Toán 5 - Các bài toán điển hình bồi dưỡng học sinh giỏi

CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 § 1. CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN
Bài 1:
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 dư 1. 
 Hd: 
+ Gọi số cần tìm là , (a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). 
Ta có: b = c 2 + 2. Chữ số hàng đơn vị phải lớn hơn 2 ( vì số dư là 2). Chữ số hàng đơn vị cũng không thể lớn hơn 3 (vì nếu chẳng hạn bằng 4 thì b = 4 x 2 + 2 = 10). Vậy suy ra c = 3. 
+ Ta thấy: b = 3 x 2 + 2 = 8. Theo đề bài ta lại có: a = c x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 = 7.
Thử lại: 8 = 3 2 + 2; 7 = 3 2 + 1. 
Bài 2:
	Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì được 2000. 
 Hd: 
	 + Giả sử số đó là 
Theo đề bài ta có 2000 - = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = .
Lập luận để có = 19. 
+ Từ đó tìm được c = 8 và d = 1.
Thử lại: 2000 – 1981 = 1 + 9 + 8 + 1 = 19.
Vậy số cần tìm là 1981. 
Bài 3:
Tìm số tự nhiên A có 2 chữ số, biết rằng B là tổng các chữ số của A và C là tổng các chữ số của B, đồng thời cho biết A = B + C + 51.
 Hd: 
+ Giả sử A = , . 
Lập luận để có C là số có một chữ số c nên hay 
Từ lập luận để có a = 6. 
+ Từ a = 6 tìm được c = 3.
Nên số phải tìm là . Xét lần lượt 60,  , 69 ta thấy chỉ có 66 là cho kết quả c = 3. Thử lại: 12 + 3 + 51 = 66.
Vậy 66 là số cần tìm. 
Bài 4:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi chia số đó cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì được thương là 15 và dư 2.
 Hd:
+ Gọi số phải tìm là 
Theo đầu bài ta có = (a – b) ´15 +2
Hay b ´ 16 = a ´ 5 + 2
Nếu a lớn nhất là 9 thì a ´ 5 + 2 lớn nhất là 47.
Khi đó b ´ 16 lớn nhất là 47 nên b lớn nhất là 2 (vì 47 : 16 = 2 dư 15)
 + Vì a ´ 5 + 2 0 nên b 0.
 b = 1 thì a = 14 : 5 (loại)
 b = 2 thì a = 6.
Thử lại. (6 – 2) ´ 15 + 2 = 62.
Số phải tìm là 62. 
Bài 5:
Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 5 dư 12.
 Hd:
+ Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b < 10, a 0).
Ta có = 5 ´ (a + b) + 12, với a + b > 12.
Sau khi biến đổi ta có: 5 ´ a = 4 ´ b + 12. 
+ Vì 4 ´ b + 12 chia hết cho 4 nên : 5 ´ a chia hết cho 4 , suy ra a = 4 hoặc a = 8, thay vào ta tìm được a = 8. Thử lại thấy thoả mãn.
Kết luận: Số phải tìm là 87. 
Bài 6:
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 11.
 Hd:
+ Gọi số cần tìm là , (a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). 
	 (theo bài ra)
 (cấu tạo số và nhân một số với một tổng)
 (cùng bớt đi )
Bài 7:
Tìm số chia và thương của một phép chia có dư mà số bị chia là 5544, các số dư lần lượt là 10, 14 và cuối cùng là 9.
 5544
-.
 104
-.
 144
-.
 9
Hd:
- Lập luận để có thương là số có 3 chữ số, còn số chia là 
số có 2 chữ số.
- Mô phỏng quá trình chia: 
- Tìm 3 tích riêng tương ứng với 3 lần chia có 3 số dư là 
10, 14, 9.
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao nhất của thương là
55 – 10 = 45
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 2 của thương là 104 – 14 = 90.
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 3 của thương 114 – 9 = 135
Trong 3 tích riêng có số 45 là số lẻ và nhỏ nhất nên số chia là số lẻ, mà số 45 chỉ chia hết cho số có 2 chữ số là 45. Vậy số chia là 45, thương là 123.
