Đề Toán nâng cao - Số 8 (tt)

điểm
đề toán nâng cao số 8
 Họ và tên:
 Em hãy dùng phương pháp ngược từ cuối để giải các bài toán sau đây:
 Bài 1: Trong một buổi lao động trồng cây đầu xuân, lớp 5A đã chia số cây cho các tổ lần lượt như sau:
	Tổ Một trồng 20 cây và 4/ 100 số cây còn lại;
	Tổ Hai trồng 21 cây và 4/100 số cây còn lại;
	Tổ Ba trồng 22 cây và 4/100 số cây còn lại;
	.
	Cứ chia như vậy cho đến tổ cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây mỗi tổ đem trồng đều bằng nhau. Hỏi lớp 5 A có mấy tổ và mỗi tổ được chia bao nhiêu cây ?
 Giải:	
Bài 2: Trong hộp có 130 bi. Hai bạn chơi trò bốc bi. Mỗi lần có thể lấy từ 1 đến 6 bi. Ai lấy được viên bi cuối cùng người đó thắng cuộc. Bạn được bốc trước, theo bạn nên lấy như thế nào để bạn luôn là người thắng cuộc ?
Giải:	
Bài 3: (Toán cổ). Một tên tham lam gặp một con quỷ ở cạnh chiếc cầu. Tên này than phiền về nỗi nghèo khổ của mình. Con quỷ nói rằng " Tôi có thể giúp anh. Cứ mỗi lần anh đi qua cầu thì số tiền của anh sẽ được tăng gấp đôi; nhưng ngay sau đó anh phải trả cho tôi 24 xu. Bằng lòng chứ ?". Tên tham lam bằng lòng như thế. Sau khi hắn đi qua cầu ba lần thì thấy trong túi của mình không còn một xu nào. Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền ?
Giải:	
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi bằng các phép tính đơn giản, quá trình tìm tòi cách giải có thể dùng lược đồ hoặc đưa về bài toán tìm x quen thuộc.
Ví dụ 1.1: Tìm một số biết rằng nếu đem số đó cộng với 32, được bao nhiêu đem chia cho 3, rồi nhân với 4 thì bằng 120.
 Hướng dẫn giải: 
	Với bài toán dạng này, ta có thể sử dụng các cách:
	+ Dùng lược đồ
	+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng
	+ Đưa về bài toán " tìm x" ( Lập phương trình )
 Để phù hợp với nhận thức của học sinh tiểu học ( đặc biệt là các em còn ở mức trung bình vươn lên khá giỏi ), ta nên hướng dẫn các em sử dụng lược đồ như sau:
120
C
A ?
B
 + 32 : 3 x 4
 - 32 x 3 : 4 
	Nếu ta quay lược đồ này một góc 90 0 ta có cách nói suy luận từ dưới lên
C
B
120
A? 
 - 32 + 32
 x 3 : 3
 : 4 x 4
Bằng các dấu mũi tên ngược với quá trình biến đổi của đề ra ta dễ dàng giúp các em tìm ra kết quả bài toán.
C x 4 = 120 . Vậy, muốn tìm C ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ?
 ( 120 : 4 = 30. Vậy C = 30 )
B : 3 = 30 . Vậy, muốn tìm B ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ? ( 30 x 3 = 90. Vậy B = 90 )
A + 32 = 90 . Vậy, muốn tìm A ta làm thế nào và bằng bao nhiêu ?
 ( 90 - 32 = 58 . Vậy A = 58 - Đây chính là số phải tìm của bài toán ).
 Lưu ý: Lược đồ chỉ nên sử dụng ở phần nháp để tìm tòi cách giải. Nếu vẽ vào bài làm thì rườm rà và mất thời gian.
 Bài giải cụ thể:
	Số trước khi nhân với 4 là: 120 : 4 = 30
	Số trước khi chia cho 3 là: 30 x 3 = 90
	Số phải tìm ( hay trước khi cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58
	Đáp số: 58
 Bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng như sau:
	 Số cần tìm : 32 
 Số sau khi cộng với 32: 
 Số sau khi chia cho 3:
 Cuối cùng :
 120
 Lưu ý: Số sau khi cộng với 32 hay trước khi chia cho 3 là một
	* Giải bằng cách đưa về bài toán tìm X ( tìm thành phần chưa biết trong phép tính - lập phương trình )
	Gọi số cần tìm là X ta có : ( X + 32 ) : 3 x 4 = 120 . Giải:
	 ( X + 32 ) : 3 = 120 : 4
 ( X + 32 ) : 3 = 30
 X + 32 = 30 x 3
 X + 32 = 90
 X = 90 - 32
 X = 58
 Lưu ý: 6 bài toán tìm X ở dạng cơ bản: 
 X + a = b ; X x a = b ; X - a = b ; a - X = b , X : a = b ; a : X = b
 Trong đó a, b là các số đã biết X là số cần tìm. Hầu hết các bài toán tìm X ở tiểu học ( giải phương trình bậc nhất có một ẩn số ) không ở dạng cơ bản, qua một số biến đổi tương đương đều được đưa về một trong 6 dạng cơ bản trên.
