Toán học lớp 5 - Mối liên hệ giữa hình tròn và hình vuông

MỐI LIấN HỆ 
GIỮA HèNH TRềN VÀ HèNH VUễNG
 Phan Duy Nghĩa
 (P. Hiệu trưởng Trường Tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
 Hỡnh trũn và hỡnh vuụng là hai hỡnh khỏc nhau hoàn toàn, xem qua “chỳng chẳng bà con gỡ với nhau”. Nhưng trong chương trỡnh Toỏn lớp 5 lại cú nhiều bài toỏn về diện tớch hỡnh trũn và diện tớch hỡnh vuụng cú mối liờn hệ “qua lại” lẫn nhau và chỳng là “bà con” với nhau.
 Cỏc bạn khụng tin ư ? Vậy thỡ chỳng ta cựng tỡm hiểu qua cỏc bài toỏn sau nhộ :
Bài toán 1. Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng :
 Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là :
 A. 13,76 cm2 B. 114,24 cm2	
 C. 50,24 cm2 D. 136,96 cm2
(Bài tập 4, trang 101, SGK Toán 5)
A
B
C
D
O
8cm
•
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông và bằng 8cm nên diện tích hình tròn là : 8 x 8 x 3,14 : 4 = 50,24 (cm2). Từ đó ta tìm được diện tích phần đã tô màu của hình vuông là 13,76cm2.
 Nhận xét : ở bài toán 1, khi tính diện tích hình tròn ta đã dùng công thức : 
A
B
C
D
O
•
S = d x d x 3,14 : 4 (d là đường kính hình tròn). Điều đặc biệt d x d chính là diện tích hình vuông ABCD. Như vậy nếu biết diện tích hình vuông thì ta sẽ tính được diện tích của hình tròn. Với hướng khai thác đó, ta phát triển bài toán 1 thành bài toán mới khó hơn chút xíu như sau :
 Bài toán 2. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2. 
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. 
 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2.
 Nhận xét : Vì hình vuông là hình thoi đặc biệt nên ta có thể tính diện tích hình vuông bằng cách lấy tích độ dài hai đường chéo chia cho 2. Từ đó ta phát triển bài toán 1 thành bài toán mới như sau : 
Bài toán 3. Hình bên có ABCD là hình vuông và có đường chéo AC bằng 8 cm.
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. 
 Giải : Vì hình vuông là hình thoi đặc biệt nên diện tích hình vuông ABCD là : 8 x 8 : 2 = 32(cm2).
A
B
C
D
O
Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 32 x 3,14 : 4 = 25,12 (cm2). 
Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 32 – 25,12 = 6,88 (cm2).
 Nhận xét : Nếu ta chia hình tròn thành các phần bằng nhau và để tính diện tích các phần này ta phải ghép chúng lại để được một hình tròn thì từ bài toán 1, ta phát triển thành các bài toán mới sau :
 Bài toán 4. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hai nửa hình tròn.
 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích của hai nửa hình tròn là : BC x BC x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2.
 Bài toán 5. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2. Tính diện tích phần tô màu.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích bốn nửa hình tròn. 
 Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hai nửa hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2).
A
B
C
D
Diện tích phần đã tô màu là : 15,7 x 2 = 31,4 (cm2).
 Bài toán 6. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích bốn hình (1), (2), (3) và (4).
(4)
(3)
(2)
(1)
 Giải : Ghép bốn hình (1), (2), (3) và (4) lại với nhau ta được hình tròn có đường kính là cạnh hình vuông ABCD. Diện tích hình tròn đó là : 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần đã tô màu là 20 – 15,7 = 4,3 (cm2).
 Nhận xét : Kết hợp bài toán 2 và bài toán 6 cho ta bài toán thú vị sau :
Bài toán 7. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần tô màu.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4) và (5).
 Giải : Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là :
20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2).
Diện tích hình (5) là : 20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 20 – (4,3 + 4,3) = 11,4 (cm2).
