Toán 5 - Tính độ dài quãng đường trong bài toán chuyển động đều

225 (vì 9 x 25 = 225). Số cừu sau khi thêm 6 con phải lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006. Do vậy số cừu sau khi thêm có thể là 4950 con, 4725 con, 4500 con. Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn dư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài. Vậy số cừu hiện có của anh là : 4725 - 6 = 4719 (con). 
Trên đây là 4 ví dụ tiêu biểu mà khi giải phải vận dụng một số tính chất chia hết. Những tính chất này không có trong chương trình cơ bản của tiểu học. Tuy nhiên ta dễ dàng tìm thấy nó qua các bài toán. Học toán chúng ta cần phải tìm tòi, sáng tạo và vận dụng kiến thức được học một cách linh hoạt mới thấy được vẻ đẹp của toán học phải không các bạn ? Hi vọng bài viết này là một kinh nghiệm nhỏ giúp các bạn học tốt hơn. 
Phan Duy Nghĩa 
(Xóm 9, Đức Lâm, Đức Thọ, Hà Tĩnh)
TÍNH ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG 
TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Chúng ta biết rằng, trong bài toán chuyển động đều, khi quãng đường không đổi, vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Vậy chúng ta vận dụng điều kiện này vào việc tính độ dài quãng đường trong các bài toán chuyển động đều như thế nào ? Hãy cùng tìm hiểu qua các bài toán sau : 
Bài toán 1 : Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ. Sau đó đi từ B về A với vận tốc 45 km/giờ. Tính quãng đường AB biết thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B là 40 phút. 
Phân tích : Ô tô đi từ A đến B sau đó lại từ B về A nên quãng đường đi và quãng đường về bằng nhau. Quãng đường như nhau nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Bài toán đã cho biết vận tốc khi đi và vận tốc khi về. Dựa vào đó ta có thể xây dựng mối quan hệ giữa thời gian đi và thời gian về rồi từ đó tìm ra đáp số của bài toán. 
Giải : Tỉ số giữa vận tốc đi và vận tốc về trên quãng đường AB là : 
30 : 45 = 2/3. 
Vì quãng đường như nhau nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó tỉ số thời gian đi và thời gian về là 3/2. 
Ta có sơ đồ : 
Thời gian đi từ A đến B là : 
40 x 3 = 120 (phút) 
Đổi 120 phút = 2 giờ 
Quãng đường AB dài là : 
30 x 2 = 60 (km) 
Bài toán 2 : Một ô tô dự định đi từ C đến D trong 3 giờ. Do thời tiết xấu nên vận tốc của ô tô giảm 14 km/giờ và vì vậy đến D muộn 1 giờ so với thời gian dự định. Tính quãng đường CD. 
Phân tích : Bài toán này khác với bài toán trước ở chỗ bài trước cho biết vận tốc đi và về, ta đi tìm tỉ số thời gian đi và về. Bài này cho biết thời gian dự định và thời gian thực đi, ta tìm tỉ số vận tốc dự định và vận tốc thực đi. Đưa bài toán về dạng toán tìm hai số biết hiệu và tỉ để giải. 
Giải : Thời gian ô tô thực đi quãng đường CD là : 3 + 1 = 4 (giờ) 
Tỉ số giữa thời gian dự định và thời gian thực đi là 3 : 4 = 3/4. 
Vì quãng đường CD không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Do đó tỉ số vận tốc dự định (vdự định) và vận tốc thực đi (vthực đi) là 4/3. 
Nếu vdự định và vthực đi tính theo đơn vị km/giờ thì ta có sơ đồ sau : 
Vận tốc dự định đi quãng đường CD là : 14 x 4 = 56 (km/giờ) 
Quãng đường CD dài là : 
56 x 3 = 168 (km). 
Bài toán 3 : Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 5 giờ và ngược dòng từ B về A hết 6 giờ. Tính khoảng cách AB biết vận tốc dòng nước là 3 km/giờ. 
Phân tích : Đây là bài toán chuyển động trên dòng nước. Ngoài giả thiết mà bài toán đã cho, chúng ta cần biết thêm kiến thức về chuyển động trên dòng nước như sau : 
Vận tốc xuôi dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước. 
Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dòng nước. 
Từ đó ta có : 
Vận tốc xuôi dòng - Vận tốc ngược dòng = 2 x Vận tốc dòng nước. 
Bài toán này cho biết vận tốc dòng nước nên ta tính được hiệu vận tốc xuôi dòng và ngược dòng. Biết thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng ta dựa vào đó tìm tỉ số vận tốc và đưa về dạng toán tìm 2 số biết hiệu và tỉ. 
