SKKN Hướng dẫn học sinh Lớp 5 giải các bài toán "Tính độ dài quãng đường" trong toán chuyển động đều có liên quan đến quan hệ tỉ lệ nghịch

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
®Ò tµi : H­íng dÉn häc sinh líp 5 gi¶i c¸c bµi to¸n
"TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng " trong to¸n chuyÓn ®éng ®Òu 
cã liªn quan ®Õn quan hÖ tØ lÖ nghÞch
&
I. §Æt vÊn ®Ò : 
M«n To¸n lµ mét bé m«n häc cã vai trß hÕt søc quan träng trong viÖc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn nh©n c¸ch con ng­êi lao ®éng .Nã cÇn cho tÊt c¶ mäi ng­êi vµ ®­îc ¸p dông réng r·i trong ®êi sèng .Qua häc To¸n gãp phÇn h×nh thµnh vµ gi¸o dôc con ng­êi nhiÒu mÆt nh­ :rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p luËn ,ph¸t triÓn trÝ th«ng minh , c¸ch suy nghÜ ®éc lËp ,linh ho¹t s¸ng t¹o ,tÝnh cÇn cï chÞu khã trong mçi con ng­êi ®ång thêi gióp cho c¸c em cã thÓ nh¹y bÐn h¬n trong nhiÒu m«n häc kh¸c .Häc xong ch­¬ng tr×nh To¸n häc vÒ c¬ b¶n c¸c em ®· ®­îc trang bÞ mét l­îng kiÕn thøc lµm hµnh trang b­íc vµo cuéc sèng ®Çy tù tin .
Tõ nhiÒu n¨m trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y còng nh­ båi d­ìng häc sinh giái To¸n líp 5 t«i nhËn thÊy r»ng : Néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n líp 5 qu¶ lµ phong phó ®a d¹ng tõ c¸c bµi to¸n tÝnh ®Õn c¸c d¹ng to¸n gi¶i cã lêi v¨n víi nhiÒu ph­¬ng ph¸p gi¶i hay .NÕu häc sinh kh«ng ph©n ®Þnh ®­îc bµi to¸n ®ã thuéc d¹ng g× th× khã cã thÓ t×m ra ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i thÝch hîp cho bµi to¸n .
Trong sè c¸c d¹ng to¸n gi¶i hÇu hÕt häc sinh khi gÆp c¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn quan hÖ tØ lÖ nghÞch c¸c em th­êng tá ra lóng tóng , c¸c em Ýt gi¶i ®­îc bëi c¸c em n¾m b¶n chÊt cña quan hÖ tØ lÖ nghÞch cßn m¬ hå , ch­a x¸c ®Þnh ®­îc ®¹i l­îng nµo tØ lÖ nghÞch víi ®¹i l­îng nµo còng tõ ®ã mµ ch­a biÕt chuyÓn nh÷ng c¸i ®· cho ë ®¹i l­îng nµy qua ®¹i l­îng kh¸c mét c¸ch hîp lÝ ®Ó t¹o ra c¸c t×nh huèng cã quan hÖ tØ lÖ nghÞch tõ ®ã gi¶i bµi to¸n mét c¸ch ®¬n gi¶n cã hiÖu qu¶ h¬n .
§iÒu t«i muèn ®­a ra trong ®Ò tµi nµy lµ gióp cho häc sinh cã h­íng gi¶i c¸c bµi to¸n " TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng " trong to¸n chuyÓn ®éng ®Òu b»ng c¸ch vËn dông quan hÖ tØ lÖ nghÞch nh­ thÕ nµo ®Ó hiÖu qu¶ bµi gi¶i tèt nhÊt .
II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò 
Chóng ta biÕt r»ng trong c¸c bµi to¸n chuyÓn ®éng ®Òu khi qu·ng ®­êng kh«ng thay ®æi , vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch víi nhau. 