 Nhận xét : Từ bài toán 7, ta phát triển thành các bài toán mới khó hơn như sau :
 Bài toán 8. Cho ABCD là hình vuông có cạnh là 10cm. Tính diện tích hình “chiếc lá” (phần tô màu) có trong hình vuông. Biết hình “chiếc lá” tạo bởi một phần tư hình tròn tâm A, bán kính AB và một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB.
 Phân tích : Diện tích hình “chiếc lá” bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình (1) và (2).
 Giải : Diện tích một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2).
Diện tích hình (1) là : 10 x 10 – 78,5 = 21,5 (cm2).
Tương tự ta tính được diện tích hình (2) là 21,5 (cm2).
Diện tích hình “chiếc lá” là : 10 x 10 – (21,5 + 21,5) = 57 (cm2).
 Bài toán 9. Trong hình bên, hình vuông có cạnh dài 14cm. Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán kính 7cm với tâm là trung điểm của cạnh đó. Tìm diện tích miền được tô trên hình đó. 
(Đề thi Olympic toán Đông Nam á, năm 2003)
 Phân tích : Diện tích miền được tô màu bằng diện tích 
hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4). Theo bài toán 4, ta có :
Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2).
Diện tích miền được tô màu là : 14 x 14 – (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm2).
 Bài toán 10. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 20 cm2.
Tính diện tích phần tô màu của hình vuông ABCD.
 Phân tích : Nếu lấy diện tích hình vuông ABCD trừ đi 2 phần mỗi phần là diện tích hình tròn lấy B và D làm tâm và có đường kính bằng đường chéo của hình vuông 
ABCD thì ta được diện tích hai phần tô màu (1) và (2). Nếu lấy diện tích hình vuông ABCD trừ đi 2 phần mỗi phần là diện tích hình tròn lấy A và C làm tâm và có đường kính bằng đường chéo của hình vuông ABCD thì ta được diện tích hai phần tô màu (3) và (4).
 Giải : Vì hình vuông là hình thoi đặc biệt nên tích độ dài hai đường chéo của hình vuông ABCD là : 20 x 2 = 40 (cm2). 
Diện tích 2 lần hình tròn lấy B và D làm tâm là : (40 x 3,14 : 4) : 2 = 15,7(cm2). 
Diện tích phần gạch sọc là : (20 – 15,7) x 2 = 8,6(cm2).
 Bài toán 11. Tính diện tích phần tô màu ở hình bên. Biết rằng cạnh AB của hình vuông ABCD là 3cm.
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình tròn có đường kính bằng đường chéo của hình vuông trừ đi diện tích hình vuông.
 Giải : Diện tích hình vuông ABCD là :
3 x 3 = 9 (cm2).
Vì hình vuông là hình thoi đặc biệt nên tích độ dài hai 
đường chéo của hình vuông là : 9 x 2 = 18 (cm2).
Diện tích hình tròn là : 18 x 3,14 : 4 = 14,13 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 14,13 – 9 = 5,13 (cm2).
 Bài toán 12. Cho hình vuông ABCD và hai hình tròn như hình vẽ bên. Tìm chu vi hình vuông biết tổng diện tích hai hình tròn là 37,68cm2.
(Thi tuyển sinh vào lớp 6, Trường Amsterdam – Hà Nội, năm 1997)
 Giải : Gọi R là bán kính hình tròn lớn, r là bán kính hình tròn nhỏ. Ta có : 
 - R x R = OA x OB = 2 x SOAB = SABCD.
M
N
 - r x r = OM x ON = SOMBN = SABCD. Vậy : R x R = 2 x (r x r). Suy ra diện tích hình tròn lớn gấp đôi diện tích hình tròn nhỏ. 
Diện tích hình tròn nhỏ là : 37,68 : (2 + 1) = 12,56 (cm2).
Do đó đối với bán kính r của hình tròn nhỏ ta có : r x r = 12,56 : 3,14 = 4 ((cm2).