Giải : 
Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng chính là 2 lần vận tốc dòng nước nên hiệu đó là : 3 x 2 = 6 (km/giờ) 
Tỉ số thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng là 5 : 6 = 5/6. 
Vì quãng đường không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó tỉ số vận tốc xuôi dòng và ngược dòng là 6/5. 
Ta có sơ đồ : 
Vận tốc xuôi dòng là : 
6 x 6 = 36 (km/giờ) 
Quãng đường AB là : 
36 x 5 = 180 (km). 
Ba bài toán trên còn có những cách giải khác, nhưng tôi chỉ trình bày một cách đặc trưng cho mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian khi quãng đường không đổi. Bạn đọc hãy tìm cách giải khác và giải tiếp các bài toán sau đây để thử sức mình nhé. 
Bài 1 : Một người đi xe máy từ A đến B. Nếu đi với vận tốc 25 km/giờ thì đến B chậm 2 giờ, nếu đi với vận tốc 30 km/giờ thì đến B chậm mất 1 giờ. Tính quãng đường AB. 
Bài 2 : Một người đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội với vận tốc 50 km/giờ. Sau đó người đó đi từ Hà Nội về Thanh Hóa với vận tốc 30 km/giờ. Tổng thời gian cả đi lẫn về (không kể thời gian nghỉ) là 512 phút. Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hóa. 
Bài 3 : Một ca nô xuôi dòng hết 2 giờ 30 phút và ngược dòng hết 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài đoạn sông biết vận tốc dòng nước là 3 km/giờ. 
PHƯƠNG PHÁP ... DIỆN TÍCH ?
Kí hiệu : Diện tích của hình (P) là dt (P).
Cạnh đáy của tam giác (Q) là c.đáy (Q).
Chiều cao của tam giác (Q) là c.cao (Q).
Khi gặp các bài toán khó về diện tích (dt) các hình, đặc biệt là các bài toán liên quan đến dt tam giác, chúng ta thường lúng túng không biết xoay sở thế nào, nên bắt đầu từ đâu. Để giải tốt loại toán này các em cần nắm vững và vận dụng linh hoạt các kiến thức sau :
1. Nếu hình (P) không thể tính được trực tiếp diện tích thì để tính dt (P) ta có thể làm theo các cách sau :
- Chia hình (P) thành các hình dễ tính dt hơn, tính dt các hình đó rồi cộng lại.
- Bổ sung vào hình (P) một số hình (dễ tính được dt) để được hình (Q) dễ tính dt hơn, rồi lấy dt (Q) trừ đi dt của các hình đã bổ sung.
2. Nếu hai tam giác (P) và (Q) có :
- Chung c.đáy hoặc hai c.đáy bằng nhau và c.cao (P) = k x c.cao (Q) thì dt (P) = k x dt (Q).
- Chung c.đáy hoặc hai c.đáy bằng nhau và dt (P) = k x dt (Q) thì c.cao (P) = k x c.cao (Q).
- Chung c.cao hoặc hai c.cao bằng nhau và c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) thì dt (P) = k x dt (Q).
- Chung c.cao hoặc hai c.cao bằng nhau và dt (P) = k x dt (Q) thì c.đáy (P) = k x c.đáy (Q).
Sau đây là một số ví dụ :
Ví dụ 1 : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của AB và CD. Nối DM, BN cắt AC tại I và K. Chứng tỏ rằng AI = IK = KC.
Giải : (ở bài này ta cần vận dụng mối quan hệ giữa diện tích, c.đáy và c.cao của tam giác)
Ta có : dt (ABC) = 2 x dt (AMD) (vì AB = 2 x AM và AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC và c.cao cùng bằng BC)
Suy ra dt (DCM) = 2 x dt (AMD). Gọi CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác DCM và DAM xuống đáy DM, khi đó CH = 2 x AE. Nhưng CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác ICM và IAM có chung cạnh đáy IM. Vậy dt (ICM) = 2 x dt (IAM). Mà tam giác IAM và ICM chung chiều cao từ M, do đó IC = 2 x AI, suy ra AC = 3 x AI hay AI = 1/3 AC.
Làm tương tự với các cặp tam giác ABN và CBN ; KCN và KAN ta có KC = 1/3 AC. Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy ra IK = 1/3 AC.
Do đó AI = IK = KC.
Chú ý : ở đây để chứng tỏ các đoạn thẳng bằng nhau ta phải chứng tỏ các tam giác có chung chiều cao và diện tích bằng nhau.
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC, gọi các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho : AB = 3 x AM, AC = 3 x AN. Gọi I là điểm chính giữa của cạnh BC.
