Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 4, 5 - Dạng 8: Giải bài toán bằng phương pháp thử, chọn

PHẦN II
8. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG P.P THỬ, CHỌN.
 Khi dùng cách "thử, chọn" chúng ta phải liệt kê dần dần các trường hợp có thể xảy ra trong bài toán rồi xét từng trường hợp một: nếu thấy không phù hợp thì loại, nếu thấy phù hợp thì chọn lấy trường hợp đó.
Mẫu 1: Có 7 bút chì gồm ba loại: màu đỏ, màu vàng, màu xanh. Số bút màu đỏ nhiều hơn số bút màu vàng, nhưng lại ít hơn số bút màu xanh. Hỏi mỗi loại có mấy bút chì? Giải:
Biểu thị số bút chì bằng các đoạn thẳng:
Vàng:
Đỏ: 7
Xanh:
Ta thấy 3 lần số bút chì màu vàng bé hơn 7, do đó số bút chì vàng chỉ có thể là 1 hoặc 2 (vì 3 x3 = 9 > 7)
* Nếu số bút chì vàng là 2, số bút chì đỏ ít nhất là 3 thì số bút chì xanh ít nhất là 4 và tổng số bút chì ít nhất là:
2 + 3 + 4 = 9 (bút) vượt quá 7 (bút)
Do đó số bút chì vàng không thể là 2.
* Nếu số bút chì vàng là 1, số bút chì đỏ sẽ là 2, 3, ...
- Nếu số bút chì đỏ là 3 trở lên thì số bút chì xanh sẽ từ 4 trở lên và tổng số bút chì ít nhất là: 1 + 3 + 4 = 8 (bút) vượt quá 7 (bút)
Do đó số bút chì đỏ là 2 (không thể là 3), số bút màu xanh là: 
7 – 1 – 2 = 4 (bút)
Ta có: 1 < 2 < 4 và: 1 + 2 + 4 = 7
Vậy số bút vàng là 1, số bút đỏ là 2, số bút xanh là 4.
Mẫu 2: Cho một số có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm gấp dôi chữ số hàng chục. Nếu lấy tích của hai chữ số đó chia cho tổng của chúng thì được chữ số hàng đơn vị. Hãy tìm số đã cho. Giải:
Ta thử tất cả các trường hợp và ghi vào bảng sau:
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng trăm
Tích
Tổng
Tích/Tổng
Chữ số hàng đơn vị
1
2
2
3
Không có
Không có
2
4
8
6
Không có
Không có
3
6
18
9
2
2
4
8
32
12
Không có
Không có
Các trường hợp tích không chia hết cho tổng, bị loại.
Trường hợp thứ ba tích chia cho tổng được 2, do đó chữ số hàng đơn vị là 2.
Vậy số đã cho là: 632
Mẫu 3: Bố nói với con: "10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con; 22 năm sau nữa thì tuổi bố sẽ gấp đôi tuổi con". Hãy tính tuổi bố, tuổi con hiện nay. 
Giải:
Theo đầu bài: "10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con" nên 10 năm trước đây tuổi bố là một số tròn chục. Ta có khoảng thời gian từ 10 năm trước đây đến 22 năm sau này là 32 năm. Ta lần lượt thử và ghi kết quả vào bảng sau:
Tuổi trước đây 10 năm
Tuổi sau đây 22 năm
So sánh
Kết quả
Bố 
Con
Bố 
Con
20
2
52
34
52 < 34 x 2
Loại
30
3
62
35
62 < 35 x 2
Loại
40
4
72
36
72 = 36 x 2
Được
50
5
82
37
82 > 37 x 2
Loại
Vậy tuổi bố hiện nay là 50 (40 + 10 = 50) và tuổi con hiện nay là 14 (4 + 10 = 14).
Mẫu 4: Một tòa nhà có tầng trệt và 4 tầng lầu gồm 31 phòng. Số phòng ở tầng dưới ít hơn số phòng ở tầng trên, số phòng ở lầu 4 gấp ba lần số phòng ở tầng trệt. Hỏi lầu 3 có bao nhiêu phòng? Giải:
Nếu gọi số phòng ở tầng trệt là 1 phần thì số phòng ở lầu 4 là 3 phần, do đó số phòng ở cả 5 tầng ít nhất là: 1 + 1 + 1 + 1 +3 = 7 (phần)
 Vì 31 : 7 = 4 (dư 3) nên số phòng ở tầng trệt nhiều nhất chỉ là 4 phòng. Ta lần lượt thử:
* Nếu tầng trệt có 1 phòng thì lầu 4 có 3 phòng. Giữa 1 và 3 chỉ có số 2 nên điều này không đúng với đầu bài (Vì ở giữa tầng trệt và lầu 4 có tới 3 tầng lầu).
