Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 4, 5 - Dạng 2: Loại toán giải bằng phương pháp kết hợp

PHẦN II
2. LOẠI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP.
(lập tất cả các số)
Mẫu 1: Dùng 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
Giải: Cách1:
Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 ta viết được 24 số sau:
1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
Cách2:
Suy luận như sau: Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4:
- Có 4 cách đặt chữ số hàng nghìn (là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng nghìn, có 3 cách đặt chữ số hàng trăm (là một trong 3 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng trăm thì có 2 cách đặt chữ số hàng chục (là một trong 2 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng chục thì có 1 cách đặt chữ số hàng đơn vị (là 1 chữ số còn lại).
Vậy có tất cả: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)
[Đây là tích của 4 số liên tiếp kể từ 1_ (1 x 2 x 3 x 4)]
Chú ý: Có thể tính tổng tất cả các số trên như sau: 
Tổng của 24 số này có đặc điểm là: ở mỗi hàng, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 có mặt 6 lần (24 : 4 = 6) Mà (1 + 2 + 3 + 4) x 6 = 60
Vậy tổng của tất cả 24 số đó là: 60 nghìn + 60 trăm + 60 chục + 60 đơn vị = 66660
Mẫu 2: Dùng 4 chữ số 0, 1, 2, 3 có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
Giải: 
Suy luận như sau: Với 4 chữ số 0, 1, 2, 3:
- Có 3 cách đặt chữ số hàng nghìn (là 1, hoặc 2, hoặc 3).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng nghìn, có 3 cách đặt chữ số hàng trăm (là một trong 3 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng trăm thì có 2 cách đặt chữ số hàng chục (là một trong 2 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng chục thì có 1 cách đặt chữ số hàng đơn vị (là 1 chữ số còn lại).
Vậy có tất cả: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 (số)
Chú ý: Có thể tính tổng tất cả các số trên như sau: Tổng của 18 số này có đặc điểm là: ở mỗi hàng, mỗi chữ số 1, 2, 3 có mặt 6 lần (18 : 3 = 6) Mà (1 + 2 + 3) x 6 = 36
Vậy tổng của tất cả 18 số đó là: 36 nghìn + 36 trăm + 36 chục + 36 đơn vị = 39996
Mẫu 3: Với sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
Giải: Suy luận như sau: Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6:
- Có 6 cách đặt chữ số hàng nghìn (là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4, hoặc 5, hoặc 6).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng nghìn, có 5 cách đặt chữ số hàng trăm (là một trong 5 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng trăm thì có 4 cách đặt chữ số hàng chục (là một trong 4 chữ số còn lại).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng chục thì có 3 cách đặt chữ số hàng đơn vị (là 3 chữ số còn lại).
Vậy có tất cả: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 (số)
[Đây là tích của 4 số liên tiếp giảm dần kể từ 6 _ (6 x 5 x 4 x 3)]
Mẫu 4: Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số? (các chữ số có thể lặp lại).
Giải: Suy luận như sau: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5:
- Có 5 cách đặt chữ số hàng trăm (là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4, hoặc 5).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng trăm thì có 5 cách đặt chữ số hàng chục (là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4, hoặc 5).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng chục thì có 5 cách đặt chữ số hàng đơn vị (là 1, hoặc 2, hoặc 3, hoặc 4, hoặc 5).
Vậy có tất cả: 5 x 5 x 5 = 125 (số)	
[Đây là tích của 3 thừa số đều bằng 5 _ (5 x 5 x 5)]
Mẫu 5: Với ba chữ số 2, 3, 5:
Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số? (mỗi chữ số có thể lặp lại).
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
Giải: Cách1:
Suy luận như sau: Với 3 chữ số 2, 3, 5:
- Lấy chữ số hàng trăm là 2 ta có: 3 x 3 = 9 (số) 
222
223
225
232
233
235
252
253
255
- Lấy chữ số hàng trăm là 3 ta có: 3 x 3 = 9 (số) 
- Lấy chữ số hàng trăm là 5 ta có: 3 x 3 = 9 (số) 
Vậy có tất cả: 9 + 9 + 9 = 27 (số) 
Tổng của 27 số này có đặc điểm là: ở mỗi hàng mỗi chữ số 2, 3 ,5 có mặt 9 lần. Mà (2 + 3 + 5) x 9 = 90
Vậy tổng của tất cả 27 số đó là: 90 trăm + 90 chục + 90 đơn vị = 9990
Cách2:
Suy luận như sau: Với 3 chữ số 2, 3, 5:
- Có 3 cách đặt chữ số hàng trăm (là 2, hoặc 3, hoặc 5).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng trăm thì có 3 cách đặt chữ số hàng chục (là 2, 3, 5).
