Đề tài Đạo hàm và Tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức nhiều biến

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
ĐẠO HÀM VÀ TIẾP TUYẾN
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN
Họ tên tác giả: Mai Sỹ Thủy
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THPT Mai Anh Tuấn
SKKN thuộc môn: Toán học
---Năm học 2010 - 2011---
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong toán học phổ thông, các bài toán về bất đẳng thức chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia và thường xuất hiện dưới dạng là bài toán khó nhất trong đề. Điều tất nhiên khi gặp những bài toán chứng minh bất đẳng thức học sinh phải mất rất nhiều thời gian, công sức để giải quyết nó. Đề bài của bài toán bất đẳng thức tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa và đẹp đẽ nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải. Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giải quyết những vấn đề đó. Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạn năng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán. Trong khi đó việc giảng dạy toán học nói chung và trong bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy, luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi xin nêu lên một vài hướng giải quyết bài toán bất đẳng thức nhiều biến với đề tài “Đạo hàm và Tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức nhiều biến”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN.
Trong lớp các bài toán bất đẳng thức và cực trị nếu bài toán chỉ có chứa một biến hoặc hai biến với điều kiện nào đó thì ta có thể nghĩ ngay đến việc sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết. Tuy nhiên, với các bài toán bất đẳng thức và cực trị từ ba biến trở lên thì việc sử dụng công cụ đạo hàm để giải quyết chúng lại không hề đơn giản chút nào, nó đòi hỏi phải có nghệ thuật, có những ý tưởng thông minh và có những đánh giá, nhận xét tinh tế. 
Trong phần này tôi đưa ra kinh nghiệm sử dụng đạo hàm nhằm giải quyết phần nào những khó khăn trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của bài toán nhiều hơn hai biến. 
Bài toán 1. Cho ba số thực dương thỏa mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn:
Nhìn biểu thức của ta thấy có sự xuất hiện của cả ba biến số mà ta không thể quy trực tiếp về một biến số ngay nếu chỉ sử dụng giả thiết. Nhưng ta lại thấy là biểu thức có đối xứng với , do đó ta dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi hai biến bằng nhau. Ta chứng minh và sử dụng bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi hai biến số và bằng nhau. Khi đó ta có . Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ dàng bằng cách khảo sát hàm số trên khoảng . 
Ta có , . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ta có:
 , suy ra .
Vậy khi và chỉ khi . 
Mấu chốt của bài toán trên là sử dụng bất đẳng thức và dùng giả thiết để quy bài toán từ ba biến trở về bài toán một biến.
Bài toán 2. Cho ba số thực không âm thỏa mãn .Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Trong bài toán này, sự xuất hiện của ba biến hoàn toàn đối xứng, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Do ba số không âm và có tổng bằng cùng với điều giả sử ở trên nên ta có . 
Xét vế trái có:
Như vậy, ta đã quy được bài toán từ ba biến về bài toán một biến chỉ bằng một phép biến đổi đơn giản nhóm nhân tử chung và sử dụng thêm bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho hai số. Công việc của ta bây giờ chỉ là xét hàm số trên đoạn . 
Ta có , , nên hàm đồng biến trên đoạn , suy ra . 
Vậy, ( đpcm). 
Đẳng thức xảy ra khi . 
Bài toán này ta có thể mở rộng hơn như sau: Cho ba số thực không âm thỏa mãn và cho số thực . Chứng minh rằng 
Trong một số bài toán, việc biến đổi, ước lượng để đưa bài toán từ nhiều biến trở về một biến rồi sử dụng đạo hàm không hề đơn giản chút nào. Trong những tình huống như thế, có lẽ ta phải làm quen với việc coi một trong các biến của bất đẳng thức làm biến số của một hàm lựa chọn và những biến số khác là tham số, rồi sử dụng đạo hàm. Dưới đây ta xem xét một số bài toán để làm sáng rõ vấn đề. 
