Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 4, 5
Bài 1: Khi nhân một số có 3 chữ số với số có 2 chữ số, một bạn quên mất chữ số 2 ở hàng trăm của số có ba chữ số nên tích mới là 1200 và tích cũ bị giảm đi 15000. Tìm số có ba chữ số đó.
Bài giải
Do quên chữ số 2 ở hàng trăm của số có ba chữ số nên tích mới giảm đi 200 lần thừa số thứ hai (Số có hai chữ số).
Vậy số có hai chữ số đó là: 15000 : 200 = 75
Tích đúng lúc đầu là: 1200 + 15000 = 16200
Thừa số thứ nhất (Số có ba chữ số) là; 16200 : 75 = 216
Đáp số 216
Bài 2: hông quy đồng mẫu số hãy so sánh các phân số sau và giải thích lý do:  
Bài giải
2009/2010 = 1 - 1/2010
2010/2011 = 1 - 1/2011
Vì 1/2010 > 1/2011 nên 2009/2010 < 2010/2011
Bài 3: Có hai cái bình, một cái 5 lít và một cái 7 lít. Với hai bình đó, làm thế nào để đong được 4 lít nước ở vòi nước máy.       
Bài giải
Lần 1: Đong đầy nước vào bình 7 lít, rồi đổ sang bình 5 lít.
Lần 2: Bình 7 lít còn 2 lít. Đổ nước trong bình 5 lít ra và đổ 2 lít ở bình 7 lít sang bình 5 lít. Vậy bình 5 lít đang chứa 2 lít
Lần 3: Đong đầy nước vào bình 7 lít, rồi đổ sang bình 5 lít (khi đó bình 5 lít đang chứa 2 lít). Vậy chỉ đổ sang bình 5 lít chỉ 3 lít.Số lít cần lấy là:   7 – 3 =  4 lít ở bình 7 lít. 
Bài 4: An đi từ nhà tới trường hết 10 phút. Tùng đi từ nhà tới trường hết 20 phút.Nếu Tùng đi trước An 5 phút thì An có đuổi kịp Tùng không? Nếu đuổi kịp thì ở chỗ nào?...
Bài giải
* Tùng đi trước 5 phút nghĩa là vẫn còn 15 phút mới đi hết quãng đường trong khi AN chỉ mất 10 phút nên chắc chắn An sẽ đuổi kịp Tùng.
* 1 phút An đi được 1/10 quãng đường
1 phút Tùng đi được 1/20 quãng đường
Tùng đi trước 5 phút nghĩa là đi được 5/20 quãng đường
Mỗi phút An rút ngắn được : 1/10 - 1/20 = 1/20 quãng đường trong khi khoảng cách là 1/20 quãng đường.
Thời gia đuổi kịp : 5/20 : 1/20 = 5 phút
Mà 1 phút An đi được 1/10 quãng đường nên 5 phút AN đi được 5/10 quãng đường. Điểm gặp nhau là điểm chính giữa quãng đường.
Bài 7: Tuổi cha bằng tuổi hai con cộng lại. Tuổi anh bằng 13/12 tuổi em và kém cha 24 tuổi. Hỏi tuổi mỗi người là bao nhiêu?...
Bài giải
Vì tuổi anh kém tuổi bố 24 mà tuổi anh cộng tuổi em = tuổi bố nên tuổi em chính là 24 tuổi
Tuổi anh là : 24 : 12 x 13 = 26 (tuổi)
Tuổi bố 24 + 26 = 50 (tuổi)
Bài 8: Một hình chữ nhật có diện tích 20 , Chu vi 18 m. Tính chiều dài, chiều rộng (Biết chiều dài , chiều rộng đều là số nguyên).
Bài giải
Nửa chu vi là 9 suy ra chiều dài HCN < 9
Diện tích = 20 m2 suy ra chiều dài là 5m (vì chỉ có số tận cùng bằng 5 nhân với một số chẵn mới có tích là số tròn chục, trong trường hợp này vì chiều dài < 9 suy ra chiều dài = 5)
Chiều rộng : 20 : 5 = 4 (m)
Bài 9: Trên một sợi dây căng thẳng AB, cùng một lúc có một con kiến đen bò từ đầu A đến đầu B và một con kiến đỏ bò từ đầu B đến đầu A. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất ở C cách A là 7m, thì kiến đen tiếp tục bò đến B rồi quay về A, còn kiến đỏ tiếp tục bò đến A rồi lại quay về B.Hai con kiến gặp nhau lần thứ hai ở điểm D cách B là 3m.
Em hãy cho biết:
a) Cho đến khi gặp nhau lần thứ nhất (ở C), cả hai con kiến đã bò được mấy lần quãng đường AB?
b) Cho đến khi gặp nhau lần thứ hai (ở D), cả hai con kiến đã bò được mấy lần quãng đường AB?
c) Tính độ dài quãng đường AB?