- Với mỗi cách đặt chữ số hàng chục thì có 3 cách đặt chữ số hàng đơn vị (là 2, hoặc 3, hoặc 5).
Vậy có tất cả: 3 x 3 x 3 = 27 (số)
[Đây là tích của 3 thừa số đều bằng 3 _ (3 x 3 x 3)]
Tổng của 27 số này có đặc điểm là: ở mỗi hàng mỗi chữ số 2, 3 ,5 có mặt 9 lần (27 : 3 = 9) Mà (2 + 3 + 5) x 9 = 90
Vậy tổng của tất cả 27 số đó là: 90 trăm + 90 chục + 90 đơn vị = 9990	
BÀI TẬP:
1/. Cho các chữ số 2, 3, 4.
Lập được bao nhiêu số có ba chữ số. (Trong một số, mỗi chữ số chỉ được dùng một lần).
Hãy viết các số đó thành tổng các trăm, các chục và các đơn vị.
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
2/. Cho các chữ số 0, 1, 2.
Lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được viết từ các số đã cho. (mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho ở trên).
Hãy viết các số đó thành tổng các trăm, các chục và các đơn vị.
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
3/. Cho các chữ số 2, 3, 4, 5.
Lập được bao nhiêu số bốn chữ số có mặt cả 4 chữ số đó. 
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
4/. Với bốn chữ số 0, 1, 2, 3.
Lập được bao nhiêu số bốn chữ số có mặt cả 4 chữ số đó. 
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
5/. Với bốn chữ số 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
6/. Với ba chữ số 2, 3, 4:
Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số? (mỗi chữ số có thể lặp lại).
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
7/. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số mà tổng 3 chữ số đó là 3.
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
8/. Hãy viết tất cả các số có 5 chữ số mà tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3.
9/. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tích 4 chữ số ấy đều bằng 8.
10*/. Từ số 10 đến 1000 có bao nhiêu số mà trong mỗi số đó có:
Ba chữ số giống nhau.
Chữ số sau lớn hơn chữ số trước.
11*/. Từ số 10 đến 1000 có bao nhiêu số tự nhiên mà tổng các chữ số của số đó bằng 9.
12*/. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể viết được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau. Tính xem trong các số vừa lập được đó tổng tất cả các số chẵn và tổng tất cả các số lẻ hơn, kém nhau bao nhiêu đơn vị.
BÀI LÀM:
6/. Với ba chữ số 2, 3, 4:
Có thể viết được bao nhiêu số có ba chữ số? (mỗi chữ số có thể lặp lại).
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
Giải: 
a/ Lấy chữ số hàng trăm là 2 ta có: 3 x 3 = 9 số sau: (*)
	222, 223, 224, 232, 233, 234, 242, 243, 244.
	Tương tự: 
	- Lấy chữ số hàng trăm là 3 ta có 9 số nữa: .......
	- Lấy chữ số hàng trăm là 4 ta có thêm 9 số nữa: .......
	Ta viết được tất cả : 9 + 9 + 9 = 27 (số)
b/ Tổng tất cả các số này có đặc điểm là: ở mỗi hàng, mỗi chữ số 2, 3, 4 có mặt 9 lần. 
Mà (2 + 3 + 4) x 9 = 81
Nên tổng có 81 đơn vị, 81 chục, 81 trăm. Vậy tổng của 27 số ấy là:
81 trăm + 81 chục + 81 đơn vị = 8991
7/. Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số mà tổng 3 chữ số đó là 3.
Hãy tính tổng tất cả các số đó.
Giải: Ta có: 3 = 1 + 1 + 1 
= 1 + 2 + 0 
= 3 + 0 + 0 
111
120
300
102
201
210 
Có tất cả 6 số, đó là các số:
111
120
102
201
210
300
 1044
Tổng các số đó là: 
8/. Hãy viết tất cả các số có 5 chữ số mà tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3.
