Tài liệu giúp học sinh học giỏi môn Toán

“Bẩy” trong toán
 Phan Duy Nghĩa
(Trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
Trong các đề thi môn toán, đặc biệt là đề thi chọn học sinh giỏi toán người ra đề thi thường đưa ra các bài toán có tính “bẩy” để đánh lừa học sinh. Nếu học sinh không tỉnh táo và nắm chắc kiến thức cơ bản thì rất dễ bị sa vào các “bẩy” mà bài toán đã “giăng” ra.
Bài viết này nhằm giúp các em học sinh biết cách né tránh những “bẩy” khi giải toán để các em học tập môn toán có hiệu quả cao thể hiện cụ thể trong việc giải bài tập, bài kiểm tra và bài thi đạt kết quả tốt.
“Bẩy” trong các bài toán về số và chữ số[ơ
Ví dụ 1. Hiệu của hai số bằng 15. Tìm hai số đó, biết rằng nếu gấp một số lên 2 lần và gấp số kia lên 5 lần thì được hai số mới có hiệu bằng 51.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này học sinh thường chỉ xét đến hai trường hợp sau :
- Trường hợp 2 lần số bị trừ lớn hơn 5 lần số trừ.
- Trường hợp 5 lần số bị trừ lớn hơn 2 lần số trừ.
Trong lúc đó bài toán này phải xét đến 4 trường hợp, ngoài 2 trường hợp đã nêu trên chúng ta còn phải xét thêm 2 trường hợp sau :
- Trường hợp 5 lần số bị trừ bé hơn 2 lần số trừ.
- Trường hợp 2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ.
Trong 4 trường hợp trên chỉ có trường hợp “2 lần số bị trừ bé hơn 5 lần số trừ” có đáp số là 42 và 27. Còn lại 3 trường hợp kia không có đáp số. 
 Như vậy nếu học sinh chỉ xét hai trường hợp như đã chỉ ra thì sẽ không tìm được đáp số của bài toán và như thế là các em đã bị sa vào “bẩy” của bài toán. 
* Lời khuyên : Các em cần lưu ý xét hết các trường hợp của bài toán.
Ví dụ 2. Viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 để được một số tự nhiên. 
Hãy xoá đi 10 chữ số của số tự nhiên đó mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được số lẻ bé nhất.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải như sau :
Số tự nhiên gồm các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 20 là : 2468101214161820, có 16 chữ số. Ta cần phải xoá đi 10 chữ số để tạo nên số lẻ bé nhất có 6 chữ số.
Lần lượt phải xoá các chữ số 2; 4; 6; 8; 1 ở các vị trí đầu tiên và xoá các chữ số 0; 2; 8 ở các vị trí cuối cùng. Sau khi xoá 8 chữ số đó thì còn lại 8 chữ số tạo thành số 01214161. Cuối cùng xoá các chữ số 2; 4 thì ta được số lẻ bé nhất là 011161.
Rõ ràng đáp số trên là sai vì trong một số tự nhiên, chữ số ở vị trí đầu tiên (hàng cao nhất) phải khác 0. Đáp số đúng của bài toán là số 101111.
Do các em không nắm vững cấu tạo của một số tự nhiên là “chữ số ở vị trí đầu tiên (hàng cao nhất) phải khác 0) nên đã mắc phải “bẩy” của bài toán.
* Lời khuyên : Các em cần ghi nhớ : “Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng cao nhất khi đếm, đọc, viết số tự nhiên”.
Ví dụ 3. Hãy viết tất cả các phân số bằng phân số mà tử số và mẫu số là số có hai chữ số ?
*Lời bàn : Sau đây là bài làm của phần lớn học sinh khi làm bài toán trên :
Nhân cả tử số và mẫu số của phân số lần lượt với 2, 3, 4 ta được :
 = = ; = = ; = = . Vì 108 là số có 3 chữ số nên chỉ có 2 phân số ; thoả mãn đầu bài. 
