Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 4, 5 - Dạng 3: Loại toán giải bằng phương pháp tính ngược

PHẦN II
3. LOẠI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC.
Mẫu 1: 
Tìm một số biết rằng nếu đem số đó chia cho 3, được bao nhiêu trừ đi 2 thì còn 7.
Hướng dẫn: 
 Ta có sơ đồ:
7
 : 3 - 2
 A B C
Biết rằng C = 7 ta có thể đi ngược lại để tìm A bằng cách đảo ngược các phép tính:
- 2 thành + 2 , : 3 thành x 3
như sau: 7 + 2 = 9 (Điền 9 vào vòng tròn B)
 9 x 3 = 27 (Điền 27 vào vòng tròn A)
Ta thấy số phải tìm là 27.
Ta có thể giải dựa vào sơ đồ đoạn thẳng:
Tóm tắt:
7
2
Giải:
Số phải tìm chia cho 3 thì được: 7 + 2 = 9
Số phải tìm là: 9 x 3 = 27
Đáp số: 27
Mẫu 2: 
Cả Hùng và Dũng có 32 hòn bi. Nếu Hùng cho Dũng 4 hòn bi thì số bi của hai bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu hòn bi?
Giải:
Cách 1: ( P.P tính ngược)
Sau khi cho nhau, mỗi bạn đều có: 32 : 2 = 16 (hòn bi)
Lúc đầu Hùng có: 16 + 4 = 20 (hòn bi)
Lúc đầu Dũng có: 16 - 4 = 12 (hòn bi)
Đáp số: 20 hòn bi và 12 hòn bi.
Cách 2: ( D.T tổng – hiệu)
Số bi Hùng hơn Dũng là: 4 x 2 = 8 (hòn bi)
Lúc đầu Hùng có: (32 + 8) : 2 = 20 (hòn bi)
Lúc đầu Dũng có: (32 – 8) : 2 = 12 (hòn bi)
Đáp số: 20 hòn bi và 12 hòn bi.
Mẫu 3: 
Cả An và Bình có 48 hòn bi. Nếu An cho Bình 3 hòn bi và Bình cho An 1 hòn bi thì hai bạn có số bi bằng nhau. Hỏi trước khi cho nhau, mỗi bạn có bao nhiêu hòn bi?
Giải:
Cách 1: ( P.P tính ngược)
Sau khi cho nhau, mỗi bạn đều có: 48 : 2 = 24 (hòn bi)
Số bi của An trước khi cho là: 24 + (3 – 1) = 26 (hòn bi)
Số bi của Bình trước khi cho là: 48 – 26 = 22 (hòn bi)
Đáp số: An có 26 hòn bi, 
 Bình có 22 hòn bi.
Cách 2: ( D.T tổng – hiệu)
Số bi An hơn Bình là: (3 – 1) x 2 = 4 (hòn bi)
Số bi của An trước khi cho là: (48 + 4) : 2 = 26 (hòn bi)
Số bi của Bình trước khi cho là: 48 – 26 = 22 (hòn bi)
Đáp số: An có 26 hòn bi, 
 Bình có 22 hòn bi.
Mẫu 4*: 
Ba hoàng tử ba nước láng giềng muốn cầu hôn với công chúa. Vua cha đặt cho câu hỏi sau:
“Giỏ này đựng mận. Nếu ta cho hoàng tử thứ nhất một nửa số mận và thêm một quả, hoàng tử thứ hai một nửa số mận còn lại và thêm hai quả. Hoàng tử thứ ba một nửa số mận còn lại và thêm ba quả, thì giỏ mận sẽ không còn quả nào”.
Nếu ai tìm được lúc đầu trong giỏ có bao nhiêu quả mận thì sẽ được gặp mặt công chúa. Mấy chàng hoàng tử nọ nghĩ mãi không ra, em thử giải giúp xem?
Hướng dẫn: 
 Ta có sơ đồ:
 :2 -1 :2 -2 :2 -3
0
 A B C D E G H
Biết rằng H = 0 ta có thể đi ngược lại để tìm A bằng cách đảo ngược các phép tính: (- thành + , + thành - , x thành : , : thành x)
như sau: 0 + 3 = 3 (Điền 3 vào vòng tròn G)
 3 x 2 = 6 (Điền 6 vào vòng tròn E)
 6 + 2 = 8 (Điền 8 vào vòng tròn D)
 8 x 2 = 16 (Điền 16 vào vòng tròn C)
 16 + 1 = 17 (Điền 17 vào vòng tròn B)
 17 x 2 = 34 (Điền 34 vào vòng tròn A)
Vậy lúc đầu trong giỏ có 34 quả mận.
