Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán tìm hai số khi biết “hai tỷ số”

Phương pháp giảI toán tìm hai số khi biết “hai tỷ số”
Dạng 1: Tổng hai số không thay đổi
Ví dụ 1: Đội tuyển bóng đá mi ni của huyện A tham dự hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh gồm các bạn học sinh lớp 4 và lớp 5. Dự định số bạn tham gia đội tuyển bóng đá đang học lớp 4 chiếm của cả đội. Nhưng do một bạn đang học lớp 4 không tham gia được mà thay bởi một bạn đang học lớp 5, khi đó số bạn đang học lớp 4 tham gia chỉ bằng số thành viên của cả đội. Tính tổng số thành viên của cả đôi bónh đá mi ni? 
Phân tích: Lúc đầu số học sinh lớp 4 tham gia học bằng của cả đội nhưng thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 thì lúc này số học sinh lớp 4 tham gia bằng của cả đội. Bởi vì thay một bạn học sinh lớp 4 bằng một học sinh lớp 5 nên tổng số học sinh khi không thay đổi. Mà ta thấy số học sinh lớp 4 được so sánh với tổng số học sinh nên ta sẽ tìm được một học sinh lớp 4 chiếm bao nhiêu so với phần tổng số học sinh của cả độ tuyển. Làm được như vậy chúng ta đã giải quyết được bài toán.
Bài giải
Một học sinh chiếm tổng số phần của cả đội là:
 ( cả đội)
Số học sinh tham gia đội tuyển bóng đá là:
1 : = 10 (học sinh)
 Đáp số: 10 học sinh
Nhận xét: Cách giải này ngắn gọn hơn cách giải bằng sơ đồ đoạn thẳng. Không phải lập luận dài dòng mà học sinh hiểu vấn đề bài toán nhờ đối tượng so sánh không thay đổi (cả đội) lúc đó chúng ta dễ nhận thấy 1 học sinh chiếm bao nhiêu phần so với số học sinh cả đội.
Bài toán này khi ra cho học sinh khối 5 chúng ta thay các dự kiện hoặc đổi các dự kiện đó bằng tỉ số phần trăm (có thể thay giá trị = 20% ...) 
Từ ví dụ trên chúng ta hướng dẫn học sinh giải bài toán khó hơn sau đây:
Ví dụ 2: Đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng cấp huyện gồm các bạn học sinh nam và học sinh nữ. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm số nam nhưng do điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn nam. Khi đó số bạn nữ chiếm số nam. Tính xem đội tuyển của trường A đi dự hội thao bao nhiêu học sinh?
Phân tích 
 Vì thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam cho nên tổng số tham gia Hội khoẻ không thay đổi. Dự định số bạn nữ tham gia đội tuyển chiếm số nam tức là số bạn nữ bằng số học sinh cả đội nhưng do điều kiện thay bởi một bạn nữ bằng một bạn nam. Thì lúc đó số bạn nữ chiếm số nam tức là số học sinh nữ chiếm số học sinh của cả đội. Cho nên ta biểu thị số học sinh nữ dự định lúc đầu là một phần thì số học sinh cả đội là 5 phần như thế. Sau khi thay 1 học sinh nữ bằng 1 học sinh nam khi đó số nữ 1 phần thì số học sinh cả đội 6 phần bằng nhau. Từ phân tích trên bài toán trở lại bài ban đầu.