 Lời giải trên đã mắc phải “bẩy” của bài toán đó là không rút gọn phân số nên dẫn đến không tìm đủ các phân số bằng mà tử số và mẫu số đều là số có hai chữ số. Lời giải đúng như sau : Rút gọn phân số ta có : = = . Lần lượt nhân cả tử và mẫu của phân số với 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ta được các phân số thoả mãn bài toán là : ; ; ; ; ; ; ; ; .
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý rút gọn phân số.
2. “Bẩy” trong các bài toán về thực hiện phép tính
Ví dụ 4. Tính giá trị biểu thức sau :
A = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 0,10 + 0,11 +...+ 0,19. (19 số hạng)
(Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2000)
*Lời bàn : Sau đây là lời giải của một số em học sinh :
A = (0,19 + 0,1) x 19 : 2 = 2,755.
Sở dĩ các em cho lời giải sai như vậy là do các em đã nghĩ dãy số đó là dãy số cách đều. Và đó cũng là cái “bẩy” mà bài toán giăng ra.
Lời giải đúng : Ta có : M = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 = (0,1 + 0,9) + (0,2 + 0,8) + (0,3 + 0,7) + (0,4 + 0,6) + 0,5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0,5 = 4,5.
N = 0,10 + 0,11 + 0,12 + 0,13 + 0,14 + 0,15 + 0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 = (0,10 + 0,19) + (0,11 + 0,18) + (0,12 + 0,17) + (0,13 + 0,16) + (0,14 + 0,15) = 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 + 0,29 = 5 x 0,29 = 1,45.
Vậy A = M + N = 4,5 + 1,45 = 5,95.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đọc kĩ đầu bài.
Ví dụ 5. Tính giá trị biểu thức :
(Đề thi toán quốc tế Tiểu học ở Hồng Kông)
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải như sau :
Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) + 2x(1x2x3) + 3x(1x2x3) + 4x(1x2x3) + 5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x2x3x15.
B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x(1x3x5) + 3x(1x3x5) + 4x(1x3x5) + 5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1x3x5x15.
Vậy ta có : = = .
Sở dĩ các em giải sai là do các em đã hiểu nhân một số với một tích thành nhân một số với một tổng. Và đó cũng chính là cái “bẩy” của bài toán này.
Lời giải đúng : Ta có : A = 1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15 = 1x(1x2x3) + 2x2x2x(1x2x3) + 3x3x3x(1x2x3) + 4x4x4x(1x2x3) + 5x5x5x(1x2x3) = 1x2x3x(1 + 2x2x2 + 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5).
B = 1x3x5 + 2x6x10 + 3x9x15 + 4x12x20 + 5x15x25 = 1x(1x3x5) + 2x2x2x(1x3x5) + 3x3x3x(1x3x5) + 4x4x4x(1x3x5) + 5x5x5x(1x3x5) = 1x3x5x(1 + 2x2x2 + 3x3x3 + 4x4x4 + 5x5x5).
Vậy : = = .
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý phân biệt sự khác nhau giữa “nhân một số với một tích với nhân một số với một tổng”.	
Ví dụ 6. Sau khi thực hiện phép chia :
Bạn Xuân nói : phép chia này có số dư là 1.
Bạn Hạ nói : phép chia này có số dư là 0,1.
Bạn Thu nói : phép chia này có số dư là 0,01.
Biết rằng chỉ một bạn nói đúng. Hỏi bạn đó là ai ? Vì sao ?
(Đề thi HSG lớp 5 TP Hà Nội, năm 2002)
*Lời bàn: Khi giải bài toán này một số em đã nhầm lẫn với cách tìm số dư trong phép chia có dư học ở lớp 3 và lớp 4 nên đã vội vàng cho rằng bạn Xuân nói đúng. Do vậy các em đã bị sa vào “bẩy” của bài toán.
Lời giải đúng : Có nhiều cách suy luận để tìm đúng số dư của phép chia trên. Chẳng hạn: từ dấu phẩy ta gióng thẳng xuống thì thấy chữ số 1 nằm ở hàng phần trăm có nghĩa số dư của phép chia là 0,01. Vậy bạn Thu nói đúng.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý về số dư trong phép chia số thập phân cho số tự nhiên.	
