Toán học lớp 5 - Phương pháp tính ngược từ cuối (tt)

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
Có một số bài toán cho biết kết quả sau khi thực hiện liên tiếp một số phép tính đối với số phải tìm. Khi giải các bài toán dạng này, ta thường dùng phương pháp tính ngược từ cuối (đôi khi còn gọi là phương pháp suy ngược từ cuối) 
Khi giải toán bằng phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài. Kết quả tìm được trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó. Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài, ta nhận được kết quả cần tìm. 
Những bài toán giải được bằng phương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằng phương pháp đại số hoặc phương pháp ứng dụng đồ thị (xem các số tiếp theo). 
Ví dụ 1: Tìm một số, biết rằng tăng số đó gấp đôi, sau đó cộng với 16 rồi bớt đi 4 và cuối cùng chia cho 3 ta được kết quả bằng 12. 
Phân tích: Trong bài này ta đã thực hiện liên tiếp đối với dãy số cần tìm dãy các phép tính dưới đây: 
x 2, + 16, - 4, : 3 cho kết quả cuối cùng bằng 12. 
- Ta có thể xác định được số trước khi chia cho 3 được kết quả là 12 (Tìm số bị chia khi biết số chia và thương số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 1, ta tìm được số trước khi bớt đi 4 (Tìm số bị trừ khi biết số trừ và hiệu số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 2, ta tìm được số trước khi cộng với 16 (Tìm số hạng chưa biết khi biết số hạng kia và tổng số). 
- Dựa vào kết quả tìm được ở bước 3, ta tìm được số trước khi nhân với 2, chính là số cần tìm (Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số kia). 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải như sau: 
Số trước khi chia cho 3 là: 
12 x 3 = 36 
Số trước khi bớt đi 4 là: 
36 + 4 = 40 
Số trước khi cộng với 16 là: 
40 - 16 = 24 
Số cần tìm là: 
24 : 2 = 12 
Trả lời: Số cần tìm là 12. 
Ví dụ 2: Tìm ba số, biết rằng sau khi chuyển 14 đơn vị từ số thứ nhất sang số thứ hai, chuyển 28 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ ba rồi chuyển 7 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ nhất ta được ba số đều bằng 45. 
Phân tích: Ta có thể minh họa các thao tác trong đề bài bằng sơ đồ sau: 
Ta có: 
Số thứ nhất: - 14; + 7 cho kết quả là 45 
Số thứ hai: + 14; - 28 cho kết quả là 45 
Số thứ ba: + 28; - 7 cho kết quả là 45 
Từ phân tích trên ta đi đến lời giải của bài toán như sau: 
Số thứ nhất là: 45 - 7 + 14 = 52. 
Số thứ hai là: 45 + 28 - 14 = 49. 
Số thứ ba là: 45 + 7 - 28 = 24. 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Lời giải bài toán trên có thể thể hiện trong bảng sau: 
Trả lời: Ba số cần tìm là: 52; 49 và 24. 
Các bạn thử giải các bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối: 
Bài 1: Tìm một số, biết rằng giảm số đó đi 3 lần, sau đó cộng với 5, rồi nhân với 2 và cuối cùng chia cho 8 được kết quả bằng 4. 
Bài 2: Tổng số của ba số bằng 96. Nếu chuyển từ số thứ hai sang số thứ nhất 3 đơn vị và sang số thứ ba 17 đơn vị, cuối cùng chuyển từ số thứ ba sang số thứ nhất 9 đơn vị thì số thứ nhất sẽ gấp đôi số thứ hai và bằng 2/5 số thứ ba. Tìm ba số đó. 
Trần Diên Hiển 
(Trường Đại học Sư phạm Hà Nội)
THẾ NÀO LÀ ... GIẢ THIẾT TẠM
Trong các bài toán ở Tiểu học, có một dạng toán trong đó đề cập đến hai đối tượng (là người, vật hay sự việc) có những đặc điểm được biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau, hai công cụ lao động có năng suất khác nhau, hai loại vé có giá tiền khác nhau ... 
Ta thử đặt ra một trường hợp cụ thể nào đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật , thậm chí một tình huống vô lí. Tất nhiên giả thiết này chỉ là tạm thời để chúng ta lập luận nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc đã biết cách giải hoặc lập luận để suy ra được cái phải tìm. Chính vì thế mà phương pháp giải toán này phải đòi hỏi có dức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt... 