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BMNC là hình thang và BC = 3 x MN.
b) Chứng tỏ rằng các đoạn thẳng BN, CM, AI cùng cắt nhau tại một điểm.
Giải :
a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.
Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó BMNC là hình thang.
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN).
Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).
Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.
b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).
Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt (BCO) = 2 x dt (BAO)
Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).
Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt nhau tại điểm O.
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M là điểm chính giữa của cạnh BC và N nằm trên cạnh AC sao cho NC = 2 x NA. Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài tại P.
a) Chứng tỏ rằng AB = AP.
b) Gọi Q là điểm chính giữa của PC. Chứng tỏ rằng ba điểm B, N, Q cùng nằm trên một đường thẳng.
c) Hãy so sánh : PN và NM ; BN và NQ.
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC
Phương pháp tính ngược từ cuối được dùng để giải nhiều bài toán vui và toán cổ ở tiểu học. Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải một cách ngắn gọn, chặt chẽ và tường minh. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? 
Giải: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: 
Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là: 
Số cam viên quan phải hái trong vườn là: ... 2 = 6 (giờ)
Do đó quãng đường AB dài : 15 x 8 = 120 (km)
Thời gian người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là 2 giờ. Ta thử tính xem trong 1 km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất bao lâu ? Từ đó sẽ tìm được quãng đường AB. Ta có cách làm thứ 5.
Cách 5 : Cứ 1 km người thứ nhất đi hết 1/15 giờ ; 1km người thứ hai đi hết 1/20 giờ
Trong 1 km người thứ hai đi ít hơn người thứ nhất là : 1/15 - 1/20 = 1/60 (giờ)
Vậy quãng đường AB dài : 2 : 1/15 = 120 (km)
Ta có thể giả thiết (gọi) thời gian đi của người thứ nhất, người thứ hai để có cách nào làm khác 
Cách 6 : Gọi thời gian đi của người thứ nhất là x (giờ) thì thời gian đi của người thứ hai là x - 2 (giờ)
Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x
20 x x - 40 = 15 x x
20 x x - 15 x x = 40
15 x x = 40 
x = 8
Vậy quãng đường AB dài: 15 x 8 = 180 (km)
Cách 7 : Tương tự như cách 6 ta gọi thời gian đi của người thứ hai là y (giờ) thì thời gian đi của người thứ nhất là y+2 (giờ). Ta có 20 x y =15 x (y + 2) 
Ta tìm được y = 6 và quãng đường AB dài 20 x 6 = 120 (km). Hãy áp dụng một cách sáng tạo có cơ bản để tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán. Luôn cố gắng tìm tòi để giỏi hơn.
Bài tập áp dụng. Một chiếc ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B hết 4 giờ. Nếu trong mỗi giờ chiếc ôtô này đi thêm được 14 km thì thời gian đi từ A đến B chỉ mất 3 giờ. Hãy tính khoảng cách giữa hai tỉnh A và B.
(Đáp số : 168 km)
Nguyễn Viết Chiến (Xóm 3, Gia Khánh, Gia Lộc, Hải Dương)
PHÉP PHẢN CHỨNG ...THÚ VỊ!
Trong môn toán tiểu học, việc tìm ra lời giải của những bài toán khó luôn là điều thú vị đối với học sinh. Tuy nhiên, nếu chúng ta biết được một phương pháp để áp dụng cho một loạt các bài toán có dạng tương tự cũng là điều lý thú và bổ ích. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu phương pháp phản chứng để bạn đọc cùng tham khảo. 
Ví dụ 1: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 2002) 
An có 13 hộp bi mà tổng số bi trong ba hộp bất kỳ là một số lẻ. Hỏi tổng số bi trong cả 13 hộp có là một số lẻ không? Vì sao? 
Lời giải: Giả sử trong 13 hộp bi đã cho tồn tại ít nhất một hộp có số bi là chẵn. Kết hợp hộp bi chẵn đó với 2 hộp lẻ bất kỳ ta có tổng số bi của 3 hộp là số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn) 
Điều này trái với đề bài là tổng số bi ở 3 hộp bất kỳ là một số lẻ. Vậy điều giả sử của chúng ta là sai. 
Như vậy tất cả 13 hộp bi đều là số lẻ trong mỗi hộp. Suy ra tổng số bi trong 13 hộp là một số lẻ. 
Phân tích: Qua lời giải bài toán trên, ta thấy xuất phát từ đề bài cho 3 hộp bi bất kỳ có tổng số bi là lẻ, như vậy chỉ có hai khả năng xảy ra: 
Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ 
Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ 
Trường hợp 1 ta suy ra số bi trong mỗi hộp là số lẻ nên tổng số bi của 13 hộp là số lẻ. 
