Cách 2. Lập bảng theo tuần lễ :
Trong 3 cột đầu tiên chỉ có cột 2 thích hợp với đầu bài toán.
Cột này có 5 ngày thứ bảy. Vì ngày 23 là thứ bảy, nên ngày 25
là thứ hai.
Bài 63. Bốn bạn Xuân, Hạ, Thu, Đông có tất cả 61 viên bi.
Xuân có số bi ít nhất, Đông có số bi nhiều nhất và là số lẻ,
Thu có số bi gấp 9 lần số bi của Hạ. Hãy cho biết mỗi bạn
có bao nhiêu viên bi ?
Lời giải.
+ Số bi của Thu gấp 9 lần số bi của Hạ nên tổng số bi của Thu
và Hạ là một số chẵn. Tống số bi của bốn bạn là số lẻ, số bi
của Đông là số lẻ, tổng số bi của Hạ và Thu là số lẻ ; do đó số
bi của Xuân phải là số chẵn.
+ Số bi của Hạ phải là số bé hơn 4 vì nếu số đó là 4 thì số bi
của Thu là 4 x 9 = 36. Khi đó ít nhất Đông có số bi là 37 thì
37
chỉ riêng tổng số bi của Thu và Đông đã vượt quá tổng số bi
của bốn bạn (36 + 37 = 73 > 61).
+ Nếu số bi của Xuân là 2 thì số bi của Hạ là 3, số bi của Thu
là 27
(3 x 9 = 27)
Số bi của Đông là :
61 - (2 + 3 + 27) = 29 (viên).
Bài 64. Thay các chữ cái dưới đây bởi các chữ số (chữ cái
khác nhau thì thay bởi các chữ số khác nhau) sao cho kết
quả các phép tính dưới đây đạt giá trị lớn nhất.
CHUC + MUNG + THAY + CO + NHAN + NGAY - 20 -
11
Lời giải. Vì N xuất hiện ở những hàng cao nhất và nhiều lần
nhất nên N phải bằng 9 để kết quả lớn nhất. Tiếp đó C xuất
hiện ở hàng cao nhất còn lại giống M và T nhưng C còn ở hai
hàng khác nữa nên C bằng 8. Nếu M là 7 thì T là 6 và ngược
lại, kết quả của phép toán không thay đổi. Với lập luận như
trên thì H bằng 5, U bằng 4 và G là 3. Từ đó A bằng 2, Y bằng
1 và O là 0.
Vậy ta có 2 đáp số :
8548 + 6493 + 7521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461
và 8548 + 7493 + 6521 + 80 + 9529 + 9321 - 20 - 11 = 41461.
Bài 65 : Thăng đố Long biết được số học sinh của trường
Thăng cuối năm học vừa rồi có bao nhiêu học sinh được
nhận thưởng ? Biết rằng số học sinh được nhận thưởng là
số có ba chữ số và rất thú vị là chữ số hàng trăm, chữ số
hàng đơn vị giống nhau. Nếu nhân số này với 6 thì được
tích là số cũng có ba chữ số và trong tích đó có một chữ số
2.
38
Bài giải : Gọi số phi tìm là aba(a khác b;a ; b nhỏ hoặc bằng
9). Theo đầu bài ta có:
aba x 6 = deg (d khác 0 ; d; e; g nhỏ hơn hoặc bằng 9).
Nếu a lớn hơn hoặc bằng 2 thì tích nhiều hơn 3 chữ số.Vậy a =
1. Ta có 1b1x 6 = deg ( deg có một chữ số 2).
Do đó : g = 1 x 6 = 6 và d lớn hơn hoặc bằng 6. Vì thế : e = 2
Vì b x 6 = nên b = 2 hoặc b = 7.
Nếu b = 2 thì 121 x 6 = 726 (Đúng)
Nếu b = 7 thì 171 x 6 = 1026 (Loại)
Vậy số học sịnh nhận thưởng là 121 bạn.
Bài 66 : Một bạn chọn hai số tự nhiên tuỳ ý, tính tổng của
chúng rồi lấy tổng đó nhân với chính nó. Bạn ấy cũng làm tưng
tự đối với hiệu của hai số mà mình đã chọn đó. Cuối cùng cộng
hai tích tìm được với nhau. Hỏi rằng tổng của hai tích đó là số
chẵn hay số lẻ ? Vì sao ?