Giải:
Sau khi cho hoàng tử thứ hai, trong giỏ còn: (0 + 3) x 2 = 6 (quả mận)
Sau khi cho hoàng tử thứ nhất, trong giỏ còn: (6 + 2) x 2 = 16 (quả mận)
Lúc đầu trong giỏ có: (16 + 1) x 2 = 34 (quả mận)
Đáp số: 34 quả mận
Mẫu 5*: 
Có ba đội thiếu niên A, B, C với tổng số đội viên khoảng 40 đến 50 em. Để chuẩn bị tham gia lao động, nhà trường dự định chia lại số đội viên đó bằng cách chuyển từ đội A sang đội B một số đội viên bằng số đội viên của đội B, chuyển từ đội B sang đội C một số đội viên bằng số đội viên của đội C, chuyển từ đội C sang đội A một số đội viên bằng số đội viên còn lại của đội A. Sau ba lần chuyển như vậy thì số đội viên ở ba đội sẽ bằng nhau.
 Hãy tính số đội viên ở mỗi đội thiếu niên lúc chưa chuyển.
Giải:
Sau ba lần chuyển thì số đội viên ở ba đội bằng nhau nên tổng số đội viên phải chia hết cho 3. Từ 40 đến 50 chỉ có 42, 45 và 48 chia hết cho 3 nên tổng số đội viên chỉ có thể là 42 hoặc 45 hoặc 48. 
Mặc khác sau lần chuyển thứ ba thì số đội viên của đội A phải là số chẵn; sau lần chuyển thứ hai thì số đội viên của đội C phải là số chẵn.
Xét từng trường hợp:
Tổng số đội viên là 42:
Sau lần chuyển thứ ba thì số đội viên của mỗi đội có: 42 : 3 = 14 (bạn)
Sau lần chuyển thứ hai thì số đội viên của đội A có: 14 : 2 = 7 (bạn) và đội C có: 14 + 7 = 21 (bạn) không phải là số chẵn.
à Tổng số đội viên không thể là 42.
Tổng số đội viên là 45:
Sau lần chuyển thứ ba thì số đội viên của đội A có: 45 : 3 = 15 (bạn) không phải là số chẵn.
à Tổng số đội viên không thể là 45.
Tổng số đội viên là 48:
Sau lần chuyển thứ ba thì số đội viên của mỗi đội có: 48 : 3 = 16 (bạn)
Sau lần chuyển thứ hai thì số đội viên của đội A có: 16 : 2 = 8 (bạn) và đội C có: 16 + 8 = 24 (bạn).
Sau lần chuyển thứ nhất thì số đội viên của đội C có: 24 : 2 = 12 (bạn) còn đội B có: 16 + 12 = 28 (bạn).
Vậy: Lúc đầu đội B có : 28 : 2 = 14 (bạn)
 đội A có : 14 + 8 = 22 (bạn)
 đội C có : 12 bạn
BÀI TẬP:
Tìm một số biết rằng nếu nhân số đó với 4, được bao nhiêu cộng với 5 thì được 26.
Có một số người, mỗi người nuôi 7 con mèo. Mỗi con mèo ăn 7 con chuột, mỗi con chuột ăn 7 gié lúa, mỗi gié lúa có 7 hạt lúa. Người ta tính rằng đã tiết kiệm được 16807 hạt lúa không bị chuột phá hoại. Hỏi có mấy người.
Cả hai tay em cầm 28 que tính. Nếu bỏ bớt 3 que tính từ tay phải sang tay trái thì số que tính ở hai tay sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi tay có bao nhiêu que tính.
Hùng và Dũng có tất cả 48 cái tem. Nếu Hùng cho Dũng 5 cái tem thì Dũng sẽ có số tem nhiều gấp đôi Hùng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái tem?
Có hai sợi dây, sợi thứ nhất dài hơn sợi thứ hai 54m. Nếu cắt đi 12m ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất gấp 4 lần phần còn lại của sợi thứ hai. Tính chiều dài của mỗi sợi dây khi chưa bị cắt.
Lan và Phượng có tất cả 24 nhãn vở. Nếu Lan cho Phượng 5 cái nhãn vở và Phượng cho lại Lan 2 cái nhãn vở thì số nhãn vở của hai bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?
Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 36 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 7 cái, Đào cho hồng 5 cái, Hồng cho lại Lan 2 cái thì cuối cùng số kẹo của ba bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo?