Bài giải
Số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là: cả đội tuyển
Sau khi thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam thì số học sinh nữ so với số học sinh cả đội tuyển là: cả đội tuyển
Một học sinh chiếm số phần học sinh cả đội là:
 (cả đội tuyển)
Vậy số học sinh đội tuyển của trường A tham gia Hội khoẻ Phù Đổng là:
1 : = 30 (học sinh)
 Đáp số: 30 học sinh
Ví dụ 3: Đội tuyển trường em tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp huyện, ban đầu số nữ bằng số nam. Sau khi xét theo yêu cầu thay thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam. Hỏi đội tuyển trường em có bao nhiêu bạn? (Đề thi học sinh giỏi Nam Định)
 Phân tích
 Ban đầu số nữ bằng số nam; số nữ là 2 phần thì số nam 3 phần bằng nhau cho nên tổng số phần là 2 + 3 = 5 phần tức là số nữ bằng cả đội tuyển. Sau khi xét theo yêu cầu thay thế một bạn nữ bằng một bạn nam vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam (75% = ). Số học sinh nữ ba phần thì số học sinh nam 4 phần như thế, số phần biểu thị cho cả đội là 3 + 4 = 7 phần; số học sinh nữ chiếm số học sinh cả đội. Từ phân tích trên chúng ta giải bài toán này như sau:
Bài giải
Ta có: 75% = 
Vì ban đầu số nữ bằng số nam nên số nữ lúc đầu bằng cả đội tuyển.
Sau khi thay một bạn nữ bằng một bạn nam thì số nữ bằng số nam, tức là số nữ lúc này bằng cả đội tuyển.
Vậy một bạn chiếm số phần của cả đội tuyển là:
 (cả đội tuyển)
Đội tuyển trường em có số bạn là:
1 : = 35 (bạn)
 Đáp số: 35 bạn
 Ví dụ 4: Một tủ sách có hai ngăn. Số sách ở ngăn dưới gấp 3 lần số sách ngăn trên. Nếu chuyển 10 quyển sách ở ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 7 lần ngăn trên. Tính số sách mỗi ngăn. 
Phân tích
 Đọc đề bài toán này Bài toán này lúc đầu chỉ cho biết tỉ số của hai ngăn: ngăn trên có số sách gấp 3 lần số sách ngăn dưới như vậy số sách ngăn trên 1 phần thì số sách ngăn dưới là 3 phần bằng nhau. Ta biết thêm dự kiện nữa đó là khi chuyển 10 quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn dưới gấp 7 lần số sách ngăn trên. Lúc này, số sách trên là 1 phần thì số sách ngăn dưới 7 phần như thế. Vì tổng số sách của hai không thay đổi từ phân tích trên chúng ta sẽ tìm được 10 quyển sách chiếm bao nhiêu phần tổng số sách của cả hai ngăn. Khi chúng ta hiểu được như trên thì giải quyết được yêu cầu bài toán.
Bài giải
 Coi số sách ngăn trên là một phần thì số sách ngăn dưới 3 phần bằng nhau cho nên số sách ngăn trên bằng tổng số sách của cả hai ngăn. Sau khi chuyển 10 quyển sách từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì số sách ngăn trên bằng số sách của cả hai ngăn. Vậy 10 quyển sách chiến phần của cả hai ngăn là:
(tổng số sách)
Tổng số sách của cả hai ngăn là:
10 : = 80 (quyển sách)
Số sách của ngăn trên là:
80 = 20 (quyển sách)
Số sách ngăn dưới là:
80 – 20 = 60 (quyển sách)
 Đáp số: Ngăn trên: 20 quyển
 Ngăn dưới: 60 quyển
Ví dụ 5: Lúc đầu số vịt dưới ao nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ. Nhưng sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao bơi lội thì số vịt dưới ao nhiều gấp 8 lần số vịt trên bờ. Hỏi cả đàn có bao nhiêu con? 
 Phân tích 
 Số vịt dưới ao nhiều gấp 5 lần số vịt trên bờ tức là số vịt trên bờ bằng số vịt cả đàn. Sau khi có 3 con vịt từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt trên bờ bằng số vịt cả đàn . Hiểu như trên, bài toán trở về ví dụ ban đầu lúc đó học sinh dễ hiểu đồng thời giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng. 