 Ví dụ 1.2: Tìm một số biết rằng số đó nhân với 5 rồi cộng với 45, được bao nhiêu nhân với 4 rồi chia cho 2 và cuối cùng trừ đi 17 thì được kết quả là 2073.
 Hướng dẫn giải:
Dùng lược đồ:
 x 5 + 45 x 4 : 2 - 17
2073
X?X?
D
C
B
A
 : 5 - 45 : 4 x 2 + 17 
 Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu dưới đây)
	 Số trước khi trừ đi 17 là : 2073 + 17 = 2090
	 Số trước khi chia cho 2 là : 2090 x 2 = 4180
	 Số trước khi nhân với 4 là : 4180 : 4 = 1045
	 Số trước khi cộng với 45 là : 1045 - 45 = 1000
	 Số phải tìm là : 1000 : 5 = 200 
	 Đáp số: 200 
Dùng SĐĐT
	Dạng bài này tìm tòi cách giải bằng phương pháp sử dụng SĐĐT được nhưng phải vẽ hơi phiền phức. Cách vẽ và cách trình bày tương tự ví dụ 1.1, nên không trình bày ở đây.
Sử dụng cách đưa về bài toán tìm X.
	Việc sử dụng cách đưa về bài toán tìm X cũng khá đơn giản, tương tự ví dụ 1.1, việc đưa về giải phương trình như thế này chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học. Bên cạnh đó cần lưu ý học sinh khi sử dụng dấu ngoặc đơn một cách hợp lý.
	Cụ thể: Gọi số phải tìm là X ta có:
	(X x 5 + 45 ) x 4 : 2 - 17 = 2073. 
 Giải bài toán này ta tìm được X = 200. Cách giải tương tự ví dụ 1.1 đã trình bày.
2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( các phép chia phức tạp ) quá trình tìm tòi cách giải và giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , một phương pháp đặc biệt phù hợp với học sinh tiểu học.
Ví dụ 2.1: Một người đem bán một số cam. Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam còn lại, lần thứ ba bán 20 quả thì còn 56 quả. Hỏi lúc đầu người đó có tất cả bao nhiêu quả cam ?
 Hướng dẫn giải:
Dùng lược đồ: Dạng này nếu dùng lược đồ thì sẽ khó khăn trong việc biểu diễn phần còn lại sau mỗi lần bớt. Cụ thể:
 Bớt 1/3 của X Bớt 1/3 của A - 20
A
X?
56
B
( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải bài toán )
 + Bán đi 20 quả, còn 56 quả. Vậy, muốn tìm số cam trước khi bán 20 quả ta có thể làm như thế nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76. Như vậy B = 76 quả )
 + Bớt đi 1/3 của A thì bằng B, tức bằng 76. Vậy, muốn tìm A ta có thể làm như thế nào ?. Hướng dẫn cách nghĩ: A bớt đi 1/3 của nó thì còn A, mà A bằng 76 , vậy A = 76: 2/3 = 114 ( có thể trình bày A = 76 : 2 x 3 = 114). Vậy A = 114 
 + Bớt đi 1/3 của X thì bằng A, tức bằng 114. Vậy, muốn tìm X ta có thể làm như thế nào ?Tương tự như cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) là 171.
	Cách giải cụ thể:
	Trước khi bán 20 quả , người đó còn số cam: 56 + 20 = 76 ( quả ) 
	Số cam còn lại trước khi bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( quả )
	Số cam người đó đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( quả )
	Đáp số 171 quả
Dùng SĐĐT ( Phương pháp chủ công của loại này )
	Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt đối với những học sinh chưa học các phép tính về phân số ). Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT.