Bài giải
a.     1 lần quãng đường AB.
b.     3 lần quãng đường AB.
c.      AB = 18 m.
Từ khi gặp nhau ở C đến khi gặp nhau lần 2 ở D, Kiến đen và kiến đỏ đã đi thêm 2 lần quãng đường AB. Kiến đỏ đi hết quảng đường là:   7 x 2 + CD = 14 + CDKiến đen đi hết quãng đường là: 3 x 2 + CD =   6 + CD.Như vậy trong hai lần quãng đường AB kiến đỏ đi nhiều hơn kiến đen là:(14 + CD) – (6 + CD) = 8 mMột lần quãng đường AB kiến đỏ đi hơn kiến đen là:8 : 2 = 4 (m)Quãng đường kiến đỏ đi từ B đến C lúc đầu là:7 + 4 = 11 (m)Quãng đường AB là: 7 + 11 = 18 (m) 
Bài 10: Chu vi hình Chữ nhật là 110m.Tính diện tích hình Chữ nhật, biết rằng nếu bớt 2/3 chiều dài và 3/5 chiều rộng thì sân trường là hình vuông.
Bài giải
Số phần còn laị của chiều dài là : 1 - 2/3 = 1/3
Số phần còn lại của chiều rộng là : 1 - 3/5 = 2/5
Mà 1/3 chiều dài = 2/5 chiều rộng, suy ra 2/6 chiều dài = 2/5 chiều rộng
Giá trị một phần là : 110 : (5 + 6) = 10 (m)
Chiều rộng : 10 x 5 = 50 (m)
Chiều dài : 10 x 6 = 60 (m)
Diện tích : 50 x 60 = 300 (m2)
Bài 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng hai lần tích hai chữ số bằng số đó
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab. Ta có 2 x a x b = 10 x a + b. Số phải tìm phải là số chia hết cho hai. điều kiện 1 < a, b < 9. Vậy số phải tìm là số 36. 
Bài 2: Thay mỗi dấu sao (*) và chữ X bằng một chữ số, trong đó các chữ X biểu thị cùng một chữ số :
(** x * + X) x X = 1977.
Bài giải
Để tích hai số tận cùng là 7 thì hai số đó phải tận cùng là 1 và 7 hoặc 9 và 3.
Vì 1977 không chia hết cho 7, 9 và X không thể là 1 vì (** x * + 1) x 1 không thể có kết quả là số có 4 chữ số. Vậy X = 3
Thay X = 3 ta có : (** x * + 3) x 3 = 1997
                                (** x * + 3)      = 1997 : 3
                                 (** x * + 3)      = 659
                                   ** x *             = 659 - 3
                                   ** x *             = 656
** lớn nhất = 99 suy ra * > 6 
Mà  * không thể là 7 và 9 vì 656 không chia hết cho 7 và 9.
Suy ra * = 8 và ** = 656 : 8 = 82.
Do đó biểu thức phải tìm là : (82 x 8 + 3) x 3=1977
Bài 4 
Số A = 123456789101112.......... được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Chữ số thứ 2010 từ trái sang phải của số A là chữ số mấy?
Bài giải
Để viết các số có 1 chữ số từ 1 ta cần 9 chữ số.
Để viết các số có 2 chữ số từ 10 đến 99 ta cần 90 x 2 = 180 chữ số
Chữ số còn lại để viết các số có 3 chữ số là : 2010 - 9 - 180 = 1821 (chữ số)
1821 chữ số sẽ viết được số các số có 3 chữ số là : 1821 : 3 = 607 (số)
Chữ số thứ 2010 là số : 99 + 607 = 706.
Vậy chữ số thứ 2010 là chữ số 6 trong số 706.
Bài 5 
Để cưa một thanh gỗ làm 2 đoạn người ta mất thời gian là 15 phút. Hỏi để cưa thanh gỗ đó thành 8 đoạn cần bao lâu thời gian. Biết tốc độ cưa như nhau và người ta nghỉ 5 phút sau mỗi lần cưa.
Bài giải
Vậy thời gian cưa cần tìm là:
15x7+5x6=135 (phút)
Bài 6 
Với bốn chữ số a, b, 1, 2, bạn Thủy viết được 18 số có ba chữ số. Khi tính tổng các số đã viết thì được 6440. Tìm chữ số a, b.