Bài giải
Lúc đầu số vịt trên bờ bằng:
1 : ( 1 + 5) = (số vịt cả đàn)
Sau khi 3 con từ trên bờ nhảy xuống ao thì số vịt trên bờ bằng:
1 : (1 + 8) = (số vịt cả đàn)
Vậy 3 con chiếm số phần vịt của cả đàn là:
 - = (số vịt cả đàn)
Đàn vịt đó có số con là:
3 : = 54 (con)
 Đáp số: 54 con
Ví dụ 6: Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng chiều dài. Nếu thêm vào chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì lúc đó chiều rộng bằng chiều dài. Tính diện tích của hình chữ nhật đó. (Đề thi giáo viên giỏi huyện Can Lộc)
Phân tích
 Bài toán này cũng tương tự như các ví dụ trên, chỉ khác ở chỗ tổng của chiều dài và chiều rộng được che khuất bởi nửa chu vi. Mà khi thêm chiều rộng 4 m và bớt chiều dài 4 m thì tổng của chiều dài và chiều rộng không tức là (nửa chu vi). Phát hiện được điều này là mấu chốt của bài toán. Chiều rộng bằng chiều dài cho nên chiều rộng bằng nửa chu vi; thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì chiều rộng bằng chiều dài tức là chiều rộng bằng nửa chu vi.
Bài giải
Nếu thêm chiều rộng 4 m và đồng thời bớt chiều dài 4 m thì nửa chu vi không thay đổi.
 Lúc đầu chiều rộng bằngchiều dài cho nên chiều rộng bằng nửa chu vi.
Sau khi thêm chiều rộng, bớt chiều dài thì chiều rộng bằng chiều dài tức là chiều rộng bằng nửa chu vi. 
Như vậy: 4 m ứng với số phần của nửa chu vi là:
 (nửa chu vi)
Nữa chu vi hình chữ nhật đó là:
4 : = 35 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
35 = 10 (m)
Chiều dài của hình chữ nhật là:
35 – 10 = 25 (m)
Diện tích của hình chữ nhật đó là:
10 x 25 = 250 (m²)
 Đáp số: 250 m²
Ví dụ 7: Cuối học kì I lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Cuối năm học sinh lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Hỏi lớp 5 A có bao nhiêu học sinh?
Phần tích 
 Số học sinh giỏi của lớp 5A cuối học kì I bằng số học sinh còn lại như vậy cả lớp có 10 phần nên số học sinh giỏi bằng số học sinh của cả lớp. Cuối năm học sinh lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại, nên số học sinh giỏi bằng số học sinh cả lớp.
Vì tổng số học sinh không thay đổi cho nên coi đơn vị so sánh đó là học tỉ số của học sinh của cả lớp để so sánh.
Bài giải
 Vì số học sinh số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp nên số học sinh giỏi bằng số học sinh của cả lớp. Có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp cho nên học sinh bằng số học sinh cả lớp
Mà số học sinh của cả lớp không thay đổi nên phân số biểu thị 4 học sinh là:
 (số học sinh cả lớp)
Vậy tổng số học sinh lớp 5 A là:
4 : = 40 (học sinh)
 Đáp số: 40 học sinh
 Tóm lại: Từ các ví dụ trên cùng một dạng mà cách giải thông thường giáo viên hướng dẫn học sinh giải bằng sơ đồ đoạn thẳng nhưng hướng dẫn giải bằng sơ đồ thì gặp khó khăn đó là phải thay đổi các phần biểu thị theo từng điều kiện của bài toán, theo từng giai đoạn của bài toán, quá trình này củng phải lập luận, diễn giải hộ trợ thêm cho sơ đồ, chứ sơ đồ không thể diễn tả nổi lời bài toán...cho nên học sinh khó hiểu. Chính vì thế chúng ta chỉ sử dùng sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy các mối liên hệ trong bài toán. Tuy nhiên, đối với học sinh khá, giỏi không cần thiết vẽ sơ đồ minh họa mà cho các em làm quen với lối tư duy, suy luận lôgíc. 
 Và cũng qua các toán trên, chúng ta nhận thấy tổng của hai số không thay đổi. Bởi lẽ, khi thêm vào số này một lượng nào đó và đồng thời bớt đi ở số kia cũng một lượng; hay chuyển từ số này sang số kia một lượng như nhau. Như vậy thì tổng của chúng không thay đổi. Cho nên khi giải đưa một trong hai số đó so sánh tỉ số của một số với tổng tỉ số của hai số rồi tìm lượng thêm vào bớt đi, hoặc lượng chuyển lên, chuyển xuống thêm vào...chiếm bao nhiêu phần so với tổng tỉ số của hai số. 