	Ta có SĐĐT như sau:
Số cam cần tìm: 
Số cam còn lại sau khi bán lần I: 
 Số cam còn lại sau khi bán lần II : 
 20 quả
 Cuối cùng 
 56 quả
 Hướng dẫn giải: 
 Tìm số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai ( hay trước khi bán lần thứ ba ). Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng: đoạn cuối cùng 56 quả và đoạn biểu diễn 20 quả. Như vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai ta làm như thế nào? ( 56 + 20 = 76 ). 
	Tìm tiếp số cam còn lại sau khi bán lần thứ nhất. Số cam này được biểu diễn bằng đoạn thẳng có 3 phần bằng nhau, mà 2 phần trong đó chính là 76 quả. Vậy, muốn tìm số cam còn lại sau lần bán thứ nhất ta có thể làm như thế nào? 
( lấy 76 chia 2 để tìm 1 phần, rồi nhân với 3 để có 3 phần cụ thể 76 : 2 x 3 = 114).
	Tìm số cam người đó đem bán. Toàn bộ số cam này được biểu diễn bằng đoạn thẳng chứa 3 phần bằng nhau, mà trong đó có 2 phần bằng 114 quả. Vậy, muốn tìm số cam người đó đem bán ta có thể làm như thế nào ? ( lấy 114 chia 2 để tìm 1 phần, rồi nhân với 3 để tìm 3 phần - Cụ thể : 114 : 2 x 3 = 171).
 Bài giải cụ thể:
	Số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai là : 65 + 20 = 76 ( quả)
	Số cam còn lại sau khi bán lần đầu là: 76 : 2 x 3 = 114 (quả)
	Số cam lúc đầu là : 114 : 2 x 3 = 171 ( quả)
	Đáp số: 171 quả cam
Sử dụng cách đưa về bài toán tìm X:
	Với dạng này, nếu ta hướng dẫn học sinh giải bằng cách đưa về bài toán tìm X thì sẽ gặp một số khó khăn đối với học sinh tiểu học nhất là những học sinh chưa học các phép tính phân số. Ta có thể đưa về bài toán tìm X không thuộc dạng cơ bản như sau:
	Gọi số cam cần tìm là X ( X là số tự nhiên lớn hơn 0 - đơn vị : quả )
	X - x X - x ( X - x X ) - 20 = 56
 Ví dụ 2.2: Một người đem bán một số trứng như sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng và biếu khách 1 quả. Lần thứ hai bán 1/2 số trứng còn lại và lại biếu khách 1 quả. Lần thứ ba bán 1/2 số trứng còn lại sau hai lần trước và lại biếu khách 1 quả. Cuối cùng người đó còn 10 quả trứng. Hỏi lúc đầu người đó có bao nhiêu quả trứng đem bán ?
Hướng dẫn giải:
Dùng sơ đồ đoạn thẳng
	Như loại bài này, sử dụng phương pháp dùng SĐĐT để giải là tối ưu.
 Vẽ sơ đồ:
 Một nửa
Số trứng ?: 
 1 quả
 Số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất:
 Một nửa 1 quả 
 Số trứng còn lại sau lần bán thứ hai :
 Một nửa 1 quả
 Cuối cùng : 
 10 quả 
 	Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ dưới lên ): 
 + Một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai gồm một đoạn thẳng biểu diễn 10 quả trứng và 1 quả. Muốn tính một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai ta có thể làm thế nào ? ( 10 + 1 = 11 ). Muốn tính số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai ta làm thế nào ? ( 11 x 2 = 22 ).
 + Một nửa số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất gồm 22 quả và 1 quả. Từ đó dễ thấy cách tính số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 quả.
 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 quả và 1 quả. Từ đó dễ thấy cách tính số trứng người đó đem bán là: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( quả )
 Bài giải cụ thể:
	Số trứng còn lại sau khi bán lần thứ hai là: ( 10 + 1 ) x 2 = 22 ( quả )
	Số trứng còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: ( 22 + 1 ) x 2 = 46 ( quả )
	Số trứng người đó đem bán là: ( 46 + 1 ) x 2 = 94 ( quả )
 Đáp số: 94 quả trứng
 Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho các em: 
	 94 : 2 - 1 = 46 , 46 : 2 - 1 = 22 ; 22 : 2 - 1 = 10
Dùng lược đồ:
 X- X - 1 A - A - 1 B - B - 1
A
X?