Những bài toán giải được bằng phương pháp giả thiết tạm có thể giải bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cách giải bằng giả thiết tạm thường gọn gàng và mang tính "độc đáo". 
Ví dụ : Trước hết, ta hãy xét một bài toán cổ quen thuộc sau đây: 
Vưa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn
Hỏi mấy gà, mấy chó?
Cách 1: 
(Cách giải quen thuộc) 
Rõ ràng 36 con không thể là gà cả (vì khi đó có 2 x 36 = 72 chân!), cũng không thể là chó cả (vì khi đó có 4 x 36 = 144 chân!). 
Bây giờ ta giả sử 36 con đều là chó cả (đây là giả thiết tạm), thì số chân sẽ là: 4 x 36 = 144 (chân). 
Số chân dôi ra là: 144 - 100 = 44 (chân) 
Sở dĩ như vậy là vì số chân của mỗi con chó hơn số chân của mỗi con gà là: 4 - 2 = 2 (chân). 
Vậy số gà là: 44:2 = 22 (con). 
Số chó là: 36 - 22 = 14 (con). 
Cách 2: 
Ta thử tìm một giả thiết tạm khác nữa nhé. 
Giả thiết, mỗi con vật được "mọc" thêm một cái đầu nữa ! khi đó, mỗi con có hai đầu và tổng số đầu là: 
2 x 36 = 72 (đầu) 
Lúc này, mỗi con gà coá hai đầu và hai chân , Mỗi con chó có hai đầu bốn chân. Vởy số chân nhiều hơn số đầu là: 
100 - 72 = 28 (cái) 
Đối với gà thì số chân bằng số đầu, còn đối với chó có số chân nhiều hơn số đầu là: 
4 - 2 = 2 (cái) 
Suy ra số chó là: 
28:2 = 14 (chó) 
Số gà là: 36 - 14 = 22 (gà). 
Cách 2: 
Bây giờ ta giả thiết một tường họp thật vô lí nhé! Ta giả thiết mỗi con vật đều bị "chặt đi" một nửa số chân. Như vậy, mỗi con chó chỉ còn có hai chân và mỗi con gà chỉ con một chân. tổng số chân cũng chỉ còn một nửa, tức là: 
100 : 2 = 50 (chân 0. 
Bây giờ, ta lại giả thiết mỗi con chó phải "co" một chân lên để mỗi con vật chỉ có một chân, khi đó 36 con vật có 36 chân. Như vậy, số chân chó phải "co" lên là: 
50 - 36 = 14 (chân). Vì mỗi con chó có một chân "co" nên suy ra có 14 con chó. 
Vậy số gà là: 36 - 14 = 22 9con). 
Cách 4: 
Gợi ý : Giả sử mỗi con gà "mọc thêm" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 4 chân và tổng số chân là: 
4 x 36 = 144 (chân)... 
Mời các bạn tiếp tục đọc lập luận, đồng thời xét xem điều giả thiết tạm thời này dựa vào cách giải nào đã biết). 
Cách 5: 
Gợi ý : Giả sử mỗi con chó "bị chặt đi" 2 chân, khi đó cả 36 con đều có 2 chân và tổng số chân là: 
2 x 36 = 72 (chân)... 
(Mời bạn đọc tiếp tục lập luận, sau đó cũng xét xem giả thiết tạm thời này đã dựa vào cách giải quen thuộc nào nhé.) 
Sau đây là một số bài vận dụng: 
Bài tập 1: 
Rạp Kim Đồng một buổi chiếu phim bán được 500 vé gồm hai loại 2000đ và 3000đ. Số tiền thu được là 1120000đ. Hỏi số vé bán mỗi laọi là bao nhiêu? 
(Trả lời: 380 vé và 120 vé). 
bài tập 2:(bài toán cổ) 
Quýt ngon mỗi quả chia ba 
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười 
Mỗi người một miếng, trăm người 
Có mười bẩy quả, chia rồi còn đâu! 
Hỏi có mấy quả cam, mấy quả quýt? 
(Trả lời: 7 quả cam, 10 quả quýt!) 
Vũ Dương Thuỵ 
RÚT GỌN PHÂN SỐ
Rút gọn một phân số đã cho là tìm một phân số bằng nó mà tử số và mẫu số này nhỏ hơn tủ số và mẫu số của phân số đã cho. Thông thường, khi rút gọn phân số là phải được một phân số tối giản. Cách rút gọn phân số : Cùng chia tử số và mẫu số cho một số tự nhiên lớn hơn 1. Điều quan trọng nhất là phải tìm được số tự nhiên đó để thực hiện việc rút gọn phân số. Việc này có thể thực hiện một lần hoặc vài lần mới tìm được phân số tối giản. dưới đây là một số ví dụ minh hoạ về cách tìm "số để rút gọn được". 