Ba bạn Hằng, Hoa, Hạnh có tất cả 42 que tính. Nếu Hằng cho Hoa 3 que, Hoa cho Hạnh 5 que, Hạnh cho lại Hằng 4 que thì số que tính của Hằng sẽ gấp đôi của Hoa, số que tính của Hoa sẽ gấp đôi của Hạnh. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu que tính?
Một người bán trứng, lần thứ nhất bán ½ số trứng cộng với ½ quả, lần thứ hai bán ½ số trứng còn lại cộng ½ quả, lần thứ ba bán ½ số trứng còn lại cộng ½ quả. Cuối cùng trong rổ còn lại 4 quả. Hỏi lúc đầu trong rổ có bao nhiêu quả trứng?
 Trong ba đợt chiến đấu, một đơn vị bộ đội đã tiêu diệt hoàn toàn một tiểu đoàn quân xâm lược. Đợt 1 quân ta đã giết số quân giặc và bắt sống 15 tên; đợt 2 giết số còn lại và bắt sống 30 tên; đợt 3 giết số còn lại sau cả hai đợt và bắt sống nốt 52 tên còn lại của tiểu đoàn đó. Em hãy tính số quân giặc bị giết và bị bắt sống trong cả ba đợt chiến đấu.
Có hai bình nước đựng nước nhưng chưa đầy. Nếu đổ số nước ở bình thứ nhất sang bình thứ hai rồi đổ số nước hiện có ở bình thứ hai sang bình thứ nhất thì mỗi bình đều có 12 lít. Tính số nước có trong mỗi bình lúc đầu.
 Có ba bình nước đựng nước nhưng chưa đầy. Sau khi đổ số nước ở bình 1 sang bình 2, rồi đổ số nước hiện có ở bình 2 sang bình 3, cuối cùng đổ số nước hiện có ở bình 3 sang bình 1, thì mỗi bình đều có 9 lít. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước?
 Một cửa hàng muốn chuyển gạo từ kho A đến kho B theo kế hoạch sau:
Ngày thứ nhất chuyển 9 tấn và số gạo còn lại.
Ngày thứ hai chuyển 18 tấn và số gạo còn lại.
Ngày thứ ba chuyển 27 tấn và số gạo còn lại.
Cứ như thế cho đến khi hết gạo trong kho A. Biết rằng mỗi ngày đều chuyển được một số gạo như nhau. Hãy tính số ngày và số gạo chuyển đến kho B.
BÀI LÀM:
Tìm một số biết rằng nếu nhân số đó với 4, được bao nhiêu cộng với 5 thì được 26.
(5,25)
Có một số người, mỗi người nuôi 7 con mèo. Mỗi con mèo ăn 7 con chuột, mỗi con chuột ăn 7 gié lúa, mỗi gié lúa có 7 hạt lúa. Người ta tính rằng đã tiết kiệm được 16807 hạt lúa không bị chuột phá hoại. Hỏi có mấy người. (7 người)
Cả hai tay em cầm 28 que tính. Nếu bỏ bớt 3 que tính từ tay phải sang tay trái thì số que tính ở hai tay sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi tay có bao nhiêu que tính.
(17 que và 11 que)
Hùng và Dũng có tất cả 48 cái tem. Nếu Hùng cho Dũng 5 cái tem thì Dũng sẽ có số tem nhiều gấp đôi Hùng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái tem?
Giải: 
Sau khi Hùng cho Dũng ta có sơ đồ:
48 cái tem
Hùng:
Dũng:
Lúc đó Hùng có: 48 : (1 + 2) = 16 (cái)
Lúc đầu Hùng có: 16 + 5 = 21 (cái)
Lúc đầu Dũng có: 48 – 21 = 27 (cái)
Đáp số: Hùng 21 cái tem 
 Dũng 27 cái tem
Có hai sợi dây, sợi thứ nhất dài hơn sợi thứ hai 54m. Nếu cắt đi 12m ở mỗi sợi thì phần còn lại của sợi thứ nhất gấp 4 lần phần còn lại của sợi thứ hai. Tính chiều dài của mỗi sợi dây khi chưa bị cắt.
(84m và 30m)
Lan và Phượng có tất cả 24 nhãn vở. Nếu Lan cho Phượng 5 cái nhãn vở và Phượng cho lại Lan 2 cái nhãn vở thì số nhãn vở của hai bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu nhãn vở?
(Lan 15 cái – Phượng 9 cái))
Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 36 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 7 cái, Đào cho hồng 5 cái, Hồng cho lại Lan 2 cái thì cuối cùng số kẹo của ba bạn sẽ bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo?