* Nếu tầng trệt có 2 phòng thì lầu 4 có 6 phòng. Giữa 2 và 6 có 3 số 3, 4, 5.
Ta có: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 (phòng)
Điều này không đúng với đầu bài vì chưa đủ 31 phòng.
* Nếu tầng trệt có 3 phòng thì lầu 4 có 9 phòng. Giữa 3 và 9 có 5 số 4, 5, 6, 7, 8. Vì 31 – (3 + 9) = 19 nên ta thấy có 2 trường hợp là:
4 + 7 + 8 = 19 và 5 + 6 + 8 = 19
Vậy ta có: 3 + 4 + 7 + 8 + 9 = 31
 và 3 + 5 + 6 + 8 + 9 = 31
Trong cả 2 trường hợp trên thì số phòng ở lầu 3 đều là 8. Vậy lầu 3 có 8 phòng.
Mẫu 5: Bài toán cổ: Trăm trâu trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó
Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già?
Giải:
Giả sử số bó cỏ mà mỗi loại trâu ăn đếu tăng lên gấp ba.
Thế thì ta có bài toán: "Có 100 con trâu và 300 bó cỏ 
Trâu đứng ăn mười lăm
Trâu nằm ăn chín
Lụ khụ trâu già
Mỗi con một bó
Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm, trâu già?"
Ta kí hiệu số trâu đứng là Đ, số trâu nằm là N, số trâu già là G. Thế thì tổng số bó cỏ mà mỗi loại trâu ăn là:
Trâu đứng: Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ Đ
Trâu nằm: N N N N N N N N N 
Trâu già: G
300
100
(bó cỏ)
(con trâu)
Theo đầu bài ta có: Đ + N + G = 100 (con trâu) (*)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy: Đ x 15 + N x 9 + G = 300 (bó cỏ)
Vậy ta thấy: Đ x 14 + N x 8 = 300 – 100 = 200
Hay: Đ x 7 + N x 4 = 100 (**)
Đ x 3 + Đ x 4 + N x 4 = 25 x 4
Đ x 3 = (24 – Đ – N ) x 4 
Suy ra (Đ x 3) chia hết cho 4, do đó Đ chia hết cho 4.
Mặc khác từ (**) ta có: Đ x 7 Đ < 14
Đ vừa chia hết cho 4 vừa bé hơn 14 nên Đ chỉ có thể là 4, 8, 12. Ta lần lượt thử đối với từng giá trị của Đ vào (*) và (**) để tìm các giá trị tương ứng của N và G, ghi kết quả vào bảng sau
Trâu đứng
Trâu nằm
Trâu già
Số con
Số cỏ
Số con
Số cỏ
Số con
Số cỏ
4
20
18
54
78
26
8
40
11
33
81
27
12
60
4
12
84
28
Vậy bài toán có 3 đáp số: số trâu đứng, số trâu nằm, số trâu già lần lượt là:
(4, 18, 78) hoặc (8, 11, 81) hoặc (12, 4, 84)
BÀI TẬP:
Cho số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu lấy số đó trừ đi 4 thì sẽ được số có hai chữ số giống nhau. Hãy tìm số đã cho?
Trong giải vô địch bóng đá trẻ toàn quốc; bảng B có 5 đội thi đấu vòng tròn một lượt, tính điểm. Trong mỗi trận đấu: đội thắng được 3 điểm, đội thua 0 điểm, còn nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm.
Hãy tính xem mỗi đội bóng thắng mấy trận, hòa mấy trận, thua mấy trận, nếu:
Đội đó được 7 điểm.
Đội đó được 8 điểm.
 aa
Đội đó được 11 điểm.
Tìm chữ số a biết: + + a + a + a = 1000
Đầu năm học cô giáo dự định sắp xếp chỗ ngồi cho lớp em. Cô định xếp mỗi bàn 3 em, như vậy thì 4 em không có chỗ ngồi; còn nếu xếp mỗi bàn 4 em thì còn trống một bàn. Hỏi:
Trong lớp có bao nhiêu bàn?
Số học sinh của lớp là bao nhiêu?