3. “Bẩy” trong các bài toán về tỉ số phần trăm
Ví dụ 7. Cuối năm 1996 dân số nước ta có 78 triệu người. Hỏi cuối năm 1999 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2%.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải như sau :
Từ năm 1996 đến năm 1999 cách nhau số năm là : 1999 – 1996 = 3 (năm).
Ba năm đó dân số nước ta tăng số phần trăm là : 3 x 2 = 6(%).
Ba năm đó nước ta tăng được số dân là : 78 000 000 : 100 x 6 = 4680000 (người). 
Cuối năm 1999 dân số nước ta là : 78 000 000 + 4 680 000 = 82 680 000 (người).
Lời giải trên đã mắc “bẩy” bài toán. Sở dĩ mắc “bẩy” là do các em đã hiểu sai về tốc độ tăng dân số mỗi năm. Tốc độ tăng dân số mỗi năm là 2% nghĩa là năm sau dân số tăng 2% so với năm liền trước chứ không phải so với cùng một thời điểm là cuối năm 1996.
Lời giải đúng như sau : 
Vì 100% + 2% = 102% nên số dân năm sau bằng 102% số dân năm liền trước đó. 
Số dân năm 1997 là : 78 000 000 : 100 x 102 = 79 560 000 (người).
Số dân năm 1998 là : 79 560 000 : 100 x 102 = 81 151 200 (người).
Số dân năm 1999 là : 81 151 200 : 100 x 102 = 82 774 224 (người).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý “Tốc độ tăng dân số mỗi năm là a% nghĩa là năm sau dân số tăng a% so với năm liền trước đó”. 
Ví dụ 8. Một cửa hàng điện tử định giá bán một chiếc Tivi là 4 500 000 đồng. Tuy nhiên để thu hút khách hàng cửa hàng quyết định giảm giá hai lần liên tiếp, mỗi lần giảm 10%. Hỏi sau hai lần giảm giá thì giá bán chiếc Tivi đó là bao nhiêu ?
*Lời bàn : Lời giải của đa số học sinh khi giải bài toán này như sau :
Hai lần giảm số phần trăm là : 10% + 10% = 20%.
Số tiền bị giảm đi là : 4 500 000 : 100 x 20 = 900 000 (đồng).
Giá chiếc Tivi sau hai lần giảm giá là : 4 500 000 – 900 000 = 3 600 000 (đồng).
Bài giải trên sai ngay từ phép tính đầu tiên : 10% + 10% = 20%. Đây chính là “bẩy” của bài toán. Sở dĩ các em mắc “bẩy” là do các em đã hiểu 10% giá lần đầu cũng bằng 10% giá lần sau. 
Lời giải đúng như sau : Sau khi giảm giá 10% lần đầu thì giá bán chiếc Tivi là : 
4 500 000 – 4 500 000 : 100 x 10 = 4 050 000 (đồng).
Sau khi giảm giá 10% lần thứ hai thì giá bán chiếc Tivi là :
4 050 000 – 4 050 000 : 100 x 10 = 3 645 000 (đồng).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý “giảm a% lần thứ nhất khác với giảm a% lần thứ hai”.
Ví dụ 9. Một người bỏ ra 2 500 000 đồng để đi buôn. Chuyến thứ nhất người đó lãi được 40%. Sau đó người đó gộp cả vốn lẫn lãi để đi buôn chuyến thứ hai thì bị lỗ 40%. Hỏi sau hai chuyến đi buôn người đó còn lại bao nhiêu tiền ?
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em đều cho đáp số là : “người đó còn lại 2 500 000 đồng). Sở dĩ có đáp số sai đó là do các em nghĩ rằng tăng 40% rồi lại giảm 40% thì vẫn trở về như cũ. Và như thế là các em đã mắc “bẩy” của bài toán.
