Toán 5 - Chuyên đề Toán về bốn phép tính

Chuyên đề: TOÁN VỀ BỐN PHÉP TÍNH
Các dạng Toán trong chuyên đề:
Dạng 1: Các bài toán tính giá trị biểu thức
Dạng 2: Các bài toán vận dụng quy tắc thực hiện phép tính và tăng giảm thành phần trong phép tính.
Dạng 3: Các bài toán về tìm chữ số thay cho các chữ hoặc các dấu sao trong phép tính.
Dạng 4: Các bài toán về điền dấu trong phép tính.
Dạng 5: Một số phép tính có kết quả đặc biệt.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHUYÊN ĐỀ
Dạng 1: Các bài toán tính giá trị biểu thức
A. Tính nhanh giá trị biểu thức
I. LÝ THUYẾT
1. Tính chất giao hoán
a + b = b + a và a x b = b x a
2. Tính chất kết hợp
(a + b) + c = a + (b + c) và (a x b) x c = a x (b x c)
3. Nhân một số với 1 và chia cho 1
a x 1 = a;	a : a = 1	và a: 1 = a
4. Cộng và nhân với 0, số 0 chia cho một số khác 0
a + 0 = a;	a x 0 = 0;	0 : a = 0
5. Nhân một số với một tổng hoặc một hiệu
a x (b + c) = a x b + a x c
6. Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số.
7. Một số trừ đi một tổng hoặc một hiệu:
a - (b + c) = a - b - c 	và 	a - (b - c) = a - b + c
II. BÀI TẬP (Tính giá trị biểu thức, tính nhanh giá trị biểu thức)
Bài 1: Tìm giá trị số của biểu thức A, biết:
a) A = 9 + a + a +  + a (có 99 số a)
Với a = 9
b) A = 140 x 3 - a - a - . - a (có 40 số a)
Với a = 3
Giải
a) Đáp số: 900
b) A = 140 x 3 - a - a - . - a (có 40 số a)
 = 140 x 3 - (a + a + . + a)
 = 140 x 3 - a x 40
Thay a = 3 vào ta có:
A = 140 x 3 - 3 x 40
 = (140 - 40) x 3
 = 100 x 3
 = 300
Bài 2: Cho biểu thức: 
a. Tính giá trị của biểu thức A khi a = 1015.
b. Tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức A có giá trị nhỏ nhất; giá trị nhỏ nhất của A là bao nhiêu?
Giải
Thay a = 1015 vào biểu thức ta có:
b. A có giá trị nhỏ nhất khi tử số bé nhất vì mẫu số luôn là 1000. Tử số bé nhất khi số trừ lớn nhất, tức là 1998 : (a - 16) lớn nhất. Vậy chỉ khi a - 16 bé nhất, suy ra a = 17(vì a là số tự nhiên).
Giá trị của a khi đó là : 
 Bài 3: Tìm số tự nhiên a để biểu thức A sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?
A = 140 + 28 : (a - 6)
Giải
Để A có giá trị lớn nhất thì a - 6 có giá trị bé nhất (khác 0) tức là bằng 1.
Vậy a = 7
Ta có A = 140 + 28 : (a - 6)
 = 140 + 28 : ( 7 - 6)
 = 140 + 28 : 1
 = 168
Bài 4: Cho biểu thức (a + 3) x b có giá trị bằng 96. Tìm a, b, biết a x b = 72
Đáp số:	a = 9	b = 8
Bài 5: Tính nhanh
99 + 199 + 299 + 399 + . + 899
Giải
Ta có:
 99 + 199 + 299 + 399 + . + 899
= (100 - 1) + (200 - 1) + (300 - 1) + (400 - 1) +  + (900 - 1)
= (100 + 200 + 300 + 400 +  900) - (1 x 9)
= 4500 - 9
= 4491
Bài 6: Cho A = 1 x 2010 + 2 x 2009 + 3 x 2008 +  + 2010 x 1
và B = 1 + (1+2) + (1 + 2 + 3) + . + (1 + 2 + 3 +  + 2010)
Tính A : B
Giải
Số B gồm 2010 tổng, số 1 có mặt ở 2010 tổng, số 2 có mặt ở 2009 tổng, số 2 có mặt ở 2008 tổng,.., số 2009 có mặt ở 2 tổng và số 2010 có mặt ở 1 tổng.