Một liên đội có 180 đội viên, chia thành các phân đội: mỗi phân đội có 8 hoặc 9 đội viên. Biết rằng số đội viên trong các phân đội có 8 bạn nhiều hơn các đội viên trong các phân đội có 9 bạn, hỏi có bao nhiêu phân đội mỗi loại?
Trong một buổi lao động của lớp 5A, cô giáo phân công một nửa lớp làm vườn trường, một nửa lớp dọn tủ sách. Cuối buổi lao động, số học sinh được biểu dương nhiều gấp 6 lần số học sinh không được biểu dương. Hỏi số HS được biểu dương của lớp 5A là bao nhiêu, biết rằng lớp 5A có từ 40 đến 50 học sinh.
Tìm một số có ba chữ số bé hơn 200 và chia hết cho 7; biết rằng khi chia số đó cho 2, 3, 5 thì lần lượt được các số dư là 1, 2, 4.
Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng là 9 và tích của chúng là 20. 
Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 21 và tích của chúng là 100.
2ab1
 c2d ;
Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 96 và tỉ số của chúng là .
Khi chia số có 4 chữ số cho 13 ta được thương là số có ba chữ số trong đó các chữ a, b, c, d biểu thị các chữ số khác nhau và c > 0.
Em hãy tính giá trị của chữ a, b, c, d rồi thử lại phép chia.
Thay mỗi dấu (?) và chữ x bằng một chữ số, trong đó các chữ x biểu thị cùng một chữ số: (?? x ? + x) x x = 1977
Từ hai địa điểm A và B cách nhau 396km có hai người cùng khởi hành cùng một lúc bằng xe máy và đi ngược chiều để gặp nhau. Khi người thứ nhất đi được 216km thì hai người gặp nhau, lúc đó họ đã đi hết một số giờ đúng bằng hiệu số hai quãng đường mà hai người đi được trong một giờ. Hãy tính vận tốc của mỗi người?
Tổng số tuổi của bố, mẹ và hai con là 87. Bố hơn mẹ 3 tuổi. Người con thứ nhất gấp đôi số tuổi người con thứ hai. Số tuổi người con thứ hai nhân với chính số đó thì bằng số tuổi của bố. Hãy tính tuổi của mỗi người trong gia đình này.
BÀI LÀM:
Chữ số hàng chục
Chữ số hàng đơn vị
Số có hai chữ số
Số có hai chữ số trừ đi 4
Kết quả
1
2
3
4
2
4
6
8
12
24
36
48
8
20
32
44
Sai
Sai
Sai
Đúng
Bảng trên là kết quả thống kê tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Vì 5 x 2 = 10 là số có hai chữ số nên ta chỉ có 4 trường hợp. Trong đó, ba trường hợp đầu đều bị loại vì ở cột 4 không có các số có hai chữ số giống nhau. Riêng trường hợp cuối là được vì 44 gồm hai chữ số giống nhau. Vậy đáp số là 48.
 Vì có 5 đội, nên mỗi đội phải đấu 4 trận.
Ta có 7 = 3 + 3 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 vậy chỉ có hai khả năng:
- Với 7 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 thì đội đó thắng 1 trận, hòa 4 trận. Vậy đội đó đấu tới 5 trận (vô lý): loại.
- Với 7 = 3 + 3 + 1 thì đội đó thắng 2 trận, hòa 1 trận. Khả năng này hợp lý – vì khi đó đội bị thua: 4 – (2 + 1) = 1 (trận), tổng số điểm của đội là:
3 + 3 + 1 + 0 = 7 (điểm)
...
...
Đáp số: a/ 2 thắng, 1 hòa, 1 thua.
 b/ 2 thắng, 2 hòa.
 c/ Không thể xảy ra.
Vì 777 + 77 + 7 + 7 + 7 7
Mặc khác a < 10 nên a chỉ có thể là 8 hoặc 9.
Thử từng trường hợp:
- Nếu a = 8 ta có: 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000 (đúng)
- Nếu a = 9 ta có: 999 + 99 + 9 + 9 + 9 > 1000 (loại)
Vậy a = 8
 Giải:
Cách 1:
	Vì xảy ra trường hợp trống một bàn nên số bàn không thể là 1. Ta bắt đầu thử từ: số bàn là 2. Lúc đó:
	- Theo cách xếp mỗi bàn 3 em thì số HS là : 3 x 2 + 4 = 10 (HS)
	- Theo cách xếp mỗi bàn 4 em thì số HS là : 4 x (2 – 1) = 4 (HS)
	Vì 10 HS khác 4 HS nên trường hợp này bị loại.
