Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2011 - 2012 môn: Toán 6

UBND HUYệN YÊN LạC
PHòNG gd & đt
đề thi giao lu hsg năm học 2011-2012
Môn : Toán 6
Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 2,5 điểm)
Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
Cho M = 5 + 52 ++ 5100. Tìm số tự nhiên n biết rằng: 4.M + 5 = 5n
Câu 2: ( 1,5 điểm)
	Tìm các số nguyên tố p và q sao cho 7p + q và p.q + 11 cũng là các số nguyên tố.
Câu 3: ( 2,5 điểm)
Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho:
a + 2b = 48, ƯCLN(a,b) + 3.BCNN(a,b) = 114
Tìm các số nguyên n sao cho n2 + 1 chia hết cho n – 1
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng tổng số giao điểm là 465. Tìm n. 
Câu 5: ( 1,5 điểm)
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu kể từ 1 lập thành từng nhóm như sau:
(1), (2; 3), (4; 5; 6), (7; 8; 9; 10), (11; 12; 13; 14; 15),.
Hãy tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100 trong dãy trên.
.Hết..
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh không được sử dụng các loại máy tính cầm tay.
Đáp án
Câu 1: ( 2,5 điểm)
a)Gọi a là số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. 
Ta có: a – 5 7	a – 5 + 14 7	
	 	=> a – 4 + 13 13 => a+9 chia hết cho 7 và 13
=> a + 9 = 91 k ( k N* )
=> a = 91(k-1) +82
=> a chia cho 91 dư 82.
 Vậy số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư 82
b)Ta có 5M = 52 + 53 ++ 5101. 
5M – M = (52 + 53 ++ 5101) – (5 + 52 ++ 5100) = 5101 - 5
=> 	4M + 5 
Lại có: 4.M + 5 = 5n
=> 5n = 5101 . Vậy n = 101
Câu 2: ( 1,5 điểm)
*Với p = q = 2, ta có 7p + q =16 là hợp số 
*Với p, q > 3, ta có 7p + q là số chẵn lớn hơn 2 => 7p + q là hợp số.
*Với p = 2
+Nếu q = 3, ta có 7p + q = 17 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố 
+Nếu q > 3 thì q có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0)
-xét q = 3k + 1, ta có 7p + q = 14 + 3k + 1=3(k + 5) là hợp số.
-xét q = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số.
*Với q = 2
+Nếu p = 3, ta có 7p + q = 23 và p.q + 11 =17 đều là số nguyên tố 
+Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k +2 ( k là số tự nhiên khác 0)
-xét p = 3k + 1, ta có 7p + q = 7( 3k + 1) + 2=3(7k + 3) là hợp số.
-xét p = 3k + 2, ta có p.q + 11 = 2(3k + 2) + 11 =3(2k + 5) là hợp số.
Vậy các cặp số nguyên tố cần tìm là (p; q) = (2; 3); (3; 2)
Câu 3: ( 2,5 điểm)
a)Ta có:
 BCNN(a,b) chia hết cho a và b nên 3.BCNN(a,b) chia hết cho a + 2b
=> 3.BCNN(a,b) = 48k ( k là số tự nhiên khác 0)
+ Với k =1, ta có 3.BCNN(a,b) = 48 => ƯCLN(a,b) = 114-48= 66 > BCNN(a,b) điều này vô lí.
+Với k =2, ta có 3.BCNN(a,b) = 96 => ƯCLN(a,b) = 114-96=18 => a, b là bội của 18
=>a +2b = 18m ( m là số tự nhiên khác 0) 
Mặt khác a + 2b = 48. Do đó 18m = 48 => m =8/3 ( loại)
+Với k 3, ta có 3.BCNN(a,b) 144 (loại)
Vậy không có só tự nhiên a, b thỏa mãn đề bài.
b)Ta có : n2 + 1 = n2 – n + n -1 +2 = (n -1)(n+1) + 2
(n -1)(n+1) n-1 nên để n2 + 1 n – 1 thì 2n-1
=> n-1 =>n
Vậy các số nguyên n thỏa mãn đề bài là 0; -1; 2; 3. 
Câu 4: ( 2,0 điểm)
Có n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n – 1 đường thẳng tạo ra n – 1 giao điểm. Do đó n đường thẳng thì có n(n-1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần . Vậy thực tế chỉ có giao điểm. Vì bài cho biết tổng số giao điểm 465 nên ta có: = 465
 => n(n-1)=2.465 =930 = 31.31 => n = 31
Vậy n =31.
Câu 5: ( 1,5 điểm)
Bắt đầu từ nhóm thứ 2 quy luật của dãy là nhóm thứ n có n số hạng, số hạng đầu tiên của nhóm thứ n bằng tổng số số số hạng của n-1 nhóm trước đó cộng thêm 1
Nhóm 1: - có 1 số hạng 
Nhóm 2: - có 2 số hạng – số hạng đầu tiên là 1+1 =2
Nhóm 3: - có 3 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2)+1 =4
Nhóm 4: - có 4 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2+3)+1 =7
Nhóm 5: - có 5 số hạng – số hạng đầu tiên là (1+2+3+4)+1 =11
Nhóm n: - có n số hạng – số hạng đầu tiên là :
(1+2+3+4++(n-1))+1 =
Vậy nhóm thứ 100 có 100 số hạng và số hạng đầu tiên của dãy là: =4951