Bài tập nâng cao Hình học Lớp 5 (Có lời giải)

Bài tập hình học nâng cao lớp 5
Bài 1:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
                          (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)
            Giải
Ta có SMIC= 1/2 SMCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
           SMIC=SMIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
        Cho ta:      SAMC=SBMC       (SBMC=SMIC+SMIB).
        Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
        Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
        Vậy:                 SAMN=SBMN 
Bài 2:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?
         Hướng dẫn tìm cách giải
Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.
Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.
            Giải
Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có SABK = SCBK   (K trung điểm AC)     ==>  SABK = 1/2 SABC
Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
         (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==>  SNOK=SBOM )
Tứ giác ABMN có:   SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK =   SABC
Vậy M chính là điểm cần tìm.
Bài 3:    (Bài giải của thầy Nguyễn Ngọc Phương_B Phú Lâm)
            Một miếng vườn trồng cây ăn trái có chiều dài 25m, chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?
        Cách 1:
Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: (25 - 1 ) : 2 = 12 (m) 
Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: (15 - 1 ) : 2 = 7 (m) 
Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông) 
        Đáp số: 336 mét vuông 
        Cách 2:
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Diện tích miếng vườn : 25 x 15 = 375 (mét vuông) 
Diện tích lối đi theo chiều dài : 25 x 1 = 25 (mét vuông) 
Diện tích lối đi theo chiêu rộng : 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông) 
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông) 
        Đáp số : 336 mét vuông 
        Cách 3:
 Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn. 
Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
Chiều rộng phần đất còn lại : 15 - 1 = 14 (m) 
Chiều dài phần đất còn lại : 25 - 1 = 24 (m) 
Diện tích phần đất còn lại để trồng cây : 24 x 14 = 336 (mét vuông) 
        Đáp số : 336 mét vuông


Bài 4 
        Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
                                                         (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35) 
            Giải
        2 tam giác MPN và NPD có phần chung là tam giác NOP. Mà SDOP - SMON = 3,5cm2. 
        Nên SNPD - SMPN = 3,5cm2 .
Mặt khác   SNPD  = ¼ SABCD  (NDP có đáy bằng ½ chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD) và  SMPN = 1/6 SABCD (MPN có đáy bằng 1/3 chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD).
Hay:   ¼ SABCD - 1/6 SABCD = 1/12 SABCD = 3,5cm2
Diện tích hình chữ nhật:   3,5 x 12 = 42 (cm2)
          Đáp số:  42 cm2
Bài 5
        Trong hình vẽ, ABCD và CEFG là hai hình vuông. Biết EF = 12 cm. Hãy tính diện tích tam giác AEG. 
                                                            (Đề thi toán quốc tế  Tiểu học ở Hồng Kông) 
  Giải
    Nối AC.
    Ta có  SACE = SACG  (đáy CE=CG cạnh hình vuông nhỏ, đường cao AB=AD cạnh hình vuông lớn).
    Hai tam giác này có phần chung là ACI. 
    Suy ra SCIE = SAIG   
    Mà SAEG = SAIG + SGIE = SCIE + SGIE = SGEC
    Diện tích tg GEC bằng với diện tích tg. AEG
        12 x 12 : 2 = 72 (cm2)
                Đáp số:   72 cm2
Bài 6:   Nuôi cá sấu
        Một trại nuôi cá sấu có một hồ nước hình vuông, ở giữa hồ người ta chữa một đảo nhỏ hình vuông cho cá sấu bò lên phơi nắng. Phần mặt nước còn lại rộng 2000m2. Tổng chu vi hồ nước và chu vi đảo là 200m.
          Tính cạnh hồ nước và cạnh của đảo? 
            Giải
Giả sử ta rời hòn đảo sát với góc của hồ nước. Nối góc đảo và góc hồ (như hình vẽ).
Mặt nước còn lại là 2 hình thang vuông có diện tích bằng nhau (2 đáy bằng nhau và đường cao bằng nhau _ Bằng hiệu của cạnh hồ và cạnh đảo).