Trường hợp 2 ta lấy một hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ được kết quả là số chẵn suy ra trái với đề bài là tổng số bi của 3 hộp bất kỳ là số lẻ. 
Từ nhận xét đó thấy rằng nếu ta chỉ ra được một hộp bất kỳ có số bi chẵn thì không thỏa mãn đề bài (lời giải trên). 
Như vậy phương pháp phản chứng là phép suy luận dựa trên nhận xét: “Nếu như từ một điều A nào đó mà bằng suy diễn ta rút ra được một điều vô lý, thì điều A là sai hay điều trái ngược với A là đúng”. 
Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quận Phú Nhuận, TP. Hồ Chí Minh 1992) 
Hãy chứng tỏ rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10. 
Lời giải: Giả sử trong 11 số tự nhiên đã cho không có hai số nào có hiệu chia hết cho 10. Đem 11 số đó lần lượt chia cho 10 ta được 11 số dư nằm trong khoảng từ 0 đến 9. Do điều giả sử trên nên 11 số dư này phải đôi một khác nhau, vì nếu có hai số dư nào đó bằng nhau thì hiệu của hai số bị chia sẽ chia hết cho 10 (điều này trái với điều giả sử ban đầu). Vậy trong khoảng từ 0 đến 9 phải có 11 số tự nhiên khác nhau. Điều này vô lý vì từ 0 đến 9 chỉ có tất cả 10 số tự nhiên. 
Từ đó chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai. Vậy trong 11 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10. 
Qua hai ví dụ trên chúng ta thấy phép phản chứng không phải là công cụ quá khó để tìm ra lời giải của bài toán. Bằng cách tương tự xin mời các bạn đưa ra lời giải bài toán sau: 
Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi đấu bóng bàn giành được ba giải nhất, nhì, ba. 
Bạn Tùng nói: Tôi được giải nhì còn bạn Trang được giải nhất. 
Bạn Trang nói: Tôi được giải nhì còn bạn Linh được giải nhất. 
Bạn Linh nói: Bạn Tùng được giải nhất còn bạn Trang được giải ba. 
Biết rằng mỗi câu nói của mỗi bạn đều có một phần đúng và một phần sai. Hỏi bạn nào được giải nào? 
TH.S Phùng Như Thụy
(Trường Bồi dưỡng Cán bộ Giáo dục Hà Nội, 67B Cửa Bắc, Hà Nội)
TÌM HIỂU THÊM BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM
Bài toán 1 : Tìm tỉ số phần trăm của hai số.
Ví dụ : Lớp 5A có 25 học sinh. trong đó có 13 học sinh nữ. Hỏi số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh lớp 5A ?
Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh lớp 5A là : 
13 : 25 = 0,52 = 52%.
Ngoài cách trên có thể lập tỉ số của số học sinh nữ và số học sinh lớp 5A :
Bài toán 2 : Tìm a% của một số A cho trước.
Ví dụ : Lãi suất tiết kiệm là 0,5% một tháng. Một người gửi tiết kiệm 1000000 đồng. Tính số tiền lãi sau một tháng.
Tiền lãi sau một tháng là :
1000000 x 0,5 : 100 = 5000 (đồng).
Ngoài cách trên có thể lập tỉ số của số tiền lãi và số tiền gửi : 
Bài toán 3 : Tìm số A biết a% của số đó.
Ví dụ : Năm vừa qua một nhà máy chế tạo được 1800 xe đạp. Tính ra nhà máy đã đạt 120% kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch, nhà máy dự định sản xuất bao nhiêu xe đạp ?
Số xe đạp nhà máy dự định sản xuất là :
1800 : 120 x 100 = 1500 (xe đạp).
Ngoài cách trên có thể lập tỉ số của số xe đã làm và số xe dự định làm :
Hoặc : 
Từ cách trình bày trên, có thể thấy : Bài toán 2 và bài toán 3 đều là bài toán “ngược” với bài toán 1
Bài toán 2 : Biết tỉ số của hai số và số thứ hai. Tìm số thứ nhất.
Bài toán 3 : Biết tỉ số của hai số và số thứ nhất. Tìm số thứ hai.
Khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm có thể đưa về các dạng của ba bài toán cơ bản trên.
Ví dụ 1 : Giá gạo tháng ba tăng 10% so với tháng hai, giá gạo tháng tư giảm 10% so với tháng ba. Hỏi giá gạo tháng tư tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với tháng hai ?