 V× vËy ®Ó lµm ®­îc c¸c bµi tËp " TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng " trong to¸n
chuyÓn ®éng ®Òu ta cÇn qua c¸c b­íc sau :
B­íc 1 :- X¸c ®Þnh râ c¸c ®iÒu kiÖn bµi to¸n cho vÒ vËn tèc , thêi gian .
B­íc 2 :
- LËp tØ sè gi÷a thêi gian chuyÓn qua tû sè vËn tèc( nÕu bµi to¸n cho biÕt thêi gian )
-LËp tû sè vËn tèc chuyÓn qua tû sè thêi gian ( nÕu bµi to¸n cho biÕt vËn tèc )
B­íc 3 : Gi¶i bµi to¸n trªn c¬ së sè liÖu ®· ®­îc chuyÓn qua th­êng lµ ®­a bµi to¸n vÒ d¹ng ®Þnh h×nh : " T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tû cña hai sè ®ã " hoÆc "T×m hai sè khi biÕt hiÖu vµ tû sè cña hai sè ®ã " hoÆc " T×m hai sè khi biÕt hai hiÖu " mµ c¸c em ®· quen gi¶i .
III.Mét sè vÝ dô minh ho¹.
Bµi 1 : Mét « t« ®i tõ A sang B víi vËn tèc 50 km/ giê vµ ®i tõ B vÒ A víi vËn tèc 60 km/ giê. Thêi gian lóc vÒ kÐm thêi gian lóc ®i 18 phót . Hái qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu ?
§©y lµ vÝ dô ®¬n gi¶n ®Çu tiªn ta cÇn h­íng dÉn häc sinh nh­ thÕ nµo ?
Ph©n tÝch bµi to¸n : Râ rµng « t« ®i tõ a ®Õn B råi ®i tõ B vÒ A qu·ng ®­êng lóc ®i b»ng qu·ng d­êng lóc vÒ . Víi gi¶ thiÕt bµi to¸n lµ « t« chuyÓn ®éng ®Òu nªn vËn tèc (v) vµ thêi gian (t) lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch víi nhau . Muèn tÝnh ®­îc qu·ng ®­êng AB chØ cÇn t×m ®­îc thêi gian ®i hoÆc vÒ lµ ®ñ . VËy lµm thÕ nµo ®Ó tÝnh ®­îc thêi gian ? ë ®©y cã thêi gian vÒ Ýt h¬n thêi gian ®i lµ 18 phót ta.Ta cã thÓ dïng c¸c kÝ hiÖu sau ®Ó gi¶i bµi to¸n cho tiÖn:
Gäi :
- v1 lµ vËn tèc « t« ®i tõ A ®Õn B
- v2 lµ vËn tèc « t« ®i tõ B ®Õn A
- t1 lµ thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B
- t2 lµ thêi gian « t« ®i tõ B ®ÕnA
Tõ ®ã ta cã : t1- t2=18 phót 
Ta suy ra ngay ®Õn lËp tû sè gi÷a vËn tèc ®i vµ v©n tè vÒ trªn qu·ng ®­êng AB .
V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch ( nh­ ®· nãi ë trªn ) do ®ã ta cã tû sè gi÷a thêi gian ®i vµ vÒ lµ .
Ta cã s¬ ®å thêi gian t1 
 18 phót
 t2 
-Tõ s¬ ®å ta tÝnh ngay ®­îc :
Thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B lµ .
18 x 6=108 phót
§æi 108 phót = 1,8 giê 
Qu·ng ®­êng AB dµi lµ .
50 x 1,8= 90 ( km )
§¸p sè : 90 km
L­u ý : Bµi nµy cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c nh­ng t«i kh«ng tr×nh bµy ë ®©y .
Bµi 2 : B×nh th­êng anh hïng ®i xe m¸y tõ A ®Õn B ph¶i mÊt 20 phót . V× h«m nay cã viÖc gÊp anh cÇn ®Õn x· sím h¬n 4 phót nªn anh ®· t¨ng tèc mçi phót thªm 120 m . TÝnh kho¶ng c¸ch tõ x· A ®Õn x· B.