Diện tích mỗi hình thang là:        2000 : 2 = 1000 (m2)
Tổng 2 đáy là:               200 : 4 = 50 (m)
Chiều cao hình thang cũng là hiệu cảu cạnh hồ và cạnh đảo:   1000 x 2 : 50 = 40 (m)
Cạnh của đảo là:  (50 – 40) : 2 = 5 (m)
Cạnh của hồ là: 50 – 5 = 45 (m)
            Đáp số:  Cạnh đảo  5 mét;  Cạnh hồ  45 mét.
Bài 7: Tính diện tích hình vuông
Cho hình vẽ:   Biết diện tích hình tròn là 251,2cm2. Tính diện tích hình vuông.
            Giải
Hướng giải:
            r x r = 251,2 : 3,14 = 80 
            r x r chính là diện tích hình vuông nhỏ (hình vuông 1/4)
            Diện tích hình vuông lớn:   80 x 4 = 320 (cm2)
 
Bài 8: Diện tích hình tứ giác
            Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
            Giải
 Hướng giải:
                           SBDE  = 5 x 2 = 10 (cm2)
                            SABD = 10 + 5 = 15 (cm2)
                            SBDC = 15 x 2 = 30 (cm2)
                            SBCDE = SBDE + SBDC
                                         = 10   +   30 = 40 cm2
 
Bài 9: So sánh diện tích 2 tam giác.
            Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.
    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?
    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2
            Giải
a)   Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC
  Ta có: sAMB = 1/2  sBMC  ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao BA)   hay sBMC = 2 x sAMB
b)  Từ câu a:  sBMC = 2 x sAMB  mà hai tam giác này chung đáy MB nên chiều cao  CI gấp đôi chiều cao AH
Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH
   Suy ra sBNC = 2 x sANB
sABC = 1/2 sABCD  ( .....)
 sABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2)
 sABCD = 4,5 x 2 =  9 (dm2)
                    Nguyễn Thị Kim Vân
 
Bài 10: Tính độ dài đoạn thẳng
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM. 
                Giải
SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
Suy ra      SBEM = SCEM
Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
Bài 11: Tính S chữ nhật ban đầu.
            Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
            Giải
Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ :
Chiều rộng cũ:  !---!
Chiều dài cũ:    !---!---!---!---!
Chiều rộng mới !---!---!---!---!
Chiều dài mới:  !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
                            ( - - - - - -  -- - - - - - 45m - - - -- - -  - - - -)
Do đó 45 m ứng với số phần là :
16 - 1 = 15 (phần)
Chiều rộng ban đầu là :
45 : 15 = 3 (m)
Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :
3 x 12 = 36 (m2) 
Bài 12:  Diện tích tứ giác
          Cho hình thang ABCD như hình bên. Biết diện tích 2 tam giác AED và BCF lần lược bằng 5,2cm2 và 4,8cm2. Tính diện tích hình tứ giác MFNE. 
            Giải
        Nối M với N, ta có: S(ADN) = S(MDN) ( vì hai tam giác có chung đáy DN, đường cao hạ từ A và M xuống đáy DN bằng nhau).
      Vì hai tam giác trên có chung phần diện tích tam giác EDN, nên : S(ADE) = S(MEN) = 5,2 ( cm2).
      Tương tự như vậy ta cũng có S(BFC) = S(MNF) = 4,8 (cm2). 
      Vậy diện tích tứ giác MENF là: 5,2 + 4,8 = 10 ( cm2).
              Đáp số:  10 cm2
Bài 13:   Hiệu 2 diện tích
          Cho hình vuông cạnh 20cm và hình tròn có bán kính 10cm (hình vẽ). Tính diện tích phần không tô đậm của hình vuông và phần không tô đậm của hình tròn. 
            Giải
        Hai hình đã cho có chung phần diện tích tô đậm, nên hiệu diện tích phần không tô đậm của hình vuông và diện tích phần không tô đậm của hình tròn chính bằng hiệu diện tích của hình vuông và hình tròn.
            Hiệu diện tích cần tìm là: (20 x 20) – (10 x 10 x 3,14) = 86 ( cm2). 