Do đó, B = 1 x 2010 + 2 x 2009 + 3 x 2008 +  + 2009 x 2 + 2010 x 1
Vậy A = B hay A : B = 1
Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lý nhất
a) (54321 x 16 : 12345) : (54321 : 15)
b) 1988 x 1996 + 1997 x 11 + 1985
Giải
a) (54321 x 16 : 12345) : (54321 : 15)
= 
 = 
b) Đáp số: 3992000
Bài 8: a) So sánh X và Y
X = 20012001 + 1999 x 20012001
Y = 20012001 x 2001-20012001 
	b) Hãy tính giá trị của biểu thức sau
 Giải
a) Ta có:
X = 20012001 + 1999 x 20012001
 = 20012001 x (1 + 1999)
 = 20012001 x 2000
Y = 20012001 x 2001 - 20012001
 = 20012001 x (2001 - 1)
 = 20012001 x 2000
Vậy X = Y 
b) 
Bài 9: Tính nhanh
a) 
(Biểu thức trên có 9 phân số)
b) 
(Biểu thức trên có 9 phân số)
Giải
a) 
= (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1) -
= 
= 
= 
= 
= 
b) Giải tương tự phần a
Đáp số: 
Bài 10: a) Tính giá trị biểu thức sau:
b) Cho 
So sánh S với 2
Giải
a) 
Rút gọn các phân số trong tổng bằng cách lấy cả tử số và mẫu số chia cho 101 ta được:
b) Nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số trong tổng với 2, ta có:
Giải tương tự như phần a, ta tính được . Vậy S <2
Bài 11: Tính bằng cách hợp lý nhất
Giải
* Tính giá trị của tử số:
 0,18 x 1230 + 0,9 x 4567 x 2 + 3 x 5310 x 0,6
= 0,18 x 10 x 1 23 + 0,9 x 2 x 4567 + 3 x 0,6 x 5310
= 1,8 x 123 + 1,8 x 4567 + 1,8 x 5310
= 1,8 x (123 + 4567 + 5310)
= 1,8 x 10000
= 18000
* Tính giá trị của mẫu số:
1 + 4 + 7 + 10 +  + 49 + 52 + 55 + 58 - 410
Trong tổng S kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng thêm 3.
Số số hạng trong tổng là:
(58 - 1) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
Giá trị của mẫu số là:
(1 + 58) x 20 : 2 - 410 = 180
Vậy kết quả của biểu thức là: 
Bài 12: Tính tổng:
a) 10, 11 + 11,12 + 12,13 + 13,14 +  + 97,98 + 98,99 + 99,100 
b) 43,6 + 42,4 + 40 + 38,8 + 36,4 + 35,2 + 32,8 + 31,6 + 29,2
c) 2,25 + 3,50 + 4,75 +  + 19,75 + 21 + 22,25
Giải
a) 10, 11 + 11,12 + 12,13 + 13,14 +  + 97,98 + 98,99 + 99,100 
Đổi chỗ các chữ số ở cùng một hàng của các số hạng để có các số ở phần nguyên và phần thập phân giống nhau, ta có:
10, 10 + 11,11 + 12,12 + 13,13 + 14,14  + 88,88 + 99,99
Dãy số trên viết theo quy luật: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 1,01. Số số hạng của dãy trên là:
(99,99 - 10,10) : 1,01 + 1 = 90 (số)
Tổng các số hạng của dãy trên là:
(10,10 + 99,99) x 90 : 2 = 4954,05
b) Ta viết lại:
43,6 + 42,4 + 40 + 38,8 + 36,4 + 35,2 + 32,8 + 31,6 + 29,2
= (43,6 + 40 + 36,4 + 32,8 + 29,2) + (42,4 + 38,8 + 35,2 + 31,6)
= (43,6 + 36,4) + (32,8 + 29,2) + 40 + (42,4 + 31,6) + (38,8 + 35,2) 
= 80 + 62 + 40 + 74 + 74
= 330
c) Giải tương tự như phần b
Đáp số: 208,25
Bài 13: Tính
a) 
b) 
Giải
a. 
 b) Đáp số 
B. Tìm thành phần chưa biết trong dãy tính
Khi giải các bài toán dạng này, ta dựa vào quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm kết quả.
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 
b) 
Giải
a) Đổi chỗ các chữ số hàng đơn vị của số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba cho nhau; đổi chỗ các chữ số hàng trăn của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba cho nhau. Ta có:
Vậy x = 4
b) 
 1 : (x x x) + 2007 = 2011
 1 : (x x x) = 2011 - 2007
 1 : (x x x) = 4
 x x x = 1 : 4
 x x x = 0,25
Vì 0,5 x 0,5 = 0,25 suy ra x = 0,5
Thử lại: 1 : 0,5 : 0,5 + 9 x 223 = 2 : 0,5 + 2007
 = 4 + 2007
 = 2011
Bài 2: Tìm giá trị x, biết:
Giải
Số số hạng trong tổng ở VT là: x (số hạng)
Tổng các số hạng ở VT là:
Theo đề bài, ta có:
Do x và x + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên 6 x a là số tự nhiên liền trước hoặc liền sau số 37.
