Tổng hợp kiến thức môn Toán học

Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
HỆ TỌA ĐỘ. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM:
Hệ tọa độ: Hai trục tọa độ x’Ox và y’Oy vuông góc nhau tạo nên hệ trục tọa độ Đêcac Oxy: O là gốc tọa độ; x’Ox là trục hoành và y’Oy là trục tung.Trong đó: = (1; 0) và = (0;1) là các vectơ đơn vị trên các trục.Ta có:½½=½½=1 và.=0.
Tọa độ của vectơ := (x ; y) Û = x.+ y..
Tọa độ của điểm := (x ; y) Û M(x ; y) 	
x: hoành độ và y: tung độ của điểm M
Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxy cho A(xA; yA), B(xB; yB) và các vectơ =(a1; a2) và = (b1 ; b2). Ta có:
± = ( a1 ± b1; a2 ± b2).
= (ka1 ; ka2) (k là số thực).
Tích vô hướng: .= a1 b1 + a2 b2.
	Hệ quả:
 = .
^ Û a1 b1 + a2 b2 = 0.
=Û 
,cùng phương Û
Tọa độ của vectơ:=(xB-xA;yB-yA).
Khoảng cách:
Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k¹1) Û = k.. Khi đó tọa độ của M tính bởi: và 
M là trung điểm AB ta có: và 
Kiến thức về tam giác: Cho A(xA;yA),B(xB; yB) và C(xC; yC). 
Trọng tâm của tam giác (giao các đường trung tuyến):
G là trọng tâm D ABC: ; 
Trực tâm của tam giác (giao các đường cao):
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ( giao của các trung trực):
I(a;b) là tâm của (ABC) Û AI = BI = CI = R (bán kính của (ABC)).Giải hệ AI2=BI2 và BI2=CI2 Þ Tọa độ của I.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác (giao các phân giác trong của các góc của tam giác):
Tâm K của đường tròn nội tiếp D ABC tìm được khi thực hiện hai lần công thức điểm chia đoạn theo tỉ số k: 
Vì nên D chia BC theo tỉ số k1 ÞTọa độ của D.
Vì nên K chia AD theo tỉ số k2 Þ Tọa độ của K
Diện tích tam giác:
S===
S===
S== pr =
 S==, 
trong đó: det(,) ==a1b2-a2b1 
 với =(a1; a2) và = (b1 ; b2)
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Định nghĩa: Cho các vectơ và khác vectơ .
 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng D khi nằm trên 1 đường thẳng song song hoặc trùng với D. Mọi vectơ chỉ phương của D đều có dạng k. ( k ¹ 0).
 là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng D khi nằm trên 1 đường thẳng vuông góc với D. Mọi vectơ pháp tuyến của D đều có dạng k. ( k ¹ 0).
Một đường thẳng D hoàn toàn xác định khi biết M0ÎD và 1 vectơ chỉ phương hoặc 1 vectơ pháp tuyến của D. 
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Định lý: Phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng: 
 	 Ax+By+C = 0 với A2+B2 ¹ 0
 Chú ý: D có vectơ pháp tuyến = (A;B) và có vectơ chỉ phương = (B; -A) hoặc = (- B; A)
b) Hệ quả: Phương trình đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ pháp tuyến = (A;B) là: 
	A(x-x0) + B(y-y0) = 0 với A2+B2 ¹ 0
3) Phương trình tham số - chính tắc của đường thẳng:
Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương =(a; b) là:	 với a2+b2 ¹ 0, tÎR
Phương trình chính tắc của đường thẳng: Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua M0(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương =(a; b) là: (a2+b2 ¹ 0)
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG 
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG:
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng D1:A1x+B1y+C1 = 0 (1) và D2:A2x+B2y+C2=0 (2) (¹0 và ¹ 0). Giải hệ gồm (1) và (2) ta có kết quả sau:
Hệ có duy nhất nghiệm ÛA1B2-A2B1¹0ÛD1và D2 cắt nhau.
Hệ vô nghiệm ÛA1B2-A2B1=0 và B1C2-B2C1¹0Û D1 // D2.
Hệ có vô số nghiệm 
ÛA1B2-A2B1=B1C2 -B2C1=C1A2-C2A1= 0Û D1º D2.
2) Chùm đường thẳng : Hai hoặc nhiều đường thẳng cùng đi qua một điểm I, tạo nên chùm đường thẳng có tâm I. Nếu D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2=0 cắt nhau tại I 
(A1B2 ¹A2B1) thì phương trình của chùm đường thẳng tâm I là: 
m(A1x+B1y+C1 )+ n(A2x+B2y+C2) = 0 (với m2+n2 ¹ 0).
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG:
1.Góc giữa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng D1:A1x+B1y+C1=0 và D2:A2x+B2y+C2 =0. Nếu gọi j (00 £ j £ 900) là góc giữa D1 và D2 thì: 
Hệ quả: D1 ^ D2 Û A1A2 + B1B2 = 0
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Công thức: Khoảng cách từ M(x0;y0) đến D:Ax+By+C=0 là: 
 (A2+B2¹0)
b) Hệ quả: Nếu D1 : A1x+B1y+C1=0 và D2 : A2x+B2y+C2 = 0 cắt nhau tại I (A1B2 ¹A2B1) thì phương trình các phân giác tạo bởi (D1) và (D2) là: 
ĐƯỜNG TRÒN:
1.Phương trình của đường tròn: 
Phương trình đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có dạng:
	(x-a)2+(y-b)2=R2
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R : 
 x2+y2 = R2
Phương trình x2+y2+2Ax+2By+C = 0 với A2+B2-C>0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(-A;-B) và bán kính R=.
