Sử dụng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm

Sử dụng bất đẳng thức
để tìm khoảng giá trị của số phải tìm
Phan Duy Nghĩa
(Trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
Có thể nói khi giải các bài toán ở tiểu học, sử dụng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm giúp cho việc giải nhiều bài toán trở nên sáng sủa, mạch lạc hơn và có tác dụng không nhỏ đối với việc rèn tư duy toán học cho học sinh tiểu học. Tuy nhiên thủ thuật trên chỉ là một bước trong dãy các bước giải một bài toán vì thế nó ít được lưu ý với học sinh. Để giúp các em học sinh làm quen với thủ thuật trên, chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài toán sau :
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : = b x 6 + 5. Vì số dư bé hơn số chia nên 5 < b. Nếu lấy giá trị nhỏ nhất của b là 6 (trong trường hợp này) thì giá trị nhỏ nhất của sẽ là 6 x 6 + 5 = 41. Do đó a ≥ 4.
Nếu lấy giá trị lớn nhất của b là 9 thì giá trị lớn nhất của sẽ là 9 x 6 + 5 = 59. 
Do đó a ≤ 5. Vì thế 4 ≤ a ≤ 5 nghĩa là giá trị nhỏ nhất của a là 4 và lớn nhất của a là 5.
- Nếu a = 4 thì = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 41 đến 49 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 6 hoặc 7. Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 + 5 là số lẻ. Do đó b là số lẻ. Vậy ta chọn b = 7. Thử : 47 : 7 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra).
- Nếu a = 5 thì = b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 51 đến 59 nên b chỉ có thể lấy giá trị là 8 hoặc 9. Vì b x 6 + 5 là số lẻ nên ta chọn b = 9.
Thử : 59 : 9 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra). Vậy số phải tìm là 47 và 59.
Bài toán 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
 + = 
 Giải: Vì + = mà < 1 nên < 1 (vì ≠ 0). Do đó : b < 3. 
Vì + = nên = - . 
Nếu b = 0 thì = . Không có giá trị tự nhiên nào của a để có = .
Nếu b = 1 thì = - . Ta tìm được a = 8.
Nếu b = 2 thì = - . Ta tìm được a = 24.
Vậy ta tìm được a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.
Bài toán 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho 6 thì được thương là tích của chữ số hàng chục nhân với chính nó. Tìm số đã cho.
 Giải: Gọi số phải tìm là (a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có : = a x a x 6. 
Nhận xét : a > 1 vì nếu a = 1 thì a x a x 6 = 1 x 1 x 6 = 6 chỉ là số có một chữ số. 
Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là 96. Do đó a x a x 6 có giá trị lớn nhất là 96. Vì thế a x a có giá trị lớn nhất là 96 : 6 = 16. 
Vậy a có giá trị lớn nhất là 4 (vì 4 x 4 = 16) hay a ≤ 4. Vậy 1 < a ≤ 4. 
- Nếu a = 2 thì a x a x 6 = 2 x 2 x 6 = 24 = . 
Đúng với điều kiện bài toán vì 24 : 6 = 4 ; 4 = 2 x 2.
- Nếu a = 3 thì a x a x 6 = 3 x 3 x 6 = 54. Trái với điều kiện bài toán vì ≠ 54.
- Nếu a = 4 thì a x a x 6 = 4 x 4 x 6 = 96. Trái với điều kiện bài toán vì ≠ 96.
Vậy số phải tìm là 24.
Bài toán 4. Toán học và Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ đều sinh vào tháng 10. Biết rằng năm 1994 thì tuổi của Toán học và Tuổi trẻ gấp rưỡi tổng các chữ số của năm sinh. Bạn có thể suy luận để biết Toán học và tuổi trẻ ra đời vào năm nào không ?
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)
 Giải: Gọi năm sinh của Toán học và Tuổi trẻ là . Tuổi của Toán học và Tuổi trẻ năm 1994 là: 1994 - = x (a + b + c + d) (*)
Vì a + b + c + d ≤ 9 + 9 + 9 + 9 = 36 nên : x (a + b + c + d) ≤ x 36 = 54.
Từ (*) ta thấy 1994 - ≤ 54 nên 1940 ≤ ≤ 1994. Suy ra = 19 và 40 ≤ ≤ 94. Thay = 19 vào (*) được : 94 - = x ( 1 + 9 + c + d).
hay : 2 x (94 - ) = 3 x (10 + c + d).
hay : 188 – 2 x (c x 10 + d) = 30 + c x 3 + d x 3.
hay : c x 23 + d x 5 = 158.
Vì d x 5 ≤ 45 nên suy ra 113 ≤ c x 23 ≤ 158. 
Do đó 5 ≤ c ≤ 6.
- Nếu c = 5 thì d x 5 = 159 – 115 = 43, không tìm được số d nguyên.
