Bài toán hay luyện thi học sinh giỏi Toán lớp 5

BÀI TOÁN HAY LUYỆN THI HS GIỎI TOÁN LỚP 5
Ứng dụng tính diện tích và tỷ lệ cạnh/ chiều cao tam giác
I.-Vấn đề đặt ra 
 Có nhiều bài toán tính diện tích, tỷ lệ ( hoặc độ dài) cạnh hoặc chiều cao tam giác rất khó với HS tiểu học, kể cả HS THCS & PTTH cũng khó giải. Nhưng nếu biết tận dụng những kiến thức đã học cộng với động não một chút thì HS Giỏi tiểu học hoàn thoàn có thể giải được.
 Vận dụng công thức tính diện tich tam giác và lý thuyết tỷ lệ, phân số ta có:
 Diện tich tam giác = 1/2 chiều cao x cạnh đáy hạ chiều cao
 hoặc: S∆1 = 1/2 x a1 x h1 ; S∆2 = 1/2 a2 x h2
suy ra tính chất để so sánh:
 1/- Nếu S∆1 = S∆2 thì a1 = a2 ; h1 = h2
 2/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng chiều cao thì cạnh đáy tương ứng a1 / a2 = S∆1 / S∆2 
 3/- Nếu S∆1 & S∆2 khác nhau nhưng có cùng cạnh đáy thì chiều cao cùng hạ xuống đáy h1 / h2 = S∆1 / S∆2 
II.- Bài toán mẫu
 Bài 1: 
 Cho ∆ ABC, Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho AM=MC; trên AM lấy điểm N sao cho AN=NB. Nối CN và nối BM cát nhau tại O. Hãy so sánh OB với MB, so sánh OC với NC. (Hình 1)
Tóm tắt cách giải bài 1
 a/ Xét S∆MNC = 1/2 S∆ANC; S∆ANC = 1/2 S∆ABC
 Do đó S∆MNC = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC 
 Vì có BN=1/2 AB nên S∆ NBC = 1/2 S∆ABC
 Suy ra S∆MNC = 1/2 S∆ NBC 
 Hai tam giác ∆MNC và ∆NBC có chung đáy CN, nếu hạ đường cao MI và BH xuống CN thì MI = 1/2 BH. 
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO cũng có chung đáy CN, hai đường cao MI và BH xuống CN 
 Mà MI = 1/2 BH ; nên S∆MNO = 1/2 S∆NBO 
Hai tam giác ∆MNO và ∆NBO lại có chung đỉnh N (nghĩa là nếu hạ đường cao từ N xuống MB thì chúng bằng nhau). nếu S∆MNO = 1/2 S∆NBO thì cạnh đáy OM=1/2 OB.
 Vậy OB = 2/3 MB ( Đáp án)
 b/ Xét S∆MNB = 1/2 S∆AMB; S∆AMB = 1/2 S∆ABC
 Do đó S∆MNB = 1/2 x 1/2 = 1/4 S∆ABC 
 Vì có CM=1/2 AC nên S∆ MBC = 1/2 S∆ABC
 Suy ra S∆MNB = 1/2 S∆ MBC 
 Suy luận tương tự như phần trên ta có CO = 2/3 CN ( Đáp án)
 Bài 2:
 Cho ∆ ABC Trên cạnh AC lấy diểm M sao cho AM=2/3 MC; trên AM lấy điểm N sao cho 
AN=1/3 NB. Nối CN và nối BM cát nhau tại O. 
Hãy so sánh OB với MB, so sánh OC với NC. 
 (Hình 2)
Nhận xét : Bài 2 tương tự bài 1, chỉ khác các tỷ lệ
lấy điểm M và N.
Hướng giải : cũng tương tự như trên nhưng phép tính phân số phức tạp hơn. 
 Kết quả được: OM=1/6 OB OB = 6/7 MB
 ON= 4/3 OC OC= 3/7 NC 
 ( trên đây chỉ nêu tóm tắt. hướng giải, các bạn có thể tính cụ thể để kiểm tra kết quả)
Bài thực hành: 
Dưới đây là một số bài tập cho các số đo cụ thể giúp bạn rèn luyện thêm kỹ năng tính toán
Bµi 1
 Cho tam gi¸c ABC, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D sao cho BD = DC; trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho AE = EC. Nèi DE, trªn DE lÊy ®iÓm M sao cho
 DM = ME.
 TÝnh S ∆AME biÕt S ∆ABC = 180 cm2.
 (Gîi ý: Sau khi vÏ ®óng h×nh, nèi thªm CM, H·y chøng tá S ∆ AME = S ∆ EMC)
Bµi 2:
	Cho h×nh tam gi¸c ABC cã ®¸y BC= 36cm. Trªn AB lÊy ®iÓm M sao cho
 AM = AB. Trªn AC lÊy ®iÓm N sao cho AN = AC. Trªn BC lÊy ®iÓm P sao 
cho CP = CB.
 BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC = 216cm2 . TÝnh: 
 a, DiÖn tÝch MNB P
 b, §o¹n th¼ng MN
Gîi ý: Sau khi vÏ ®óng h×nh, nèi thªm NP, H·y chøng tá MN //BC; MP//AC; 
S ∆ NPC = S ∆ NMP
Bµi 3:
Cho tø gi¸c ABCD. M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB sao cho AM = AB. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MDC, biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ADC lµ 24 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c BCD lµ 16cm2.
Gîi ý: Trªn AB lÊy thªm P, vµ Q sao cho MP = PQ = QM = MA = 1/4 AB, lÇn l­ît kÎ c¸c ®­êng vu«ng gãc víi BC qua c¸c ®iÓm A, M, P, Q, B. Dùa vµo tû lÖ ®­êng cao ®Ó tÝnh diÖn tich tam gi¸c ph¶i t×m)
Bµi 4:
 Trong h×nh vÏ bªn, biÕt: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã DC = 6 cm, BC = 4cm.
 §iÓm M n»m trong ®o¹n th¼ng AB, MC c¾t BD ë O.
a) So s¸nh diÖn tÝch hai tam gi¸c MOD vµ BOC.
b) H·y x¸c ®Þnh ®é dµi cña ®o¹n th¼ng AM ®Ó diÖn tÝch h×nh thang MBCD b»ng 20 cm2. 
 O
 A M B 
 D C
c) Víi AM = 2cm, h·y so s¸nh ®é dµi hai ®o¹n th¼ng MO vµ OC.
 TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AMOD.
 Bµi 5:
 Cho tam gi¸c ABC vµ h×nh thang MNCB nh­ h×nh vÏ. BiÕt BC b»ng 2 lÇn MN ,
 BN c¾t MC t¹i O, diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 120cm2.
§iÓm M cã lµ ®iÓm chÝnh gi÷a AB kh«ng? V× sao?
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OMN.
 O
 A
 M N
 B C