- Nếu 6 x a là số tự nhiên liền trước số 37 thì:
	6 x a = 36
	 a = 36 : 6
	 a = 6
Vậy x là 36
- Nếu 6 x a là số tự nhiên liền sau số 37 thì:
	6 x a = 38
	 a = 38 : 6
	 a = 6,33 ...	(loại)
	Đáp số: 36
Bài 3: Tìm x sao cho:
a) 
b) x - 4867 = (175 x 2 - 50 x 7) : 25 + 23
c) 
d) 
Bài 4: Tìm x
a) 1200 : 24 - (17 - x) = 36
b) x + 16 + 36 < 56 + 4
c) 11 x (x - 6) = 4 x x + 11
d) ( 3 x x - 0,8) : x + 14,5 = 15
Bài 5: Tìm x:
a) 
b) 
c) 
d) 
Dạng 2. Các bài toán vận dụng quy tắc thực hiện phép tính và tăng giảm thành phần trong phép tính
Bài 1. Tích của hai số là 3192, thừa số thứ nhất có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng trăm là 1. Nếu đổi chỗ hai chữ số này cho nhau và giữ nguyên thừa số thứ hai thì được tích mới là 3588. Tìm hai số đó.
Giải
Ở một thừa số có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng trăm 1 đơn vị nên khi đổi hai chữ số này cho nhau, ta đã tăng thừa số này thêm:
	100 - 1 = 99 (đơn vị)
Thừa số thứ hai giữ nguyên nên tích cũ tăng thêm 99 lần thừa số kia.
Thừa số kia là:
	(3588 - 3192) : 99 = 4
Thừa số còn lại:
	3192 : 4 = 798
	Đáp số: 798 ; 4
Bài 2: Khi nhân một số với 235, bạn An đã sơ ý đặt tích riêng thứ hai và tích riêng thứ ba thẳng cột với nhau nên tìm ra kết quả là 10285. Hãy tìm tích đúng.
Giải
Bạn An đặt như vậy tức là đã lấy thừa số thứ nhất nhân với 5 rồi tiếp tục nhân với 30; 20 và cộng 3 kết quả lại. Như vậy, thừa số thứ nhất là:
	12085 : (5 + 30 + 20) = 187
Tích đúng là:
	187 x 235 = 43945
Bài 3: Khi nhân 154 với một số có 2 chữ số giống nhau, bạn Bình đã đ¨t các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 9702 đơn vị. Hãy tìm số có 2 chữ số đó.
Giải
Giả sử số đem nhân với 154 là (a khác 0; a < 10)
Như vậy. khi nhân ta có tích đúng là:
	154 x ( a x 10 + a) = 154 x 10 x a + 154 x a
Vì tích riêng đặt thẳng nhau nên tích riêng thứ hai bị giảm đi 10 lần, vậy tích sai chỉ còn:
	154 x a + 154 x a
Và tích đúng bị giảm đi:
	154 x 9 x a = 9702
	154 x a = 1078
	Suy ra a = 7
Số có 2 chữ số đã đem nhân với 154 là 77
Bài 4. Tổng của hai số tự nhiên bằng 1073. Nếu tăng thừa số thứ nhất lên 5 lần và tăng thừa số thứ hai lên 8 lần thì được tổng là 7948. Tìm hai số đó.
Giải
Nếu tăng cả hai số hạng lên 5 lần thì ta được tổng là:
	5 x 1073 = 5365
Ba lần số hạng thứ hai là:
	7948 - 5365 = 2583
Số hạng thứ hai là:
	2583 : 3 = 861
Số hạng thứ nhất là: 1073 - 861 = 212
Vậy hai số cần tìm là: 212 và 861
	Đáp số 212 ; 861
Bài 5: Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân đồng thời viết nhầm dấu cộng thành dấu trừ nên nhận được kết quả bằng 256. Tìm hai số đó biết rằng kết quả của phép tính đúng bằng 514,56.
Giải
Khi bỏ quên dấu phẩy thì số thập phân đó gấp lên 100 lần.