Bài giải : Sẽ xảy ra một trong hai trường hợp : C hai số đều chẵn
(hoặc đều lẻ) ; một số chẵn và một số lẻ.
a) Hai số chẵn (hoặc hai số lẻ). Tổng, hiệu của hai số đó là số chẵn.
Số chẵn nhân với chính nó được số chẵn. Do đó cộng hai tích (là
hai số chẵn) phải được số chẵn.
b) Một số chẵn và một số lẻ. Tổng, hiệu của chúng đều là số lẻ. Số
lẻ nhân với chính nó được số lẻ. Do đó cộng hai tích (là hai số lẻ)
phải được số chẵn.
Vậy theo điều kiện của bài toán thì kết quả của bài toán phải là số
chẵn.
Bài 67 : a) Hãy phân tích 20 thành tổng các số tự nhiên sao cho
tích các số tự nhiên ấy cũng bằng 20.
39
b) Bạn có thể làm như thế với bất kì số tự nhiên nào được
không ?
Bài giải : Phân tích 20 thành tích các số tự nhiên khác 1.
20 = 2 x 2 x 5 = 4 x 5 = 10 x 2
Trường hợp : 2 x 2 x 5 = 20 thì tổng của chúng là : 2+ 2 + 5 = 9.
Vậy để tổng bằng 20 thì phải thêm vào : 20 - 9 = 11, ta thay 11
bằng tổng của 11 số 1 khi đó tích sẽ không thay đổi.
Lí luận tương tự với các trường hợp : 20 = 4 x 5 và 20 = 10 x 2. Ta
có 3 cách phân tích như sau :
Cách 1 :
20 = 2 x 2 x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.
20 = 2 + 2 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Cách 2 :
20 = 4 x 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.
20 = 4 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Cách 3 :
20 = 10 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.
20 = 10 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
b) Một số chia hết cho 1 và chính nó sẽ không làm được như trên vì
tích của 1với chính nó luôn nhỏ hơn tổng của 1 với chính nó.
Bài 68 : Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 2 dư 1,
chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 3 và chia hết cho 9.
Bài giải : Vì a chia cho 2 dư 1 nên a là số lẻ.
Vì a chia cho 5 dư 1 nên a có tận cùng là 1 hoặc 6.
Do đó a phải có tận cùng là 1.
- Nếu a là số có hai chữ số thì do a chia hết cho 9 nên a = 81, loại vì
81 : 7 = 11 dư 4 (trái với điều kiện của đề bài).
- Nếu a là số có ba chữ số thì để a nhỏ nhất thì chữ số hàng trăm
phải là 1. Khi đó để a chia hết cho 9 thì theo dấu hiệu chia hết cho 9
ta có chữ số hàng chục phi là 7 (để 1 + 7 + 1 = 9 9).
40
Vì 171 : 7 = 24 dư 3 nên a = 171.
Vậy số phải tìm nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện của đề bài là 171.
Bài 69 : Số này nằm trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến 58.
Khi viết "nó" không sử dụng các chữ số 1 ; 2 ; 3. Ngoài ra "nó"
là số lẻ và không chia hết cho các số 3 ; 5 ; 7. Vậy "nó" là số nào
?
Bài giải : Nó là số lẻ nằm trong phạm vi các số tự nhiên từ 1 đến
58, khi viết nó không sử dụng các chữ số 1 ; 2 ; 3 nên nó có thể là :
5 ; 7 ; 9 ; 45 ; 47 ; 49 ; 55 ; 57 ; 59.
Nhưng nó không chia hết cho 3 ; 5 ; 7 nên trong các số trên chỉ có
số 47 là thỏa mãn.
Vậy nó là số 47.
Bài 70 : Bạn Tân thực hiện phép chia một số cho 12 thì dư 1 và
chia số đó cho 14 thì dư 2. Bạn hãy chứng tỏ Tân đã làm sai ít
nhất một phép tính.
Bài giải : A = 12 x p + 1 = 14 x q + 2 (với p ; q là số tự nhiên)
Ta thấy : 12 x p là số chẵn nên A = 12 x p + 1 là số lẻ.
14 x q là số chẵn nên A = 14 x q + 2 là số chẵn.
A không thể vừa lẻ vừa chẵn nên chắc chắn có ít nhất một phép tính
sai.
41