	Cứ như vậy ta thử với số bàn là 3, 4, 5, 6, ... và ghi kết quả vào bảng như sau:
Số bàn
Số HS (nếu xếp 3 em một bàn)
Số HS (nếu xếp 4 
em một bàn)
Nhận xét
Kết quả
3
3 x 3 + 4 = 13 (HS)
4 x (3 – 1) = 8 (HS)
13 khác 8
Loại
4
3 x 4 + 4 = 16 (HS)
4 x (4 – 1) = 12 (HS)
16 khác 12
Loại
5
3 x 5 + 4 = 19 (HS)
4 x (5 – 1) = 16 (HS)
19 khác 16
Loại
6
3 x 6 + 4 = 22 (HS)
4 x (6 – 1) = 20 (HS)
22 khác 20
Loại
7
3 x 7 + 4 = 25 (HS)
4 x (7 – 1) = 24 (HS)
25 khác 24
Loại
8
3 x 8 + 4 = 28 (HS)
4 x (8 – 1) = 28 (HS)
28 = 28
Chọn
9
3 x 9 + 4 = 31 (HS)
4 x (9 – 1) = 32 (HS)
31 khác 32
Loại
Từ bảng trên ta thấy: - Chỉ có dòng thứ sáu là số HS xếp theo hai cách là giống nhau.
 - Cứ mỗi lần xuống dòng thì các cột "Số HS nếu xếp 3 em một bàn" tăng 3 đơn vị, còn "Số HS nếu xếp 3 em một bàn" tăng 4 đơn vị. Cũng vì thế mà ngoài dòng thứ sáu ra, không còn xảy ra trường hợp nào mà kết quả ở hai cột này giống nhau được nữa.
Cách 2: (giải bằng sơ đồ đoạn thẳng)
4
4
 Số bàn:
Số HS (nếu xếp 3 em một bàn):
Số HS (nếu xếp 4 em một bàn):
Theo sơ đồ trên thì:
Số bàn là: 4 + 4 = 8 (cái)
Số HS là: 8 x 3 + 4 = 28 (học sinh)
 [hoặc: 8 x 4 – 4 = 28 (học sinh)]
Đáp số: 28 học sinh
Ta có: 180 : 9 = 20, 180 : 8 = 22 (dư 4)
Vậy số phân đội chỉ có thể là 21 hoặc 22.
Lần lượt xét các trường hợp:
Có 21 phân đội:
Giả sử ta bớt đi 1 bạn ở mỗi phân đội có 9 bạn, thế thì tất cả các phân đội đều có 8 bạn. Vậy 21 phân đội có:
21 x 8 = 168 (bạn)
Nghĩa là ta đã bớt đi: 180 – 168 = 12 (bạn)
Suy ra có 12 phân đội có 9 bạn và do đó số phân đội có 8 bạn là:
21 – 12 = 9 (phân đội)
Vì 8 x 9 < 9 x 12 - Nghĩa là số bạn số đội viên trong các phân đội có 8 bạn ít hơn các đội viên trong các phân đội có 9 bạn (trái với đầu bài). Do đó trường hợp này bị loại.
Có 22 phân đội:
(Lý luận tương tự ta được: 18 phân đội có 8 bạn, 4 phân đội có 9 bạn.)
Đáp số:18 phân đội có 8 bạn
 4 phân đội có 9 bạn
Theo đầu bài thì số HS phải chia hết cho 7 (vì 1 + 6 = 7).
Từ 40 đến 50 chỉ có 42 và 49 chia hết cho 7 nên số HS chỉ có thể 42 hoặc 49. Song số HS lại là số chẵn (vì chia đôi được) nên số đó là 42. Vậy số HS không được biểu dương là: 42 : 7 = 6 (bạn)
Suy ra số được biểu dương là: 6 x 6 = 36 (bạn)
Đáp số: 36 bạn
Số đó cộng thêm 1 thì chia hết cho 2, 3, 5 tức là chia hết cho 30. 
Các số có ba chữ số chia hết cho 30 và bé hơn 200 là: 120, 150, 180.
Vậy số phải tìm có thể là: 119, 149, 179.
Trong ba số này chỉ có 119 là chia hết cho 7 nên đó là số phải tìm.
Đáp số: 119.
Vì 20 = 1 x 20 = 2 x 10 = 4 x 5 nên hai số đó có thể là: 1 và 20; 2 và 10; 4 và 5.
Thử từng trường hợp:
1 + 20 = 21 khác 9: Loại
2 + 10 = 12 khác 9: Loại
4 + 5 = 9 bằng 9: Chọn
Đáp số: 4 và 5
Đáp số: 25 và 4
2ab1 : 13 = c2d hay 2ab1 = c2d x 13
Đáp số: 12 và 8
 c 2 d
x 13
 . . .
c 2 d
2 a b 1
Theo đầu bài ta có: 
Hay * Vì hàng đơn vị của tích là 1 nên hàng đơn vị của tích riêng thứ nhất cũng là 1.
Suy ra: d = 7
* Nhìn vào cột nghìn ta thấy c chỉ có thể là 1 hoặc 2 
 2ab1
 2ab1
(Vậy tích riêng thứ nhất có 3 chữ số).
- Nếu c = 1 thì 127 x 13 = 1651 khác nên trường hợp này bị loại.
- Nếu c = 2 thì 227 x 13 = 2951, so sánh với ta thấy a = 9, b = 5
* Thử lại: 2951 : 13 = 227 (đúng)
Đáp số: a = 9, b = 5, c = 2, d = 7.
Nhận xét:
 * * *
x x
1 9 7 7
Vì (? ? x ? + x) không thể là số có 2 chữ số nên nó chỉ có thể là số có 3 chữ số. Đặt nó là *** , ta có:
Vì chữ số tận cùng của tích là 7 nên x chỉ có thể là 1, 3, 7 hoặc 9. Song x không thể bằng 1 vì tích có tới bốn chữ số.
- Nếu x = 9 ta có: *** = 1977 : 9 không phải là số tự nhiên (loại)
- Nếu x = 7 ta có: *** = 1977 : 7 không phải là số tự nhiên (loại)
- Nếu x = 3 ta có: *** = 1977 : 3 = 659 
hay: ? ? x ? + 3 = 659
? ? x ? = 656 – 3 = 656
 ? ? = 656 : ? 
Vì thương là số có hai chữ số nên số chia phải lớn hơn 6. Nhưng 656 không chia hết cho 7 và cho 9 nên số chia chỉ có thể là 8. Ta có: 656 : 8 = 82
Vậy ta có kết quả đúng như sau: (82 x 8 + 3) x 3 = 1977
Cho đến khi gặp nhau thì người thứ hai đã đi được:
396 – 216 = 180 (km)
Hiệu hai quãng đường đã đi được của hai người là:
216 – 180 = 36 (km)
Hiệu hai quãng đường này bằng hiệu hai vận tốc nhân với số giờ đã đi, tức là bằng số giờ đã đi nhân với chính nó. Ta lần lượt thử bằng bảng sau:
Số giờ đã đi
1
2
3
4
5
6
Hiệu hai vận tốc
1 km/giờ
2 km/giờ
3 km/giờ
4 km/giờ
5 km/giờ
6 km/giờ
Tích
1
4
9
16
25
36
Kết luận
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
Được
Ta thấy chỉ có ở cột cuối cùng thì tích mới là 36, nên hiệu hai vận tốc là 6 km/giờ và họ đã đi trong 6 giờ.
Vậy vận tốc của người thứ nhất là: 216 : 6 = 36 (km/giờ)
Vậy vận tốc của người thứ hai là: 180 : 6 = 30 (km/giờ)
Đáp số: 36 km/giờ và 30 km/giờ
Vì số tuổi của bố là tích của hai số tự nhiên giống nhau nên số đó chỉ có thể là một trong các số 25, 36, 49, 64, 81, ...
Tuổi bố
Tuổi mẹ
Tuổi con (II)
Tuổi con (I)
Thử
Kết luận
25
22
5
10
25 + 22 + 5 + 10 = 62
Loại 
(62 < 87)
36
33
6
12
36 + 33 + 6 + 12 = 87
Chọn 
(87 = 87)
49
46
7
14
49 + 46 + 7 + 14 = 116
Loại 
(116 > 87)
Vì tuổi bố mới là 49 mà tổng số của 4 người đã là 116 > 87 nên ta không xét tiếp các trường hợp tuổi bố là 64, 81, ...
Đáp số: Bố 36 tuổi, mẹ 33 tuổi
 Con lớn 12 tuổi, con bé 6 tuổi.