Toán 5 - Phần: Nâng cao

 To¸n n©ng cao _______________
vỊ sè thËp ph©n 
I.Phần dữ liệu:
Cho a = 4085	;	b = 17,48	;	b’=1748 (khi quên dấu phẩy)
a + b = 4102.48	;	a + b’= 5833
(a + b’) – (a + b) =1730.52
a – b’ = 2337
II.Thiết kế đề toán:
Bài toán: Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đặt phép tính cộng như cộng hai số tự nhiên nên nhận được kết quả bằng 5833. Tìm hai số đó, biết rằng kết quả của phép tính đúng bằng 4102,48.
Giải:
Cách 1:
Gọi số tự nhiên là a, số thập phân là b. Theo đề bài ta có:
a + b = 4102,48
Khi bỏ quên dấu phẩy của số thập phân thì số thập phân tăng lên 100 lần. Theo đề bài 
ta có:
a + 100b = 5833
 (a + 100b) – (a + b) = 5833 – 4102,48
 a + 100b – a – b = 1730,52
 99b = 1730,52
 b = 1730,52 : 99 = 17,48
 a = 4102,48 – 17,48 = 4085
Cách 2: (Dành cho HS tiểu học)
4102,48
 99lần STP
 STP
 STN
Tính đúng: 	
Tính nhầm:
5833
Khi đặt sai dấu phẩy thì kết quả của phép cộng tăng:
5833 – 4102,48 = 1730,52
Theo sơ đồ, khi bỏ quên dấu phẩy thì số thập phân sẽ tăng lên gấp 100 lần. Như vậy tổng sẽ tăng lên (100 – 1 = 99 ) 99 lần số thập phân.
Số thập phân là: 	1730,52 : 99 = 17.48.
Số tự nhiên là :	4102,48 – 17,48 = 4085
2. Nêu một cách phát biểu khác của bài toán trên.
Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó là 4102,48 và khi gấp số thứ hai lên 100 lần thì ta được tổng mới là 5833.
3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán theo cách phát biểu mới.
4102,48
 99lần b
 b
 b
 a
 a
Tổng đúng:
Tổng mới:
5833
Hiệu số của tổng mới và tổng đúng là:
5833 – 4102,48 = 1730,52
Theo sơ đồ, hiệu số giữa tổng mới và tổng đúng bằng 100 lần số thứ hai trừ đi số thứ hai bằng 100 – 1 = 99 (lần số thứ hai) 
Số thứ hai là: 1730,52 : 99 = 17.48.
Số thứ nhất là: 4102,48 – 17,48 = 4085
4. Nêu cơ sở toán học của lời giải bài toán nói trên.
Trong hệ thập phân:
-Khi ta dịch dấu phẩy của một số thập phân về phía tay trái 1 hay 2 chữ số thì ta được số mới kém số ban đầu 10 hay 100 lần.
-Khi ta dịch dấu phẩy của một số thập phân về phía tay phải 1 hay 2 chữ số thì ta được số mới lớn hơn số ban đầu 10 hay 100 lần.
Các bài toán về chia hết ở tiểu học.
Dạng 1: Dùng dấu hiệu chia hết để viết số tự nhiên.
Ví dụ : 
Cho 5 chữ số: 0, 1, 2, 4, 5. Từ 5 chữ số đã cho có thể viết được:
Bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 ?
Có thể viết bao nhiêu chữ số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chữ số hàng trăm bằng 4 ?
Có thể viết được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
Giải:
a) Số cần tìm có dạng :
-Có 4 cách chọn a ( 1, 2, 3, 4 )
-Có 5 cách chọn b ( 0, 1, 2, 4, 5 )
-Có 5 cách chọn c ( 0, 1, 2, 4, 5 )
-Có 2 cách chọn d ( 0, 5 )
Ta có : 4 5 5 2 = 200 cách chọn 
Kết luận: Có 200 số có 4 chữ số chia hết cho 5.
b) Số cần tìm có dạng hoặc .
+Nhóm 1: 
-Có 3 cách chọn a ( 1, 2, 5 )
-Có 2 cách chọn b ( 3 cách trừ 1 cách đã chọn a)
Ta có : 3 2 = 6 cách chọn 
+Nhóm 2: 
-Có 2 cách chọn a ( 1, 2 )
-Có 2 cách chọn b ( 0 và 1 hoặc 2 )
Ta có : 2 2 = 4 cách chọn
Kết luận: Có thể viết 10 số ( 6+ 4 = 10 ) có 4 chữ số chia hết cho 5 mà chữ số hàng trăm bằng 4.
c) Số phải tìm có dạng 
-Có 3 cách chọn a ( 1, 2, 4 )
-Có 3 cách chọn b ( 0 và 2 chữ số còn lại)
-Có 2 cách chọn c ( 2 chữ số còn lại)
-Có 1 cách chọn d ( chữ số cuối cùng)
Ta có 3 3 2 1 = 18 cách chọn số 
Kết luận: Có thể viết được 18 số lẻ có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Dạng 2: Dùng dấu hiệu chia hết để tìm các chữ số chưa biết của một số tự nhiên.
Ví dụ 1 :
Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên A = là số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 4.
Giải
-Vì A chia hết cho 4 nên ( 2 chữ số tận cùng) chia hết cho 4. Suy ra b = 0, 4, 8.
-Vì A có 5 chữ số khác nhau nên b = 0 và 8.
+Khi b = 0 , A có dạng : . 
Vì A chia hết cho 3 nên 3 + a + 4 + 6 + 0 = a + 13 chia hết cho 3. Suy ra a = 2, 5, 8
Số phải tìm là: 32460, 35460, 38460.
+Khi b = 8, A có dạng : 
Vì A chia hết cho 3 nên 3 + a + 4 + 6 + 8 = a + 21 chia hết cho 3. Suy ra a = 0, 3, 6, 9.
Vì A có 5 chữ số khác nhau nên ta chọn a = 0 và 9
Số phải tìm là 30468, 39468
Kết luận: Các số cần tìm là32460, 35460, 38460, 30468, 39468.
Ví dụ 2 :
Cho số 47, hãy viết 1 chữ số bên phải và 1 chữ số bên trái để nhận được số lớn nhất có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5.
Giải:
Gọi chữ viết thêm vào bên phải là a, số bên trái là b. Số phải tìm có dạng A= 
-Vì A chia hết cho 2 nên b= 0, 2, 4, 6, 8.
-Vì A chia hết cho 5 nên b= 0, 5. 
-Vì A chia hết cho 2 và 5 nên b= 0. Thay b= 0 vào A ta có :
Số phải tìm A là A=
-Vì A chia hết cho 3 nên : 
a+ 4 + 7 + 0 = a + 11 chia hết cho 3
Suy ra a = 1, 4, 7.
Để A là số lớn nhất có 4 chữ số, ta chọn a = 7.
Số phải tìm là : 7470.
Dạng 3: Các bài toán về phép chia có dư.
-Một số chia cho 2 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1, 3, 5, 7, 9.
-Một số chia cho 5 dư 1 thì chữ số hàng đơn vị của nó bằng 1 hoặc 6; nếu dư 2 thì hàng đơn vị bằng 2 hoặc 7; nếu dư 3 thì hàng đơn vị bằng 3 hoặc 8; nếu dư 4 thì hàng đơn vị bằng 4 hoặc 9.
-Số tự nhiên A và tổng các chữ số của nó khi chia cho 9 có cùng số dư.
-Nếu A chia cho B dư 1 thì A – 1 sẽ chia hết cho B.
-Nếu A chia cho B dư B – 1 thì A + 1 sẽ chia hết cho B.
Ví dụ 1:
Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n = là số có 4 chữ số khác nhau khi chia cho 2, 5, 9 đều dư 1:
Giải:
-Vì n chia cho 5 dư 1 nên b = 1, 6.
+Nếu b = 1, thay vào n ta có : n= 
-Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 6.
-Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 7 + 5 + 1 = a + 13 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 3 hoặc 6 hoặc 9.
-Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 6. 
Thay a = 6 vào n, ta có n = 6751.
+Nếu b = 6 thay vào n ta có : n = 
-Vì n chia cho 9 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 9 dư 1. Suy ra a = 1.
-Vì n chia cho 3 dư 1 nên a + 5 + 7 + 6 = a + 18 chia cho 3 dư 1. Suy ra a = 1 hoặc 4 hoặc 7.
-Vì n chia cho 3 hoặc 9 đều dư 1 nên ta chọn a = 1. 
Thay a = 1 vào n, ta có n = 1756.
Kết quả:
a = 6 và b = 1 ta có n = 6751.
a = 1 và b = 6 ta có n = 1756.
Ví dụ 2 :
Viết thêm vào bên phải số 91 ba chữ số để nhận được một số có năm chữ số khác nhau khi chia cho 2 dư 1 , chia cho 5 dư 3, chia cho 9 không dư.
Giải:
Gọi số phải tìm là n = ta có:
-Vì n chia cho 5 dư 3 nên c = 3 hoặc 8 (1)
-Vì n chia cho 2 dư 1 nên c = 1, 3, 5, 7, 9 (2).
và (2) suy ra: c = 3.
Thay c = 3 vào n: n = 
-Vì n chia hết cho 9 nên 9 + 1 + a + b + 3 = a + b + 13 chia hết cho 9. Suy ra a + b = 5 hoặc 14.
+Nếu a + b = 5 thì:
a = 0 ; b = 5 hay a = 5 ; b = 0.
a = 1 ; b = 4 hay a = 4 ; b = 1.
a = 2 ; b = 3 hay a = 3 ; b = 2.
Do n là các chữ số khác nhau nên chọn a = 0, b = 5 hoặc a = 5 , b = 0.
-Nếu a = 0 thay vào n: n = 91053.
-Nếu a = 5 thay vào n: n = 91503.
+Nếu a + b = 14 thì:
a = 8 ; b = 6 hoặc a = 6, b = 8.
-Nếu a = 8 thay vào n: n = 91863.
-Nếu a = 6 thay vào n: n = 91683.
Ví dụ 3:
Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên B lớn gấp 3 lần A. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 9.
Giải:
Vì B = 3A nên tổng các chữ số của B chia hết cho 3, tổng các chử số của A cũng chia hết cho 3. 
Vì B và A có các chữ số bằng nhau nên tổng các chữ số của A và B bằng nhau và chia hết cho 3.
Vì A chia hết cho 3 nên A = 3k (k là số tự nhiên).
Suy ra B = 3A = 33k = 9 k
Suy ra B chia hết cho 9.
Vì B chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của B chia hết cho 9.
Suy ra tổng các chữ số của A cũng chia hết cho 9.
Suy ra A chia hết cho 9.
Ví dụ 4:
Không làm phép tính hãy cho biết kết quả sau đúng hay sai: 723 + = 1235 ?
Giải:
723 chia hết cho 3 vì 7 + 2 + 3 = 12 (chia hết cho 3).
 = 3 a chia hết cho 3.
 Vì 1235 có 1 + 2 + 3 + 5 = 11 không chia hết cho 3 nên bài tính sai.
Bài tập tham khảo:
Bài 1: Cho 6 chữ số: 0, 1, 4, 5, 7, 8:
a. Có thể viết được bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho.
b.Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng trăm bằng 1.
c.Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5 mà chính số hàng chục là số lẻ.
d.Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2 và 5 lớn hơn 2004.
Bài 2: Thay x và y bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên là số có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 5.
Bài 3: Hãy viết thêm vào bên phải số 123 ba chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 5 và 9.
Bài 4: Hãy viết thêm vào bên phải số 312 một chữ số và bên trái hai chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 4, 5 và 9.
Bài 5: Thay a và b bởi các chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên n = khi chia cho 3 dư 2, chia chọ dư 4. Tìm số nhỏ nhất và số lớn nhất thoả mản các điều kiện nói trên.
Bài 6: Hãy viết thêm vào bên trái số 714 hai chữ số và bên phải một chữ số để nhận được số nhỏ nhất có 6 chữ số khi chia cho 3, 4, 9 đều dư 1 và chia cho 5 thì không dư.
Bài 7: Cho số tự nhiên A. Viết các chữ số của A theo thứ tự ngược lại thì ta được số tự nhiên B gấp 9 lần A. Chứng minh rằng B chia hết cho 81.