1. Dựa và dấu hiệu chia hết 
Ví dụ. Rút gọn mỗi phân số :6/8 (cùng chia 2); 27/36 (cùng chia 9); 15/40 (cùng chia 5). 
2. Chia dần từng bước hoặc gộp các bước (theo quy tắc chia một số cho một tích). 
Ví dụ. Rút gọn phân số 132 / 204 
132 / 204 = 132:2 / 204:2 = 66 / 102; 
66:2 / 102:2 = 33/51; 33:3 / 51:3 = 11/17 
vật 132 / 204 = 11/17. 
Vì 2 x 2 x 3 = 12 nên 
132:12 / 204:12 = 11/17. 
3. Dùng cách thử chọn theo các bước. 
Ví dụ. Rút gọn phân số 26/65. 
Bước 1: 26:2 = 13 
Bước 2: 65:13 = 5 
Bước 3: Cùng chia 13. 
26:13 / 65:13 = 2/5. 
4. Phân số có dạng đặc biệt. 
Ví dụ. Rút gọn phân số 1133 / 1442. 
Bước 1: 1133 : 11 = 103 
Bước 2: 1442 :14 = 103 
Bước 3: Cùng chia 103. 
1133 / 1442 = 1133:103 / 1442:103 = 11/14. 
Vạn dụng những hiểu biét của mình, các em hãy tự giải các bài tập sau: 
Rút gọn phân số: 35 / 91; 37 / 111; 119 / 153; 322 / 345; 1111 / 1313. 
Đỗ Trung Hiệu 
BÀI TOÁN CHIA GIA TÀI
Các bạn vừa giải bài toán “Ôtôna đã làm thế nào?”. Đây là bài toán tương tự của bài toán dân gian: 
“Một người nông dân nuôi được 17 con trâu. Trước khi qua đời, ông di chúc lại cho ba người con: 
- Con cả được 1/2 đàn trâu. 
- Con thứ được chia 1/3 đàn trâu. 
- Con út được chia 1/9 đàn trâu. 
Ba người con loay hoay không biết làm thế nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các con trâu. Em hãy tìm cách giúp họ”. 
Có thể giải bài toán như sau: 
Em đem một con trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu bằng gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 con trâu thành một đàn 18 con trâu. Sau đó: 
- Chia cho người con cả 1/2 đàn, tức là: 18 : 2 = 9 (con trâu) 
- Chia cho người con thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : 3 = 6 (con trâu) 
- Chia cho người con út 1/9 đàn, tức là: 18 : 9 = 2 (con trâu) 
Vậy ba người con được vừa đúng: 
9 + 6 + 2 = 17 (con trâu) 
Còn em lại mang con trâu của mình về. 
Cách giải trên tuy hơi lạ nhưng cũng dễ hiểu: Vì 17 không chia hết cho 2, cho 3 và cho 9; nhưng khi có thêm 1 con trâu nữa thì 18 liền chia hết cho 2, 3 và 9. Nhờ thế mà chia được. 
Song cái độc đáo của cách giải này lại ở chỗ khác cơ. 
Nếu ta để ý thì thấy ngay 
9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 ) 
6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 ) 
2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 ) 
Do đó trong cách chia trên người con nào cũng được hưởng lợi. ấy thế mà em lại không mất thêm một con trâu nào (con trâu đem đến lại dắt về). Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm ở đây là do tổng ba phân số biểu thị các phần được 
chia theo di chúc chưa bằng 1 (tức là chưa bằng cả đàn trâu), vì: 
(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu) 
Như vậy, thật ra người cha đã chỉ di chúc chia cho các con có 17/18 đàn trâu mà thôi, còn thiếu 1/18 nữa thì mới đủ 18/18, tức là cả đàn trâu. 
Thế nhưng nhờ em đem thêm 1 con trâu nữa tới nên đã chia được cho ba người con cả đàn trâu (hay đàn trâu, gồm 17 con). Do đó cả ba người con đều được chia nhiều hơn phần nêu ở di chúc nhưng em lại không tốn thêm một con trâu nào! 
Thật là một bài toán độc đáo! 