Bài 14:   Diện tích hình tam giác
            Cho tứ giác ABCD, M là điểm ở trên cạnh AB sao cho AM = 1/3 BM. Tính diện tích tam gáic MCD biết rằng diện tích tam giác ACD và tam giác BCD tương ứng là 24cm2 và 16cm2.
            Giải
Chiều cao AI và BK lần lượt của 2 tam giác ACD và BCD có tỉ lệ  24/16 = 3/2
Xem AI = 3 đơn vị độ dài thì BK = 2 (đv dài)
Xét 2 tam giác BMN và MAN có chung đường cao kẻ từ N và BM=3MA
Nên S_BMN = 3S_MNA   và có chung đáy MN.
Suy ra: đường cao kẻ từ B gấp 3 lần đường cao kẻ từ A xuống MN.
Hay  KN=3NI
Xem KN = 3 (đơn vị độ dài) và NI= 1 (đơn vị độ dài)  thì  KI=4 (đv dài) 
Diện tích hình thang BAIK = (2+3):2x4 = 10 (đơnvị2)
KBM có đáy KB, cao  ... hật đó là 192cm và hiệu chu vi bằng 16cm.Tính diên tích miếng bìa hình chữ nhật lớn
Tổng chu vi 2 hình chữ nhật bằng 6 lần cạnh hình vuông (do lằn cắt tạo thêm 2 cạnh hình vuông)
Cạnh hình vuông cũng là tổng 2 chiều rộng của 2 hình chữ nhật là:
192 : 6 = 32 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là:
16 : 2 = 8 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật lớn là:
(32 + 8) : 2 = 20 (cm)
Diện tích hình chữ nhật lớn là:
32 x 20 = 640 (cm2)
Đáp số:  640 cm2. 
Bài 62:
        Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 0,450 km. Biết chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Tính số đo chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng đó.
0,450km = 450 m
Nửa chu vi là:  450 : 2 = 225 (m)
Tổng số phần bằng nhau:  2+3 = 5 (phần)
Chiều rộng:  225 : 5 x 2 = 90 (m)
Chiều dài:    225 – 90 = 135 (m)
Đáp số:  90 m   ;  135 m
Bài 63:
         Cho hình thang vuông ABCD có góc A và D vuông. Hạ đường cao BH, đường cao BH cắt đường chéo AC tại I. So sánh diện tích 2 tam giác DIH và BIC
ABHD là hình chữ nhật nên AD=BH ; AB=DH
SABD=SABC=SABI+SBIC  (1)
(2 tam giác ABD và ABC có chung đáy AB, 2 đường cao bằng đường cao hình thang).
SABD=SABI+SDIH   (2)
(Tam giác ABD có đáy AD =BI+IH, 3 tam giác này (ABD, ABI, DIH) có đường cao bằng chiều rộng (AB) hình chữ nhật ABHD).
Từ (1) và (2) suy ra           SBIC = SDIH
Bài 64:
        Huy có một mảnh giấy hình vuông có chu vi là 80cm. Huy đã gấp hình vuông đó lại và cắt được một hình tròn (to nhất).
    a.Tính chu vi hình tròn mà Huy đã cắt được
    b.Nếu dùng mảnh giấy hình tròn đó để cắt một mảnh giấy hình vuông có cạnh 16cm thì có cắt được không?Vì sao?
Cạnh hình vuông:   80 : 4 = 20 (cm)
Chu vi hình tròn:   20 x 3,14 = 62,8 (cm)
Diện tích hình vuông lớn nhất có thể cắt được:
(20 : 2) x ( 20 : 2 ) x 2 = 200 (cm2)
Nên không thể cắt được hình vuông có cạnh là 16cm.
Vì 16 x 16 = 256 (cm2)
Bài 65:
Cho hình tam giác ABC có diện tích là 216m2 ,AB=AC và BC bằng 36 m. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB bằng 2/3 AB ,trên AC lấy điểm N sao cho NC bằng 2/3 AC và trên BC lấy điểm I sao cho BI bằng 2/3 BC. Nối M với N với I được hình thang MNIB. Tính : 
a. Diện tích hình thang MNIB 
b. Độ dài đoạn MN
MB=2/3AB => AM=1/2AM=1/3AB
NC=2/3AC => AN=1/2NC=1/3AC 
a) 
SBNA=1/3SABC= 216 : 3 = 72 (m2) 
Chung đường cao kẻ từ B. 