Vì 2 x 2 = 4 nên r = 2 cm. Cạnh hình vuông gấp đôi bán kính hình tròn nhỏ, do đó cạnh hình vuông là : 2 x 2 = 4 (cm). Chu vi hình vuông là : 4 x 4 = 16 (cm).
 Bài toán 13. Nếu AB = BC và diện tích của P là 3 cm2 (như được chỉ ra ở hình vẽ bên) thì diện tích phần tô màu là bao nhiêu xen – ti mét vuông ?
 Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện 
tích hình tròn tâm A bán kính AC trừ đi diện tích hình P.
 Giải : diện tích hình tròn tâm A bán kính AC là :
AC x AC x 3,14 : 4 = (2 x AB) x (2 x AB) x 3,14 : 4 = 4 x AB x AB x 3,14 : 4 
 = AB x AB x 3,14 = 4 x P = 4 x 3 = 12 (cm2). 
Diện tích phần tô màu là : 12 – 3 = 9 (cm2).
 Bài toán 14. Hình (I), (II) và (III) là ba nửa hình tròn bán kính khác nhau. Biết rằng tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 và diện tích của hình (III) là 24cm2. Tìm tổng diện tích của hình (I) và (II).
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
 Phân tích : Tỉ lệ các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5 có nghĩa là nếu ta xem độ dài đường kính của hình (I) là 3 phần bằng nhau thì độ dài đường kính của hình (II) và hình (III) lần lượt là 4 phần và 5 phần như thế. Vì vậy nếu ta coi độ dài đường kính của
(I)
(II)
(III)
hình (III) là d thì độ dài đường kính của hình (I) và (II) lần lượt là x d và x d. 
 Giải : Diện tích hình (I) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (II) là : (x d) x (x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2).
Diện tích hình (III) là : d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2).
Tổng diện tích của hình (I) và (II) là : 
x d x d x 3,14 : 8 + x d x d x 3,14 : 8 = d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2).
 Bài toán 15. Trong các hình dưới đây, diện tích của mỗi hình vuông lớn là 1cm2. Diện tích của hình vuông nhỏ hơn trong hình thứ hai bằng diện tích hình vuông lớn hơn. Diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong hình thứ ba bằng diện tích hình vuông lớn thứ hai, cứ tiếp tục như vậy. Hãy tìm diện tích của hình tròn được tô đậm trong hình vuông thứ năm.
(Thi toán quốc tế Tiểu học – In-đô-nê-xi-a, năm 2004)
 Giải : Theo bài toán 2 ta có : 
Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ nhất là : 1 x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ hai là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ ba là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ tư là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2). Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình năm là : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2).
 Bài toán 16. Tính tổng diện tích hai hình trăng khuyết (phần tô màu) ở hình bên. Biết cạnh AC dài 3cm, cạnh AB dài 4cm và cạnh BC dài 5cm. Tam giác ABC có góc A là góc vuông.
 Phân tích : Tổng diện tích hai hình trăng khuyết bằng
tổng diện tích tam giác ABC, diện tích hình tròn đường kính AB, diện tích hình tròn đường kính AC trừ đi diện tích hình tròn đường kính CB.
 Giải : Diện tích hình tròn đường kính CB là : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là : 3 x 4 : 2 = 6 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AB là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm2).
Diện tích hình tròn đường kính AC là : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2).
Tổng diện tích hai hình trăng khuyết là : (6 + 6,28 + 3,5325) – 9,8125 = 6 (cm2).
 Bài toán 17. Trong hình vẽ bên, AC là đường kính của đường tròn tâm O. Tam giác ACB là tam giác cân (AC = CB) có góc C là góc vuông. D là điểm trên AB. Cung CD là một phần của đường tròn tâm B. Biết AC = 10cm. Hãy tìm diện tích phần tô màu.
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
 Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
tròn đường kính AC trừ đi diện tích phần trắng nằm trong hình tròn. Diện tích phần trắng nằm trong hình tròn bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích cung CD.
 Giải : Diện tích hình tròn đường kính AC là : 10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2).
