Toán học lớp 5 - Giải bài toán về số và chữ số

Giải bài toán
về số và chữ số như thế nào ?
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trưởng trường Tiểu học Sơn Long, 
Hương Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * *
 Bài toán về số và chữ số viết trong hệ thập phân thường gặp từ cuối cấp tiểu học đến cấp trung học và có tác dụng lớn trong việc rèn luyện tư duy cho học sinh. Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả thiết của từng bài toán và kiến thức của từng lớp.
 Dưới đây xin trình bày một số cách giải đối với các bài toán dạng này.
1. Phương pháp xét chữ số tận cùng
 Ví dụ. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị.
 Giải : Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : = b x 9.
Vì a ≠ 0 nên b ≠ 0. Vì b x 9 có tận cùng là b (khác 0) nên b = 5.
Do đó : = 5 x 9 = 45.
2. Phương pháp sử dụng tính chẵn - lẻ
 Ví dụ . Có một số gồm hai chữ số mà hai lần chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng đơn vị. Tìm số đó.
 Giải : Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5.
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn ; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn.
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do đó giá trị lớn nhất của b x 5 cũng chỉ là 18. Vì thế giá trị lớn nhất của b cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18), mà b là số chẵn nên b = 2 và a x 2 = 2 x 5. 
Suy ra : a = 5. Số cần tìm là 52.
3. Phương pháp thử – chọn
 Ví dụ. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:
 + + = 1
 Giải : Giả sử a < b < c, suy ra < < .
Do đó ta có : + + < + + .
Hay : 1 < x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. Với a = 2 thì + + = 1. Suy ra : + = . Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa : = + < + = x 2. Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta có : + = . Suy ra : c = 6. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.
4. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết
 Ví dụ. Tìm số biết rằng :
 = 
 Giải : Ta có : < 100 và chia hết cho 3. 
Do đó b = 2 ; 5 ; 8.
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra = 2 x 9 = 18.
Vậy = 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra = 2 x 19 = 38. Vậy = 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra = 2 x 29 = 58. Vậy = 588. Vậy có ba số thoả mãn điều kiện bài toán là = 128 ; 358 ; 588.
5. Phương pháp sử dụng chặn trên, chặn dưới
 Ví dụ. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
 + = 
 Giải: Vì + = mà < 1 nên < 1 (vì ≠ 0). Do đó : b < 3. Vì + = nên = - . Nếu b = 0 thì = . Không có giá trị tự nhiên nào của a để có = .
Nếu b = 1 thì = - . Ta tìm được a = 8.
Nếu b = 2 thì = - . Ta tìm được a = 24.
Vậy ta tìm được a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.
6. Phương pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
 Ví dụ. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số đó nhân với 9 thì được một số có bốn chữ số nhưng được viết theo thứ tự ngược lại với số phải tìm.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b, c, d < 10), số viết theo thứ tự ngược lại là . Theo bài ra ta có : 
x 9
Vì tích là số có 4 chữ số ()
nên a = 1 và d = 9. 
Khi đó ta có :
x 9
Khi nhân chữ số hàng trăm của số bị nhân (b) với 9 thì phép nhân này không nhớ sang hàng nghìn (vì nếu có nhớ sang hàng nghìn thì tích sẽ là số có 5 chữ số). Do đó b = 0 hoặc b = 1. 
Nếu b = 0 thì ta có
x 9
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận cùng là 2. Do đó c = 8 để 8 x 9 = 72. Thử : 1089 x 9 = 9801 (đúng với đầu bài). 
Nếu b = 1 thì ta có :
x 9
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có tận cùng là 3. Do đó c = 7 để 7 x 9 = 63.
Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với bài ra vì tích có 5 chữ số.
Vậy số cần tìm là 1089.
7. Phương pháp phối hợp nhiều cách giải
 Ví dụ. Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là 1 và số đó bằng 17 lần tổng các chữ số của nó.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a, b < 10).
Theo bài ra ta có :
(1 + a + b) x 17 = 
17+ a x 17 + b x 17 = (một tổng nhân một số)
a x 17+ b x 17 = - 17(tìm 1 số hạng của tổng)
a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b – 17
a x 7 + b x 16 = 83.
Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7 phải là số lẻ, do đó a phải là số lẻ. Xét các trường hợp của a, ta có :
*) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 – 1 x 7 = 76.
(b = 76 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 – 3 x 7 = 62.
(b = 62 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 – 5 x 7 = 48.
b = 48 : 16 = 3.
Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153. Đúng với yêu cầu.
*) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 – 7 x 7 = 34.
(b = 34 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
*) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 – 9 x 7 = 20.
(b = 20 : 16 đây là phép chia có dư nên loại)
Vậy số phải tìm là 153.
 Để làm quen với các phương pháp trên, các bạn hãy giải các bài toán sau nhé : 
Bài 1. Tìm biết :
 + + + d = 4321
Đáp số : 1983
Bài 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
 - = 
Đáp số : a = 3 và b = 5
Bài 3. Cho phân số có giá trị bằng . Nếu giảm mẫu số đi 12 và giữ nguyên tử số thì được phân số mới có giá trị bằng . Tìm phân số .
Đáp số : 
Bài 4. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất N gồm chín chữ số là N = , biết rằng : chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 ; chia hết cho 4 ; chia hết cho 5 ; chia hết cho 6 ; chia hết cho 7 ; chia hết cho 8 và chia hết cho 9.
Đáp số : 102000564