10
B
( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt )
 + Tìm B: B - B - 1 = 10 B - 1 = 10 B = 11 B = 11 x 2 = 22
 + Tìm A: A - A - 1 = 22 A - 1 = 22 A = 23 A = 23 x 2 = 46
 + Tìm X: X - X - 1 = 46 X - 1 = 46 X = 47 X = 47 x 2 = 94
 Nhận xét: Với cách này rõ ràng học sinh đã phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh đó lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với tư duy của học sinh tiểu học.
Đưa về bài toán "tìm X ":
	Trong trường hợp bài này, nếu đưa về bài toán " tìm X " thì quá phức tạp đối với học sinh tiểu học. Để cho học sinh ...  việc tìm thành phần chưa biết trong phép tính, học sinh có thể giải được không khó khăn lắm.
	Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu " hàng ngang", ta có thể hướng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu " cột dọc ". Cách này khá hữu hiệu. Đây thực chất là ta lại sử dụng lược đồ nhưng được sắp xếp theo kiểu cột. Cụ thể như sau:
C
B
A
	 - 20 +20, + 15 -15
A 2
C 3
C 2
B 2
B 3
A 3
 + 5 - 40 + 40, - 5
160
180
140
 + 18 -18, +4 - 4
	Nhìn vào lược đồ cột, thực hiện theo chiều các mũi tên "dài", ta dễ dàng tính được số bi ở mỗi hộp lúc đầu. Chú ý khi xét " thêm ", " bớt" ở mỗi cột không cần biết ở đâu chuyển đến hay chuyển đi đâu. Các bước giải của bài toán có thể làm gộp rất ngắn gọn như sau:
	Số bi ở hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - 5 + 20 = 137 ( bi )
	Số bi ở hộp B lúc đầu là: 160 - 4 + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi )
	Số bi ở hộp C lúc đầu là: 180 + 4 + 5 - 40 + 15 = 164 ( bi )
 Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi
 Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A và B. Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B. Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A một số lít dầu gấp 2 lần số lít dầu hiện có ở thùng A. Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B một số lít dầu đúng bằng số lít dầu hiện có ở thùng B thì cuối cùng thùng A có 48 l, thùng B có 60 l. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu ?
	Đây là một bài toán thuộc dạng thứ ba. Trong đó cần lưu ý, khi chuyển từ địa chỉ này sang địa chỉ khác có 2 cách:
	- Chuyển một số đơn vị cụ thể ( tương tự ví dụ 3.1)
	- Chuyển một số lần hiện có ở địa chỉ được chuyển đến.
Hướng dẫn giải:
Lập bảng
Nội dung chuyển
Số bi ở các hộp
Hàng
Lần 1: Chuyển 26 bi từ A B
A
 26
B
1
Lần 2: Chuyển từ B A số lít dầu gấp 2 lần số dầu hiện có ở A
2A
2B
2
Lần 3: Chuyển từ A B số lít dầu đúng bằng số dầu hiện có ở B
3A
3B
3
Cuối cùng
48 lít
60 lít
4
 + Tính số lít dầu ở mỗi thùng trước khi chuyển lần thứ ba ( các ô 3A, 3B )
	- Số lít dầu ở thùng B ( ô 3B)
 Sau khi chuyển lần thứ ba ( cuối cùng ), thùng B có 60 l. Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu bằng số dầu thùng B hiện có để được 60 l. Vậy trước khi chuyển lần thứ ba ở thùng B có bao nhiêu lít dầu ? Muốn tính ta phải làm thế nào ? ( 60 : 2 = 30 - có thể minh hoạ bằng SĐĐT để các em dễ hiểu )
	- Số lít dầu ở thùng A ( ô 3A )
 Bớt đi 30 còn 48. Vậy, muốn tìm số lít dầu ở thùng A trước khi chuyển lần thứ ba ta có thể làm như thế nào ? ( 30 + 48 = 78 - hoặc 48 + 60 - 30 = 78 )
 + Tính số lít dầu ở mỗi thùng trước khi chuyển lần thứ hai.
	- Số lít dầu ở thùng A ( ô 2A )
 Được thêm 2 lần chính nó thì bằng 78. Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu ở thùng A trước khi chuyển lần thứ hai ta có thể làm như thế nào và bằng bao nhiêu ? ( 78 : 3 = 26 ). Nên mimh hoạ bằng SĐĐT để học sinh dễ hiểu hơn.
 78
 đã có 
 được thêm
	- Số lít dầu ở thùng B ( ô 2B )
 Muốn tính số lít dầu ở ô 2B ta có thể làm như thế nào ? ( 48 + 60 - 26 = 82 )
 + Tính số lít dầu ở mỗi thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước khi chuyển lần thứ nhất.