- Nếu c = 6 thì d x 5 = 158 – 138 = 20 nên d = 4.
Thử lại : 1994 – 1964 = x (1 + 9 + 6 + 4).
Vậy báo Toán học và Tuổi trẻ sinh năm 1964.
Bài toán 5. Tìm số có năm chữ số biết rằng :
 a > b + c + d + e
 b > c + d + e
 c > d + e
 d > e.
 Giải: Số phải tìm là với các chữ số đều là số tự nhiên có 1 chữ số. 
Theo điều kiện của đầu bài : a > b + c + d + e (1)
 b > c + d + e (2)
 c > d + e (3)
 d > e (4)
- Từ (4) ta có e = 0. Vì nếu e = 1 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ là : d > e hay d > 1 ; do đó d = 2. c > d + e hay c > 3 ; do đó c = 4. b > c + d + e hay b > 7 ; do đó b = 8. a > b + c + d + e hay a > 15 ; do đó a = 16.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (3) ta có d = 1. Nếu d = 2 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số là : c > d hay c > 2 ; do đó c = 3. b > c + d hay b > 5 ; do đó b = 6. a > b + c + d hay a > 11 ; do đó a = 12. Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (2) ta có c = 2. Nếu c = 3 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ là : b > c + d hay b > 4 ; do đó b = 5. a > b + c + d hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (1) ta có b = 4 hoặc b = 5.
- Nếu b = 6 thì giá trị nhỏ nhất của a sẽ là : a > b + c + d hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Nếu b = 5 thì ta có : a > b + c + d hay a > 5 + 2 + 1 ; do đó a = 9.
- Nếu b = 4 thì ta có : a > b + c + d hay a > 4 + 2 + 1 ; do đó a = 8 hoặc a = 9.
- Kết luận : Các số phải tìm là 84210 ; 94210 ; 95210.[
Bài toán 6. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau sao cho:
 + + = 1.
 Giải : Giả sử a < b < c, suy ra < < . Do đó ta có : + + < + + .
Hay : 1 < x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2. 
Với a = 2 thì + + = 1. Suy ra : + = . Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa : = + < + = x 2. Suy ra b < 4.
Vậy b = 3. Khi đó ta có : + = . Suy ra : c = 6. Nhưng a, b, c bình đẳng với nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.[[ơ
Bài toán 7. Một cơ quan tổ chức đi trồng cây. Một phần ba số nhân viên mang theo con, nhưng chỉ mang theo 1 con. Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10 cây, trẻ em trồng 6 cây. Hỏi cơ quan đó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên nữ ? Biết họ trồng được tất cả 216 cây.
(Đề thi toán Tiểu học quốc tế tổ chức tại Hồng Kông)
 Giải : Theo bài ra ta có : Số nhân viên phải ít hơn 18 người vì nếu số nhân viên bằng 18 người thì số cây trồng ít nhất (khi nhân viên toàn nữ) là : 10 x 18 + 6 x (18 : 3) = 216 (cây), đúng bằng số cây của bài ra. Số nhân viên phải nhiều hơn 14 người vì nếu số nhân viên bằng 14 người thì số cây trồng được nhiều nhất (khi nhân viên toàn nam) là : 13 x 14 + 6 x (14 : 3) = 210 (cây) nhỏ hơn 216 cây. 
Mặt khác ta có : một phần ba số nhân viên có mang theo con nên số nhân viên phải là số chia hết cho 3, do đó số nhân viên phải bằng 15. 
Số con mang theo là : 15 : 3 = 5 (con)
Số cây mà nhân viên trồng là : 216 – 6 x 5 = 186 (cây)
Giả sử 15 nhân viên toàn là nam thì số cây trồng được là : 13 x 15 = 195 (cây)
Số nhân viên nữ là : (195 – 186) : (13 – 10) = 3 (nhân viên)
Số nhân viên nam là : 15 – 3 = 12 (nhân viên)
Thử lại : 13 x 12 + 10 x 3 + 6 x 5 = 216 (đúng).
 Bây giờ các bạn hãy dùng thủ thuật trên để giải các bài toán sau nhé.
Bài 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy 8 lần chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương 5 và dư 3.
Đáp số : 69
Bài 2. Tìm biết :
 + + + d = 4321
Đáp số : 1983
Bài 3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
 - = 
Đáp số : a = 3 và b = 5
Bài 4. Cho số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị. Tìm số đã cho biết rằng khi chia số đó cho thương của chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được thương là 20 và dư 2.
Đáp số : 62 và 82
Bài 5. Năm 1993 anh Toán nhẩm tính rằng “số tuổi của mình đúng bằng tổng các chữ số chỉ năm sinh của mình”. Em tìm xem anh Toán sinh năm nào và năm 1993 anh Toán bao nhiêu tuổi ?
Đáp số : sinh năm 1973 ; 20 tuổi
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Phan Duy Nghĩa
(Trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)