Bài giải
Trong 2 chữ số a ; b có một chữ số = 0 vì nếu cả 2 chữ số > 0 thì từ 4 chữ số nêu trên sẽ viết được 4 x 3 x 2 = 24 số có 3 chữ số
- Giả sử b= 0 ta có :
+ 18 số viết được chí làm 3 nhóm mà mỗi chữ số 1 ; 2 ; a xuất hiện ở hàng trăm mỗi số 6 lần (chữ số b = 0 không thể đứng hàng trăm)
+ Mặc khác mỗi chữ số 0 xuất hiện tại hàng chục và hàng đơn vị 6 lần (xuất hiện trong 3 nhóm mỗi nhóm 2 lần) và chữ số  a ; 1 ; 2 sẽ đều đặn hàng chục và hàng đơn vị 4 lần (Xuất hiện trong 2 nhóm mỗi nhóm 2 lần vì trừ 1 nhóm chữ số đó đã xuất hiện ở hàng trăm nên không thể xuất hiện ở hàng chục và đơn vị)
Vậy ta có (1 + 2 + a) x 100 x 6 + (1 + 2 + a) x 10 x 4 + (1 + 2 + a) x 4 = 6440
              3 x 600 + 3 x 40 + 3 x 4 + 600 x a + 40 X a + 4 x a = 6440
                                                                   1932 + 644 x a =  6440
                                                                                       a = (6440 - 1932) : 644
                                                                                       a = 7
Vậy nếu b = 0 thì a = 7
(Tương tự) Nếu a = 0 thì b = 7
Bài 7 
Hồng đố bạn bài toán sau:
PHÚ PHÚ PHÚ - YÊN YÊN YÊN  = 28 861 969
Hồng nói: "Biết rằng các chữ khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau. Các cậu hãy điền vào các chữ số thích hợp.Đố các cậu bài toán có giải được không ?"
Tuy nói : "Được", Hòa nói :"Không".
Hỏi ai nói đúng ? Vì sao ?
Bài giải
Chu Quý nói đúng: ta có : PHÚPHÚPHÚ-YÊNYÊNYÊN=1001001x(PHÚ-YÊN). Sô này chia hết cho 3 mà hiệu thì không chia hết cho 3
Bài 8
Cho hình vuông ABCD có diện tích là 2010 cm2.
Tính diện tích phần hình đã được tô màu
(như hình vẽ bên).
Bài giải
Nhận xét :
Phần hình được tô đậm chính là do một phần của 4 nửa hình tròn nằm chồng lên nhau.
1/2 cạnh hình vuông chính là bán kính hình tròn.
Diện tích 1/4 hình vuông (hay r x r) là :
      2010 : 4 = 502,5 (cm2)
Diện tích 4 nửa hình tròn :
          502,5 x 3,14 x 2 = 3155,7 (cm2)
Số diện tích tăng lên là do phần được tô đậm nằm chồng lên nhau 2 lần.
Vậy diện tích phần tô đậm là :
         3155,7 – 2010 =  1145.7(cm2)
Bài 9: Mặt trời rạng đông. Rủ nhau đi hái trái bồng. Người 5 quả, thừa 5 quả. Người 6 quả, 1 người không. Hỏi mấy người, mấy quả?
Bài giải
Theo đề bài: số quả phải vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 6. Vậy số quả có thể là: 30, 60, 90, ...
Để chia: người 5 quả, thừa 5. Người 6 quả, 1 người không thì số quả phải là 60.
=> số người:11 người.
Bài 10 (toán cổ) 
100 bó cỏ, 100 con trâu.
Trâu đứng ăn 5,
Trâu năm ăn 3,
Lụ khụ trâu già 3 con 1 bó.
Hỏi có bao nhiêu con trâu mỗi loại?
Bài giải
Gọi số trâu đứng là a ; trâu nằm là b và trâu già là c
Số cỏ : a x 5 + b x 3 + c/3 = 100 (1)
Hay 15 x a + 9 x b + c = 300 (Nhân cả 2 vế biểu thức (1) với 3)
       14 x a + 8 x b + (a + b + c) = 300 (1)
Mặt khác ta có số trâu : a + b + c = 100 (2)
Thay (2) vào (1) ta được 14 x a + 8 x b + 100 = 300
                                            14 x a + 8 x b  = 200 (cùng bớt 2 vế đi 100)
                                               7 x a + 4 x b = 100 (3)
b nhỏ nhất = 1 suy ra a < 13  mà 4 x b chia hết cho 4 và 100 cũng chia hết cho 4 nên 7 x a cũng chia hết cho 4 suy ra a chia hết cho 4. a = 4 ; 8 ; 12 
- Nếu a = 4 thì b = 18 (căn cứ (3)) và c = 78
- Nếu a = 8 thì b = 11 .............         c = 81
- Nếu a = 12 thì b = 4 ............          c = 84
Sau khi thử lại với biểu thức (1) ta kết luận 3 đáp số trên là thỏa mãn với đk của đề bài