2.Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: 
Cho (C) : F(x,y) = x2+y2+2Ax+2By+C = 0. Phương tích của một điểm M(x0 ; y0) đối với (C) là:
P M/(C)= F(x0,y0) =
3.Trục đẳng phương của hai đường tròn khác tâm: 
Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với 2 đường tròn khác tâm (C1) và (C2) là một đường thẳng d vuông góc với đường thẳng nối 2 tâm I1 và I2 của (C1) và (C2) và gọi là trục đẳng phương của (C1) và (C2).
Cho hai đường tròn: (C1):F1(x,y)=x2+y2+2A1x+2B1y+C1=0 và (C2):F2(x,y)=x2+y2+2A2x+2B2y+C2=0 khác tâm, phương trình của trục đẳng phương của (C1) và(C2) là:
F1(x,y)= F2(x,y)Û 2(A1- A2)x+2(B1- B2)y+C1- C2 = 0
4. Tiếp tuyến của 1 đường tròn : 
Cho (C):F(x;y)=(x-a)2+(y-b)2-R2=0 và điểm M(x0;y0), để viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M ta tìm phương tích của M đối với (C):
Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong (C), qua M không kẻ được tiếp tuyến nào với (C).
Nếu P M/(C) = 0 thì M thuộc (C), qua M kẻ được một tiếp tuyến với (C) và tiếp tuyến này đi qua M có vectơ pháp tuyến
 = (x0-a; y0-b).
Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài (C), qua M ta kẻ được 2 tiếp tuyến với (C), phương trình các tiếp tuyến này thực hiện như sau:
 Gọi D là đường thẳng qua M và có vectơ pháp tuyến =(A;B)ÞD: A(x-x0)+B(y-y0) = 0 (1) với A2+B2 ¹0.
D tiếp xúc (C)Û d(I,D)==R 
với C=-(Ax0+By0). Bình phương 2 vế, chọn hai cặp A, B thỏa phương trình này và thay vào (1) để có hai phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.
ElÍP:
1)Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1+MF2=2a (2a không đổi và a> c> 0) là một đường elíp. 
F1,F2: cố định là hai tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự của elíp.
MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu.
2) Phương trình chính tắc của elíp: với b2 = a2 - c2.
3) Tính chất và hình dạng của elíp::
(a> b > 0)
Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn); Oy (chứa trục bé).Tâm đối xứng O.
Đỉnh: A1(-a;0), A2(a;0), B1(0;-b) và B2(0; b). Độ dài trục lớn là 2a và độ dài trục bé là 2b.
Tiêu điểm: F1(-c; 0), F2( c; 0).
Nội tiếp trong hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a và 2b với 
 b2 = a2 - c2.
Tâm sai: < 1
Hai đường chuẩn: x=
M(x;y)Î(E): MF1 = a+ ex và MF2 = a-ex
4) Tiếp tuyến của elíp (E): :
Tại M0(x0;y0)Î(E) có phương trình:
Đi qua M(x1; y1) là D:A(x-x1)+B(y-y1)=0 với điều kiện: 
D tiếp xúc (E)ÛA2a2+B2b2 =C2 A2+B2 ¹0,C=-(Ax1+By1)¹0
HYPEBOL:
1.Định nghĩa : Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho ½MF1-MF2½=2a (2a không đổi và c > a> 0) là một Hypebol.
F1, F2 : cố định là 2 tiêu điểm và F1F2=2c là tiêu cự.
MF1, MF2: là các bán kính qua tiêu.
2.Phương trình chính tắc của hypebol: b2 = c2 - a2.
 3) Tính chất và hình dạng của hypebol (H): 
Trục đối xứng Ox (trục thực) Oy (trục ảo). Tâm đối xứng O.
Đỉnh:A1(-a;0),A2(a;0).Độ dài trục thực:2a và độ dài trục ảo:2b.
Tiêu điểm F1(-c; 0), F2( c; 0). 
Hai tiệm cận: y= ±x
Hình chữ nhật cơ sở PQRS có kích thước 2a, 2b với b2= c2 - a2.
Tâm sai: > 1
Hai đường chuẩn: x=
Độ dài các bán kính qua tiêu của M(x;y)Î(H): 
	* MF1= ex + a và MF2= ex-a khi x > 0. 
	* MF1= -ex-a và MF2=-ex+ a khi x < 0.
4) Tiếp tuyến của hypebol (H): 
Tại M0(x0; y0) Î(H) có phương trình:
Đi qua M(x1; y1) là D: A(x-x1)+B(y-y1) = 0 với điều kiện: 
D tiếp xúc (H) Û A2a2 - B2b2 = C2 A2+B2¹0,C=-(Ax1+By1)¹0
PARABOL:
Định nghĩa: 
Parabol là tập hợp các điểm M của mặt phẳng cách đều 1 đường thẳng D cố định và 1 điểm F cố định không thuộc D.
D: đường chuẩn; F: tiêu điểm và d(F, D) = p > 0 là tham số tiêu.
Phương trình chính tắc của Parabol:
Hình dạng của Parabol (P) : 
Trục Ox, đỉnh O.Tiêu điểm F(; 0).
Đường chuẩn D: x = - .
M(x;y)Î(P): MF = x+với x ³ 0
Tiếp tuyến của parabol (P): y2=2px:
Tại M0(x0; y0) Î(P):y2=2px có phương trình: y0y = p(x0+x) 
Đi qua M(x1; y1) là D: A(x-x1)+B(y-y1) = 0 với điều kiện:
	 D tiếp xúc (P) Û pB2 = 2AC A2+B2 ¹0 và C=-(Ax1+By1)¹0