514,56
Ta có sơ đồ:
STN
STP
Phép tính đúng:
Phép tính viết nhầm:
256
100 lần STP
Kết quả phép tính giảm đi là:
	514,56 - 256 = 258,56
Số thập phân cần tìm là:
	258,56 : (100 + 1) = 2,56
Số tự nhiên cần tìm là:
	514,56 - 2,56 = 512
	Vậy hai số cần tìm là 512 và 2,56
Bài 6: Khi cộng một số thập phân có ba chữ số ở phần thập phân với một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân, một học sinh đã nhầm đặt tính như đối với phép cộng hai số tự nhiên và thu được kết quả là 382,5. Biết kết quả đúng là 138,168. Hãy tìm hai số thập phân đó.
Giải
Do đặt tính nhầm như vậy và kết quả thu được có một chữ số ở phần thập phân nên số có ba chữ số ở phần thập phân đã trở thành số có một chữ số ở phần thập phân. Hay số đótăng lên 100 lần, vì vậy kết quả mới tăng lên.
Kết quả nhầm lớn hơn kết quả đúng là:
	382,5 - 138,168 = 244,332
Số có 3 chữ số ở phần thập phân là:
	244,332 : (100 - 1) = 2,468
Số có một chữ số ở phần thập phân là:
	138,168 - 2,468 = 135,7
	Đáp số 2,468 và 135,7
Bài 7. Khi chia một số tự nhiên cho 101, một học sinh đã đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị của số bị chia nên nhận được thương là 65 và dư 100. Tìm thương và số dư của phép chia đó.
	Đáp số: Thương 65; số dư 1
Bài 8. Một học sinh khi làm phép nhân, đáng lẽ phải nhân với 103 nhưng quên viết số 0 ở thừa số thứ hai nên tích giảm đi 37080 đơn vị. Hỏi bạn định nhân số nào với 103.
 Bài 9. Khi thực hiện phép cộng hai số thập phân, một học sinh đã viết nhầm dấu phẩy của một số hạng sang bên trái một hàng nên tổng tìm được là 36,074.Tìm hai số đó biết tổng đúng là 149,96.
Dạng 3. Các bài toán về tìm chữ số thay cho các chữ hoặc các dấu sao trong phép tính
I. LÝ THUYẾT
1. Nếu đề bài cho phép trừ, ta thường viết lại thành phép cộng.
2. Nếu đề bài cho phép tính chia, ta thường viết lại thành phép nhân.
3. Nếu đề bài cho phép tính theo hàng ngang, ta thường viết lại thành cột dọc.
4. Khi đã tìm được một chữ số nào đó, ta thường thay vào phép tính để đưa về bài toán mới đơn giản hơn.
II. BÀI TẬP
Bài 1. Thay vào mỗi chữ số trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp:
a) 
b) 
Giải
a. Ta viết lại phép tính theo cột dọc
	abc
	+	 ab
	 bccb
Từ phép tính trên, ta thấy phép cộng các chữ số hàng chục phải nhớ 1 sang chữ số hàng trăm của số hạng thứ nhất. Vậy phép cộng chữ số hàng trăm là:
Suy ra, a = 9; b = 1 và c = 0
Phép tính cần tìm là:
	1001 - 910 = 91
b) Ta viết lại phép tính về dạng: 
5 nhân với một số có 3 chữ số được một số có ba chữ số, vậy chữ số hàng trăm a = 1.
5 nhân với c có tận cùng là 0 hoặc 5. Vậy d = 0 hoặc 5. Nhưng d không thể bằng 0 được. Vậy d = 5
Vậy 
Phép tính cần tìm là:
	103 = 515 : 5
Bài 2: Thay các chữ a, b, c, d, m, n bằng các chữ số thích hợp vào ba phép nhân sau đây:
	a x a = d
	b x m = n
	c x a = a
Cho biết:
- Các chữ giống nhau được thay bởi các chữ số giống nhau.
- Các chữ số khác nhau được thay bởi các chữ số khác nhau.
- Đồng thời a > b > c
Hãy giải thích cách làm.
Giải
* Tìm c:
Vì a > b > c nên a > 0
Vì c x a = a mà a > 0 nên c = 1
Suy ra b >1; a > 2 (Vì a > b > c)
* Tìm a, b, d
Vì a x a = d mà d < 10 nên a < 4
Vì a > 2 nên a = 3
Vậy b < 3
Vì 1 < b < 3 nên b = 2
Vì a x a = d mà a = 3 nên d = 3 x 3 = 9
* Tìm m, n
Từ b x m = n mà b = 2 nên 2 x m = n
Vì n < 10 nên suy ra m < 5
Vì m khác a, b, c nên m = 4 hoặc m = 0
Nhưng m không thể bằng 0 vì lúc đó n = 2 x 0 = 0= m. Vậy m = 4
Suy ra n = 2 x 4 = 8
	Đáp số:	a = 3;	b = 2;	c = 1
	d = 9, 	m = 4;	n = 8
Bài 3: Thay a, b, c bằng các chữ số thích hợp:
a) 
b) 
 Bài 4: Điền chữ số thích hợp cho dấu * trong phép tính:
a) 
*****
**
 **
**2
 ***
 ***
 1
b)
x
542
**
32**
 ****
 19***
Bài 5: Thay vào T, H, Â, N những chữ số thích hợp, sao cho:
THÂN + THÂ + TH + T = 4321
Dạng 4: Các bài toán về điền dấu trong phép tính
Trong dạng toán này, người ta thường cho một dãy các chữ số, ta phải điền dấu các phép tính ( +; - ; x ; : ) và dấu ngoặc vào giữa các chữ số để được phép tính có kết quả cho trước.
Bài 1: Hãy điền thêm dấu phép tính vào dãy chữ số sau:
	6	6	6	6	6
để được biểu thức có giá trị lần lượt là 0; 1; 2.
Giải
Biểu thức có giá trị bằng 0, chẳng hạn:
	(6 - 6) x (6 + 6 + 6) = 0
	(6 - 6) : (6 + 6 + 6) = 0
Biểu thức có giá trị bằng 1, chẳng hạn:
	6 + 6 - 66 : 6 = 1
	6 - (66: 6 - 6) = 1
Biểu thức có giá trị bằng 2, chẳng hạn:
	(6 + 6) : 6 x 6 : 6 = 2
	(6 + 6) : 6 + 6 - 6 = 2
	(6 x 6 : 6 + 6) : 6 = 2
	6 : (6 x 6 : (6+6)) = 2
Bài 2: Điền thêm dấu phép tính vào năm chữ số 5 để được biểu thức có giá trị là 26.
Giải
Các biểu thức có giá trị bằng 26, chẳng hạn:
	(5 : 5 : 5 + 5) x 5 = 26
Bài 3: Cho sáu chữ số 9:
	9	9	9	9	9	9
Hãy dùng các dấu + ; - ; x ; : điền vào các chữ số đó để được kết quả là 100.
Giải
Các biểu thức có giá trị bằng 100, chẳng hạn:
	9 x 9 + 9 + 9 + 9 : 9 = 100
	99 + 99 : 99 = 100
	(99 + 9 : 9) + 9 - 9 = 100
	(9 + 9 : 9) x (9 + 9 : 9) = 100
	(999 - 99) : 9 = 100
Bài 4: Điền vào ô trống dấu của phép tính (+ ; - ; x ; :) để có:
a) 63 o 3 = 6 o 3 o 3
b) 95 o 5 = 9 o 5 o 5
c) 85 o 63 = 8 o 5 o 6 o 3
Bài 5. Điền dấu phép tính và dấu ngoặc để có:
a)	1 	2	3	= 1
b)	1	2	3	4 = 1
Dạng 5: Một số phép tính có kết quả đặc biệt
Bài 1 .
a) Phải nhân 19 với số nào để được kết quả là 1919; 19191919
b) Phải nhân 1996 với số nào để được kết quả là 19961996
Giải
a) Bài toán có thể hiểu như sau:
	19 	x 	? 	= 	1919
	?	=	1919	: 19
	?	=	101
Vậy phải nhân 19 với 101 để được kết quả bằng 1919
b)	19 	x	?	=	19191919
	?	=	19191919	:	19
	?	=	1010101
Vậy phải nhân 19 với 1010101 để được kết quả bằng 19191919
b) Tương tự phải nhân 1996 với 10001 để được kết quả bằng 19961996
Bài 2. Phải nhân:
a) 3 số nào để được số viết bằng 9 chữ số 5.
b) 7 với số nào để được số viết bằng 6 chữ số 2.
	Đáp số: 	a)	185185185	b)	31746
Bài 3. 	a) Phải nhân 23 với số nào để được kết quả là 232323
	b) Phải nhân 253 với số nào để được kết quả là 253253
	Đáp số:	a)	10101
	b)	1001
Bài 4. 	a) Phải nhân 9 với số nào để được một số viết bằng 9 chữ số 1
	b) Tính:
Bài 5. Phải nhân 12345679 với số nào để được tích có chín chữ số:
 a) Đều là chữ số 2 ? b) Đề là chữ số 3 ?
	 c) Đều là chữ số 4 ? d) Đều là chữ số 5 ?