Giải: Ta có: 3 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0
 = 1 + 2 + 0 + 0 + 0
 = 3 + 0 + 0 + 0 + 0
Có tất cả 15 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3, đó là các số:
11100
12000
21000
30000
11010
11001
10110
10200
10020
10002
20100
20010
20001
10101
10011
9/. Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà tích 4 chữ số ấy đều bằng 8.
Giải: Nhận xét: 8 = 1 x 1 x 1 x 8 
= 1 x 1 x 2 x 4
Có tất cả 16 số có bốn chữ số mà tích các chữ số ấy bằng 8, đó là các số:
1118
1181
1811
1124
1142
1214
1412
1421
2114
2411
4112
4121
8111
1241
2141
4211
10*/. Từ số 10 đến 1000 có bao nhiêu số mà trong mỗi số đó có:
Ba chữ số giống nhau.
Chữ số sau lớn hơn chữ số trước.
 Gợi ý: 
a/ Các số đó là: 111, 222, ...
b/ Từ 10 đến 99 có các số:
Tất cả là 36 số
	12, 13, 14, ... , 19 (có 8 số)
 23, 24, ... , 29 (có 7 số)
 34, ... , 39 (có 6 số)
...........................................
 89 (có 1 số)
* Xét các số từ 100 đến 999 ta thấy chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là từ 3 đến 9:
	- Nếu chữ số hàng đơn vị là 3, có 1số (là 123)
	- Nếu chữ số hàng đơn vị là 4, có 3số (là 124, 134, 234)
	- Nếu chữ số hàng đơn vị là 5, có 6số (là 125, 135, 145, 235, 245, 345)
 ..................................................................................................................
- Nếu chữ số hàng đơn vị là 9, có 28số (là 129, 139, ..., 789)
Từ đó bạn đọc tìm ra đáp số ...
Đáp số: a/ 10 số
 b/ 120 số
11*/. Từ số 10 đến 1000 có bao nhiêu số tự nhiên mà tổng các chữ số của số đó bằng 9.
Giải: 
Từ 10 đến 99 có các số:
18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90 : tức là có 9 số.
 + Từ 100 đến 199 có các số: 108, 117, 126,... , 180 : tức là có 9 số.
 + Từ 200 đến 299 có các số: 207, 216, 225, ... , 270: tức là có 8 số.
 + Từ 300 đến 399 có các số: 306, 315, 324,... , 360 : tức là có 7 số.
 + .......................................................................................................
 + Từ 800 đến 899 có các số: 801, 810 : tức là có 2 số.
 + Từ 900 đến 999 có 1 số (900)
Vậy có tất cả là: 9 +(9 + 8 + 7 + ... + 2 + 1) = 9 + 45 = 54 số (có tổng các chữ số bằng 9)
 Đáp số: 54 số
12*/. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể viết được bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau. Tính xem trong các số vừa lập được đó tổng tất cả các số chẵn và tổng tất cả các số lẻ hơn, kém nhau bao nhiêu đơn vị.
Giải:
*Vì chữ số hàng chục phải khác 0 nên chỉ có 9 cách chọn chữ số ở hàng chục. Với mỗi cách chọn chữ số ở hàng chục thì có: 10 – 1 = 9 cách chọn chữ số ở hàng đơn vị. Vậy có tất cả: 9 x 9 = 81 (số)
Vậy số các số có hai chữ số khác nhau được viết từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9 là 81 số.
* Xét dãy số 10, 11, 12, ... , 98, 99
Dãy số trên gốm 45 số chẵn và 45 số lẻ như sau:
10 12 14 16 ........... 94 96 98 (A)
11 13 15 17 ........... 95 97 99 (B)
Mỗi số chẵn ở trên đếu bằng số lẻ ở dưới trừ đi 1, do đó "tổng A các số chẵn ở dãy trên" bằng "tổng B các số lẻ ở dãy dưới trừ đi 45" A= B – 45
Trong dãy số chẵn ở trên, có 4 chữ số gồm 2 chữ số giống nhau là: 22, 44, 66, 88. Vậy tổng các số chẵn có 2 chữ số khác nhau là:
A – (22 + 44 + 66 + 88) = A – 220 = B – 45 – 220 = B – 265
Trong dãy số lẻ ở dưới, có 5 số gồm hai chữ số giống nhau là: 11, 33, 55, 77, 99. Vậy tổng các số lẻ có hai chữ số khác nhau là: B – (11, 33, 55, 77, 99) = B – 275 = B – 265 – 10
So sánh (B – 265) và (B – 265 – 10) ta thấy tổng các số chẵn có hai chữ số khác nhau lớn hơn tổng các số lẻ có 2 chữ số khác nhau 10 đơn vị. 