Ph©n tÝch bµi to¸n . bµi nµy kh¸c víi bµi 1 ë chç . Bµi 1 cho biÕt vËn tèc ®i vµ v©n tèc vÒ ta t×m ®­îc tû sè thêi gian ®i vµ vÒ . Bµi nµy cho biÕt thêi gian ph¶i ®i vµ thêi gian thùc ®i .§­a bµi to¸n vÒ d¹ng " t×m hai sè khi biÕt hiÖu vµ tû " ®Ó gi¶i .
Gäi : - thêi gian dù ®Þnh ®i lµ t1 ( tÝnh theo phót )
 - thêi gian thùc ®i lµ t2 ( tÝnh theo phót )
- vËn tèc dù ®Þnh ®i lµ v1 ( tÝnh m/phót )
- vËn tèc thùc ®i lµ v2 ( tÝnh m/phót )
Theo bµi ra ta cã v2 - v1=120 m.
Thêi gian anh Êy thùc ®i lµ .
20phót- 4 phót =16 phót
Tû sè gi÷a thêi gian dù ®Þnh ®i vµ thêi gian thùc ®i lµ .
20 : 6 = 
V× qu·ng ®­êng tõ A ®Õn B kh«ng thay ®æi nªn vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch víi nhau . Do ®ã tû sè vËn tèc dù ®Þnh vµ vËn tèc thùc ®i lµ 
 Ta cã s¬ ®å .
- v dù ®Þnh 
 120 m/phót
 - v thùc ®i 
VËn tèc dù ®Þnh lµ : 120 x 4 = 480 (m / phót)
Qu·ng ®­êng AB dµi lµ .
480 x 20 = 9600 (m ) = 9,6 km
§¸p sè : 9,6 km.
Bµi 3 :
Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B . NÕu vËn tèc 30 km / giê th× ®Õn B sím h¬n 1 giê so víi thêi gian dù ®Þnh . NÕu ®i víi vËn tèc 20 km / giê th× ®i ®Õn muén h¬n 1 giê so víi thêi gian dù ®Þnh . Hái qu·ng ®­êng A ®Õn B dµi bao nhiªu km ?
Gîi ý häc sinh trªn cïng mét qu·ng ®­êng vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch . NÕu xe ®i víi vËn tèc 30 km / giê th× sím h¬n 1 giê . NÕu xe ®i víi vËn tèc 20 km / giê th× chËm h¬n 1 giê . VËy thêi gian ®i víi hai vËn tèc ®ã chªnh nhau lµ 1 + 1 = 2 giê 
Theo bµi ra ta cã tû sè gi÷a vËntèc 1 vµ vËn tèc 2 .
Nªn tû sè gi÷a hai thêi gian t1 vµ t2 lµ 
Ta cã s¬ ®å . - t1
 2 giê
 - t2
Thêi gian ®i víi vËn tèc 30 km / giê lµ .
2 : ( 3 - 2 ) x2 = 4 giê.
Qu·ng ®­êng AB.
30 x 4 = 120 ( km )
§¸p sè : 120 km
Bµi 4 : 
§o¹n d­êng AB gåm mét ®o¹n lªn dèc vµ mét ®o¹n xuèng dèc . ¤ t« lªn dèc víi vËn tèc 25 km / giê vµ xuèng dèc víi vËn tèc 50 km/ giê . ¤t« ®i tõ A ®Õn B råi ®i tõ B vÒ A mÊt tÊt c¶ 7 giê . TÝnh qu·ng ®­êng AB.
Ph©n tÝch bµi to¸n : ¤ t« ®i tõ A ®Õn B rråi ®i tõ B vÒ A nªn qu·ng ®­êng lªn dèc b»ng qu·ng ®­êng xuèng dèc .
C
 lªn	 xuèng
	 xuèng
 A	 lªn	B
- Bµi to¸n cho biÕt vËn tèc lªn dèc 25 km / giê , vËn tèc xuèngdèc 50 km/ giê . Ta sÏ lËp ®­îc tû sè gi÷a vËn tèc lªn dèc vµ vËn tèc xuèng dèc . Tõ ®ã ta cã tû sè thêi gian lªn dèc vµ thêi gian xuèng dèc .