Phạm Đình Thực
(TP Hồ Chí Minh)
MỘT DẠNG TOÁN
DÙNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Trong tháng 9 các em lớp 5 đã học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Các em đã được làm quen với dạng toán điền chữ số thích hợp vào dấu  ... bài Tính tuổi - cuộc thi Giải toán qua thư TTT số 1) 
Giải 
Giả sử cháu 1 tuổi (tức là 12 tháng) thì ông 12 tuổi. 
Lúc đó ông hơn cháu : 12 - 1 = 11 (tuổi) 
Nhưng thực ra ông hơn cháu 66 tuổi, tức là gấp 6 lần 11 tuổi (66 : 11 = 6). 
Do đó thực ra tuổi ông là : 12 x 6 = 72 (tuổi) 
Còn tuổi cháu là : 1 x 6 = 6 (tuổi) 
thử lại 6 tuổi = 72 tháng ; 72 - 6 = 66 (tuổi) 
Đáp số :Ông : 72 tuổi 
Cháu : 6 tuổi 
*Ví dụ 2: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, trong lớp có bao nhiêu học sinh ?" Thầy cười và trả lưòi :" Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đó, rồi lại thêm 1/4 số đó, rồi cả thêm con của quý vị (một lần nữa) thì sẽ vừa tròn 100". Hỏi lơp có bao nhiêu học sinh ? 
Giải: 
Theo đầu bài thì tổng của tất cả số HS và tất cả số HS và 1/2 số HS và 1/4 số HS của lớp sẽ bằng : 100 - 1 = 99 (em) 
Để tìm được số HS của lớp ta có thể tìm trước 1/4 số HS cả lớp. 
Giả sử 1/4 số HS của lớp là 1 em thì cả lớp có 4 HS 
Vậy : 1/4 số HS của lứop là : 4 : 2 = 2 (em). 
Suy ra tổng nói trên bằng : 4 + 4 + 2 + 1 = 11 9em) 
Nhưng thực tế thì tổng ấy phải bằng 99 em, gấp 9 lần 11 em (99 : 11 = 9) 
Suy ra số HS của lớp là : 4 x 9 = 36 (em) 
Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + 1 = 100 
Đáp số: 36 học sinh. 
Phạm Đình Thực
TP.Hồ Chí Minh
PHƯƠNG PHÁP "GÁN SAI - CHỈNH ĐÚNG"
Đây là một trong những cách giải cổ xưa nhất. Trong đó, muốn tìm ra một số chưa biết người ta sứ "gán đại" cho số ấy một giá trị cụ thể nào đó rồi dựa vào giá trị ấy mà tính toán theo các diều kiện nêu trong đề toán. Vì khi "gán đại" một giá trị như vậy thì chẳng mấy khi gán đúng vào đáp số được nên thể nào thì các kết quả tính toáncũng không thể "ăn khớp" với các dữ kiện trong đề toán mà sẽ phải có một sự sai khác nào đấy. 
Sau đó ta tìm cách để điều chỉnh lại giá trị đã "gán lại" cho số phải tìm để loại trừ sự sai khkác nói trên. Giá trị được điều chỉnh sẽ là đáp số của bài toán. 
Sau đây là một số ví dụ: 
Ví dụ 1: 
Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất cả 222 cầu thủ thi đấu hai môn: Bóng đá và bóng chuyền. 
Mỗi đội bóng đá có 11 người. Mỗi đội bóng chuyền có 6 người. Biết rằng có cả thảy 27 đội bóng, hãy tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền. 
Giải 
Giả sử có 7 đội bóng đá, thế thì số đội bóng chuyền là: 
27 - 7 = 20 (đội bóng chuyền) 
Lúc đó tổng số cầu thủ là: 
7 x 11 + 20 x 6 = 197 (người) 
Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội vẫn không đổi. 
Ta thấy nếu thay một dội bóng chuyền bằng một đội bóng đá thì tổng số đội vẫn không thay đổi nhưng tổng số người sẽ tăng thêm: 11 - 6 = 5 (người) 
Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 thì số dội bống chuyền phải thay bằng đọi bóng đá là: 
25 : 5 = 3 (đội) 
Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - 5 = 15 (đội) 
Còn số đội bống đá là: 7 + 5 = 12 (đội) 
Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền. 
Ví dụ 2: 
Số gà nhiều hơn số thỏ là 28 con. số chân gà nhiều hơn số chân thỏ là 40 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con thỏ? 