2. LOẠI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP (tt)
(tính số cái bắt tay)
Mẫu 6: Có 10 người bước vào phòng họp. Tất cả đều bắt tay lẫn nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
Giải: Một người phải bắt tay: 10 – 1 = 9 (cái)
10 người phải bắt tay: 10 x 9 = 90 (cái)
Nhưng nếu tính như vậy thì mỗi cái bắt tay đều được tính hai lần. Vậy thực ra chỉ có:
90 : 2 = 45 (cái bắt tay)
[Đây là giải bài toán bằng dãy tính: 10 x (10 – 1) : 2 = 45 (cái bắt tay)]
BÀI TẬP:
1/. Có 100 người bước vào phòng họp. Tất cả đều bắt tay lẫn nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
2/. Một chiếc thang của công an cứu hỏa có 30 bậc thang. Hỏi trên chiếc thang đó có bao nhiêu hình tứ giác?
3/. Trong giải vô địch bóng đá trẻ toàn quốc, ở bảng A có 6 đội tham gia. Thể thức thi đấu là:
Đấu vòng tròn (mỗi đội gặp nhau một lượt); tính điểm?
Trong mỗi trận đấu: Đội nào thắng được 3 điểm; đội nào thua được 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm.
Biết tổng số điểm của cả 6 đội đạt được là 38 điểm, hãy tính số trận hòa ở bảng A.
4/. Trong một kì Wolrd Cup bóng đá thế giới vòng loại có 8 bảng: A, B, C, D, E, F, G, H. Mỗi bảng có 4 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, chỉ có trận thắng và hòa, được tính điểm như sau: mỗi trận thắng được 3 điểm; mỗi trận hòa được 1 điểm. Kết thúc vòng loại, tổng số điểm của 8 bảng là 124 điểm. Hỏi sau khi kết thúc vòng loại có bao nhiêu trận thắng và bao nhiêu trận hòa.
5/. Cho 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta nối từng cặp hai điểm để có một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình tam giác có các cạnh là các đoạn thẳng đó?
6**/. 
Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ?
Biết cạnh của các ô vuông trong hình vẽ đều dài 1cm, hãy tính tổng chu vi và tổng diện tích của tất cả các hình vuông có trong hình vẽ.
BÀI LÀM:
2/. Một chiếc thang của công an cứu hỏa có 30 bậc thang. Hỏi trên chiếc thang đó có bao nhiêu hình tứ giác? 
Gợi ý:
- Cứ 2 bậc thang thì tạo thành (với 2 cạnh thang) 1 hình tứ giác. Hay mỗi cặp bậc thang sẽ cho ta một hình tứ giác.
- Có bao nhiêu cặp bậc thang như vậy trong 30 bậc thang? Cách giải ở đây cũng tương tự trường hợp "Có 30 người thì có bao nhiêu cái bắt tay đã nêu ở mẫu 3?"
 30 x 29 : 2 = 435 (tứ giác) Đáp số: 435 tứ giác
3/. Trong giải vô địch bóng đá trẻ toàn quốc, ở bảng A có 6 đội tham gia. Thể thức thi đấu là:
Đấu vòng tròn (mỗi đội gặp nhau một lượt); tính điểm?
Trong mỗi trận đấu: Đội nào thắng được 3 điểm; đội nào thua được 0 điểm, nếu hòa mỗi đội được 1 điểm.
Biết tổng số điểm của cả 6 đội đạt được là 38 điểm, hãy tính số trận hòa ở bảng A.
Giải:
Số trận đấu ở bảng A là: 6 x 5 : 2 = 15 (trận)
Nếu cả 15 trận đều có phần "thắng, bại" (nghĩa là không có trận hòa) thì tổng số điểm là: 15 x 3 = 45 (điểm)
Vì mỗi trận hòa cả hai đội sẽ được 1 + 1 = 2 (điểm) , do đó cứ mỗi trận hòa thì tổng trên sẽ bớt đi số điểm là: 3 – 2 = 1 (điểm) 
Từ 45 xuống 38, số điểm bị bớt đi là: 45 – 38 = 7 (điểm)
Vậy ở bảng A có 7 trận hòa.
Đáp số: 7 trận hòa
4/. Trong một kì Wolrd Cup bóng đá thế giới vòng loại có 8 bảng: A, B, C, D, E, F, G, H. Mỗi bảng có 4 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, chỉ có trận thắng và hòa, được tính điểm như sau: mỗi trận thắng được 3 điểm; mỗi trận hòa được 1 điểm. Kết thúc vòng loại, tổng số điểm của 8 bảng là 124 điểm. Hỏi sau khi kết thúc vòng loại có bao nhiêu trận thắng và bao nhiêu trận hòa.
5/. Cho 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ta nối từng cặp hai điểm để có một đoạn thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình tam giác có các cạnh là các đoạn thẳng đó? Giải:
Nhận xét cứ ứng với một cặp điểm ta có 1 tam giác.
Ví dụ:
- Cặp điểm (A, B) ứng với tam giác CDE.
- Cặp điểm (B, C) ứng với tam giác ADE. ...
Ngược lại cứ ứng với một tam giác ta lại có 1 cặp điểm.
Ví dụ:
- Tam giác ABD ứng với cặp điểm (C, E) .
- Tam giác ACE ứng với cặp điểm (B, D) . ...
 Vậy số cặp điểm bằng số hình tam giác. Với 5 điểm thì có:
5 x (5 – 1) : 2 = 10 (cặp điểm)
Vậy có 10 tam giác.
Đáp số: 10 hình tam giác.
6**/. 
Có bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ?
Biết cạnh của các ô vuông trong hình vẽ đều dài 1cm, hãy tính tổng chu vi và tổng diện tích của tất cả các hình vuông có trong hình vẽ.
Giải:
a/ Trên hình vẽ có 4 đường thẳng song song nằm ngang và 5 đường thẳng song song thẳng đứng. Ta thấy cứ một cặp đường thẳng nằm ngang và một cặp đường thẳng đứng thì tạo thành một hình chữ nhật .
(1) 4 đường thẳng nằm ngang tạo thành:
4 x (4 – 1) : 2 = 6 (cặp đường thẳng nằm ngang)
(2) 5 đường thẳng đứng tạo thành:
5 x (5 – 1) : 2 = 10 (cặp đường thẳng đứng )
Ta thấy:
- Cứ một cặp đường thẳng nằm ngang tạo thành với một cặp đường thẳng đứng một hình chữ nhật.
- Vậy 6 cặp đường thẳng nằm ngang tạo thành với một cặp đường thẳng đứng 6 hình chữ nhật.
- Và 6 cặp đường thẳng nằm ngang tạo thành với 10 cặp đường thẳng:
6 x 10 = 60 (hình chữ nhật)
Đáp số: 60 hình chữ nhật
b/ Có 12 hình vuông là 12 ô vuông.
- 12 hình vuông có tổng chu vi và diện tích là:
(1 x 4) x 12 = 48 (cm)
(1 x 1) x 12 = 12 (cm2)
* Có 6 hình vuông mà mỗi hình gồm 4 ô vuông là các hình (1, 2, 7, 8); (2, 3, 6, 7); (3, 4, 5, 6); (8, 7, 10, 9); (7, 6, 11, 10); (6, 5, 12, 11).
- 6 hình vuông có tổng chu vi và diện tích là:
(2 x 4) x 6 = 48 (cm)
(2 x 2) x 6 = 24 (cm2)
* Có 2 hình vuông mà mỗi hình gồm 9 ô vuông là: (1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11); (2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12).
Tổng chu vi và diện tích của chúng là:
(3 x 4) x 2 = 24 (cm)
(3 x 3) x 2 = 18 (cm2)
Vậy tổng chu vi tất cả các hình vuông ở đây là:
48 + 48 + 24 = 120 (cm)
Còn tổng diện tích tất cả các hình vuông ở đây là:
12 + 24 + 18 = 54 (cm2)
Đáp số: 120cm và 54cm2