Bài 8:
Khi nhân một số tự nhiên với 2008, một học sinh đã quên viết một chữ số 0 ở số 2008 nên tích đúng bị giảm đi 221400 đơn vị. Tìm thừa số chưa biết.
Hd:
Thừa số đã biết là 2008, nhưng đã viết sai thành 208. Thừa số này bị giảm đi 2008 – 208 = 1800 (đvị).
Thừa số chưa biết được giữ nguyên, thừa số đã biết bị giảm đi 1800 đơn vị thì tích bị giảm đi là 1800 lần thừa số chưa biết. 
Theo đề bài số giảm đi là 221400. Vậy thừa số chưa biết là 221400 : 1800 = 123. 
Bài 9:
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, ta được thương là 28 dư 1.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b < 10, a 0).
Ta có = (a – b) ´ 28 + 1.
Khi đó 0 < a – b < 4 vì nếu không thì không phải là số có 2 chữ số.
Nếu a – b = 1 thì = 29 loại vì a không trừ được cho b.
Nếu a – b = 2 thì = 57 loại vì a không trừ được cho b.
Nếu a – b = 3 thì = 85 chọn vì a – b = 8 – 5 = 3. 
Bài 10:
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 20 lần tổng các chữ số của nó.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: = (a + b + c) ´ 20.
Vế trái có tận cùng là 0 nên vế phải có tận cùng là 0, hay c = 0. 
 Khi đ ó 10 = 20 (a+b)
Suy ra =2(a+b) suy ra 10a+b=2a+2b 
khi đó ta có: 8 ´ a = b suy ra a = 1, b = 8.
Thử lại: 180 = (1 + 8 + 0) ´ 20. 
Bài 11:
	Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: = 5 ´ a ´ b ´ c. Điều này chứng tỏ , tức là c = 0 hoặc c = 5.
Dễ thấy c = 0 vô lý ( Loại) 
Với c = 5: Ta có . 
Vậy suy ra b = 2 hoặc b = 7.
Với b = 2 vô lý (Loại)
Với b = 7: Suy ra a = 1. Số phải tìm 175. 
Bài 12:
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta được số mới hơn số đã cho 765 đơn vị.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
Þ 11 ´ c = 85 + b + 10 ´ a 
Vì 85 + b + 10 ´ a ³ 95 Þ 11 ´ c ³ 95 Þ c = 9 
Þ 14 = b + 10 ´ a Þ a = 1, b = 4. 
Vậy số phải tìm là 149. 
Bài 13:
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu ta xóa chữ số hàng trăm đi ta được số mới giảm đi 7 lần so với số ban đầu.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
 Þ a là bội của 3 Þ a = 3, 
Vậy số phải tìm là 350
Bài 14:
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu ta viết số đó theo thứ tự ngược lại ta được số mới lớn hơn hơn số đã cho 693 đơn vị.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
Þ 99 ´ (c – a) = 693
 Þ c – a = 693 : 99 = 7 
Þ a = 1, c = 8 ; a = 2, c = 9 và b = 0, 1, 2,  , 9 
Bài 15:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 5, biết rằng nếu chuyển chữ số 5 lên đầu thì ta được số mới giảm bớt đi 531 đơn vị.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
	Þ 
 ÞVậy số phải tìm là: 6145 
Bài 16:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu xóa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì ta được số mới giảm đi 4455 đơn vị.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
	Þ Þ 
Nếu Số phải tìm là 4500 
Nếu Số phải tìm là 4499 
Bài 17:
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được số mới gấp 4 lần số ban đầu.
 Hd:
Gọi số phải tìm là , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0).
Theo bài ra ta có: 
	Þ a = 1 hoặc a = 2 vì nếu a ³ 3 thì tích không là số có 4 chữ số
	Nếu a = 1: Ta có đây là điều vô lý.
Nếu a = 2: Ta có Þ 4 ´ d có tận cùng là 2 
	 Þ d = 3 hoặc d = 8.
	 Nếu d = 3: Ta có là vô lý
	 Nếu d = 8: Ta có Þ 390 ´ b + 30 = 60 ´ c
 	 Þ 39 ´ b + 3 = 6 ´ c Þ b = 1, c = 7
	Vậy số phải tìm là: 2178 
Bài 18:
Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì ta được số mới gấp 7 lần số ban đầu.
 Hd:
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị nên nó ít nhất phải là số có 2 chữ số. Vậy gọi số phải tìm là , ( 0 b 0).
Theo bài ra ta có: 
	 Þ b ´ 6 = A ´ 5 ´ 6 Þ b = A ´ 5 Þ b = 5 (Vì A > 0) 	Þ A = 1. Số phải tìm là 15.
 Bài 19:
Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng trăm thì ta được số mới gấp 6 lần số ban đầu.
 Hd:
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục và chữ số hàng trăm nên nó ít nhất phải là số có 3 chữ số. Vậy gọi số phải tìm là , ( 0 b, c 0).
Theo bài ra ta có: 
	 Þ Þ Þ (Vì A > 0) 	Þ A = 1. Số phải tìm là 180.
§ 2. DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Bài 1:
Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..., 2006.
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 190 là số hạng nào?
b) Chữ số thứ 100 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào?
 Hd:
 a) Số các số hạng: (2006 – 2) : 2 + 1 = 1003.
Số hạng thứ 190 là: (190 – 1) ´ 2 + 2 = 380 
b) Dãy số 2, 4, 6, , 98 có 4 + [(98 – 10) : 2 + 1] ´ 2 = 94 chữ số. 
Vì 94 < 100 nên chữ số thứ 100 phải nằm trong dãy số 100, 102, 104, , 998. 
Chữ số thứ 100 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số thứ 100 – 94 = 6 của dãy số 100, 102, 104, , 998. Vậy chữ số thứ 100 là chữ số 2. 
Bài 2:
 	Cho dãy số 11, 13, 15, ..., 175.
a) Tính số chữ số đã dùng để viết tất cả các số hạng của dãy số đã cho. Chữ số thứ 136 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào?
b) Tính tổng các số hạng của dãy số đã cho.
 Hd:
a) Dãy số 11, 13, , 99 có [(99 – 11) : 2 + 1] ´ 2 = 90 chữ số. Dãy số 101, 103, , 175 có [(175 – 101) : 2 + 1] x 3 = 114 chữ số. Số các chữ số đã sử dụng trong dãy đã cho là: 90 + 114 = 204 (chữ số)
+ Vì 204 > 136 > 90 nên chữ số thứ 136 phải nằm trong dãy số 101, 103, ,175. Chữ số thứ 136 của dãy số 11, 13, 15,..., 175 là chữ số thứ 136 – 90 = 46 của dãy số 101, 103, , 175.
+ Ta có: 46 : 3 = 15 (dư 1).
+ Tìm được số hạng thứ 16 của dãy số 101, 103, , 175 là 131.
Vậy chữ số thứ 136 của dãy đã cho là 1. 
b) Số số hạng của dãy số đã cho là 45 + 38 = 83.
Vậy suy ra:11 + 13 + 15 +  + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719 
Bài 3:
 Cho dãy số 4, 8, 12, 16, ...
a) Xét xem các số 2002 và 2008 có thuộc dãy số đã cho không? Nếu nó thuộc thì cho biết số thứ tự trong dãy của nó. 
b) Chữ số thứ 74 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào?
 Hd:
a) Đặc điểm của dãy số đã cho là các số hạng của dãy đều chia hết cho 4. Số 2002 không chia hết cho 4 nên không thuộc dãy số đã cho. Số 2008 chia hết cho 4 nên thuộc dãy số đã cho.
Số thứ tự trong dãy của số 2008 là (2008 – 4) : 4 + 1 = 502. 
b) Trong dãy 12, 16, 20, , 96 có [(96 – 12) : 4 + 1] × 2 = 44 chữ số. Vậy chữ số thứ 74 của dãy số đã cho là chữ số thứ 74 – 2 – 22 × 2 = 28 của dãy số 100, 104, 108, 
Ta có 28 : 4 = 7 nên chữ số thứ 28 của dãy số 100, 104, 108,  là chữ số cuối cùng của số hạng thứ 7 của dãy số 100, 104, 108,  Chữ số cần tìm là 4. 
Bài 4:
Cho dãy số 11, 14, 17, 20, 
a) Chữ số thứ 166 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào?
b) Tính tổng của 130 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
 Hd:
a) Dãy số 11, 14, 17, , 98 có số chữ số là: [(98 – 11) : 3 + 1] × 2 = 60 .
Dãy số 101, 104, 107, , 998 có số chữ số là: [(998 – 101) : 3 + 1] × 3 = 900. 
Vì 60 < 166 < 900 nên chữ số thứ 166 phải nằm trong dãy số 1 ... hứ 5 có 5 cách chọn
	Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 5 × 6 × 7 × 8 × 8
	Kết luận: Vậy số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là:
(5 × 6 × 7 × 8 × 9) + (5 × 6 × 7 × 8 × 8)
Bài 6:
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2?
 Hd:
	Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau:
	+ Chữ số ở vị trí thứ 1 có 9 cách chọn
	+ Chữ số ở vị trí thứ 2 có 9 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 8 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 7 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 5 có 6 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 6 có 5 cách chọn
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 9
	Mà trong tập các số tự nhiên trên số các số chẵn và các số lẻ là bằng nhau, nên suy ra số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2 là:
	(5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 9) : 2 = 5 × 3 × 7 × 8 × 9 × 9
Bài 7:
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà chia hết cho 4?
 Hd:
	Ta biết rằng điều kiệncần và đủ để một số tự nhiên chia hết cho 4 là 2 chữ số tận cùng là số chia hết cho 4.
	Số các số gồm 2 chữ số hàng chục và hàng đơn vị khác nhau mà chia hết cho 4: 
{04, 08, 12,  , 92, 96 } \ {44, 88} ---- [(96 – 04) : 4 +1] – [2] = 22
	Trong 22 số đó có 16 số không chứa chữ số không và 6 số chứa một chữ số 0 là: 04, 08, 20, 40, 60, 80.
 	Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa 1 chữ số 0
	+ Chữ số ở vị trí thứ 1 có 8 cách chọn
	+ Chữ số ở vị trí thứ 2 có 7 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 6 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 5 cách chọn
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là: 6 × [5 × 6 × 7 × 8]
Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số 0
	+ Chữ số ở vị trí thứ 1 có 7 cách chọn
	+ Chữ số ở vị trí thứ 2 có 7 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 6 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 5 cách chọn
 Þ Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là: 16 × [5 × 6 × 7 × 7]
 Kết luận: Vậy số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau chia hết cho 4 là:
(6 × [5 × 6 × 7 × 8]) + (16 × [5 × 6 × 7 × 7])
Bài 8:
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 được cấu tạo từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}?
 Hd:
	Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số 0
	+ Chữ số ở vị trí thứ 1 có 7 cách chọn
	+ Chữ số ở vị trí thứ 2 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 5 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 4 cách chọn
	Þ Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 4 × 5 × 6 × 7
Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số 5
	+ Chữ số ở vị trí thứ 1 có 6 cách chọn
	+ Chữ số ở vị trí thứ 2 có 6 cách chọn 
+ Chữ số ở vị trí thứ 3 có 5 cách chọn
+ Chữ số ở vị trí thứ 4 có 4 cách chọn
	Þ Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là: 4 × 5 × 6 × 6
	Kết luận: Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là:
(4 × 5 × 6 × 7 ) + (4 × 5 × 6 × 6 )
Bài 9:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
 Hd:
Theo bài ra ta thấy số tự nhiên có chữ số 4 có mặt 3 lần, còn 4 chữ số còn lại có mặt đúng một lần là số tự nhiên có 7 chữ số.