 §­a bµi to¸n t×m hai sè khi biÕt tæng vµ tû sè cña hai sè .
Gi¶i : V× « t« ®i tõ A ®Õn B råi l¹i õ B vÒ A nªn ®o¹n ®­êng lªn dèc b»ng ®o¹n ®­êng xuèng dèc .
- tû sè gi÷a vËn tèc lªn dèc vµ vËn tèc xuèng dèc lµ .
25 : 50 = =
- V× qu·ng ®­êng kh«ng ®æi nªn vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch . Do ®ã tû sè thêi gian lªn dèc vµ xuèng dèc lµ .
Ta cã s¬ ®å : 
- t lªn dèc 
- t xuèng dèc 	7,5 giê
Thêi gian xuèng dèc lµ .
7,5 : (2 + 1) = 2,5 (giê)
Qu·ng ®­êng AB lµ.
50 x 2,5 = 125 (km)
§¸p sè : 125 km
Bµi 5 : 
Mét ng­êi ®i qu·ng ®­êng AB trong 10 giê . Lóc ®Çu xe ®i tõ A víi vËn tèc 40 km / giê khi cßn 100 km n÷a th× ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc 20 km / giê ®Ó ®Õn B ®óng hÑn . TÝnh qu·ng ®­êng AB .
 v2= 60km/ giê
 v1 = 40km/giê	D	C	E
	A	B
 100km 100km
§èi víi bµi to¸n nµy tr­íc hÕt h­íng dÉn c¸c em suy nghÜ b»ng h×nh vÏ t×m ra c¸ch gi¶i .
Tõ gi¶ thiÐt bµi to¸n ta cã nhiÒu h­íng gi¶i nh­ng vÉn ®Ì mÉu chèt ë vÝ dô nµy t«i muèn gióp c¸c em suy nghÜ t¹o t×nh huèng cã quan hÖ tû lÖ nghÞch tõ ®ã chuyÓn s¬ ®å (tû sè) tõ ®¹i l­äng nµy sang ®¹i l­îng kh¸c .
Ta sÏ ®­a bµi to¸n vÒ d¹ng mét ®éng tõ chuyÓn ®éng trªn hai qu·ng d­êng b»ng nhau víi hai vËn tèc kh¸c nhau ®Ó t×m ra tû sè vËn tèc vµ tõ ®ã t×m ra tû sè thêi gian .
VÏ h×nh nh­ trªn :
Trªn DB lÊy ®iÓm E sao cho CE = 100 km
Tõ AC = CB : DC= CE = 100 AD = EB.
- §©y lµ hai qu·ng ®­êng b»ng nhau .
Ta cã tû sè gi÷a vËn tèc v AD so víi v EB lµ .
 = 
Suy ra sè thêi gian ®i qu·ng ®­êng AD vµ EB lµ 
Ta cã s¬ ®å ®o¹n th¼ng sau .
tAD 
	?
t EB 
Ta dÔ dµng t×m ®­îc tæng sè thêi gian ®i qu·ng ®­ßng AD vµ EB . nh­ vËy bµi to¸n ®· ®­îc ®­a vÒ d¹ng to¸n tæng - tØ quen thuéc .
Gi¶i :
Qu·ng ®­êng DE lµ 
100+100 = 200 (km)
Thêi gian ®i tõ D E .
200 : 60 = 3 giê 20 phót
Thê gian di hai qu·ng ®­êng AD va EB lµ .
10 giê - 3 giê 20 phót = 6 giê 40 phót 
Tõ s¬ ®å ta cã .
Thêi gian ®i tõ A D lµ.
6 giê 40 phót : (3+2) x 3 = 4 giê
Qu·ng ®­ßng AD dµi .
40 x 4 = 160 (km)
Qu·ng ®­êng AB dµi .