Các bước giải :
Bước 1. Giá gạo tháng ba so với tháng hai : 100% + 10% = 110%
Bước 2. Giá gạo tháng 4 so với tháng ba : 100% - 10% = 90%
Bước 3. Giá gạo tháng 4 so với tháng hai : 110% x 90% = 99%
Bước 4. Giá gạo tháng 4 giảm so với tháng hai : 100% - 99% = 1%
Theo cách giải này, ở bước 3 đã vận dụng bài toán cơ bản 2 (tìm 90% của 110%)
Ngoài cách giải trên có thể trình bày cách giải sau :
Bước 1. Tỉ số của giá gạo tháng 2 và tháng 3: hay: giá tháng 2 = giá tháng 3. 
Bước 2. Tỉ số của giá gạo tháng 4 và tháng 3: hay: giá gạo tháng 4 = giá gạo tháng 3. 
Bước 3. Tỉ số giá gạo tháng 4 và tháng 2 : hay giá gạo tháng 4 bằng 99% giá gạo tháng 2.
Bước 4. Giá gạo tháng 4 giảm so với tháng 2 : 100% - 99% = 1%
Ví dụ 2 : Lượng nước trong hạt tươi là 15%, trong đó hạt khô là 5%. Hỏi 200 kg hạt tươi sau khi phơi khô cho bao nhiêu kg hạt khô ? 
Các bước giải : 
Bước 1. Tìm lượng hạt trong 200 kg hạt tươi ?
200 x (100% - 15%) = 170 (kg)
Bước 2. Tìm lượng hạt khô thu được ?
170 : (100% - 5%) = (kg) (*)
Lời bình : ở bước 1 đã vận dụng bài toán cơ bản 2 (tìm 85 % của 200 kg) ; ở bước 2 đã vận dụng bài toán cơ bản 3 (tìm một số biết 95 % của nó là 170 kg).
Bạn đọc có thể tham khảo một hướng giải sau đây :
Lượng hạt khô (tìm số bị chia) = 
Vậy lượng hạt khô thu được là : 
Với bài toán về tỉ số phần trăm, có thể vận dụng trực tiếp ba bài toán cơ bản hoặc có thể dùng phương pháp lập tỉ số để giải các bài toán đó.
(*) Tác giả xin cáo lỗi đã giải sai bài này trong TTT số 29.
LTS : Trên diễn đàn của website : toantuoitho.nxbgd.com.vn, bạn Trương Thị Nhàn , 168/1/8 Hồng Mai, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội (conhandongtam) cũng đã chỉ ra lời giải sai ví dụ 2 (TTT số 29) và đưa ra lời giải đúng. 
Cảm ơn bạn. 
VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN
Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy rằng các em thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. 
Sau đây chúng ta thử làm quen với bài toán sau và vận dụng nó để giải một số bài toán khác. 
Bài toán: Cho hình thang ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. Hãy chứng tỏ rằng:
SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC 
(ở đây ta kí hiệu: S là diện tích; SABD: đọc là diện tích tam giác ABD ...) 
Giải: (hình 1) 
Ta có: a) SABD = SABC (vì cùng chung đáy AB và có đường cao bằng đường cao của hình thang) 
b) SCDB = SCDA (vì cùng chung đáy CD và có đường cao bằng đường cao của hình thang) 
c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB 
Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt 2 vế đi SAOB) 
Bây giờ chúng ta vận dụng ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau nói trên để giải bài toán sau: 
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC sao cho MB < MC. Qua M hãy kẻ một đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Giải: Vì MB < MC, khi đó ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC của tam giác ABC. 
Cách 1: Gọi O là điểm chính giữa của BC. Nối AM, AO. Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC tại N. Ta có đường thẳng qua M, N là đường thẳng cần kẻ. (hình 2) 
Thật vậy: Tứ giác ANOM là hình thang nên SAIN = SMIO. 
Mặt khác: 
SAOC = 1/2. SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN 
Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài tại D. Gọi N là điểm chính giữa của đoạn thẳng CD. Đường thẳng qua M, N là đường thẳng cần kẻ. (hình 3) 
Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD là hình thang nên 
SABM = SADM suy ra SABC = SDMC = SAMC + SAMD và vì M là điểm chính giữa của CD nên 
SDMN = SCMN = 1/2. SABC 
Các bạn có thể giải được các bài toán sau đây không? 
Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD. Hãy tìm điểm M trên cạnh của tứ giác ABCD sao cho khi nối AM thì đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm bất kì trên BC, qua M hãy kẻ 1 đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần này gấp 4 lần phần kia. 
Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M là điểm bất kì trên AB. Tìm điểm N trên cạnh của tứ giác để khi nối M với N thì đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
Lê Trọng Châu 
(Giáo viên Trường THCS Bình Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh)