Toán nâng cao lớp 4 - Bài 41: Phép phản chứng

PHÉP PHẢN CHỨNG ...THÚ VỊ!
Trong môn toán tiểu học, việc tìm ra lời giải của những bài toán khó luôn là điều thú vị đối với học sinh. Tuy nhiên, nếu chúng ta biết được một phương pháp để áp dụng cho một loạt các bài toán có dạng tương tự cũng là điều lý thú và bổ ích. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu phương pháp phản chứng để bạn đọc cùng tham khảo. 
Ví dụ 1: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 2002) 
An có 13 hộp bi mà tổng số bi trong ba hộp bất kỳ là một số lẻ. Hỏi tổng số bi trong cả 13 hộp có là một số lẻ không? Vì sao? 
Lời giải: Giả sử trong 13 hộp bi đã cho tồn tại ít nhất một hộp có số bi là chẵn. Kết hợp hộp bi chẵn đó với 2 hộp lẻ bất kỳ ta có tổng số bi của 3 hộp là số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn) 
Điều này trái với đề bài là tổng số bi ở 3 hộp bất kỳ là một số lẻ. Vậy điều giả sử của chúng ta là sai. 
Như vậy tất cả 13 hộp bi đều là số lẻ trong mỗi hộp. Suy ra tổng số bi trong 13 hộp là một số lẻ. 
Phân tích: Qua lời giải bài toán trên, ta thấy xuất phát từ đề bài cho 3 hộp bi bất kỳ có tổng số bi là lẻ, như vậy chỉ có hai khả năng xảy ra: 
Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ 
Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ 
Trường hợp 1 ta suy ra số bi trong mỗi hộp là số lẻ nên tổng số bi của 13 hộp là số lẻ. 
Trường hợp 2 ta lấy một hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ được kết quả là số chẵn suy ra trái với đề bài là tổng số bi của 3 hộp bất kỳ là số lẻ. 
Từ nhận xét đó thấy rằng nếu ta chỉ ra được một hộp bất kỳ có số bi chẵn thì không thỏa mãn đề bài (lời giải trên). 
Như vậy phương pháp phản chứng là phép suy luận dựa trên nhận xét: “Nếu như từ một điều A nào đó mà bằng suy diễn ta rút ra được một điều vô lý, thì điều A là sai hay điều trái ngược với A là đúng”. 
Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quận Phú Nhuận, TP. Hồ Chí Minh 1992) 
Hãy chứng tỏ rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10. 
Lời giải: Giả sử trong 11 số tự nhiên đã cho không có hai số nào có hiệu chia hết cho 10. Đem 11 số đó lần lượt chia cho 10 ta được 11 số dư nằm trong khoảng từ 0 đến 9. Do điều giả sử trên nên 11 số dư này phải đôi một khác nhau, vì nếu có hai số dư nào đó bằng nhau thì hiệu của hai số bị chia sẽ chia hết cho 10 (điều này trái với điều giả sử ban đầu). Vậy trong khoảng từ 0 đến 9 phải có 11 số tự nhiên khác nhau. Điều này vô lý vì từ 0 đến 9 chỉ có tất cả 10 số tự nhiên. 
Từ đó chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai. Vậy trong 11 số tự nhiên bất kỳ phải có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10. 
Qua hai ví dụ trên chúng ta thấy phép phản chứng không phải là công cụ quá khó để tìm ra lời giải của bài toán. Bằng cách tương tự xin mời các bạn đưa ra lời giải bài toán sau: 
Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi đấu bóng bàn giành được ba giải nhất, nhì, ba. 
Bạn Tùng nói: Tôi được giải nhì còn bạn Trang được giải nhất. 
Bạn Trang nói: Tôi được giải nhì còn bạn Linh được giải nhất. 
Bạn Linh nói: Bạn Tùng được giải nhất còn bạn Trang được giải ba. 
Biết rằng mỗi câu nói của mỗi bạn đều có một phần đúng và một phần sai. Hỏi bạn nào được giải nào? 
TH.S Phùng Như Thụy
(Trường Bồi dưỡng Cán bộ Giáo dục Hà Nội, 67B Cửa Bắc, Hà Nội)