Diện tích tam giác ABC là : 10 x 10 : 2 = 50 (cm2).
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại góc C nên diện tích cung CD bằng diện tích hình tròn tâm B bán kính BC và bằng : 10 x 10 x 3,14 : 8 = 39,25 (cm2).
Diện tích phần trắng nằm trong hình tròn là : 50 – 39,25 = 10,75 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 78,5 – 10,75 = 67,75 (cm2).
 Bài toán 18. Trong hình vẽ, các hình vuông ABCD và DCEG đều cùng có diện tích là 64cm2. EFG là nửa hình tròn. F là điểm giữa của cung EFG. Hãy tìm diện tích phần tô màu.
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
 Phân tích : Nối B với F ta có :
Diện tích phần tô màu bằng tổng diện tích hai hình vuông ABCD, DCEG và nửa hình tròn EGF trừ đi diện tích phần trắng còn lại. Vì F là điểm giữa của cung EFG nên diện tích phần trắng còn lại bằng diện tích tam giác AFB cộng với diện tích phần tô màu.
 Giải : Vì 8 x 8 = 64 nên cạnh hình vuông là 8cm.
Diện tích nửa hình tròn EFG là : 8 x 8 x 3,14 : 4 : 2 = 25,12 (cm2).
Diện tích tam giác AFB là : (8 + 8 + 4) x 8 : 2 = 80 (cm2).
Diện tích hai hình vuông ABCD, DCEG và nửa hình tròn EFG là :
64 + 64 + 25,12 = 153,12 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : (153,12 – 80) : 2 = 36,56 (cm2).
Bài toán 19. Hình bên cho ta thấy 4 hình vuông cạnh 10cm. Hình tô đậm giới hạn bởi các đường tròn.
Tính diện tích phần tô màu.
(Đề thi Olympic toán Singapore, năm 1997)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình
3
1
2
hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn trừ đi diện tích các hình (1), (2) và (3). Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích hình (2) và hình (3) bằng diện tích hình (1) và bằng diện tích hình vuông cạnh 10cm.
 Giải : Cạnh hình vuông lớn là : 10 + 10 = 20 (cm)
Diện tích hình hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn là :
20 x 20 x 3,14 : 4 = 314 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2) và (3) là : 10 x 10 x 2 = 200 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 314 – 200 = 114 (cm2).
 Bài toán 20. Giả sử OB và OA là các đường kính của các nửa hình tròn và OA = OB = 3cm. Góc BOA là góc vuông. A và B là hai điểm trên đường tròn bán kính OA.
Tính diện tích phần tô màu, đơn vị cm2.
 (Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng hai lần diện tích một nửa hình tròn đường kính OA trừ đi diện tích hình 
C
1
2
(1) và (2). Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình (1) và (2) bằng diện tích một nửa hình tròn đường kính OB trừ đi diện tích tam giác BOC.
 Giải : Diện tích một nửa hình tròn đường kính OA (hoặc OB) là :
3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2).
Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tam giác BOC bằng một nửa diện tích hình vuông có đường chéo là cạnh BO. Vì hình vuông là hình thoi đặc biệt nên ta có :
Diện tích tam giác BOC là : 3 x 3 : 2 : 2 = 2,25 (cm2).
Diện tích hình (1) và (2) là : 3,5325 – 2,25 = 1,2825 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : (3,5325 – 1,2825) x 2 = 4,5 (cm2).
 Bài toán 21. Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện tích là 64 cm2.
Tính diện tích phần tô màu.
 Phân tích : Ta thấy đường kính hình tròn lớn gấp 2 lần đường kính mỗi hình tròn nhỏ. Do vậy diện tích hình tròn lớn gấp 4 lần diện tích hình tròn nhỏ (2 x 2 = 4).