Bài toán 3. Cho ba số thực , chứng minh rằng :
Hướng dẫn:
Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không mất tính tổng quát, ta giả sử , coi là biến số và coi là tham số trong hàm số 
Ta có 
 và với mọi và . Điều đó chứng tỏ là hàm số đồng biến, suy ra ( do ). Đến đây ta suy ra là hàm số đồng biến, như vậy . Vậy bài toán đã chứng minh xong! 
Bài toán 4. Chứng minh rằng nếu là độ dài các cạnh của một tam giác thì . 
Hướng dẫn:
Bài toán đối xứng với nên không mất tính tổng quát ta giả sử , từ đó suy ra và . 
Đặt , ta xét hàm số trên khoảng có với mọi , do đó hàm số nghịch biến trên khoảng , suy ra . Vậy điều phải chứng minh đã được giải quyết. 
Bài toán 5. Chứng minh rằng nếu thì . 
Hướng dẫn:
Cũng như bài toán trên ta coi một trong ba số là một biến số của hàm số, chẳng hạn là , khi đó ta đặt và ta đi xét hàm số , đặt . 
Khi đó , . 
Ta có 
Như vậy, ta luôn có , trong đó và . 
Ta xét tiếp trên đoạn có , trong đó và có 
Như vậy, 
Xét lần nữa và trên đoạn có , từ đó suy ra với mọi . 
Xét tương tự đối với trên đoạn ta cũng có . 
Vậy , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . . 
Bài toán 6. Xét các số thực dương thỏa mãn điều kiện . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
Hướng dẫn:
Đặt bài toán chuyển thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với dương thỏa mãn . 
Từ giả thiết ta có với . 
Do đó . 
Bây giờ ta xét hàm số với biến và là tham số thực dương. Ta có , nên . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , ta có . Ta xét tiếp hàm số trên khoảng có và . Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng có , từ đó suy ra . Đẳng thức xảy ra với . Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi . 
Như vậy, việc đổi biến và rút ẩn từ điều kiện để thay thế vào biểu thức cần tính là những thủ thuật cần thiết, cơ bản để làm cho bài toán không những đơn giản về mặt hình thức mà việc tính toán cũng trở lên ngắn gọn và giảm ngay được số biến trong bài. Sau đây chúng ta xem tiếp một bài để thấy rõ hơn.
Bài toán 7. Cho ba số thực và thỏa mãn . Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Trong bài toán này, ta chưa thể sử dụng ngay đạo hàm để giải quyết bài toán. Để phát biểu bài toán đơn giản hơn và để có ý tưởng sử dụng đạo hàm ta đặt . Khi đó và . 
Ta có , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng với điều kiện và . Với nhận xét bài toán đối xứng với biến nên ta có thể đưa bài toán từ ba biến về hai biến bằng cách đặt , khi đó và . 
Ta có 
Bây giờ xét hàm số có , 
 . 
Lập bảng biến thiên, biện luận so sánh với có: Nếu ta có 
Nếu ta có : 
Khảo sát trên có , từ đó . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và , tức là . 
Bằng những biến đổi đơn giản nhưng hết sức tinh tế và những nhận xét tính đối xứng của ta đã đưa được bài toán từ ba biến về bài toán hai biến, rồi sử dụng đạo hàm để đưa tiếp bài toán về một biến, khi đó bài toán hoàn toàn là đơn giản!
Bài toán sau đây thể hiện rõ hơn tính đối xứng giữa các biến và thông qua bài toán này, ta cũng cần có thêm một phương pháp “chuẩn hóa” khi cần thiết. 
Bài toán 8: Cho ba số thực không âm .
Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Đây là bất đẳng thức đối xứng, đồng bậc nên trước hết ta chuẩn hóa bằng cách giả sử và , khi đó . Nhờ tính đối xứng, đặt , khi đó . Ta cần chứng minh . 
Ta có , với mọi , suy ra trên , do đó đồng biến trên , vậy 
Xét hàm số trên đoạn có , , suy ra . 
Như vậy , đẳng thức xảy ra khi , tức là . 
Bài toán đã được chứng minh xong! 
Như vậy, với công cụ đạo hàm, ta đã có thể giải quyết được rất nhiều bài toán bất đẳng thức, cực trị nhiều hơn hai biến. 
II. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC NHIỀU BIẾN.
Trong phần này chúng ta xét bài toán tổng quát: “Cho thoả mãn , với , cần chứng minh bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra khi ”. 
Bài toán này có tính chất nổi bật với vế trái là biểu thức đối xứng của các biến và viết được dưới dạng tổng của một hàm số với các biến số khác nhau. Dẫn đến suy nghĩ một cách tự nhiên để giải quyết bài toán này là ta xét hàm số , sau đó chứng minh với mọi , trong đó A, B thỏa mãn (hay ). Dễ thấy chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . 
Như vậy qua phân tích, chúng ta có thể đưa ra được lời giải cho bài toán tổng quát trên như sau: Xét hàm số , , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là . Ta chứng minh với mọi , từ đó suy ra: (đpcm).
Sau đây chúng ta xét một số bài toán điển hình để thể hiện rõ hơn cho phương pháp này. 
Bài toán 9. Cho bốn số dương thoả mãn . Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Từ giả thiết ta có và bất đẳng thức được viết dưới dạng với , đẳng thức xảy ra khi . Ta xét hàm số trên khoảng , phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm có hoành độ là . 
Xét , , suy ra , . Từ đó ta có , đẳng thức xảy ra khi . 
Như vậy, thông qua phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành đô mà ta mới có thể nhận ra bất đẳng thức cơ sở với mọi để giải quyết bài toán.
Bài toán 10. Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số thuộc khoảng , chẳng hạn thì ta có nên bài toán được chứng minh, do vậy ta chỉ xét . Ta xét hàm số trên đoạn , phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là . Ta có , suy ra ,.
 Từ đó ta có : , đẳng thức xảy ra khi . 
Trong bài toán này, nhận xét ban đầu đã khá tốt để chúng ta giới hạn được biến , vì không có nhận xét đó thì đánh giá không thể đúng với mọi , và như thế chúng ta sẽ nghĩ rằng không sử dụng được phương pháp tiếp tuyến ! Ta xét thêm một bài toán kiểu chia khoảng đang xét thành hai hoặc nhiều khoảng để thấy rõ hơn ý tưởng khi giải toán.
Bài toán 11. Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng .
Hướng dẫn:
Như các bài toán trên, ta xét hàm số trên khoảng , phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ là .
Xét , bây giờ ta chưa thể khẳng định được với mọi , nên ta đặt và xét hàm số trên khoảng , ta thấy không luôn dương trên , nên ta phải tìm cách chia khoảng xác định của tốt nhất có thể sao cho trên khoảng đó thì . Bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng , ta suy ra với mọi , từ đó ta có với mọi . Như vậy bài toán đã chứng minh xong khi và . Bây giờ ta xét trường hợp có ít nhất một trong ba số thuộc nửa khoảng , giả sử do đều dương và có tổng bằng 1 nên , dễ thấy hàm số nghịch biến trên và đồng biến trên , suy ra , , 
Vậy với mọi số thực dương thoả mãn . Đẳng thức xảy ra khi .
Thông qua bài toán này, ta có thể thấy được khi nào cần phân khoảng đang xét thành hai hay nhiều khoảng để có những bước đi tiếp theo mà không hề mất tự nhiên!
Bài toán 12. Cho các số thực dương . 
Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:
Bài toán này chưa đưa về dạng bài toán tổng quát nên ta chưa thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến ngay được. Tuy nhiên đây lại là bất đẳng thức đối xứng đồng bậc, nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử , khi đó bài toán trở thành , đến đây ta đã cô lập được mỗi phân thức về dạng một biến số với điều kiện tổng ba biến số bằng .
 Xét hàm số trên khoảng và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 ta được . 
Xét , 
tức là với mọi .
Suy ra , đẳng thức xảy ra khi . Như vậy, bài toán đã chứng minh xong! 
Trong bài này, chuẩn hóa để có thêm điều kiện và đưa bài toán về dạng quen thuộc là kỹ thuật rất cơ bản và hay được sử dụng. 