Tương tự: 
SNMB=2/3SNBA= 72 x 2/3 = 48 (m2)
SBNC=SABC-SBNA= 216 – 72 = 144 (m2)
SNBI=2/3SNBC= 144 x 2/3 = 96 (m2)
SMNIB = SMNB+SNIB = 48+96 = 144 (m2) 
b) 
Chiều cao kẻ từ N của tam giác NBC 
144 x 2 : 36 = 8 (m) 
Cũng là đường cao kẻ từ B của tam giác BMN. 
Độ dài cạnh MN (trong tam giác BMN). 
48 x 2 : 8 = 12 (m)
Bài 66:
Cho một hình thang có chu vi là 405 cm, tổng hai đáy( AB và và CD ) dài hơn tổng hai cạnh bên (AD và BC) là 15 cm. Cạnh AB bằng 2 phần 5 cạnh CD và cạnh BC  ngắn hơn AD 15 cm. Trên AD lấy điểm M sao cho đoạn thẳng AM bằng 2 phần 3 cạnh AD. Nối M với B  và C. Tính :
a. Diện tích hình thang ABCD biết chiều cao là 36 cm 
b. Cạnh AD, BC của hình thang ABCD 
c. Chiều cao hạ từ  M của hình MBC
a)
Tổng 2 đáy AB và CD:   (405+15):2 = 210 (cm)
Tổng số phần bằng nhau:   2+5 = 7 (phần)
Cạnh đáy AB:    210 : 7 x 2 = 60 (cm)
Cạnh đáy DC:   210 – 60 = 150 (cm)
Diện tích hình thang ABCD:  (60+150) x 36 : 2 = 3780 (cm2)
b)
Tổng 2 cạnh AD và BC:  405 – 210 = 195 (cm)
Cạnh AD:    (195+15):2 = 105 (cm)
Cạnh BC:    195 – 105 = 90 (cm)
c)
AM=2/3AD  =>  DM=1/2MA=1/3AD
Nối AC và nối BD.
*.Ta có:  SABC = 2/5SADC
Tổng số phần bằng nhau :  2 + 5 = 7 (phần)
SADC = 3780 : 7 x 5 = 2700 (cm2)
SCDM=1/3SADC = 2700 : 3 = 900 (cm2)
*.Tương tự:
SADB = 3780 :7 x 2 = 1080 (cm2)
SBMA=2/3SADB = 1080 x 2/3 = 720 (cm2)
Mà:
SMBC = SABCD – (SMAB+SMCD)
             = 3780 – (720+900)  = 2160 (cm2)
Chiều cao hạ từ  M của tam giác MBC
2160 x 2 : 90 = 48 (cm)
Bài 67:
        Cho hình thang vuông ABCD, vuông tại A. Có đáy DC gấp 2 lần đáy AB. Kéo dài AD cắt BC tại G. Tính diện tích tam giác GAB. Biết diện tích hình thang ABCD là 48dm2.
Xét 2 tam giác BDG và CDG có chung cạnh đáy DG, AB = 1/2DC nên SBDG = 1/2SCDG
Suy ra SBDG = SBDC
SDAB = 1/2SBDC
(2 đường cao bằng nhau bằng đường cao hình thang, AB=1/2DC).
Suy ra  SGAB = SDAB
Mà SDAB = 48 : (1+2) = 16 (dm2)
Bài 68:
        Cho hình thang ABCD. Đáy lớn CD gấp đôi đáy bé AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Biết diện tích tam giác ABG là 34,5cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.
SABC = 1/2SADC (AB=1/2CD, đường cao bằng nhau bằng đường cao hình thang)
Suy ra đường cao kẻ từ B bằng 1/2 đường cao kẻ từ D xuống AC. Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác ABG và AGD mà hai tam giác này có cạnh đáy chung AG.