Lời giải đúng như sau : 
Số tiền người đó đem đi buôn chuyến thứ hai là :
2 500 000 + 2 500 000 : 100 x 40 = 3 500 000 (đồng).
Sau hai chuyến đi buôn người đó còn lại số tiền là :
3 500 000 – 3 500 000 : 100 x 40 = 2 100 000 (đồng).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý “tăng a% lại giảm a% thì không trở về con số cũ được”.
4. “Bẩy” trong các bài toán về hình học
Ví dụ 10. Có 11 mẫu que thẳng, trong đó có : 1 mẫu que dài 2cm, 3 mẫu que mỗi mẫu que dài 3cm, 4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm.
Dùng một số mẫu que đó ghép thành một hình vuông thì cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép được có độ dài là bao nhiêu ?
*Lời bàn : Sau đây là lời giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này :
Tổng độ dài của 11 mẫu que đó là : 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 = 42 (cm). 
Chu vi hình vuông là một số chia hết cho 4. Vì tổng độ dài của 11 que trên là 42 cm nên số đo chu vi hình vuông cần ghép không vượt quá 42. Số lớn nhất không vượt quá 42 và chia hết cho 4 là số 40. Bỏ một mẫu que dài 2 cm thì với các mẫu que còn lại ta ghép được hình vuông có độ dài mỗi cạnh là : 40 : 4 = 10 (cm).
Rõ ràng bài giải trên là sai vì từ 10 mẫu que còn lại (3 mẫu que mỗi mẫu que dài 3cm, 4 mẫu que mỗi mẫu dài 4cm, 3 mẫu que mỗi mẫu dài 5cm) không thể ghép thành 1 hình vuông có độ dài ...  mà các em đã mắc phải “bẩy” của bài toán.
Bài giải đúng và đầy đủ như sau :
a) Trường hợp hai bạn chưa gặp nhau : Giải như cách giải trên.
b) Trường hợp hai bạn gặp nhau rồi đi tiếp nên cách xa nhau 4 km :
Sau 4 giờ Hồng đi được là : 5 x 4 = 20 (km).
Quãng đường Hà đi là : 40 – 20 + 4 = 24 (km).
Vận tốc của Hà là : 24 : 4 = 6 (km/giờ).
* Lời khuyên : Đối với các bài toán có nhiều khả năng (hay trường hợp) xảy ra chỉ được coi là bài giải đúng và đầy đủ nếu các em biết xét tất cả mọi trường hợp có thể xẩy ra trong tình huống đã cho.
Ví dụ 14. Hai bạn Toán và Văn xuất phát cùng một lúc từ A để đến B. Trong nửa thời gian đầu bạn Toán đi chơi với vận tốc 16 km/giờ và trong nửa thời gian sau đi với vận tốc 12 km/giờ. Còn bạn Văn trong nửa quãng đường đầu đi với vận tốc 12 km/giờ và trong nửa quãng đường sau đi với vận tốc 16 km/giờ. Hỏi bạn nào đến B trước ?
(Đề thi HSG lớp 5 tỉnh Nam Định, năm 2003)
*Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này như sau :
Vận tốc trung bình của bạn Toán là : (16 + 12) : 2 = 14 (km/giờ).
Vận tốc trung bình của bạn Văn là : (12 + 16) : 2 = 14 (km/giờ).
Vì vận tốc trung bình của hai bạn bằng nhau (đều bằng 14 km/giờ) nên hai bạn đến B cùng một lúc.
Bài giải trên đã mắc sai lầm khi tính vận tốc trung bình của bạn Văn là tính trung bình cộng của hai số đo vận tốc khi thời gian xe chạy nửa đầu quãng đường và nửa sau quãng đường là khác nhau. Và đây cũng là cái “bẩy” của bài toán.
Lời giải đúng : Vận tốc trung bình của bạn Toán là : (16 + 12) : 2 = 14 (km/giờ).
Bạn Văn đi 1 km trong nửa đầu quãng đường AB hết thời gian là :
1 : 12 = (giờ).