	- Số lít dầu ở thùng B lúc đầu:
 Được thêm 26 thì bằng 82. Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu ở thùng B ta có thể làm như thế nào ? ( 82 - 26 = 56 ).
	- Từ đó tìm được số lít dầu ở thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )
Sử dụng lược đồ cột
B
 A
 + 26	 - 26 + 26
2 A
2 B
 + thêm 2 lần nó Bớt 2 lần ( 2A )
 : 3 ( gấp 3 lần ) 
3 A
3 B
 + 30 Trừ đi 1 lần ( 3B ) + thêm 1 lần nó
60
48
 Bài giải cụ thể:
	Tổng số lít dầu ở hai thùng luôn là: 60 + 48 = 108 ( l )
	Số lít dầu ở thùng B trước khi chuyển lần thứ ba là: 60 : 2 = 30 ( l )
	Số lít dầu ở thùng A trước khi chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l )
	Số lít dầu ở thùng A trước khi chuyển lần thứ hai là: 78 : 3 = 26 ( l )
	Số lít dầu ở thùng B trước khi chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l )
	Số lít dầu ở thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l )
	Số lít dầu ở thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )
 Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l
 Chú ý: Nếu sắp xếp theo lược đồ cột thì không thể tính liên tục ở một thùng như ví dụ 3.1
 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối cùng các phần được chia ra bằng nhau. Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" và mối quan hệ giữa gía trị " áp chót" và gía trị cuối cùng để suy ra kết quả của bài toán.
Đây là dạng tương đối phức tạp trong các bài toán giải bằng phương pháp suy luận từ cuối. Những cái khó đó là:
	- Kết quả cuối cùng thường không phải là số cụ thể
	- Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật
 Muốn giải được dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích và tìm ra giá trị " áp chót" ( trước cuối ). Từ đó sẽ tính được đáp số của bài toán.
 Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau khi hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ được thưởng một số tiền. Người tổ trưởng đem chia số tiền đó như sau:
	- Tổ trưởng được 100000 đồng và 1/10 số tiền còn lại.
	- Tổ phó được 200000 đồng và 1/10 số tiền còn lại.
	- Công nhân thứ nhất được 300000 đồng và 1/10 số tiền còn lại.
	- Công nhân thứ hai được 400000 đồng và 1/10 số tiền còn lại.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
	Cứ tiếp tục chia như vậy cho đến người cuối cùng thì số tiền thưởng được chia đều cho tất cả mọi người. Hỏi số tiền thưởng cho cả tổ là bao nhiêu và mỗi người được thưởng bao nhiêu tiền ? 
	Ví dụ này là bài toán thuộc dạng suy luận từ cuối. Cái cuối cùng ở đây không biết cụ thể, mà chỉ biết được là bằng cách biến đổi như vậy thì cuối cùng số tiền chia cho mỗi người là như nhau. Bằng các cách giải như với các ví dụ trước với loại này không thể thực hiện được. Để giúp HS giải được loại này ta cần phân tích, xét phần " áp chót" và phần "chót" để tìm cách giải. Bằng SĐĐT ta có:
 " áp chót " " Cuối cùng"
 1/10
 " Cuối cùng "
Trước hết phải thấy người cuối cùng nhận số tiền là một số nguyên trăm nghìn đồng thì vừa hết ( tức là 1/10 của phần còn lại là 0). Nếu không thế thì người này vẫn chưa phải là người cuối cùng.
Theo sơ đồ ta thấy: Người " áp chót " được nhận một số nguyên trăm nghìn đồng và 1/10 số tiền còn lại. Như vậy, 9/10 số tiền còn lại là của người cuối cùng.
Người cuối cùng nhận một số nguyên trăm nghìn và hơn người "áp chót" 100000 đ. Vậy, 100000 đ đó chính là 1/9 số tiền người cuối cùng nhận. Từ đó ta có:
	+ Số tiền người cuối cùng nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng )
	+ Số người của tổ đó là: 9 người
	+ Số tiền của toàn tổ là: 900000 x 9 = 8100000 ( đồng )
 Cũng lập luận như trên ta có thể có cách trình bày thứ hai như sau:
Gọi số nguyên trăm nghìn đồng của người " áp chót" nhận là A, phần còn lại là B đồng.