(17 – 10 – 9)
Ba bạn Hằng, Hoa, Hạnh có tất cả 42 que tính. Nếu Hằng cho Hoa 3 que, Hoa cho Hạnh 5 que, Hạnh cho lại Hằng 4 que thì số que tính của Hằng sẽ gấp đôi của Hoa, số que tính của Hoa sẽ gấp đôi của Hạnh. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu que tính?
Giải: 
Sơ đồ sau cho thấy số que tính của mỗi bạn sau khi đã cho lẫn nhau:
42 que
Hạnh:
Hoa:
Hằng:	
Từ đó ta dễ dàng thấy: - Hạnh có : 42 : (1 + 2 + 4) = 6 (que)
- Hoa có: 6 x 2 = 12 (que)
- Hằng có: 12 x 2 = 24 (que)
 -3 +4
Hằng 24
 +3 -5
Hoa 12
 +5 -4
Hạnh 6
Ta có lưu đồ sau:
Đi ngược lại các lưu đồ đó ta có số que tính lúc đầu của:
- Hằng có : 24 – 4 + 3 = 23 (que)
- Hoa có: 12 + 5 – 3 = 14 (que)
- Hạnh có: 6 + 4 – 5 = 5 (que)
Đáp số: Hằng: 23 que tính
 Hoa : 14 que tính
 Hạnh : 5 que tính
Một người bán trứng, lần thứ nhất bán ½ số trứng cộng với ½ quả, lần thứ hai bán ½ số trứng còn lại cộng ½ quả, lần thứ ba bán ½ số trứng còn lại cộng ½ quả. Cuối cùng trong rổ còn lại 4 quả. Hỏi lúc đầu trong rổ có bao nhiêu quả trứng?
Gợi ý:
Theo đầu bài ta có lưu đồ sau:
 :2 -0,5
:2 -0,5
 :2 -0,5
4
?
Đi ngược lại lưu đồ ta có: Đáp số 39 quả
Trong ba đợt chiến đấu, một đơn vị bộ đội đã tiêu diệt hoàn toàn một tiểu đoàn quân xâm lược. Đợt 1 quân ta đã giết số quân giặc và bắt sống 15 tên; đợt 2 giết số còn lại và bắt sống 30 tên; đợt 3 giết số còn lại sau cả hai đợt và bắt sống nốt 52 tên còn lại của tiểu đoàn đó. Em hãy tính số quân giặc bị giết và bị bắt sống trong cả ba đợt chiến đấu.
Giải: 
Cách 1: Ta có sơ đồ: 
52
a) Đợt III: giết bắt
Vậy số địch bị giết và bắt sống trong đợt III là: 52 x 4 = 208 (tên)
30 Đợt III: 208
b) Đợt II: giết 
Số địch bị giết và bắt sống trong đợt II và III là: (208 + 30) : 2 x 3 = 357 (tên)
c) Đợt I: giết 
 15 Đợt II và III: 357
Vậy số địch bị giết và bắt sống trong cả ba đợt là: (357 + 15) : 4 x 5 = 465 (tên)
Cách 2: 
Số địch bị giết và bắt sống trong đợt III là: 52 x 4 = 208 (tên)
Số địch bị giết và bắt sống trong đợt II là: (208 + 30) : 2 + 30 = 149 (tên)
Số địch bị giết và bắt sống trong đợt I là: (208 + 149 + 15) : 4 + 15 = 108 (tên)
Vậy số địch bị giết và bắt sống trong cả ba đợt là: 108 + 149 + 208 = 465 (tên)
Cách 3: 
Sau khi bị diệt thì số quân giặc còn lại là ; nghĩa là số địch còn lại bằng số địch lúc đầu nhân với . Sau khi bị bắt sống 15 tên thì số địch lại bị trừ đi 15 tên nữa... 
Ta có lưu đồ sau:
 x4/5 -15
 x2/3 -30
 x1/4 -52
0
Đi ngược lại ta có lưu đồ:
465 372 357 238 208 52 0 
 : +15 : +30 : +52 
	Tổng số quân địch bị giết và bị bắt sống trong cả ba đợt là: 465 tên
Đáp số: 465 tên
 Có hai bình nước đựng nước nhưng chưa đầy. Nếu đổ số nước ở bình thứ nhất sang bình thứ hai rồi đổ số nước hiện có ở bình thứ hai sang bình thứ nhất thì mỗi bình đều có 12 lít. Tính số nước có trong mỗi bình lúc đầu.