Giải 
Giả sử có 10 con thỏ, thế thì có : 10 + 28 = 38 (con) 
Số chân gà là : 38 x 2 = 76 (chân) 
Số chân thỏ là : 10 x 4 = 40 (chân) 
Hiệu số chân gà và thỏ là : 76 - 40 = 36 (chân) 
Vì thực tế thì số chân gà hơn số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên : 40 - 36 = 4 (chân) 
Ta thấy nếu cùng bớt một con thỏ và một con gà thì hiệu số gà và thỏ vẫn không thay đổi song hiệu số chân gà và thỏ sẽ tăng thêm: 4 - 2 = 2 (chân) 
Để hiệu số chân tăng thêm 4 thì số thỏ và gà phải bớt đi là : 4 : 2 = 2 (con) 
Vậy số thỏ là: 10 - 2 = 8 (con thỏ) 
Số gà là : 38 - 2 = 36 (con gà) 
Đáp số là : 36 con gà và 8 con thỏ 
TOÁN VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Chương trình Toán lớp 4 đã giới thiệu về hai đại lượng tỉ lệ thuận, đó là hai đại lượng mà đại lượng này tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (hoặc giảm) bấy nhiêu lần. Những cặp đại lượng tỉ lệ thuận thường gặp là: thời gian đi và quãng đường đi được (trong chuyển động đều), số lượng một loại hàng và số tiền hàng, độ dài cạnh hình vuông và chu vi hình vuông, số người làm và sản phẩm làm được (khi năng suất mọi người như nhau), số sản phẩm và lượng nguyên vật liệu để sản xuất ra sản phẩm,.... 
Nếu biết cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận và một giá trị nữa của đại lượng này thì ta có thể tìm được giá trị tương ứng của đại lượng kia (bài toán tìm giá trị đó thường gọi là bài toán tam suất đơn thuận). Chúng ta có 2 cách giải các bài toán dạng này, đó là phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tìm tỉ số. 
Ví dụ 1 : May ba bộ quần áo như nhau hết 15 mét vải. Hỏi may 9 bộ quần áo như thế hết mấy mét vải ? 
Tóm tắt : 
3 bộ quần áo hết 15 m vải 
9 bộ quần áo hết ? m vải 
Lời giải : 
* Cách rút về đơn vị 
May một bộ quần áo hết : 
15 : 3 = 5 (m) 
May 9 bộ quần áo như thế hết : 
5 x 9 = 45 (m) 
* Cách dùng tỉ số 
9 bộ quần áo gấp 3 bộ quần áo số lần là : 
9 : 3 = 3 (lần) 
Số mét vải may 9 bộ quần áo đó là : 
15 x 3 = 45 (m) 
Những bài toán cơ bản về hai đại lượng sẽ làm cơ sở để ta giải quyết các bài toán xuất hiện ba đại lượng mà hai đại lượng bất kì đều tỉ lệ thuận. 
Ví dụ 2 : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Phân tích : Ta tóm tắt bài toán như sau : 
5 người làm 6 giờ nhận 150000 đồng 
15 người làm 3 giờ nhận ? đồng 
Để giải bài toán có ba đại lượng, ta phải cố định một đại lượng (làm cho một đại lượng như nhau) để tìm giá trị chưa biết của một trong hai đại lượng kia. Việc giải ví dụ 2 đưa về giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1a : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
15 người so với 5 người thì gấp : 
15 : 5 = 3 (lần) 
15 người, mỗi người làm việc 6 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 x 3 = 450000 (đồng) 
Bài toán 2a : Nếu 15 người, mỗi người làm việc 6 giờ được nhận 450 000 đồng. Hỏi : Nếu 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người như nhau). 
Lời giải : 
6 giờ so với 3 giờ thì gấp : 
6 : 3 = 2 (lần) 
15 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
450000 : 2 = 225000 (đồng) 
Đáp số của bài toán 2 chính là đáp số của ví dụ 2. Chú ý : Có con đường khác để giải ví dụ 2 là đưa về việc giải liên tiếp hai bài toán sau : 
Bài toán 1b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 6 giờ thì được nhận 150000 đồng. Hỏi : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mỗi người là như nhau). 
Lời giải : 
5 người mỗi người làm việc 1 giờ thì được nhận số tiền là : 
150000 : 6 = 25000 (đồng) 
5 người mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
25000 x 3 = 75000 (đồng) 
Bài toán 2b : Nếu 5 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận 75000 đồng. Hỏi : Nếu có 15 người, mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận bao nhiêu tiền ? (Giá trị giờ công của mọi người như nhau). 