Bài toán 13. Cho ba số thực dương thoả mãn . 
Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Nhìn bài toán ta khó có thể thấy được việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, tuy nhiên để ý một chút suy ra nên ta đã đưa được bài toán đã cho về bài toán quen thuộc: Chứng minh rằng với điều kiện dương và . 
Bây giờ xét hàm số trên khoảng , phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng là . 
Xét với mọi , do đó với mọi . Từ đó ta có , đẳng thức xảy ra khi .
Bài toán 14. Cho ba số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng . 
Hướng dẫn:
Cũng như bài toán 13, bài toán này chưa thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến ngay được, ta cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng bài toán tổng quát. 
Áp dụng bất đẳng thức ta có . Tiếp theo đặt , , khi đó . 
Bây giờ bài toán trở thành: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . 
Đến đây, bài toán đã giải quyết được một nửa khối lượng công việc, phần còn lại bây giờ là những biến đổi quen thuộc. 
Xét hàm số trên khoảng và phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là . 
Xét 
Trên khoảng thì . 
Do đó . 
Đẳng thức xảy ra khi hay . 
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài tập 2. Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài tập 3. Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác thì 
Bài tập 4. Cho ba số thực không âm thỏa mãn .Chứng minh rằng 
Bài tập 5. Cho ba số thực dương . 
Chứng minh rằng . 
Bài tập 6. Cho là những số thực dương. Chứng minh rằng: 
Bài tập 7. Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của . 
Bài tập 8. Cho các số thực thoả mãn điều kiện . Tìm GTLN – GTNN của biểu thức 
Bài tập 9. Cho ba số thực dương .
Chứng minh rằng 
Bài tập 10. Cho bốn số thực dương thỏa mãn , chứng minh rằng . 
Bài tập 11. Cho bốn số thực dương thỏa mãn , chứng minh rằng .
Bài tập 12. Cho ba số thực thỏa mãn , chứng minh rằng 
Bài tập 13. Cho ba số thực thỏa mãn .
Chứng minh rằng 
Bài tập 14. Cho là các số thực dương. 
Chứng minh rằng: 
Bài tập 15. Cho . Chứng minh rằng 
C. KẾT LUẬN
Qua các ví dụ ở trên chúng ta có thể nói phương pháp sử dụng đạo hàm và phương pháp tiếp tuyến là hai công cụ mạnh, nó kết hợp cùng với các bất đẳng thức cổ điển có thể giúp cho học sinh giải quyết hầu hết các bài toán bất đẳng thức đặt ra. Nó xử lý không những các bài toán xảy ra dấu đẳng thức khi các biến bằng nhau mà còn xử lý được các bài toán mà dấu đẳng thức xảy ra khi các biến số không bằng nhau. 
Trong những năm qua, khi giảng dạy, luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi về phần bất đẳng thức, tôi đã cung cấp cho các em học sinh lớp 12 “Phương pháp đạo hàm và tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức nhiều biến”, kết quả cho thấy các phương pháp này đã giúp cho học sinh một hướng đi rõ ràng, một cách nhìn tổng quát, toàn diện, tự tin hơn khi phải đối mặt với những bài toán về chứng minh bất đẳng thức.
Kết quả thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Đại học về môn Toán đối với học sinh lớp 12C năm học 2006 - 2007 và học sinh lớp 12B năm học 2009 - 2010 như sau:
Năm học
Lớp
Sĩ số
Số học sinh đạt giải Cấp tỉnh(/số học sinh tham gia dự thi)
Điểm thi ĐH môn toán 
(Số lượng)
Casio
Toán
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
2006-2007
12C
52
10 (/10)
4 (/6)
10
17
20
5
2009-2010
12B
45
4 (/5)
7 (/8)
8
16
18
3
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song bản thân tuổi nghề chưa nhiều, kinh nghiệm giảng dạy nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng còn có hạn chế. Vì vậy, bài viết này không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện, hiệu quả hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !
Nga Sơn, ngày 15 tháng 5 năm 2011
Người viết
Mai Sỹ Thủy