Toán học lớp 5 - Suy nghĩ trên mỗi bài toán

Suy nghĩ trên mỗi bài toán
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trưởng trường Tiểu học Sơn Long,
Hương Sơn, Hà Tĩnh)
********************************************
Các bạn yêu toán thân mến! Trong học toán nếu chúng ta giải toán mà chỉ cốt tìm ra đáp số và dừng lại ở đó thì chưa thật hiệu quả. Còn sau khi tìm được đáp số bài toán rồi chúng ta lại tiếp tục suy nghĩ trên mỗi bài toán đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm những ý mới của bài toán thì đó là con đường tốt để đi lên trong học toán.
Dưới đây là một thí dụ :
Bài toán 1. Cho tam giác ABC. I là một điểm ở trong tam giác. Từ I lần lượt kẻ các đường song song với các cạnh BC, AB, AC chúng lần lượt cắt các cạnh BA, AC, BC tại các điểm E, F, K. Nối CE, BF, AK, chúng cắt nhau tại các điểm M, N, P (như hình vẽ bên).
Hãy chứng tỏ rằng : SMNP = SNEB + SMAF + SPCK
Bài giải . Nối CI. Tứ giác IEBC là hình thang vì IE song song với BC (theo đề bài). Nối IB ta có :
SIBC = SEBC vì chúng chung đáy BC và chiều cao hạ từ I và E xuống đáy BC là chiều cao của hình thang IEBC. Nối IA. Vì IF song song AB nên tứ giác IFAB là hình thang nên SIAB = SFAB. Vì IK song song AC nên tứ giác IKCA là hình thang. Do đó : SKAC = SIAC. Vậy ta có :
SIBC + SIAB + SIAC = SEBC + SFAB + SKAC. Hay SEBC + SFAB + SKAC = SABC. Điều này có nghĩa là diện tích ba tam giác EBC, FAB, KAC có thể phủ kín tam giác ABC, nhưng theo hình vẽ chúng đã không phủ lên tam giác MNP mà lại phủ hai lần các tam giác PCK, NBE, MAF. Chứng tỏ rằng : SMNP = SNEB + SMAF + SPCK.
* Thay hình tam giác ABC bởi hình chữ nhật ABCD thì ta có bài toán mới khó hơn chút xíu như sau :
Bài toán 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Từ điểm I trong hình chữ nhật kẻ các đường song song với các cạnh AB, BC. Chúng lần lượt cắt các cạnh CB, BA, AD, DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối DM, CN, BP và AQ chúng cắt nhau tại các điểm E, G, H, K (như hình vẽ bên). Hãy chứng tỏ rằng : 
 SECM + SGNB + SHAP + SKQD = SEGHK.
Tóm tắt bài giải. Nối IA, IB, IC và ID ta có : Tứ giác IPAB là hình thang vì IP song song với AB (theo đề ra) nên SIAB = SPAB (1) vì chúng chung đáy AB và chiều cao hạ từ I và P xuống đáy ABC là chiều cao của hình thang IPAB. Tương tự ta có : SIAD = SQAD (2) ; SIDC = SMDC (3) ; SIBC = SNBC (4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có : SIAB + SIAD + SIDC + SIBC = SPAB + SQAD + SMDC + SNBC.
Hay SPAB + SQAD + SMDC + SNBC = SABCD. Điều này có nghĩa là diện tích bốn tam giác PAB, QAD, MDC, NBC có thể phủ kín hình chữ nhật ABCD, nhưng theo hình vẽ chúng đã không phủ lên tứ giác EGHK mà lại phủ hai lần các tam giác ECM, GNB, HAP và KQD. Chứng tỏ rằng : SECM + SGNB + SHAP + SKQD = SEGHK.
* Trong quá trình giải bài toán 2, chúng ta không sử dụng đến yếu tố vuông góc của hình chữ nhật. Vậy nếu ta thay hình chữ nhật ABCD bởi hình thang ABCD thì kết quả trên còn đúng nữa không ? Suy nghĩ đó cho ta bài toán mới sau :
Bài toán 3. Cho hình thang ABCD. Từ điểm I trong hình thang kẻ các đường song song với các cạnh AB, BC và AD. Chúng lần lượt cắt các cạnh CB, BA, AD, DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối DM, CN, BP và AQ chúng cắt nhau tại các điểm E, G, H, K (như hình vẽ bên). Hãy chứng tỏ rằng : 
 SECM + SGNB + SHAP + SKQD = SEGHK.
Cách giải bài toán này tương tự cách giải bài toán 2, các bạn tự giải nhé.
* Như vậy khi ta thay hình chữ nhật ABCD bởi hình thang ABCD thì kết quả bài toán không thay đổi. Điều đó giúp ta nghĩ đến bài toán tổng quát sau:
Bài toán 4. Cho tứ giác ABCD. Từ điểm I trong hình tứ giác kẻ các đường song song với các cạnh AB, BC, DC và AD. Chúng lần lượt cắt các cạnh CB, BA, AD, DC tại các điểm M, N, P, Q. Nối DM, CN, BP và AQ chúng cắt nhau tại các điểm E, G, H, K (như hình vẽ bên). 
Hãy chứng tỏ rằng : 
 SECM + SGNB + SHAP + SKQD = SEGHK.
Tóm tắt cách giải. Nối IA, IB, IC và ID ta có : Tứ giác IPAB là hình thang vì IP song song với AB (theo đề ra) nên SIAB = SPAB (1) vì chúng chung đáy AB và chiều cao hạ từ I và P xuống đáy AB là chiều cao của hình thang IPAB. 
Tương tự ta có : SIAD = SQAD (2) ; SIDC = SMDC (3) ; SIBC = SNBC (4).
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có :
SIAB + SIAD + SIDC + SIBC = SPAB + SQAD + SMDC + SNBC.
Hay SPAB + SQAD + SMDC + SNBC = SABCD. Điều này có nghĩa là diện tích bốn tam giác PAB, QAD, MDC, NBC có thể phủ hình tứ giác ABCD, nhưng theo hình vẽ chúng đã không phủ lên tứ giác EGHK mà lại phủ hai lần các tam giác ECM, GNB, HAP và KQD. Chứng tỏ rằng : SECM + SGNB + SHAP + SKQD = SEGHK.
 Với cách học toán như thế này thật là thú vị phải không các bạn. Hi vọng rằng qua bài viết này các bạn sẽ có được cách học toán thật hiệu quả. Chúc các bạn thành công ! 
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trưởng trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)