Lời giải : 
Mỗi người làm việc trong 3 giờ thì được nhận số tiền là : 
75000 : 5 = 15000 (đồng) 
15 người mỗi người làm việc trong 
3 giờ thì được nhận số tiền là : 
15000 x 15 = 225000 (đồng) 
Như vậy những bài toán phức tạp hơn, có nhiều đại lượng hơn sẽ được giải quyết nhờ đưa về các bài toán chỉ có hai đại lượng. Bây giờ các bạn hãy cùng giải các bài toán sau đây : 
Bài 1 : Người ta tính rằng cứ 3 xe cùng loại chở hàng, mỗi xe đi 50 km thì tổng chi phí vận chuyển hết 1200000 đồng. Hỏi 5 xe như thế, mỗi xe đi 100 km thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu ? 
Bài 2 : Có 5 người ăn trong 8 ngày hết 24 ki-lô-gam gạo. Hỏi 7 người ăn trong 10 ngày thì hết bao nhiêu ki-lô-gam gạo ? Biết rằng khẩu phần ăn của mỗi người là như nhau. 
Các bạn có thể trao đổi tiếp xung quanh bài toán về các đại lượng tỉ lệ nghịch. Mong nhận được nhiều ý kiến của các bạn. 
Đỗ Văn Thản
(Số nhà 129, đường 6, phố Khánh Thành, phường Tân Thành, 
thị xã Ninh Bình, Ninh Bình)
MỘT CON ĐƯỜNG SÁNG TẠO 
NHỮNG BÀI TOÁN
Mỗi năm các em học sinh đều trải qua nhiều kì thi. Các thầy cô cũng phải tự soạn, tự sáng tác nhiều đề thi, đề kiểm tra để rèn kĩ năng giải toán cho học sinh. Một trong những định hướng mà tôi rất tâm đắc là sáng tác những đề toán có gắn với con số chỉ năm. Ngoài việc sử dụng nó như một số tự nhiên khác, nếu khám phá thấy đặc điểm riêng của nó ta có được những bài toán thật bất ngờ, thú vị. Tôi xin trao đổi với bạn đọc một kinh nghiệm nhỏ qua hai ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Phân tích số 1995 thành tích các thừa số ta có kết quả như sau :
1995 = 3 x 5 x 7 x 19 = 19 x 15 x 7. Thay các chữ bởi các chữ cái ta có :
Đặt thêm điều kiện cho chặt chẽ, ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Bài toán có nhiều cách giải, mỗi cách giải đều ẩn chứa nhiều điều lí thú và bổ ích. Xin nêu 2 cách giải điển hình nhất :
Cách 1 :
Đặt phép tính như sau : Vì 7 x a + (nhớ) = 10 nên a = 1 7 x 1 + (nhớ) = 10 nên số nhớ là 3. Do đó c = 5. Thay a = 1, c = 5 vào (*) ta có :
1005 + b x 110 = 1050 + 105 x b
b x 5 = 45
(cùng trừ cả 2 vế đi 105 x b và 1005)
b = 45 : 5
b = 9
Vậy : 1995 = 19 x 15 x 7
Cách 2 :
Ví dụ 2 : Phân tích số 2004 thành tích các thừa số : 2004 = 2 x 2 x 3 x 167 = 1 x 12 x 167.
Thay các chữ số bởi các chữ cái ta có bài toán điền chữ số :
(a > 0).
Sau đây là cách giải rất quen thuộc đối với tiểu học :
Bây giờ mời các bạn giải trí với bốn bài toán nhỏ sau :
Bài 1 : Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 28.
Bài 2 : Tìm số lớn nhất có 4 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 2.
Bài 3 : Tìm số lẻ lớn nhất có 4 chữ số và tổng các chữ số của nó bằng 3.
Bài 4 : Số nào thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Lớn nhất, có 4 chữ số
b) Chẵn, không chia hết cho 5
c) Tổng các chữ số của nó bằng 4.
Một người thầy dạy toán mà chỉ biết hướng dẫn học sinh giải những bài toán sẵn có trong sách thì chưa đủ. Người thầy giỏi là phải định hướng cho học sinh phương pháp giải của từng dạng toán và đặc biệt cần phải biết sáng tạo ra những bài toán phù hợp với từng lớp và vận dụng được kiến thức mà các em đã được học. Tôi hi vọng được học hỏi kinh nghiệm của nhiều bạn đọc khác. Mong các bạn cùng trao đổi trên Toán Tuổi thơ nhé !
Đào Việt Khanh
(Sở GD - ĐT Thái Bình)