Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải toán vui và toán cổ tại tiểu học

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC
Phương pháp tính ngược từ cuối được dùng để giải nhiều bài toán vui và toán cổ ở tiểu học. Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải một cách ngắn gọn, chặt chẽ và tường minh. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 
Giải: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: 
Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là: 
Số cam viên quan phải hái trong vườn là: 
Vậy để có được một quả cam mang về thì viên quan phải hái 15 quả trong vườn. 
Đáp số: 15 quả cam 
Ví dụ 2: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? 
Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số cây bèo trên mặt hồ: 
Nhìn vào bảng trên ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 cây bèo thì 6 ngày sau bèo sẽ lan phủ kín mặt hồ. 
Các bạn thử giải bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối. 
Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt của ông có bao nhiêu con?”. Ông lão trả lời: 
- Một nửa số vịt của tôi thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở dưới sông. 
- Ba phần tư số vịt còn lại thêm một phần tư con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ. 
- Bốn phần năm số vịt còn lại thêm một phần năm con nữa đang nằm nghỉ ở trên bờ. 
- Cuối cùng còn hai đôi vịt què tôi đang nhốt ở trong lồng kia! 
Hỏi đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con? 
Bài 1 : Bạn Toàn nhân một số với 2002 nhưng “đãng trí” quên viết 2 chữ số 0 của số 2002 nên kết quả “bị” giảm đi 3965940 đơn vị. Toàn đã định nhân số nào với 2002 ? 
Bài 2 : Người ta cộng 5 số và chia cho 5 thì được 138. Nếu xếp các số theo thứ tự lớn dần thì cộng 3 số đầu tiên và chia cho 3 sẽ được 127, cộng 3 số cuối và chia cho 3 sẽ được 148. Bạn có biết số đứng giữa theo thứ tự trên là số nào không ? 
Bài 3 : Cho bảng ô vuông gồm 10 dòng và 10 cột. Hai bạn Tín và Nhi tô màu các ô, mỗi ô một màu trong 3 màu : xanh, đỏ, tím. Bạn Tín bảo : “Lần nào tô xong hết các ô cũng có 2 dòng mà trên 2 dòng đó có một màu tô số ô dòng này bằng tô số ô dòng kia”. Bạn Nhi bảo : “Tớ phát hiện ra bao giờ cũng có 2 cột được tô như thế”. 
Nào, bạn hãy cho biết ai đúng, ai sai ? 
Bài 4 : Bạn hãy điền đủ các số từ 1 đến 14 vào các ô vuông sao cho tổng 4 số ở mỗi hàng ngang hay tổng 5 số ở mỗi cột dọc đều là 30. 
Bài 5 : Biết rằng : 
Tính tổng các chữ số của A. 
Bài 1: Căn phòng có 4 bức tường, trên mỗi bức tường treo 3 lá cờ mà khoảng cách giữa 3 lá cờ trên một bức tường là như nhau. Bạn có biết căn phòng treo mấy lá cờ không?
Bài giải: Để đơn giản, ta sẽ treo tất cả các lá cờ ở độ cao ngang nhau trên cả 4 bức tường. Khi đó cách treo cờ sẽ giống như bài toán trồng cây. Ta có 5 cách trồng ứng với số lá cờ là 8, 9, 10, 11, 12 lá cờ như sau (coi mỗi lá cờ là một điểm chấm tròn): 
Nếu các lá cờ được treo ở độ cao khác nhau trên mỗi bức tường thì vị trí 3 lá cờ trên một bức tường sẽ tạo thành 3 đỉnh của một hình tam giác đều. Khi đó ta sẽ có các cách treo khác ứng với số lá cờ là 6,] 7, 8, 9, 10, 11, 12 lá cờ. Xin nêu ra 2 cách treo ứng với số lá cờ là 6 lá và 7 lá như sau: 
Vậy số lá cờ trong căn phòng có thể từ 6 đến 12 lá cờ. 
Bài 2: Lọ Lem chia một quả dưa (dưa đỏ) thành 9 phần cho 9 cụ già. Nhưng khi các cụ ăn xong, Lọ Lem thấy có 10 miếng vỏ dưa. Lọ Lem chia dưa kiểu gì ấy nhỉ?
Bài giải: Có nhiều cách bổ dưa, Lo Lem đã bổ dưa như sau: 
Cắt ngang quả dưa làm 3 phần, sau đó lại bổ dọc quả dưa làm 3 phần sẽ được 9 miếng dưa (như hình vẽ) chia cho 9 cụ, sau khi ăn xong sẽ có 10 miếng vỏ dưa. Vì riêng miếng số 5 có vỏ ở 2 đầu, nên khi ăn xong sẽ có 2 miếng vỏ. 
Bài 3: Bạn hãy điền đủ các số từ 1 đến 10 vào các ô vuông sao cho tổng các số ở nét dọc (1 nét) cũng như ở nét ngang (3 nét) đều là 16. 
Bài giải: Tất cả các bạn đều nhận ra một phương án điền số: a = 1; b = 9; c = 5; d = 4; e = 6; g = 10; h = 3; i = 1; k = 8; l = 7. Từ đó sẽ có các phương án khác bằng cách: 
1) Đổi các ô b và c. 
2) Đổi các ô k và l. 
3) Đổi các ô d và h. 
4) Đổi đồng thời cả 3 ô a, b, c cho 3 ô i, k, l. 
Như vậy các bạn sẽ có 16 cách điền số khác nhau. 
Bài 4: Trong một cuộc thi tài Toán Tuổi thơ có 51 bạn tham dự. Luật cho điểm như sau: 
+ Mỗi bài làm đúng được 4 điểm. 
+ Mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm. 
Bạn chứng tỏ rằng tìm được 11 bạn có số điểm bằng nhau. 
Bài giải: Thi tài giải Toán Tuổi thơ có 5 bài. Số điểm của 51 bạn thi có thể xếp theo 5 loại điểm sau đây: 
+ Làm đúng 5 bài được: 
4 x 5 = 20 (điểm). 
+ Làm đúng 4 bài được: 
4 x 4 - 1 x 1 = 15 (điểm). 
+ Làm đúng 3 bài được: 
4 x 3 - 1 x 2 = 10 (điểm). 
+ Làm đúng 2 bài được: 
4 x 2 - 1 x 3 = 5 (điểm). 
+ Làm đúng 1 bài được: 
4 x 1 - 1 x 4 = 0 (điểm). 
Vì 51 : 5 = 10 (dư 1) nên phải có ít nhất 11 bạn có số điểm bằng nhau. 
Bài 5: 
Vũ Hữu cùng với Lương Thế Vinh
Hai nhà toán học, một năm sinh
Thực hành, tính toán đều thông thạo
Vẻ vang dân tộc nước non mình 
Năm sinh của hai ông là một số có bốn chữ số, tổng các chữ số bằng 10. Nếu viết năm sinh theo thứ tự ngược lại thì năm sinh không đổi. Bạn đã biết năm sinh của hai ông chưa? 
Bài giải: Gọi năm sinh của hai ông là abba (a ≠ 0, a < 3, b <10). 
Ta có: a + b + b + a = 10 hay (a + b) x 2 = 10. Do đó a + b = 5. 
Vì a ≠ 0 và a < 3 nên a = 1 hoặc 2. 
* Nếu a = 1 thì b = 5 - 1 = 4. Khi đó năm sinh của hai ông là 1441 (đúng). 
* Nếu a = 2 thì b = 5 - 2 = 3. Khi đó năm sinh của hai ông là 2332 (loại). 
Vậy hai ông Vũ Hữu và Lương Thế Vinh sinh năm 1441.