 Với dạng tổng không thay đổi toán tắt cách giải như sau:
 Dạng 1: Tổng không thay đổi
 Cách giải 
 - Tìm tổng tỉ số của hai số A và B. (xác định đại lượng không đổi)
 - Đưa về cùng một đơn vị so sánh.
 - Ban đầu so sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B.
 - Sau khi bớt một lượng ở A và thêm vào ở B thì tổng không thay đổi nhưng tổng tỉ số của A và B thay đổi.
 - So sánh tỉ số của A với tổng tỉ số của A và B sau khi thay đổi.
 - Tìm lượng bớt chiếm bao nhiêu của tổng hai tỉ số A và B.
 - Tính tổng của hai số hoặc từng số 
Dạng 2: Tổng hai số thay đổi
Ví vụ 8: Một giá sách gồm hai ngăn: Số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên. Nếu xếp 15 quyển sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ở ngăn dưới bằng số sách ngăn trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi  ... đổi lấy số xe trong kho làm đơn vị so sánh. Số xe trưng bày để bán số xe đó; số xe còn lại bỏ trong kho là số xe, số xe trưng bày để bán bằng số xe bỏ trong kho. Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trưng bày thì số xe ở trong kho nhiều gấp 10 lần số xe còn lại ở quầy trưng bày xe, số xe trưng bày lúc này chỉ bằng số xe máy trong kho.
Chúng ta giải bài toán này như sau: 
Bài giải
Lúc chưa bán đi xe nào thì số xe máy trưng bày ở quầy hàng bằng số xe bỏ trong kho.
Sau khi bán 3 chiếc xe ở quầy trưng bày thì số xe còn lại ở quầy trưng bày bằng số xe máy cất trong kho.
Ta thấy: Số xe trong kho không thay đổi nên phân số biểu thị 3 chiếc xe là:
 (số xe trong kho)
Số xe máy trong kho là:
3 : = 70 (chiếc)
Số xe máy được đưa ra trưng bày và bán ở quầy là:
70 = 10 (chiếc)
Tổng số xe máy nhập về là:
70 + 10 = 80 (chiếc)
 Đáp số: 80 chiếc
Ví dụ 11: Để chuẩn bị tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh, huyện em đã thành lập đội tuyển tham dự trong đó số nữ bằng số nam. Sau khi đội được bổ sung 20 nữ và 15 nam nên lúc này số nữ bằng số nam. Tính xem đội tuyển của huyện tham gia Hội khỏe Phù đổng cấp tỉnh có tất cả bao nhiêu bận động viên tham gia?
Phân tích
 Theo bài toán, lúc đầu số nữ bằng số nam, ta có thể nói số nam bằng số nữ. Lúc đầu số nữ tăng 20 bạn, số nam tăng 15 bạn thì số nữ bằng số nam. Giả sử sau khi tăng, muốn số nữ vẫn bằng số nam hoặc số nam bằng số nữ thì số nam phải bổ sung thêm 20 = 30 (bạn). Nếu bổ sung 30 nam mà chỉ bổ sung 20 nữ thì hiệu số nam lúc sau và lúc đầu là: 30 – 15 = 15 (bạn)
Chúng ta hiểu lại bài toán như sau: Nếu bổ sung 15 nam và 20 nữ thì số nam bằng số nữ; khi bổ sung 30 nam và 20 nữ thì số nam bằng số nữ. Từ chỗ hiểu bài toán như trên tóm tắt cách giải sau:
Bài giải
 Theo bài ra ta có: số nam bằng số nữ; sau khi tăng thêm 20 nữ và 15 nam mà để số nam vẫn bằng số nữ thì số nam phải được bổ sung thêm:
20 = 30 (bạn).
Hiệu số nam bổ sung thêm là:
30 – 15 = 15 (bạn)
Nếu bổ sung 15 bạn nam và 20 bạn nữ thì số nam bằng số nữ; nếu bổ sung 30 nam và 20 nữ thì số nam bằng số nữ .