Như vậy, diện tích 4 hình tròn nhỏ có khả năng phủ kín diện tích hình tròn lớn. Nhưng thực tế ở hình vẽ, chúng 
không phủ kín hình tròn lớn mà để thừa lại phần diện tích 4 hình (1, 3, 5, 7). Đồng thời lại phủ lên phần diện tích cánh hoa thị 2 lần. Từ đó suy ra diện tích 4 hình (1), (3), (5) và (7) bằng diện tích 4 cánh hoa (2), (4), (6) và (8).
 Giải : Vì 64 = 8 x 8 nên cạnh hình vuông lớn là 8 cm, suy ra cạnh hình vuông bé là 4cm. Theo cách tính bài toán 20, ta có :
Diện tích hình (2) là : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 – 4 x 4 : 2 : 2 = 2,28 (cm2).
Diện tích hình (1) và (2) là : 2,28 x 2 = 4,56 (cm2).
Diện tích phần tô màu là : 4,56 x 4 = 18,24 (cm2).
 Bài toán 22. Hình mẫu bên được tạo bằng cách vẽ các nửa hình tròn bên trong các hình vuông. Bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm. 
 Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuông ?
(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)
Phân tích : Tổng diện tích phần tô màu chính là tổng diện tích các hình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12). Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích các
hình (5) và (6) ; (7) và (8) ; (9) và (10) ; (11) và (12) đều bằng nhau và đều bằng diện tích một nửa hình tròn có bán kính là 2cm. Suy ra tổng diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) bằng hai lần diện tích hình tròn có bán kính là 2cm.
 Giải : Vì bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm nên cạnh hình vuông lớn là 4 x 2 = 8 (cm). 
Diện tích hình vuông lớn là : 8 x 8 = 64 (cm2).
Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4cm là : 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2).
Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là : 64 – 50,24 = 13,76 (cm2).
Diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) là :
2 x (2 x 2 x 3,14) = 25,12 (cm2).
Tổng diện tích phần tô màu là : 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2).
 • ở bài toán 1, nếu biết diện tích hình vuông ta sẽ tính được diện tích phần tô màu của hình vuông. Vậy nếu biết diện tích phần tô màu của hình vuông ta có tính được diện tích hình vuông không ? Câu hỏi đó đã giúp ta có thêm một bài toán nữa “ngược” với bài toán 1 như sau :
 Bài toán 23. Một cái ao hình tròn nay được mở rộng thành cái ao mới hình vuông (như hình vẽ bên). Biết diện tích phần tăng thêm của ao là 13,76 cm2 .
Tính diện tích cái ao hình vuông ABCD.
 Giải : Gọi d là đường kính của hình tròn ta có : 
 Diện tích hình tròn là : 
 x d x d x 3,14 (cm2).
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh hình vuông ABCD. Suy ra diện tích hình vuông ABCD là : d x d (cm2).
Diện tích phần tăng thêm của ao bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn. Do đó, ta có : d x d - x d x d x 3,14 = 13,76 (cm2).
Hay : 4 x d x d - d x d x 3,14 = 4 x 13,76 (cm2).
Suy ra : d x d = 55,04 : 0,86 = 64 (cm2).
Vậy diện tích cái ao hình vuông ABCD là 64 cm2.
 * Thay cho lời kết : Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào ?”, Polya G cho rằng : “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Vì vậy, trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán, việc tìm hiểu xuất xứ của chúng sẽ giúp chúng ta nảy sinh ra những “ý chói lọi”, đôi lúc còn tìm được đúng chìa khoá để giải các bài toán đó. Đặc biệt, nếu phát hiện ra bài toán cần giải có nguồn gốc từ một bài toán trong sách giáo khoa, thì tình huống càng trở nên thú vị hơn.
 Việc học tập các kiến thức trong sách giáo khoa nói chung và giải các bài tập trong các sách ấy là hết sức cần thiết, vì chúng chính là những con suối nhỏ, giúp chúng ta tạo ra những con sông lớn, con sông sáng tạo trong học tập bây giờ và phát minh, nghiên cứu khoa học sau này.
Chúc các bạn thành công !
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
 Phan Duy Nghĩa
 (P. Hiệu trưởng Trường Tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh)