Toán 5 - Các bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối

Các bài toán giải bằng phương pháp tính ngược từ cuối
Ví dụ 1: 
Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 rồi bớt đi 4 và cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 12. 
Phân tích:
 Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây: 
x 2, + 16, - 4, : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 12. 
- Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả là 12 (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 4 (Tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 3, ta tìm được số trước khi nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia). 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau: 
Số trước khi chia cho 3 là: 
12 x 3 = 36 
Số trước khi bớt đi 4 là: 
36 + 4 = 40 
Số trước khi cộng với 16 là: 
40 - 16 = 24 
Số cần tìm là: 
24 : 2 = 12 
Trả lời: Số cần tìm là 12. 
Ví dụ 2: 
Tìm ba số, biết rằng sau khi chuyển 14 đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba rồi chuyển 7 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ nhất ta được ba số đều bằng 45. 
Phân tích: 
Ta có thể minh họa các thao tác trong đề bài bằng sơ đồ sau: 
Ta có: 
Số thứ nhất: - 14; + 7 cho kết quả là 45 
Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết quả là 45 
Số thứ ba: + 28; - 7 cho kết quả là 45 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán như sau: 
Số thứ nhất là: 45 - 7 + 14 = 52. 
Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49. 
Số thứ ba là: 45 + 7 - 28 = 24. 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Lời giải bài toán trên có thể thể hiện trong bảng sau: 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Các bạn thử giải các bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối: 
Bài 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. 
Bài 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó. 
Dạng toán viết một phân số thành các phân số có tử số là 1
Đây là một mẹo rất hay khi muốn viết một phân số bất kỳ (a,b là số tự nhiên và 0 < a < b) dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. Mẹo này tôi cũng đã tiết lộ cho học sinh của mình. Song có những bài không cần giải theo mẹo ấy mà có cách giải nhanh hơn nhiều đấy. Chúng ta cùng bàn ở bài toán sau: 
Bài toán1: 
Hãy viết phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. 
a) 13/35 ;                    b) 5/12 ;                       c) 6/35 
Bài giải: 
a) 13/35 = (5 + 7 + 1)/35 = 5/35 + 7/35 + 1/35 = 
= 1/7 + 1/5 + 1/35 
b) 5/12 = (4 + 1)/12 = 4/12 + 1/12 = 1/3 + 1/12 
c) 6/35 = (5 + 1)/35 = 5/35 + 1/35 = 1/7 + 1/35 
* Lời bàn: Tại sao ta lại tách:13=5+7+1; 5=4+1; 6=5+1 mà không tách thành tổng các số khác? Xuất phát từ tính chất phân số: Khi nhân (hoặc chia) cả tử và mẫu cho một số tự nhiên khác 0 ta được phân số có giá trị bằng phân số đã cho nên cần tách tử thành tổng các số là ước của mẫu. 
Bài toán 2: 
Viết phân số 5/12 thành tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau. 
* Lời bàn: Phân số đã cho có tử số là 1 vậy nó là tổng của các phân số nào có tử là 1, mẫu số khác nhau? 
Trên cơ sở phép giản phân: 
1/[a x (a +1)] = 1/a - 1/(a + 1) suy ra 1/a = 1/(a + 1) + 1/[a x (a + 1)] 
Vậy: 1/3 = 1/(3 + 1) + 1/[3 x (3 + 1)] = 1/4 + 1/12 
Như vậy nếu phân số đã cho có tử số khác 1 và mẫu số là số nguyên tố thì mới nên dùng “mẹo” như bạn đã nêu. Làm một ... biết mười. Nhưng biết mười vẫn chưa đủ. Có phải không các bạn? 
Tuy nhiên, cho đến một hôm, tôi cũng đã “tiết lộ” mẹo này cho học sinh của mình, nhưng khi  tôi cho bài toán: 
Tách phân số 3/10 thành tổng 2 phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau, có bao nhiêu cách tách như thế? 
Chưa kịp nói gì thì một trò “cưng” của tôi đã nhanh tay tách: 
3/10 = (2 + 1)/10 = 2/10 + 1/10 + 1/5 + 1/10 (nhờ nhận xét 10 chỉ có 2 ước số có tổng bằng 3 là 1 và 2). Do đó chỉ có 1 cách tách duy nhất (?) Một học sinh khác sau khi mày mò rụt rè thưa: Thưa cô! Hình như còn 2 phân số 1/4 và 1/20 khi cộng lại vẫn bằng 3/10 đấy ạ! Vậy thực tế có bao nhiêu cách tách phân số 3/10 thành tổng của 2 phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau? Các bạn có thể thấy qua cách lập luận dưới đây.
Giả sử: 3/10 = 1/x + 1/y (với x ≠ y và x, y khác 0) 
Do x ≠ y và bình đẳng nên ta giả sử x 1/y . Ta có: 1/x < 3/10 
Mặt khác theo tính chất của trung bình cộng ta có: 
( 1/x + 1/y) : 2 < 1/x 
nên 3/10 : 2 < 1/x , 3/20 < 1/x < 3/10 
Vậy: 3/20 < 3/(3.x) < 3/10 . Ta có: 
3.x = 12, 15, 18 suy ra x = 4, 5, 6. 
Thử các giá trị của x thì chỉ có x = 4, x = 5 thỏa mãn. 
Vậy bài toán chỉ đúng hai cách tách như trên.