Như vậy số nữ vẫn chỉ tăng thêm 20 bạn nên phân số biểu thị 15 bạn là:
(số nữ lúc sau).
Số nữ sau khi thêm là:
15 : = 60 (bạn)
Số nam sau khi thêm là: 
60 = 75 (bạn)
Tổng số vận động viên tham gia Hội khỏe Phù Đổng cấp tỉnh là:
60 + 75 = 135 (bạn)
 Đáp số: 135 bạn 
Ví dụ 12: Tủ sách của lớp 5 A có 7 ngăn, số sách trong các ngăn như nhau. Tủ sách của lớp 5B có 5 ngăn, số sách trong mỗi ngăn gấp 2 lần số sách trong mỗi ngăn của tủ 5A. Biết rằng nếu bớt đi ở mỗi ngăn của tủ sách lớp 5A 3 quyển và bớt đi tủ sách của lớp 5B 12 quyển thì số sách còn lại của hai tủ bằng nhau. Tính xem mỗi tủ có bao nhiêu quyển sách. ( Đề thi học sinh giỏi Hà Tây).
Phân tích
Tủ sách của lớp 5A có 7 ngăn, tủ sách của lớp 5B có 5 ngăn nhưng số sách trong mỗi ngăn của lớp 5B gấp 2 lần số sách trong tủ của lớp 5A cho nên ta coi tủ sách của lớp 5B có số sách bằng mỗi ngăn ở tủ sách lớp 5A thì tủ của lớp 5B phải là 10 ngăn như thế. Nếu mỗi ngăn tủ sách của của lớp 5A không bớt quyển nào mà chỉ bớt mỗi ngăn của tủ sách của lớp 5B đi một số sách thì số sách của hai lớp bằng nhau. Cho nên chúng ta chỉ việc tìm phân số chỉ số sách bớt đi của lớp 5B chiếm bao nhiêu phần tổng số sách của hai lớp là giải quyết bài toán xong.
Bài giải
Giả sử, số sách ở mỗi ngăn của lớp 5B bằng số sách mỗi ngăn của lớp 5A thì tủ của lớp 5A có số ngăn là:
5 x 2 = 10 (ngăn)
Coi số sách của lớp 5A là 7 phần thì số sách của tủ lớp 5B là 10 như thế khi đó số sách của lớp 5A chiếm tổng số sách của cả hai lớp. Số sách của lớp 5B chiếm tổng số sách hai lớp.
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5A là
7 x 3 = 21 (quyển)
Số sách bớt đi của tủ sách lớp 5B là:
10 x (12 : 2) = 60 (quyển)
Số sách của lớp 5A không bớt mà chỉ bớt đi số sách của lớp 5B số quyển sách để số sách hai lớp bằng nhau là:
60 – 21 = 39 (quyển)
Vậy: 39 quyển sách chiếm số phần tổng số sách của cả hai lớp là:
= (tổng số sách của hai lớp)
Tổng số sách của hai lớp là:
39 : = 221 (quyển)
Số sách ở tủ lớp 5A là:
221 = 91(quyển)
Số sách của tủ lớp 5B là:
221 – 91 = 130 (quyển)
 Đáp số: Tủ 5A: 91 quyển
 Tủ 5B: 130 quyển
Ví dụ 13: Trong đợt thi tuyển chọn học sinh đi tham dự giao lưu Toán Tuổi thơ lần thứ Tư của tỉnh A, trong đó số học sinh nữ bằng số học sinh nam. Nếu có thêm 10 học sinh nam tham gia dự thi thì số nữ lúc này bằng số học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham gia thi tuyển.
Phân tích
 Bài toán này, cho biết số học sinh nữ bằng số học sinh nam nhưng nếu học sinh cứ nghĩ số nữ bằng tổng số nam và nữ; Sau khi thêm 10 học sinh nam thì số nữ lúc này bằng số học sinh nam tức là số nữ bằng tổng số nam và nữ. Đây lấy số học sinh nữ làm đơn vị để so sánh khi đó lấy tổng số nam và nữ trừ đi tổng số nam và nữ dẫn đến sai lầm trong giải toán. Bởi vì tổng số nam và nữ và tổng số nam và nữ không cùng một đơn vị tức là số phần khác nhau.