Nên SAGD = SABG x 2 = 34,5 x 2 = 69 (cm2).
SABD = SABG + SAGD = 34,5 + 69 = 103,5 (cm2)
Tương tự:
SBDC = SABD x 2 = 103,5 x 2 = 207 (cm2)
Mà SABCD = SABD + SBDC = 103,5 + 207 = 310,5 (cm2)
Bài 69:
        Cho hình thang ABCD có diện tích bằng 600cm2
        Biết AM=MQ=QD;BN=NP=PC. Tính diện tích tứ giác MNPQ
Nối BD; BM; PD. Ta có:
SABD+SCBD= 600 cm2   (1)
Mà SABM = 1/3SABD   (2)
(AM=1/3AD, chung đường cao kẻ từ B)
Tương tự:  SDPC = 1/3SCBD  (3)
Từ (1), (2), (3) cho ta:
SABM + SDPC = 600 : 3 = 200 (cm2)
Suy ra :  SMBPD = 600 – 200 = 400 (cm2)
Nối MP, ta được :
SMBP + SPMD = 400 (cm2)
Tương tự như trên, ta có :
SMBN = 1/2 SMBP
SPDQ = 1/2 SPDM
Suy ra :  SPDQ + SMBN = 400 : 2 = 200 (cm2)
Mà SMNPQ = SMBPD – (SPDQ + SMBN) = 400 – 200
SMNPQ = 200 cm2.
Bài 70:
        Hình tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O. Biết diện tích các hình tam giác MNO; NPO; OPQ lần lượt là : 670cm2; 2010cm2; 2070cm2. Diện tích tứ giác MNPQ là : .cm2.  
Xét 2 tam giác MON và PON có ON chung nên đường cao của 2 tam giác tỉ lệ với diện tích.
Tỉ số đường cao kẻ từ P và đường cao kẻ từ M xuống ON là  2010/670 = 201/67
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác PQN và MQN.
SPQN = 2070+2010 = 4080 (cm2)
Suy ra  SMQN = 4080 : 201 x 67 = 1360 (cm2)
SMNPQ = SPQN + SMQN = 4080 + 1360 = 5440 (cm2) 
Bài 71:
Cho hình chữ nhật ABCD, trên CD lấy M, nối B với M. Lấy điểm I là trung điểm của đoạn thẳng BM. Nối A với I. Trên đoạn thẳng AI lấy điểm N sao cho AN bằng 2/3 AI. Nối M với N. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết diện tích hình tam giác MNI bằng 15 cm2. 
AN = 2/3 AI  ==>  NI = 1/3 AI
SAIM = SMNI x 3 (AI=NI x 3, chung đường cao kẻ từ M).
SAIM = 15 x 3 = 45 (cm2)
SABM = SAIM x 2 (BM=IM x 2, chung đường cao kẻ từ A).
SABM = 45 x 2 = 90 (cm2)
Xét 3 tam giác ABM ; BMC và AMD. Ta thấy AB = MD+MC (chiều dài hình chữ nhật), 3 tam giác này có 3 đường cao bằng nhau bằng chiều rộng hình chữ nhật nên.
SABM = SBMC + SAMD = 90 cm2.
Diện tích hình chữ nhật ABCD
90 x 2 = 180 (cm2) 
Bài 72:
           Cho tam giác ABC. Điểm M là diểm chính giữa cạnh AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/2 NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Tính diện tích tam giác AKC biết diện tích tam giác KAB bằng 42dm2
Ta có:  SABN = 1/2SBCN
(AN=1/2NC, chung đường cao kẻ từ B).
Hai tam giác này lại có chung cạnh BN nên hai đường cao kẻ từ A và từ C xuống BN bằng nhau.
Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác ABK và CBK có cạnh đáy chung là BK.
Nên SABK = 1/2SCBK.                   (1)
Tương tự ta lại có SCBK = SACK   (2)
Từ (1) và (2) ta được
SABK = 1/2SACK
Vậy SACK = SABK x 2 = 42 x 2 = 84 (dm2)
Bài 73:
           Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC và  BD. Gọi E là trung điểm của AC, từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt DC tại F. Nối B với F. Chứng tỏ rằng đoạn BF chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Nối BE và DE cắt BF tại K.