Từ đó ta có:
	Số tiền của người "áp chót" nhận được biểu diễn theo A và B như thế nào ? ( A + B )
	Số tiền người cuối cùng nhận được biểu diễn như thế nào ? (B )
 Theo bài toán, số tiền được chia đều cho mỗi người, có nghĩa là số tiền của người " áp chót" nhận bằng số tiền của người cuối cùng nhận, nên ta có thể biểu diễn quan hệ số tiền của hai người này như thế nào ? ( A + B = B 
 A = B )
 Mặt khác, người cuối cùng nhận B là vừa hết, nên số tiền người cuối cùng nhận bằng số nguyên trăm nghìn người " áp chót" nhận và thêm 100000 đ. Tức là: 
 B = A + 100000 B = B + 100000 B = 100000
 B = 100000 : 1/10 = 1000000. Vậy, số tiền mỗi người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ). Từ đó tính được số tiền của cả tổ:
	+ Cách 1: Theo quy luật cộng thêm ở số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có 9 người. Vậy : Tổng số tiền được thưởng là: 900000 x 9 = 8100000 ( đ ).
	+ Cách 2: Từ chỗ mỗi người được thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền còn lại = 900000 đ 1/10 số tiền còn lại là 8000000 đ. Vậy, tổng số tiền được thưởng là : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ )
Lưu ý: Về cách tính số người của tổ có thể thực hiện theo cách sau:
 Số người của tổ đó là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + 1 = 9 ( người )
 Ví dụ 4.2: Một người đem bán một số cam như sau: 
	Người thứ nhất mua 9 quả và 1/6 số cam còn lại.
	Người thứ hai mua 18 quả và 1/6 số cam còn lại.
	Người thứ ba mua 27 quả và 1/6 số cam còn lại.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Cuối cùng số cam vừa hết và số cam mỗi người mua bằng nhau. Hỏi người đó đã bán bao nhiêu quả cam ?
 Hướng dẫn giải:
	Tương tự như ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định một số điều sau:
 + Người thứ nhất mua 9 quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, 
	Vậy, quy luật ở đây là người mua sau hơn người mua liền trước 9 quả.
 + Người cuối cùng mua một số nguyên quả cam thì vừa hết, có nghĩa phần dư còn lại là 0.
 + Người " áp chót" mua một số nguyên quả cam và 1/6 số cam còn lại thì 5/6 số cam còn lại khi này là số cam người cuối cùng mua.
 + Số cam mỗi người mua là như nhau.
	Ta sử dụng SĐĐT: Cuối cùng
 "áp chót" (A)
 (B) 
 Cuối cùng 9 quả
	Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối cùng mua bằng phần nguyên số cam người " áp chót" mua và thêm 9 quả. Vậy, 1/6 số cam còn lại sau khi người " áp chót" mua một số nguyên quả cam là 9 quả.
	Vậy, số cam người cuối cùng mua là: 9 x 5 = 45 ( quả )
	 Số người mua cam là: ( 45 - 9 ) : ( 18 - 9 ) + 1 = 5 ( người )
	 Số cam người đó đem bán là: 45 x 5 = 225 ( quả )
 Ta có thể hướng dẫn các em giải theo cách khác:
	Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua là A, phần còn lại là B 
 ( xem hình vẽ ).
 Số cam người " áp chót" mua được biểu diễn theo A và B : A + B.
 Số cam người " cuối cùng " mua được biểu diễn theo B là: B. Theo bài toán ta có: A + B = B A = B . Từ đó: B - B = B = 9 
 B = 54.
	Mỗi người mua số cam : 54 : 6 x 5 = 45 quả, số cam người đó đem bán là: 45 x 5 = 225 (quả).
 5. Khái quát vấn đề
	Mô hình chung của loại toán giải bằng phương pháp suy luận từ cuối là:
cần tìm
+ Một số
+ Nhiều số bằng nhau
Kết quả sau biến đổi lần thứ nhất
(chưa biết )
Kết quả sau biến đổi lần thứ hai
(chưa biết)
Kết quả sau biến đổi lần thứ ba
(chưa biết)
cuối cùng
( đã biết)
Các bước thực hiện ngược để giải bài
	Quy trình giải chủ yếu thực hiện các bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu. Việc thực hiện các phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào quá trình biến đổi. Có những bài việc biến đổi đơn giản, có những bài biến đổi phức tạp. 
	Có một số bài toán kết quả cuối cùng có thể không phải là những số cụ thể mà có thể lại là một bài toán, giải các bài toán đó ta sễ tìm được các kết quả cuối cùng ( thông thường là các bài toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ  )