Do vậy chữ số 0 có 6 vị trí để chọn
Chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, tức là chiếm 3 vị trí còn lại trong 6 vị trí còn lại: Chữ số 4 có C36 = 20 cách chọn
Với 3 vị trí còn lại thì 3 chữ số 1, 2, 3 mỗi chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × 2 × 3 cách chọn.
Þ Số các số tự nhiên trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số còn lại có mặt đúng một lần là: 6 × 20 × 6 = 120 số
Bài 10:
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
 Hd:
Ta có:
+ Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số là: 9 × 10 × 10 × 10
+ Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, trong đó có đúng một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: 
Chữ số 0 lặp lại đúng 3 lần là: 9
Chữ số 1 lặp lại đúng 3 lần là: 
	Vị trí thứ 1 có 8 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 2 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 3 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 4 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
Þ Số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số 1 lặp lại đúng 3 lần là: 8 × 9 × 9 × 9 = 35
Chữ số 9 lặp lại đúng 3 lần là: 
	Vị trí thứ 1 có 8 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 2 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 3 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
	Vị trí thứ 4 có 9 cách chọn 9 chữ số ngoài số 1
Þ Số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó chữ số 1 lặp lại đúng 3 lần là: 8 × 9 × 9 × 9 = 35
Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số, trong đó có đúng một chữ số lặp lại đúng 3 lần là 9 + 9 × 35 = 324
Suy ra: Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676
Bài 11:
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
 Hd:
Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số 0
- Có 4 vị trí có thể chọn chữ số 0, sau đó còn 4 vị trí chọn chữ số 5. 
- Ta thấy 3 vị trí còn lại chọn 3 trong 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức là có 5 × 4 × 3 cách chọn. 
Do vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này là: 4 × 4 × [5 × 4 × 3]
Trường hợp 2: Số tự nhiên tạo thành không chứa chữ số 0
- Có 5 cách chọn vị trí có thể chọn chữ số 5, sau đó còn 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức là có 5 × 4 × 3 × 2 cách chọn.
Do vậy số các số tự nhiên trong trường hợp này là: 5 × [5 × 4 × 3 × 2]
Tóm lại: Số số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 5 là: {4 × 4 × [5 × 4 × 3]} + {5 × [5 × 4 × 3 × 2]}
Bài 12:
Một đoàn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm 2 môn bắn súng và bơi lội. Trong đoàn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 người.Tính số người của toàn đoàn, biết số nữ thi bơi bằng số nam bắn súng.
 Hd:
Ta có:
Số người của toàn đoàn = Số nam + Số nữ
Số nữ của toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng
Mà theo bài ra ta có số nữ thi bơi bằng số nam bắn súng, nên suy ra:
Số nữ của toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng = 14 người.
Vậy số người của toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người)
Bài 13:
Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 người trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh nhau?
 Hd:
Để 7 học sinh nam đứng cạnh nhau ta có số cách là 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7
Khi 7 học sinh nam đứng cạnh nhau ta coi như cùng 1 vị trí và cùng với 3 học sinh nữ xếp vào 4 vị trí. Ta có 4! = 1 × 2 × 3 × 4 cách
Do vậy số cách xếp 10 học sinh đã cho thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng cạnh nhau là: 4! × 7!
Bài 14:
Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai người A, B không đứng cạnh nhau?
 Hd:
Số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang là: (1 × 2 × 3 × 4 × 5) 
Hai người A, B đứng cạnh nhau ta coi là một người và hàng đó chỉ còn 4 người và có 2 trường hợp xảy ra. 
Mà số cách xếp 4 người thành một hàng ngang là: 1 × 2 × 3 × 4 . 
Do đó số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai người A, B đứng cạnh nhau là: (1 × 2 × 3 × 4) × 2 
Vậy số cách xếp 5 người A, B, C, D, E thành một hàng ngang sao cho hai người A, B không đứng cạnh nhau là: (1 × 2 × 3 × 4 × 5) - (1 × 2 × 3 × 4) × 2 
Bài 15:
Trong một tháng nào đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn. Hỏi ngày 26 của tháng đó là ngày thứ mấy?
 Hd:
	Vì tháng đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn và một tháng tối đa chỉ chứa 5 ngày của một thứ, nên suy ra: Tháng đó có 5 ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ 3 ngày thứ năm là ngày chẵn.)
Các ngày thứ năm của tháng đó có thể lần lượt là:. a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28
Nếu a là số lẻ thì a + 7 và a + 21 phải là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết tháng đó có 3 ngày thứ năm là ngày chẵn. Vậy suy ra a phải là só chẵn
Vì số ngày trong một tháng chỉ từ 1 tới 31, nên ta có a + 28 £ 31 Þ a £ 3
Từ đây suy ra a = 2
Do đó suy ra: Ngày 23 = 2 + 3 × 7 là thứ năm và ngày 26 là ngày chủ nhât.
Bài 16:
Một nhóm bạn thân bao gồm cả nam và nữ. Tính số người trong nhóm người đó biết rằng:
	- Mỗi bạn nam trong nhóm có số bạn nam thân bằng số bạn nữ thân của mình.
	- Mỗi bạn nữ trong nhóm có số bạn nữ thân bằng nửa số bạn nam thân của mình.
 Hd:
	Theo bài ra ta có:
	Mỗi bạn nam trong nhóm có số bạn nam thân bằng số bạn nữ thân của mình, tức là: Số nam nhiều hơn số nữ là 1 người (Số nam = Số nữ + 1). Suy ra: 2 lần số nam bằng 2 lần số nữ thêm vào 2 người. 
	Mỗi bạn nữ trong nhóm có số bạn nữ thân bằng nửa số bạn nam thân của mình, tức là: Số nam bằng 2 lần số nữ bớt đi 2 người (Số nam = 2 × Số nữ - 2). . 
	Do đó suy ra: 2 lần số nữ bớt đi 2 chính bằng số nữ thêm vào 1 người 
	Vậy suy ra: Số nữ chính bằng 3 người. Từ đây suy ra số nam bằng 4 người. Vậy ta có số người trong nhóm là 7 người.
Bài 17:
Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 10% so với ngày 8/3. Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 và sau ngày 8/3?
 Hd:
	Gọi giá hoa trước ngày 8/3 là 100% thì ta có giá hoa ngày 8/3 là 110% và giá hoa sau ngày 8/3 là: 
	Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ hơn giá hoa sau ngày 8/3 là 1%
Bài 18: Nguyên tắc Điriclê tổng quát
Cho một tập hợp A gồm n phần tử riên biệt. Chứng minh rằng: Với bất kỳ cách phân hoạch tập hợp A thành m tập con rời nhau: A1, A2,  , Am. thì luôn luôn tồn tại 1 tập con chứa ít nhấtphần tử
 Hd:
	Theo bài ra phân hoạch tập hợp A được phân hoạch thành m tập con rời nhau A1, A2,  , Am , nên ta có: Æ với I ≠ j
	Nếu tất cả các Ai có số phần tử bằng nhau và bằng thì số phần tử của A sẽ là . Do đó suy ra phải tồn tại 1 tập con Ai sao cho chứa ít nhất phần tử. 
Bài 19:
Trong một lớp học có 32 em học sinh. Hãy chứng tỏ rằng trong đó có ít nhất 2 em có cùng ngày sinh và có ít nhất 3 em có cùng tháng sinh?
 Hd:
	- Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 và m = 31 (Vì một tháng có tối đa 31 ngày). Ta có kết quả là: học sinh cùng ngày sinh
	- Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 và m = 12 (Vì một có 12 tháng). Ta suy ra kết quả là: học sinh cùng tháng sinh
Bài 20:
Trong một trường học có 740 em học sinh. Hãy chứng tỏ rằng trong đó có ít nhất 3 em có cùng ngày sinh và cùng tháng sinh?
 Hd:
	Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 và m = 366 (Vì một năm có 365 ngày hoặc 366 ngày). Ta suy ra kết quả là: học sinh cùng ngày sinh và tháng sinh.