Bạn Văn đi 1 km trong nửa sau quãng đường AB hết thời gian là :
1 : 16 = (giờ).
Vận tốc trung bình của bạn Văn là : 2 : ( + ) = 13 (km/giờ).
Vì 14 km/giờ > 13 (km/giờ) nên bạn Toán đến B trước.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý khi tính vận tốc trung bình.
Ví dụ 15. Một đoàn tàu hoả chạy ngang qua chỗ em đứng hết 10 giây và đi hết qua cái cầu dài 150 mét mất 25 giây. Hãy tìm chiều dài và vận tốc của đoàn tàu.
*Lời bàn : Khi giải bài toán này phần lớn các em cho lời giải như sau :
Vận tốc của đoàn tàu hoả là : 150 : 25 = 6 (m/giây).
Chiều dài của đoàn tàu hoả là : 6 x 10 = 60 (m).
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” là không tính đến chiều dài đoàn tàu nên đã hiểu là đoàn tàu chạy được 150 m hết 25 giây.
Lời giải đúng : Chiều dài đoàn tàu đúng bằng độ dài quãng đường đoàn tàu đi được trong 10 giây qua chỗ em đứng. Trong 25 giây đoàn tàu đi được quãng đường đúng bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và chiều dài của cây cầu.
Thời gian đoàn tàu chạy 150 m là : 25 – 10 = 15 (giây).
Vận tốc của đoàn tàu là : 150 : 15 = 10 (m/giây)
Chiều dài đoàn tàu là : 10 x 10 = 100 (m).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đến chiều dài của đoàn tàu.
Ví dụ 16. Hai xe máy A và B xuất phát ở cùng một điểm và chạy cùng chiều trên một đường đua tròn có chu vi 1 km. Biết vận tốc của xe A là 22,5 km/giờ, vận tốc của xe B là 25 km/giờ. Sau khi xe A xuất phát 6 phút thì xe B mới bắt đầu chạy. Hỏi để đuổi kịp xe A thì xe B phải chạy trong bao nhiêu phút ?
(Đề thi Giao lưu Toán Tuổi Thơ, năm 2008)
*Lời bàn : Bài giải của đa số học sinh khi giải bài toán này như sau :
Đổi : 6 phút = 0,1 giờ.
Khoảng cách giữa xe A và xe B khi xe B bắt đầu xuất phát là : 0,1 x 22,5 = 2,25 (km).
Hiệu vận tốc của xe B so với xe A là : 25 – 22,5 = 2,5 (km/giờ).
Xe B đuổi kịp xe A sau : 2,25 : 2,5 = 0,9 (giờ).
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” là xem đường đua tròn như đường đua thẳng.
Lời giải đúng : Đổi : 6 phút = 0,1 giờ.
Khi xe B bắt đầu chạy thì xe A đã chạy được quãng đường dài là : 22,5 x 0,1 = 2,25 (km).
Vì 2,25 km = 2 km + 0,25 km nên lúc đó xe B cách xe A là 0,25 km.
Hiệu vận tốc của xe B và xe A là : 25 – 22,5 = 2,5 (km/giờ).
Xe B đuổi kịp A sau một thời gian là : 0,25 : 2,5 = 0,1 (giờ). 0,1 giờ = 6 phút.
Vậy sau 6 phút thì xe B đuổi kịp xe A.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đến quãng đường khép kín.
6. “Bẩy” trong các bài toán khác
Ví dụ 17. Bạn Toán đến cửa hàng bán sách cũ và mua được một quyển sách toán rất hay gồm 200 trang. Về đến nhà đem sách ra xem, Toán mới phát hiện ra từ trang 100 đến trang 125 đã bị xé. Hỏi cuốn sách này còn lại bao nhiêu trang ?
*Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này :
Từ trang 100 đến trang 125 có số trang là : 125 – 100 + 1 = 26 (trang).
Số trang còn lại của quyển sách là : 200 – 26 = 174 (trang).