Giải: 
 12 l
a/ Ta có sơ đồ ở lần đổ thứ hai như sau:
Bình II:
Bình I:
Ta đã đổ từ bình II sang bình I: 12 : (5 – 1) = 3 (l)
Trước lần đổ thứ hai, bình II còn: 3 x 5 = 15 (l)
Sau lần đổ thứ nhất, lần I còn: 12 -3 = 9 (l)
 9 l
b/Ta có sơ đồ ở lần đổ thứ nhất như sau:
Bình I:
Bình II:
Vậy ta đã đổ từ bình I sang bình II: 9 : (3 – 1) = 4,5 (l)
Lúc đầu bình I có: 4,5 x 3 = 13,5 (l)
Lúc đầu bình II có: 15 - 4,5 = 10,5 (l)
Đáp số: Bình I: 13,5 l và bình II: 10,5 l
 Có ba bình nước đựng nước nhưng chưa đầy. Sau khi đổ số nước ở bình 1 sang bình 2, rồi đổ số nước hiện có ở bình 2 sang bình 3, cuối cùng đổ số nước hiện có ở bình 3 sang bình 1, thì mỗi bình đều có 9 lít. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước?
Giải:
Sau khi đổ số nước sang bình I thì bình III còn 9 lít. Vậy trước đó bình III có = 10 (lít) (1)
Và ta đã đổ sang bình I là 1 lít.
Sau khi nhận được 1 lít thì bình I có 9 lít. => trước đó bình I có 8 lít.
Sau khi đổ số nước sang bình II thì bình I còn 8 lít, vậy trước đó bình I có = 12 (lít) 
Và ta đã đổ sang bình II là 4 lít. (2)
Sau khi đổ số nước sang bình III thì bình II còn 9 lít. Vậy trước đó bình II có: = 12 (lít) (3)
Và ta đã đổ sang bình III là 3 lít. (4)
Từ (2) và (3) ta thấy sau khi nhận được 4 lít thì bình II có 12 lít. Vậy trước đó bình II có 8 lít.
Từ (1) và (4) ta thấy sau khi nhận được 3 lít thì bình III có 10 lít. Vậy trước đó bình III có 7 lít.
	=> Lúc đầu: bình I có 12 lít; bình II có 8 lít; bình III có 7 lít.
 Một cửa hàng muốn chuyển gạo từ kho A đến kho B theo kế hoạch sau:
Ngày thứ nhất chuyển 9 tấn và số gạo còn lại.
Ngày thứ hai chuyển 18 tấn và số gạo còn lại.
Ngày thứ ba chuyển 27 tấn và số gạo còn lại.
Cứ như thế cho đến khi hết gạo trong kho A. Biết rằng mỗi ngày đều chuyển được một số gạo như nhau. Hãy tính số ngày và số gạo chuyển đến kho B.
Giải:
Có thể tách việc chuyển gạo trong ngày ra làm hai đợt:
- Đợt 1: Chuyển một số tấn gạo (9 tấn, hoặc 18 tấn, hoặc 27 tấn, ...)
- Đợt 2: Chuyển số gạo còn lại.
Ta thấy ở đợt 1 số gạo chuyển hôm sau bằng số gạo (đợt 1) hôm trước cộng với 9 tấn.
Ngoài ra ở đợt chót thì số gạo chuyển đợt 2 phải bằng 0 (nếu không thì phải chuyển tiếp ngày sau nữa)
Ta có sơ đồ sau về việc chuyển gạo ở hai ngày cuối (ngày áp chót và ngày chót):
 Số còn lại
 A B C D
 E 9 tấn G
Ngày áp chót:
Ngày chót: 
Giải thích:
Trong ngày áp chót:
- Đoạn AB chỉ số gạo chuyển đợt 1.
- Đoạn BC chỉ số gạo chuyển đợt 2.
- Đoạn BD chỉ số gạo còn lại sau đợt 1.	
Vậy đoạn BC = BD, suy ra CD = 5BC
Trong ngày chót:
- Vì ở ngày chót ngay trong đợt 1 đã chuyển hết toàn bộ số gạo trong kho nên EG = CD.
- Vì số gạo chuyển được trong mỗi ngày đều bằng nhau nên AC = EG.
Theo quy luật chuyển gạo của đợt 1 thì EG = AB + 9 tấn. Suy ra 9 tấn chính là số gạo còn lại của ngày áp chót (sau khi chuyển đợt 1). Vậy BC = 9 tấn.
=> CD = 5 x 9 = 45 (tấn)
Do đó số gạo chuyển được trong mỗi ngày đều là 45 tấn. Vậy số ngày chuyển gạo là: 45 : 9 = 5 (ngày)
Số gạo chuyển đến kho B là: 45 x 5 = 225 (tấn)
Đáp số: Số gạo: 225 tấn
Số ngày: 5 ngày