Cho nên ta giải bài toán này như sau: 
Bài giải
Ta có: ; 
Số nữ lúc đầu bằng số học sinh nam nếu có thêm 10 học sinh nam tham gia dự thi thì lúc này số học sinh nữ bằng số học sinh nam, như vậy coi số học sinh nam lúc đầu 9 phần thì số học sinh nam sau khi thêm 10 học sinh nữa là 10 phần bằng nhau.
10 học sinh nam chiếm số phần là:
10 – 9 = 1 (phần)
Số học sinh nam tham gia dự thi là:
(10 : 1) 9 = 90 (học sinh)
Số học sinh nữ tham gia dự thi là:
90 = 60 (học sinh)
Vậy học sinh tham gia thi tuyển là:
60 + 90 = 150 (học sinh)
 Đáp số: 145 học sinh
Có thể tìm 10 học sinh nam chiếm bao nhiêu phần số học sinh nam: 
 - =( số học sinh nam)
Ví dụ 14: Tủ sách thư viện trường em có hai ngăn: Ngăn thứ nhất có số sách bằng số sách thứ hai. Nếu xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng số sách ngăn thứ hai. Hỏi ban đầu mỗi ngăn tủ có bao nhiêu cuốn sách? (Đề thi học sinh giỏi quận Đống Đa)
Phân tích
 Bài toán này tổng thay đổi, tỉ số của hai số cũng thay đổi khi cùng thêm vào hai số cho nên chúng ta mạnh dạn cứ nghĩ chỉ một tỉ số thay đổi thì giải được bài toán bằng các cách như giải các bài toán trên. Số sách ngăn thứ nhất bằng số sách thứ hai; số sách ngăn thứ nhất bằng tổng số sách của cả hai ngăn. Khi xếp thêm vào ngăn thứ nhất 80 cuốn và ngăn thứ hai 40 cuốn thì số sách ngăn thứ nhất bằng số sách ngăn thứ hai tức là số sách ngăn thứ nhất bằng tổng số sách của cả hai ngăn. Chúng ta chỉ việc tính xem khi xếp vào ngăn thứ nhất bao nhiêu cuốn và chiếm bao nhiêu phần của tổng số sách sau khi xếp thêm vào mỗi ngăn thế là vấn đề bài toán trở về dạng ban đầu.
Bài giải
Số sách ngăn thứ nhất bằng tổng số sách của cả hai ngăn; và sau khi thêm thì số sách ngăn thứ nhất bằng tổng số sách của cả hai ngăn. Giả sử sau khi thêm mỗi 80 cuốn vào ngăn thứ nhất và 40 cuốn vào ngăn thứ hai
Mỗi ngăn thứ nhất thêm là:
80 – 40 = 40 (cuốn)
Như vậy: 40 chiếm tổng số phần sách sau khi thêm vào cả hai ngăn là:
( tổng số sách của cả hai ngăn)
Tổng số sách của cả hai ngăn sau khi thêm là
40 : = 1400 (cuốn).
Số sách thêm vào ngăn thứ nhất là:
80 x 3 = 240 (cuốn)
Số sách thêm vào ngăn thứ hai là:
40 x 4 = 160 (cuốn)
Tổng số sách ban đầu là:
1400 – (240 + 160) = 1000 (cuốn)
Số sách ban đầu của ngăn thứ nhất là:
1000 = 400 (cuốn)
Số sách ngăn thứ hai là:
1000 – 400 = 600 (cuốn)
 Đáp số: Ngăn thứ nhất: 400 cuốn
 Ngăn thứ hai: 600 cuốn
Ví dụ 15: Cho hai số A và B có tỉ số . Nếu thêm vào mỗi số 18,4 thì ta được hai số mới A' và B' có tỉ số .Tìm A và B đã cho (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh)
Phân tích
 Tỉ số A và B là , khi thêm vào mỗi số 18,4 tỉ số mới (vì 0,25 = ). Tuy tổng thay đổi vì cả hai đều thêm 18,4 nhưng hiệu của B và A không đổi. Ta có thể so sánh A hoặc B lúc đầu và sau khi thêm đại lượng không đổi.
Bài giải
Số A lúc đàu bằng: (hiệu hai số A và B)
Số A sau khi thêm bằng:
( hiệu hai số A và B).
Vậy 18,4 ứng với số phần của hiệu đó là:
(hiệu hai số A và B)
Hiệu của B và A là:
18,4 : = 138
Số A cần tìm là:
138 = 27,6
Số B cần tìm là:
27,6 x 6 = 165,6
 Đáp số: A là 27,6
 B là 165,6
 Đọc các bài toán trên tưởng chừng là dễ nhưng kì thực khi giải thấy phức tạp để vẽ sơ đồ giải bài toán này quả là khó những vận dụng một cách linh hoạt cách giải trên chúng ta dễ dàng giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiều. Tránh được tình trạng giải dài dòng...Tuy vẫn có các cách giải khác những chúng tôi nhận thấy cách giải như đã đưa ra trên phù hợp với nhận thức của học sinh đối với dạng toán này.
 Tóm lại: Trong quá trình giảng dạy chúng tôi giúp học sinh vận dụng một cách linh hoạt đơn vị so sánh để giải các bài toán về Tìm hai số khi biểt "hai tỉ số". Dạng toán này chưa được chính thức đưa vào chương trình chính khóa để dạy mà chỉ gặp một số bài được đưa ra và xen lẫm vào phần Phân số, phần Tỉ số phần trăm, phần Tìm hai số khi biết tổng và tỉ; Tìm hai số khi biết tỉ và hiệu; Tạp chí chuyên ngành, các đề thi thường gặp học sinh giỏi các cấp. Chính vì thế chúng tôi góp nhặt và phân loại thành từng dạng rồi tìm ra phương pháp giải tốt nhất nhằm giúp học sinh tiếp thu kiếm thức một cách chủ động, sáng tạo vào việc giải toán nhanh hơn, khoa học hơn. Tuy nhiên bên cạnh đó có nhiều cách giải khác nhau. Chúng ta có thể hiểu và các bước giải như sau:
 Dạng 2: Tổng thay đổi
Dạng 2.1: Biết tỉ số ban đầu của A và B sau khi (thêm) bớt ở A mà không(thêm) bớt ở B lại biết, tỉ số của và sau khi(thêm) bớt A và B.
 - Tìm đại lượng không đổi để so sánh đó là B.
 - Tìm xem lượng thêm vào hay bớt đi chiếm bao nhiêu của đại lượng không đổi đó là B.
 - So sánh tỉ số ban đầu khi chưa bớt (thêm) với tỉ số sau khi bớt (thêm).
 - Tính được đại lượng không đổi . 
 - Tìm được số còn lại.
Dạng 2.2: Thêm vào A đồng thời bớt ở B một lượng khác nhau và ngược lại thì tổng thay đổi. (dạng này tương đối khó và phức tạp tùy vào từng trường hợp cụ thể để vận dụng cách giải trên một cách hợp lí)
 - Khi đó ta lấy tỉ số của A hoặc tỉ số của B so sánh với tổng tỉ số của hai số.
 - Tìm hiệu tỉ số sau khi thay đổi.
 - Biến đổi một tỉ số không thay đổi 
Sau đó tìm được lượng chung bớt đi hoặc thêm vào chiếm bao nhiêu phần của tổng tỉ số sau khi thay đổi.
 - Tìm tổng hai số.
 - Tìm mỗi số ban đầu.
Dạng 2.3: Cùng thêm hoặc cùng bớt một lương ở hai đại lương.
 Khi thêm hoặc cùng bớt thì hiệu hai số không đổi cho nên lấy hiệu hai số làm đơn vị so sánh.
 - Tìm hiệu hai tỉ số ban đầu.
 - Tìm hiệu hai tỉ số sau khi thêm hoặc bớt.
 - So sánh hiệu hai tỉ số.
 - Tìm được hiệu hai số.
 - Tìm hai số.