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” là không tính đến tình huống 1 tờ có 2 trang. Như thế nếu xé trang 100 là đã mất cả trang 99. Xé trang 125 là đã mất cả trang 126.
Lời giải đúng : Số trang sách bị xé mất là : 126 – 99 + 1 = 28 (trang).
Số trang còn lại của quyển sách là : 200 – 28 = 172 (trang).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đến yếu tố thực tế của bài toán.
Ví dụ 18. Một con ốc sên bò lên một cây cột cao 10 m, vào ban ngày ốc sên bò lên được 3 m, đến ban đêm ốc sên tụt xuống 2 m. Hỏi sau bao lâu ốc sên mới bò lên đến đỉnh cột ?
*Lời bàn : Bài giải của một số học sinh :
Do ban ngày ốc sên bò lên 3 m, ban đêm ốc sên tụt xuống 2 m nên một ngày - đêm ốc sên bò lên được : 3 – 2 = 1 (m).
Thời gian để ốc sên bò lên đến đỉnh cột là : 10 : 1 = 10 (ngày - đêm).
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” của bài toán là cho buổi ban ngày bằng buổi ban đêm.
Lời giải đúng : Sau mỗi ngày đêm ốc sên bò lên được một đoạn dài là : 3 – 2 = 1 (m).
Sau đêm cuối cùng ốc sên lên cách đỉnh cột là : 10 – 3 = 7 (m).
Thời gian để ốc sên đạt được 7 m là : 7 : 1 = 7 (ngày - đêm).
Do đó buổi ban ngày thứ 8 ốc sên bò tiếp 3 m nữa là tới đỉnh cột cao 10 m. Vậy sau 8 buổi ban ngày và 7 buổi ban đêm thì ốc sên bò lên tới đỉnh cột cao 10 m.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý kiểm tra lại kết quả bài toán với giả thiết bài toán xem có thoả mãn không.
Ví dụ 19. Một người thợ mộc cưa một cây gỗ dài 13m5dm thành những đoạn dài 15 dm. Mỗi lần cưa hết 6 phút. Cứ sau mỗi lần cưa, người thợ lại nghỉ 2 phút rồi mới cưa tiếp. Hỏi sau đúng 1 giờ người ấy đã hoàn thành công việc hay chưa ? Vì sao ?
(Đề thi Giao lưu Toán Tuổi Thơ, năm 2007)
*Lời bàn : Sau đây là bài giải của một số em học sinh :
Đổi : 13 m 5 dm = 135 dm.
Số khúc gỗ có được là : 135 : 15 = 9 (khúc gỗ).
Thời gian để cưa một mạch và nghỉ là : 6 + 2 = 8 (phút).
Người thợ mộc phải thực hiện 8 mạch cưa nên thời gian cưa xong cây gỗ là : 
8 x 8 = 64 (phút).
Vì 64 phút > 60 phút (1 giờ) nên người ấy chưa hoàn thành công việc.
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” của bài toán là tính thời gian nghỉ ở mạch cưa cuối cùng. Mặc dù vẫn cho đáp số đúng là “người ấy chưa hoàn thành công việc” nhưng trong toán học đáp số đúng chưa phải là tất cả.
Đáp số đúng là : Vì 62 phút > 60 phút (1 giờ) nên người ấy chưa hoàn thành công việc.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đến yếu tố thực tế của bài toán.
Ví dụ 20. Một chai chứa lít xăng, 1 lít xăng cân nặng kg. Hỏi nửa chai xăng đó cân nặng mấy kg ? Biết rằng vỏ chai cân nặng kg.
*Lời bàn : Bài giải của một số học sinh :
Một chai đó cân nặng số kg là : x + = (kg).
Nửa chai đó cân nặng số kg là : : 2 = (kg).
Bài giải trên đã mắc phải “bẩy” của bài toán là chia đôi cả lượng xăng và vỏ chai (vỏ chai vẫn còn nguyên, sao lại chia đôi ?).
Bài giải đúng : Khối lượng xăng trong chai xăng là : x = (kg).