160 x 2 + 200 = 520 (km)
§¸p sè : 520 km
* Mét sè bµi to¸n cã néi dung t­¬ng tù häc sinh cã thÓ tù gi¶i quyÕt mét c¸ch ®¬n gi¶n .
VÝ dô :
1. Mét tµu thuû xu«i dßng mét khóc s«ng hÕt 5 giê vµ ®i ng­îc khóc s«ng hÕt 7 giê . TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng ®ã , biÕt vËn tèc cña dßng n­íc lµ 60 m/ phót .
2. Mét ng­êi ®i bé ®i tõ A ®Õn C ph¶i qua B . Sau khi ®i ®o¹n ®­êng AB mÊt 2 giê 30 phót th× ng­êi ®è l¹i t¨ng vËn tèc thªm mçi giê 1 km ®Ó ®Õn C ®óng hÖn . T×m qu·ng ®­êng AC biÕt ®o¹n ®­êng AB dµi h¬n ®o¹n ®­êng BC lµ 0,5 km , vµ ng­êi ®ã ®i hÕt ®o¹n BC hÕt 2 giê .
3. Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ ®Þa ®iÎm A ®Õn ®Þa ®iÓm B ®Ó häp . NÕu ng­êi Êy ®i víi vËn tèc 25 km / giê th× xe ®Õn B chËm mÊt 2 giê . NÕu ®i víi vËn tèc 30 km / giê th× ®Õn B chËm mÊt 1 giê .
- Hái qu·ng ®­êng tõ ®Þa ®iÓm A ®Õn ®Þa ®iÓm B dµi bao nhiªu km ?
VI. KÕt qu¶ :
§¹i bé phËn häc sinh ®· ®­îc häc tËp qua ®Ò tµi cña gi¸o viªn truyÒn ®¹t th× häc sinh ®· tù gi¶i quyÕt tÊt c¶ c¸c bµi to¸n " tÝnh qu·ng ®­ßng trong to¸n chuyÓn ®éng ®Òu . Tuy lµ mét d¹ng to¸n khã song nÕu häc sinh n¾m ®­îc mÉu chèt bµi to¸n quan hÖ tû lÖ nghÞch vµo gi¶i th× bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n , kh«ng nh÷ng thÕ c¸c em cßn vËn dông ®Ó gio¶i mét sè bµi to¸n cã liªn quan tí quan hÖ tû lÖ nghÞch nh­ d¹ng to¸n vßi n­íc ch¶y hay sè ngõo lµm chung mét c«ng viÑc nµo ®ã ...
N¨m häc
SÜ sè
Líp
KÕt qu¶ ®­îc ph©n lo¹i
A %
B %
C %
Tr­íc
Sau
Tr­íc
Sau
Tr­íc
2002 -2003
2003- 2004
2004-2005
2005-2006
34
29
33
32
25,8 %
13,4%
39 %
13,1 %
1029,4
1137,9
1442,4
1340,6
617,6
517,2
515,1
412,5
1441,1
1241,3
1030,3
1546,8
2676,4
2379,3
2575,7
2784,3
V. Bµi häc kinh nghiÖm : 
* Trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n , bÊt k× d¹ng to¸n nµo c¸c em còng ph¶i ®äc kÜ ®Ò , x¸c ®Þnh nh÷ng ®iÒu kiÖn bµi to¸n cho . §Æc biÖt trong d¹ng to¸n nµy häc sinh cÇn n¾m ®­îc c¸c ®¹i l­îng cã liªn quan ®Õn quan hÖ tû lÖ nghÞch ®ã lµ : Trªn cïng mét ®o¹n ®­êng th× thêi gian vµ vËn tèc lµ hai ®¹i l­îng tû lÖ nghÞch víi nhau .
* H­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n theo h­íng lÊy häc sinh lµm trung t©m .
Trªn ®©y lµ mét vµi suy nghÜ nhá khi h­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n " TÝnh ®é dµi qu·ng ®­êng " cã liªn quan ®Õn tû lÖ nghÞch . Bµi viÕt ch¾c ch¾n cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt mong ®­îc sù gãp ý cña ®ång nghiÖp .