Trong tam giác ABC ta có: SABE = 1/2 SABC  (1)
(AE = 1/2AC , chung đường cao kẻ từ B).
Tương tự ta có SADE = 1/2 SADC                      (2)
Từ (1) và (2) cho ta  SABED = 1/2 SABCD
Hình thang DBEF cho ta SBFE = SDFE
(chung cạnh đáy FE, hai đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang).
Mà 2 tam giác này có phần chung là SKFE suy ra  SBKE = SDKF  (3)
Ta thấy:  SABFD = SABED – SBKE + SDKF
Theo (3) ta có:  SABFD = SABED
Hay SABFD = 1/2 SABCD
Vậy đoạn thẳng BF chia hình tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 74:       
        Cho hình thang vuông ABCD, vuông góc tại A và D, đáy AB=1/3 CD.Kéo dài DA và CB cắt nhau tại E.
    a) So sánh diện tích hai hình tam giác ABC và ADC.
    b)Biết diện tích tam giác ABE bằng 7 xăng-ti-mét vuông. Tìm diện tích hình thang ABCD
a)
Xét 2 tam giác ABC và ADC có:  AB = 1/3DC, hai đường cao tươg ứng với 2 cạnh đáy bằng nhau bằng chiều cao hình thang.
Vậy SABC = 1/3 SADC
b)
Nối BD. Tương tự ta có SABD = 1/3 SBDC
2 tam giác EBD và ECD có chung cạnh đáy AD, 2 đường cao của 2 tam giác này  AB = 1/3DC
Vậy:  SEBD = 1/3 SECD
Mặt khác 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ D xuống EC nên EB = 1/3 EC hay EB = 1/2 BC
SEBD = 1/2SBDC.
Phân số chỉ 7cm2 là:  1/2 – 1/3 = 1/6 (SBDC)
Diện tích tam giác BDC :  7 x 6 = 42 (cm2)
Diện tích tam giác ABD:  42 : 3 = 14 (cm2)
Diện tích hình thang ABCD:   42 + 14 = 56 (cm2)
Bài 75:                
        Cho hình thang ABCD, AB = 1/2 CD. Kéo dài DA cề phía A và CB về phía B cắt tại M.
a) Tì tỉ số MA/MD và MB/MC
b) tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích MAB = 9cm2
a)Ta có SABD = 1/2 SACD  = 1/2 SBDC  (1)
(Vì AB=1/2CD, 2 đường cao tương ứng bằng nhau bằng chiều cao hình thang).
Mà 2 tam giác này có AD chung. Suy ra đường cao kẻ từ C xuống AD gấp 2 lần đường cao kẻ từ B xuống AD.
Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác MBD và MCD.
Hai tam giác này có cạnh đáy MD chung nên SMBD = 1/2SMCD   (2)
Từ (1) và (2) cho ta SMAB = SABD. Hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ B. Suy ra MA = AD  hay MA = 1/2MD   =>  MA/MD = 1/2
Tương tự:  MB/MC = 1/2
b)SABCD = SABD + SBCD = 9 + 9x2 = 27 (cm2)
Bài 76:                
        Một sân trường có chu vi bằng 142m. Nếu tăng chiều rộng thêm 15m, đồng thời giảm chiều dài đi 15m thì diện tích của sân trường không thay đổi. Tính diện tích sân trường đó?        (Trang ndphithanh)
Để diện tích sân trường không đổi thì 2 hình chữ nhật nhỏ phải có diện tích bằng nhau và có chiều rộng bằng nhau 15m, chiều dài bằng chiều rộng sân trường.
Cho ta thấy sân trường có chiều dài hơn chiều rộng 15m.
Nửa chu vi sân trường là:
142 : 2 = 71 (m)
Chiều rộng sân trường là:
(71 – 15) : 2 = 28 (m)
Chiều dài sân trường là:
71 – 28 = 43 (m)
Diện tích sân trường là:
43 x 28 = 1204 (m2)
Đáp số:  1204 m2.