Nửa chai xăng đó cân nặng là : : 2 + = (kg).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý đến đại lượng không thay đổi là vỏ chai xăng.
Ví dụ 21. Có thể thay các chữ cái bằng các số thích hợp để được phép tính đúng sau đây không ?
*Lời bàn : Sau đây là bài giải của một số học sinh :
Ta thấy số bị trừ có tổng các chữ số là (H + O + C) x 3 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Số trừ có tổng các chữ số là (T + A + P) x 3 chia hết cho 3 nên chia hết cho 3. Vậy hiệu phải chia hết cho 3. Ta thấy hiệu có tổng các chữ số là : 1 + 2 + 0 + 0 + 3 + 2 + 0 + 0 + 4 = 12 là số chia hết cho 3. Như vậy có thể thay các chữ cái bằng các chữ số thích hợp để có được phép tính đúng nêu trên.
Bài giải trên là sai, sai ở chỗ do các em đã hiểu “Hai số chia hết cho 3 và hiệu của chúng cũng chia hết cho 3 nên đã khẳng định phép tính là đúng”. Và đó cũng là cái “bẩy” của bài toán này.
Bài giải đúng : - = x 1001001 - x 1001001 = ( - ) x 1001001 chia hết cho 1001001. Vì 120032004 chia cho 1001001 được 119 và dư 912885 nên - không thể cho kết quả là 120032004.
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý : “Hai số chia hết cho 3 và hiệu của chúng cũng chia hết cho 3 chưa khẳng định được phép tính là đúng nên cũng chưa khẳng định được tồn tại các chữ số thay vào các chữ cái để có phép tính đúng”.
Ví dụ 22. Trong cuộc thi tìm hiểu về “60 năm ngày thành lập Quân đội nhân dân Việt Nam”, có một câu hỏi như sau : Biết ngày 22 tháng 12 năm 2004 là ngày thứ tư, hỏi ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ mấy ?
*Lời bàn : Sau đây là bài giải của phần lớn các em học sinh khi giải bài toán này :
Từ năm 1944 đến năm 2004 tròn 60 năm. Do năm 1944 và 2004 đều là các năm nhuận, nên từ năm 1944 đến năm 2004 có : (2004 – 1944) : 4 + 1 = 16 (năm nhuận).
Vì mỗi năm nhuận hơn năm thường là 1 ngày nên tổng số ngày tính từ ngày 22 tháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 là : 60 x 365 + 16 = 21916 (ngày).
Vì 21916 chia cho 7 có số dư là 6, ngày 22 tháng 12 năm 2004 là thứ tư nên ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ năm.
Bài giải trên đã mắc “bẩy” của bài toán là đã tính luôn cả ngày 29 tháng 2 năm 1944 nên cho kết quả sai. Đúng là kể từ năm 1944 đến năm 2004 thì có 16 năm nhuận. Nhưng kể từ sau ngày 22 tháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 thì chỉ có 15 ngày 29 tháng 2. Do đó số ngày sau ngày 22 rtháng 12 năm 1944 đến ngày 22 tháng 12 năm 2004 chỉ là : 365 x 60 + 15 = 21915 (ngày). Vì 21915 : 7 = 3130 (dư 5) nên suy ra ngày 22 tháng 12 năm 1944 là ngày thứ sáu (tính lùi từ thứ tư đúng năm ngày nữa).
* Lời khuyên : Với dạng toán này các em cần lưu ý mốc thời gian cần tính đứng trước ngày 29 tháng 2 hay đứng sau ngày 29 tháng 2.
Qua 22 bài toán trên chắc các em đã rút ra cho mình những kinh nghiệm quý. Trong quá trình làm bài các em phải bình tĩnh đọc kĩ đề bài, cần sử dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức cơ bản, để không bị “sa bẩy” mà bài toán đã giăng ra. 
Chúc các em thành công !
 Phan Duy Nghĩa
(Trường Tiểu học Sơn Long, Hương Sơn, Hà Tĩnh)
ĐT : 01689.636.412
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *