Toán 5 - Sử dụng chặn trên, chặn dưới trong giải toán

SỬ DỤNG CHẶN TRÊN, CHẶN DƯỚI TRONG GIẢI TOÁN
Có thể nói khi giải các bài toán ở tiểu học, sử dụng chặn trên, chặn dưới giúp cho việc giải nhiều bài toán trở nên sáng sủa, mạch lạc và có một tác dụng không nhỏ đối với việc rèn tư duy toán học cho học sinh tiểu học. Tuy nhiên thủ thuật trên chỉ là một bước trong dãy các bước giải một bài toán vì thế nó ít được lưu ý với học sinh. Để giúp các bạn học sinh làm quen với phép suy luận trên, chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài toán sau :
Bài 1 : Tìm abc , biết:
abc + ab + c = 263.
Bài giải :
Cách 1 : (Sử dụng chặn trên)
Có : abc nhỏ hơn hoặc bằng 262 . Vậy a = 1 ; 2.
*a = 1 : 1bc + 1b + c = 263
100 + b x 10 + c + 10 + b + c = 263
110 + b x 11 + c x 2 = 263 (cấu tạo thập phân của số)
b x 11 + c x 2 = 263 - 110 (tìm số hạng chưa biết)
b x 11 + c x 2 = 153
Vì 153 lẻ, c x 2 chẵn nên b x 11 lẻ.
Vậy b = 1 ; 3 ; 5 ; 7.
Kiểm tra b = 1 ; 3 ; 5 ; 7 loại.
*a = 2 : 2bc + 2b + c =263
200 + b x 10 + c + 20 + b + c = 263
220 + b x 11 + c x 2 = 263 (cấu tạo thập phân của số)
b x 11 + c x 2 = 263 - 220 (tìm số hạng chưa biết)
b x 11 + c x 2 = 43
Vì 43 lẻ, c x 2 chẵn nên b x 11 lẻ.
b x 11 < 44. Vậy b = 1 ; 3.
Nếu b = 1 : 11 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 11
c x 2 = 22 (loại)
Nếu b = 3 : 33 + c x 2 = 43
c x 2 = 43 - 33
c x 2 = 10
c = 10 : 2
c = 5
Vậy abc = 235.
Thử lại : 235 + 23 + 5 = 263 (đúng).
Cách 2 : (Sử dụng chặn trên và chặn dưới)
Có : abc nhỏ hơn hoặc bằng 263 Vậy a nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Vì 199 + 19 + 9 = 227 < 263
Vậy suy ra a > 1.
Vậy a = 2 trở về trường hợp 2 cách 1.
Bài 2 : Một hình chữ nhật có chiều dài 50 m. Giữ nguyên chiều dài và tăng chiều rộng thêm 10 m, ta được hình chữ nhật mới, hình chữ nhật mới này có diện tích bằng diện tích hình vuông có cạnh lớn hơn 53 m. Biết số đo cạnh hình vuông là số tự nhiên, hãy tìm chiều rộng của hình chữ nhật đã cho ?
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội, 1984 - 1985)
Bài giải : Gọi ABCD là hình chữ nhật ban đầu (AB = 50 m) ; ABMN là hình chữ nhật mới.
Diện tích hình chữ nhật DCMN là : 50 x 10 = 500 (m2)
Diện tích hình chữ nhật ABCD không vượt quá : 50 x 50 = 2500 (m2)
Vậy diện tích hình chữ nhật mới không vượt quá : 2500 + 500 = 3000 (m2)
Biết số đo của cạnh hình vuông là số tự nhiên lớn hơn 53 m. Vậy cạnh hình vuông là 54 m thì diện tích hình chữ nhật mới là : 
54 x 54 = 2916 (m2) < 3000 m2
Nếu cạnh hình vuông là 55 m thì diện tích hình chữ nhật mới là : 
55 x 55 = 3025 (m2) > 3000 m2.
Vậy diện tích hình chữ nhật mới là 2916 m2.
Chiều rộng hình chữ nhật cũ là :
2916 : 50 - 10 = 48,32 (m).
Đáp số : 48,32 m.
Bài 3 : Một cơ quan tổ chức đi trồng cây. Một phần ba số nhân viên mang theo con, nhưng chỉ mang theo 1 con. Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10 cây, trẻ em trồng 6 cây.
Hỏi cơ quan đó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu nhân viên nữ ? Biết họ trồng được tất cả 216 cây.
(Đề thi học sinh giỏi liên tỉnh ở Hồng Công)
Bài giải :(Dùng chặn trên, chặn dướ)i.
Theo đề bài, một nhân viên nam trồng nhiều cây hơn một nhân viên nữ nên bằng phép thử, ta biết được :
Số nhân viên ít hơn 18 người vì nếu số nhân viên bằng 18 người thì số cây trồng ít nhất (khi nhân viên toàn nữ) là:. Gi sử số nhân viên ít nhất là 18 thì số trẻ em ít nhất là : 10 x 18 + 6 x (18 : 3) = 216 (cây) đúng bằng số cây của đầu bài.
- Số nhân viên phải nhiều hơn 14 người vì nếu số nhân viên băng 14 người thì số câu trồng được nhiều nhất (khi nhân viên toàn nam) là: 13 x 14 + 6 x (14 : 3) =210 (cây) (nhỏ hơn 216 cây)
Theo đề bài lại có: 1/3 số nhân viên có mang theo con. Vậy số nhân viên phải chia hết cho 3, do đó số nhân viên phải bằng 15.
Số con mang theo là: 15 : 3 = 5 (con)
Số cây mà nhân viên trồng là: 216 - 6 x 5 = 186 (cây)
Gi sử 15 nhân viên toàn là nam thì số cây trồng được là : 13 x 15 = 195 (cây)
Số nhân viên nữ là : (195 - 186) : (13 - 10) = 3 (nhân viên)
Số nhân viên nam là : 15 - 3 = 12 (nhân viên)
Thử lại : 12 x 13 + 3 x 10 + 5 x 6 = 216 (đúng).
Đáp số : nhân viên nữ : 3 ; nhân viên nam : 12.
Như vậy qua 3 bài toán ở những dạng khác nhau, việc sử dụng chặn trên, chặn dưới giúp chúng ta giải được bài toán và hạn chế được số trường hợp cần thử chọn.
Sau đây là một số bài toán để các em vận dụng.
1. a) Điền chữ số vào dấu (?) trong trường hợp sau : ?? + ?? = ?97.
b) Tìm số nguyên nhỏ nhất sao cho tổng các chữ số của nó bằng 22.
2. Giả sử A là số có hai chữ số, B là tổng các chữ số của A ; C là tổng các chữ số của B. Tìm A biết A = B + C + 51.
3. Tìm a, b, c biết : abc x (a + b + c) = 1000.
4. Tìm một số tự nhiên, biết tổng của số đó và tổng các chữ số của nó bằng 1987.
Nguyễn Hùng Quang
 (Khoa Tiểu học, Trường CĐSP Hà Nội)